Looping vertical


Dans certains circuits de montagnes russes, la piste présente une boucle verticale. Pour que les véhicules puissent parcourir cette boucle sans quitter les rails, il faut que leur vitesse initiale à l'entrée de la boucle soit assez grande.
Equations du mouvement :
On assimile le véhicule à un point matériel P de masse M et on néglige les frottements.
Soient C le centre du cercle et θ l'angle entre CP et la verticale et V0 la vitesse du mobile à l'entrée de la boucle.
Soient i le vecteur unitaire suivant CP et j le vecteur unitaire normal à CP en P.
Soient a l'accélération de P et N le vecteur réaction du support.
Comme on néglige les frottements, N est normal à la trajectoire. Ce vecteur donc est radial.

Le principe fondamental de la dynamique donne :
Ma = N + Mg.
La vitesse du mobile est :
V
= R. θ'. j
et son accélération est :
a = −R.θ' 2.i + R.θ''.j.

En projettant sur CP on tire : − M.R.θ' 2  = − N + M.g.cos(θ)
Soit : N = M.R.θ' 2  + M.g.cos(θ)       (a)
La conservation de l'énergie mécanique permet d'écrire :
½(M.V2 − M.V02) = − M.g.R(1 − cos(θ)).
Donc : θ' 2  = − (V0 / R)2 − 2.g.(1 − cos(θ)) / R      (b)
De (a) et (b), on tire :
N = M.V02 / R + M.g.(3.cos(θ) − 2)      (c)

Mouvements possibles :
On remarque que :
- La vitesse angulaire et donc la vitesse s'annulent pour un angle θ1 tel que cos(θ1) = 1 − V02 / 2Rg.
- La réaction du support N s'annule pour un angle θ2 tel que cos(θ2) = (2 − V02 / 2Rg) / 3 = (2/3).cos(θ1).
L'angle θ1 est donc inférieur à l'angle θ2.
 L'angle θ1 existe si V0 < (2Rg)½. L'angle θ2 existe si V0 < (5Rg)½.
 * Si V0 < (2Rg)½ la vitesse s'annule mais la réaction du support reste positive : Le mobile reste en contact avec la boucle et rebrousse chemin.
 * Si (2Rg)½ < V0 < (5Rg)½ la vitesse reste positive mais la réaction du support s'annule : La mobile quitte la boucle est tombe en chute libre. (Chute libre avec la vitesse initiale V).
 * Si V0 > (5Rg)½ la réaction du support reste positive et le mobile peut décrire la boucle sans quitter le support.

Remarque :
Les frottements modifient uniquement les valeurs des vitesses qui correspondent à une modification du type de mouvement.

N vecteur réaction du support est tracé en bleu et la vitesse en vert.