Oscillateur anharmonique


On considère une masse M suspendue par deux ressorts identiques de raideur K aux points A et B situés sur une même horizontale prise comme origine. On pose Z = OM, OA = BO = D. L0 est la longueur propre de chaque ressort (10 cm).

Étude statique :
La masse M est soumise à son poids et aux tensions T1 et T2 des deux ressorts.
En projettant ces forces sur l'axe vertical passant par O et dirigé vers le bas, on tire :
M.g − 2.K.(Leq − L0).sinψ = 0 ( Leq est la longueur des ressorts à l'équilibre et ψ l'angle 0AM ).
On pose Zeq la valeur de OM à l'équilibre donc sin ψ = Zeq / Leq. (Leq = [Zeq2 + D2]½).

Il vient M.g / 2.K = Zeq.[1 − L0 / (Zeq2 + D2)½] . Cette équation doit être résolue numériquement.

Étude dynamique :
A partir de sa position d'équilibre, on déplace M sur la verticale de x et on lache M sans vitesse initiale.
On a donc OM = Z(t) = Zeq + x(t). Soit L la longueur de chaque ressort à l'instant t.
M.Γ = T1 + T2 + M.g
En projettantsur l'axe vertical, on tire M.d2x / dt2 = −2.K(L − L0).sin ψ + M.g avec L = [(Zeq + x)2 + D2]½.
On obtient finalement l'équation :
d2x / dt2 + 2.K(Zeq + x)(1 − L0 / [(Zeq + x)2 + D2]½) / M = 2.K.Zeq.(1 − L0 / Leq) / M (a)
qui doit être intégrée numériquement.
La forme de cette équation montre que le mouvement de M ne sera pas harmonique.
Toutefois pour les petites valeurs de x, on peut faire un développement limité au premier ordre.
Montrer que dans ce cas, on obtient d2x / dt2 + 2.K.x.(1 − L0 / Leq − L0.Zeq2 / Leq3) / M = 0 qui correspond à un mouvement harmonique.

Utilisation
L'équation (a) est intégrée par la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4. Il est possible d'introduire un frottement visqueux en prenant F non nul.
Les divers curseurs permettent de modifier les paramètres du système.
Le trait vert horizontal correspond à la position d'équilibre de la masse M.
La courbe rouge représente Z(t) = Zeq + x(t). La courbe bleue représente V(t).
La courbe verte est le portrait de phase du système (V(t) = f(X(t)). Pour un système harmonique, le portrait de phase est une ellipse.
Pour certaines valeurs des paramètres, on obtient un système fortement anharmonique.
Examiner par exemple :
M = 0,2 kg, K = 100N/m, D = 4 cm et X0 = 9 cm
M = 0,1 kg, K = 100N/m, D = 7,4 cm et X0 = −9,6 cm. (puis faire varier très légèrement X0).
Remarque
Il faut imaginer que la masse coulisse sans frottements sur une tige verticale car l'étude suppose que la masse reste contenue dans le plan de figure. Quand Z devient négatif la moindre force normale au plan ferait sortir M de celui-ci.