Potentiel périodique


On considère N atomes qui forment un cristal à une dimension.
Les charges des noyaux forment un potentiel périodique : pour s'écarter d'un noyau, les électrons doivent vaincre un potentiel de hauteur V. Chaque noyau est au centre d'un puits de potentiel de largeur a bordé par deux barrières de potentiel de hauteur V et de largeur b.
On pose l = a + b et k le nombre d'onde de la fonction d'onde solution de l'équation de Schrödinger.
Soient E l'énergie de l'électron et m sa masse.
On pose q2 = 2mE / ħ2 et p2 = 2m(V − E) / ħ2
On démontre que :
cos(k.l) = cos(q.a).ch(p.b) + ½(p / q − q / p).sin(q.a).sh(p.b) = Y(E).
Les seules valeurs possibles de l'énergie E sont celles qui font que le cosinus du produit k.l est compris entre +1 et −1.
Les valeurs possibles de l'énergie forment des bandes permises séparées par des bandes interdites. Les valeurs limites de l'énergie de chaque bande sont déterminées en calculant numériquement les valeurs de E pour lesquelles on a Y(E) = ±1.


Utilisation :
Les sliders permettent de modifier la valeur de la  distance a entre les puits et leur largeur b.
La valeur de V est fixée à 5 unités. Les unités sont arbitraires (2mħ2 = 1).
La courbe en rouge représente la fonction Y(E).
Les traits verts correspondent aux valeurs limites de cos(k.l).
Les bandes permises sont tracées en gris foncé.