Vecteurs


Ce programme permet de visualiser les opérations élémentaires du calcul vectoriel dans un repère triorthonormé Oxyz.
Dans ce texte, les vecteurs sont représentés en gras.
Les vecteurs ont tous comme origine le point O. Les coordonnées de l'extrémité du vecteur Vi sont xi, yi et zi.

Produit scalaire :
C'est le nombre scalaire défini par :

V1.V2 = V1.V2.cos(V1,V2)
Il est nul si les vecteurs sont orthogonaux.
La norme N d'un vecteur est la racine carrée du produit scalaire du vecteur par lui-même.
| V1 |² = x1.x1 + y1.y1 + z1.z1
Produit vectoriel :
C'est le vecteur :
V3 = (V1 ^ V2) normal au plan des deux vecteurs V1 et V2 tel que le trièdre V1, V2 et V3 est direct et dont les composantes sont :

(y1.z2 − y2.z1)
(z1.x2 − x1.z2)
(x1.y2 − x2.y1).

La norme de V3 est l'aire du parallélogramme construit avec les vecteurs V1 et V2. Il est nul si les vecteurs sont colinéaires.

Produit mixte :
C'est le nombre scalaire défini par :      pm = (V1,V2,V3) = (V1,(V2 ^ V3))
C'est le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs.
Il est nul si deux vecteurs sont colinéaires.
On utilise aussi le double produit vectoriel : u ^ (v ^ w) = v.(u.w) − w.(u.v)
et les produits de 4 vecteurs : (u ^ v).( w ^ x) = (u.w)(v.x) − (u.x)(v.w) (scalaire) et:
(u ^ v) ^ ( w ^ x) = (u, v, x)w − (u, v, w)x qui est un vecteur.

Utilisation :
Modifier les composantes des vecteurs en agissant sur les sliders.
Pour le produit vectoriel, un vecteur égal au tiers du vecteur produit V3 est affiché en vert ainsi que le losange construit sur les deux vecteurs dont on fait le produit.
Glisser la souris dans le cadre pour modifier l'angle de vision.