Calcul de la durée du jour


Moyennant certaines approximations, il est possible de calculer assez simplement la durée du jour en fonction de la latitude d'un lieu et de la date.
On se limite à l'étude de l"hémisphère Nord. pour l'hémisphère Sud, il faut inverser jours et nuits.
On suppose que l'orbite terrestre est circulaire et que pendant sa rotation journalière, la Terre ne se déplace pas sur son orbite alors que ce déplacement contribue en moyenne pour 4 minutes à la durée du jour et que l'année dure 365 jours de 24 heures.
On prend comme origine des temps le passage à l'équinoxe de printemps. A la date d et à midi à l'heure solaire, on considère (figure de gauche) une coupe de la Terre passant par son centre telle que l'équateur est horizontal.
Soit α l'angle entre la direction du Soleil et le plan équatorial (hauteur de l'écliptique). Cet angle sera compris entre −23°27' et 23°27' puisque l'axe de rotation de la Terre est incliné de 23°27' par rapport au plan de l'ecliptique.
Pour un lieu situé à la la latitude λ, le point A correspond à midi, B à minuit. D est l'intersection de AB avec l'axe de rotation de la Terre (qui fait l'angle α. avec la droite de pôles).
On considère également (figure de droite) le plan parallèle au plan équatorial de latitude λ. Sur cette figure l'angle δ correspond à la durée du jour.
Si R est le rayon terrestre on a : OA = r = R.cos λ et CO = R.sin λ. Donc OD = R.sin λ.tan α
On a également OD = r.cos (π − δ/2) = R.cos λ.cos (π − δ/2)
On tire cos (π − δ/2) = tan λ.tan α soit : δ = arccos(tan λ.tan α)
Il faut enfin évaluer la valeur de α (angle entre le Soleil et l'équateur) en fonction de la date.
Soit CS le vecteur unitaire centre de la Terre-centre du Soleil et CN le vecteur unitaire de la ligne des pôles.
Le produit scalaire CS.CN est égal à sin α. Mais CN est constant est vaut sin(23°27') et CS vaut sin(d) si d est la date à partir de l'équinoxe exprimée en radians. (Consulter la figure de la page sur la durée des saisons en faisant α = 0).
Finalement, on tire δ = −2arccos[tan λ.tan(arc.sin(sin(23°27').sin(d)].

Pour l'équateur la durée du jour est constante et égale à 12 heures.
Pour des latitudes inférieures à 65° la courbe obtenue ressemble à une sinusoïde.
A la latitude de Paris, la durée du jour varie d'environ 4 mn par jour au voisinage des équinoxes et varie très peu au voisinage des solstices.
Au delà du cercle polaire il y des périodes de jour ou de nuit permanentes connues sous le nom de Soleil de minuit..

Le lever du Soleil correspond au moment ou son centre est au niveau de l'horizon.
Comme le Soleil n'est pas ponctuel, on a un phénomène de pénombre qui correspond à l'aube et au crépuscule et qui lisse les variations de la luminosité.