Trigonométrie sphérique


Les triangles sphériques sont surtout utilisés en astronomie, en navigation et en cristallographie géométrique.

Définitions :
Point sphérique : C'est un point situé sur la sphère de rayon unité. On peut le repérer par ses coordonnées sphérique (Φ, Θ, 1) Droite sphérique : C'est un grand cercle qui passe par deux points sphériques non antipodaux A et B.
Triangle sphérique : Il est constitué par trois points sphériques A, B et C qui ne sont pas sur situés sur la même droite sphérique.
On peut le définir par les trois vecteurs unitaires non coplanaires OA, OB et OC.
Cotés du triangle : Ce sont les arcs BC = a, AC = b et AB = c. On a aussi a =∠BOC, b =∠AOC et c =∠AOB.
Angles du triangle : Les angles α, β et γ sont respectivement égaux aux angles des dièdres (AOB,AOC), (BOA,BOC) et (COA,COB).
Il est facile de voir que 0 < a + b + c < 2.π (Si a + b + c = 2.π alors A, B et C sont dans un même grand cercle).
On montre aussi que 2.π < α + β + γ < 3.π .

Trigonométrie sphérique :
Il existe un grand nombre de relations entre les 6 paramètres d'un triangle sphérique. Les plus utiles sont indiquées ci-dessous.


Pour démontrer la relation (1-c), on peut utiliser la méthode suivante :
Soient A1 le point du grand cercle AC tel que OA1.OC = 0 (OA1OC) et B 1 le point du grand cercle BC tel que OB1.OC = 0.
On peut écrire : OA = cos b.OC + sin b.OA1. et OB = cos a.OC + sin a.OB1 .
γ est l'angle entre OA1 et OB1 et cos c = OA.OB. En identifiant, on tire (1-c). (1-a) et (1-b) se déduident par permutations circulaires. Les relations (2) se démontrent de la même manière.

La formule des cosinus permet de calculer simplement la distance entre deux points A et B sur la Terre en fonction de leurs latitudes et longitudes. Pour cela, on place C au pôle nord, de sorte que a est le complémentaire de la latitude ΦA de A, b le complémentaire de celle ΦB de B, et γ la différence de longitude dλ = λB − λA.
dAB = R.c = R.arccos[sin(ΦA).sin(ΦB) +cos(ΦA).cos(ΦB).cos(δλ)] (R = 6400 km est le rayon terrestre).
Cliquer sur ce lien pour trouver une étude très détaillée de la trigonométrie sphérique.

Utilisation

Agir sur les sliders pour modifier les sommets du triangle.
Il faut utiliser une machine assez puissante car le tracé des cotés du triangle nécessite un grand nombre de calculs.
Le tracé des angles du triangle a été simplifié (l'arc esr remplacé par une droite) car un tracé correct conduit à doubler les calculs.
Eviter d'utiliser des triangles dont les sommets sont trop voisins.