Symétrie de l'icosaèdre


L'icosaèdre régulier est un solide convexe à 20 faces.
Les faces sont des triangles équilatéraux.
L'icosaèdre comporte 12 sommets et 30 arêtes.
L'icosaèdre régulier est l'un des 5 solides de Platon (polyèdres réguliers convexes : tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre pentagonal et icosaèdre).

Dans le repère orthonormé utilisé ici les coordonnées des 12 sommets sont :

(± φ, ± 1, 0); (0, ± φ, ± 1); (± 1, 0, ± φ);
avec : φ = ½(1 +√5) (nombre d'or).

La symétrie de l'icosaèdre est celle du groupe Ih ( 5 3 m ).

Les éléments du groupe sont :
E, 12 C5, 12 C25, 20 C3, 15 C2, i,
12 S10, 12 S310, 20 S6 et 15 σ.

Plus simplement les éléments de symétrie de l'icosaèdre sont : 6 A5, 10 A3, 15 A2, 15 M et C.

La figure ci-contre est la projection stéréographique des éléments de symétrie du groupe Ih. ( 6 A5, 10 A3, 15 A2, 15 M et C)
Le repère utilisé pour cette projection est identique à celui utilisé pour les représentations de l'icosaèdre et du dodécaèdre pentagonal.

Les pôles des faces de l'icosaèdre sont confondus avec ceux des axes 3 et ceux du dodécaèdre pentagonal sont confondus avec ceux des axes 5.
On peut noter que les axes 3 dessinés en cyan ont la même direction [1, 1, 1] que dans les groupes cubiques.
L'angle entre un axe 2 et un axe 5 de la même zone est 31,717°.

Attention
Dans la classe cubique m3 la forme {hk0} est un dodécaèdre pentagonal mais ce dodécaèdre n'est pas régulier.
On peut noter le dodécaèdre pentagonal par {01φ}. φ étant irrationnel cette forme ne peut être celle d'un cristal.

Utilisation
Glisser la souris dans le cadre de l'applet pour modifier l'orientation des objets.
Les faces situées en arrière du plan de projection sont tracées en gris en mode transparent.