Cylindre oscillant dans un tube hémicylindrique


On étudie les mouvements d'un cylindre homogène de masse m, de rayon r dans un tube hémicylindrique de rayon R.
On examine les cas du glissement sans roulement et du roulement sans glissement. On néglige les frottements.
Soient O1 et O2 les traces des axes du tube et du cylindre dans le plan de figure. On repère la position de l'axe du cylindre mobile par l'angle φ entre la verticale et la droite O1O2. Soit ψ l'angle de rotation du cylindre.
Le moment d'inertie du cylindre par rapport à l'axe de rotation est I = ½.m.r2.
Si le cylindre roule sans glisser, on a : r.ψ = (R − r).φ
Si le cylindre glisse sans rouler ψ = 0.
Le Lagrangien du système est : L = ½.I.(ψ')2 + ½.m.(R − r)2.(φ')2− m.g.(R − r).sin(φ).

Monter que :
Dans le cas du glissement sans roulement, on a : φ" = g.cos(φ) / (R − r)
et que dans le cas du roulement sans glissement, on a : φ" = 2.g.cos(φ) / 3.(R − r)
Ces équations semblables à celles du pendule simple doivent être intégrées numériquement.
Pour ce calcul, il est préférable de prendre comme variable l'angle θ = π − φ entre l'horizontale et O1O2.
Pour des valeurs initiales petites de φ, on obtient des oscillateurs harmoniques de périodes :
Tg = 2π.[(R − r) / g]½ et Tr = 2π.[3.(R − r) / 2.g]½ .
Dans le cas sans roulement, on obtient donc un système analogue à un pendule simple de longueur L = R − r.
Remarque : On peut remplacer le cylindre par une sphère ( I = 2m.r2/ 5) ou un anneau d'épaisseur négligeable ( I = m.r2).

Utilisation
Pour les petits angles initiaux, vérifier que la période est Tg ou Tr.
Examiner la dépendance de la pseudo-période avec la valeur de l'angle initial.
Quand on visualise la courbe d'oscillation, on peut déplacer le curseur bleu en glissant le petit carré bleu avec la souris.
Noter la stabilité de la méthode d'intégration (Runge-Kutta à l'ordre 4).