Vibrations d'un fil pesant


On considère un fil pesant de longueur L suspendu par une extrémité. Au repos ce fil pend selon la verticale du point de suspension.
En pratique, on utilise une chaîne dont les maillons sont très petits.
On écarte un peu le fil de sa position initiale et on le laisse osciller librement. On se limite aux mouvements de faible amplitudes dans un plan et on néglige les frottements.
Dans le plan de vibration on prend les axes Ox vertical et Oy horizontal.
Si on se limite aux solutions sinusoïdales du temps, on montre que les solutions sont de la forme :
y(t) = A.cos(ωnt).J0(2ωn.(x / g)½)
Si x = L alors y = 0 : la quantité 2ωn.(L / g)½) est un zéro de la fonction de Bessel J0.
Si an est la valeur d'un zéro de J0 alors ωn = ½(L / g)½ .
an est une fréquence propre du système.
La solution est une combinaison linéaire de tous les modes propres avec des amplitudes fonction des conditions initiales.

Utilisation :
Les courbes représentent la forme du fil pour le mode d'indice n quand cos(ωnt) = 1.
Les valeurs f(n) sont les valeurs des fréquences propres qui correspondent aux valeurs numériques utilisées.
La liste permet de modifier l'indice du mode propre qui est visualisé.
Pour une meilleure visualisation, l'échelle horizontale est fortement dilatée.

Données numériques : L = 30 cm;