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Joseph-Louis LAGRANGE
(Turin 1736-Paris 1813)
Mathématicien, mécanicien français.




Points de Lagrange


On considère deux corps A et B de très grandes masses Ma et Mb qui tournent sur des orbites circulaires autour de leur barycentre commun O avec la période T.
Lagrange a montré qu'il existe des positions du plan de l'orbite où un corps M de masse négligeable µ tourne aussi avec la période T et qui sont donc immobiles dans le repère du barycentre.
En ces points, la force centrifuge compense la différence entre les forces d'attraction des corps A et B. Ces points sont les points de Lagrange nommés L1, L2, L3, L4 et L5.

Position des points de Lagrange
Il existe plusieurs méthodes pour déterminer celles-ci. Nous avons utilisé la recherche des extremums de l'énergie potentielle Ep de M (voir cette page pour le calcul de Ep).
On trouve assez simplement que les trois premiers points sont situés sur la droite AB.
On montre par un calcul assez pénible que les deux autres positions L4 et L5 sont telles que les triangles  ABL4 et ABL5 sont équilatéraux.

Stabilité des points de Lagrange
Les points L1 à L3 correspondent à des positions instables : pour un déplacement dans une direction normale à AB les forces d'attraction de A et B tendent à ramener M sur AB mais pour un déplacement dans la direction AB l'une des masses voit son effet augmenter et l'autre diminuer (col de potentiel). Par contre L4 et L5 sont des positions d'équilibre stables.
Les points de Lagrange sont utilisés pour y placer des satellites d'observation car même si l'équilibre est instable, il suffit d'une énergie minime pour effectuer les corrections d'orbite.


Utilisation :
On trace dans le plan de rotation des masses A et B les courbes de niveau de l'énergie potentielle Ep (en unités arbitraires ) de la masse µ.
La couleur (bleu foncé ou bleu clair) correspond à des pas différents entre deux courbes de niveau.
La position des points L1, L2, et L3 est déterminée par la recherche des extremums de Ep sur la droite AB.
Le slider permet de modifier le rapport des masses des deux objets massifs.
Les astres sont déplacés pour que leur barycentre reste fixe sur l'origine O.

Avec le bouton gauche de la souris, cliquer dans l'épure pour faire apparaître la valeur de Ep à l'endroit pointé par le curseur.
Vérifier ainsi la stabilité de chaque point de Lagrange en déplaçant le curseur dans deux directions orthogonales.
Un dôme correspond à un équilibre stable et un col à un équilibre instable.