Pendules de torsion couplés


On étudie le système constitué par deux pendules de moments d'inertie J1 et J2 reliés par des fils dont les constantes de torsion sont C1, C2 et C3. Ce dispositif est équivalent à deux pendules de torsion (J1, C1) et (J2, C3) couplés par le fil C2.
A l'équilibre la torsion de tous les fils est nulle.
Les angles de rotation des pendules par rapport à cette position d'équilibre sont θ1 et θ2.
Si on néglige l'amortissement, les équations du mouvement sont :
      J1.d2θ1 / dt2 + C1θ1 + C21 − θ2) = 0 et J2.d2θ2 / dt2 + C3θ2 + C22 − θ1) = 0
      d2θ1 / dt2 + θ1.(C1 + C2) / J1− θ2.C2 / J1 = 0 et d2θ2 / dt2 − θ1.C2 / J2 + θ2.(C3 + C2) / J2= 0.

On cherche des solutions harmoniques de la forme θ(t) = Θ.exp(jωt).
Montrer que les pulsations possibles sont les valeurs propres de la matrice :


Si les valeurs propres sont ωS et ωA, la solution est une combinaison linéaire des modes propres d'oscillation :
     θ1(t) = ΘA11.exp(jωA.t) + ΘA12.exp(−jωA.t) + ΘS11.exp(jωS.t) + ΘS12.exp(−jωS.t)
     θ2(t) = ΘA21.exp(jωA.t) + ΘA22.exp(−jωA.t) + ΘS21.exp(jωS.t) + ΘS22.exp(−jωS.t)
Les constantes Θ sont fonctions des valeurs des conditions initiales. (amplitudes et vitesses angulaires initiales).
Le système oscille dans un mode propre quand la solution ne contient qu'une seule pulsation.

Si C2 = 0, les pulsations propres sont ω12 = C1 / J1 et ω22 = C3 / J2.
Montrer que pour C2 > 0, on a |ωS − ωA| > |ω1 − ω2|. Le couplage écarte les fréquences propres.

Cas particuliers :
a)- On prend J1 = J2 = J et C1 = C2 = C3 = C. Montrer que ωS2 = J / C = ω02 et ωA2 = 3.J / C
Si les vitesses angulaires initiales sont nulles montrer que :
Si θ1(0) = θ2(0) = ΘS alors θ1(t) = ΘS.cos(ωS.t) et θ2(t) = ΘS.cos(ωS.t)
Si θ1(0) = −θ2(0) = −ΘA alors θ1(t) = ΘA.cos(ωA.t) et θ2(t) = −ΘA.cos(ωA.t)
Dans la première solution, les pendules sont toujours en phase : c'est le mode symétrique. Dans la seconde, ils sont toujours en opposition : c'est le mode antisymétrique.
b)- Si C2 = 0 (fil sans torsion), on a deux pendules non couplés.
c)- Si C2 = ∞ on a un seul pendule.
d)- Pour des valeurs faibles du couplage et des conditions initiales adaptées, on peut avoir des fréquences propres voisines.
En posant Δω = ½|ωA − ωS| et <ω> = ½(ωA + ωS), il vient : θ1(t) = 2Acos(Δωt).cos(<ω>t)
L’amplitude des vibrations de chaque pendule est modulée avec le temps à la fréquence Δω. La fréquence des vibrations est voisine de ωA et de ωS. Ce phénomène est appelé battements.
e)- Remarquer que la condition initiale θ1(0) = θ2(0) annule toute torsion du fil C2. Que peut-on en conclure ?

Utilisation
Dans l'applette on prend J1 = 1 kg.m2 et C1 = 1 N.m/Rd. Les vitesses angulaires initiales sont toujours nulles.
Les équations sont intégrées numériquement par la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4 avec un pas de 0,05 s.
En mode "Animation", quand le bouton affiche [Départ] il est possible de modifier les valeurs initiales des angles des pendules avec la souris (cliquer sur les points blancs et les glisser avec la souris). Quand le choix des valeurs est terminé, cliquer sur le bouton [Départ] pour lancer l'animation.
En mode "Courbes", on peut examiner les courbes donnant les angles en fonction du temps
Le programme affiche les valeurs des pulsations propres calculées à partir du polynôme caractéristique de la matrice.

Suggestions
Examiner les modes symétriques et antisymétriques avec J1 = J2 = J et C1 = C3 = C.
Faire varier C2 entre 0 et la valeur maximum.
Prendre J2 / C3 = J1 / C1 et chercher les conditions initiales qui donnent un mode propre.
Avec un couplage faible prendre un angle initial nul. Observer les battements et justifier le choix des conditions initiales.
Avec des valeurs quelconques chercher des conditions initiales qui donnent un mode propre.
Prendre C3 = 0, J2 = 5.J1, C2 = 1,67.C1 et θ1(0) = −θ2(0)