Force centrale (1)


Consultez la page Masse soumise à une force centrale pour l'étude mathématique du problème.

On utilise un repère centré sur la masse M et dont l'axe Ox correspond à la position initiale de la masse m (R0, 0). On utilise les unités arbitraires GM = 1 et m = 1.
Dans ces conditions, l'énergie E = ½m.V² − GMm / R devient E = ½V² − 1 / R.
On se limite aux valeurs négatives de l'énergie pour obtenir une orbite elliptique. On montre que le demi grand axe de l'ellipse a est tel que a = − GMm / 2E et la période de révolution est P2 = 4π2.a3 / GM.
Pour un système donné (M et m), cette période ne dépend que de a et donc que de E.
Si le point de départ est fixe, la période de révolution est donc indépendante de la direction du vecteur vitesse initial.

Équation de l'orbite.
Pour une orbite elliptique dont a est confondu avec Ox, l'équation polaire de la trajectoire est r = d / (1 + e.cos θ)
avec d = L² / GMm² et e² = 1 + 2L².E / G²M²m³ .
Si l'axe a fait l'angle ψ avec Ox, l'équation polaire devient r = d / [1 + e.cos (θ − ψ)].
Comme pour θ = 0 on a r = R0 on tire cos(−ψ) = d − R0 / eR0

Utilisation
On peut faire varier R0, V et la direction du vecteur vitesse initiale.
L'orbite est tracée à partir de l'équation polaire.
Le déplacement de la masse m est calculé par intégration numérique.

On peut noter que pour les faibles valeurs de R0 et les valeurs élevées de la vitesse initiale le pas utilisé pour l'intégration est trop grand.

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