Rebonds successifs d'une bille


Coefficient de restitution
Lors d'un choc entre deux objets, il y a une perte d'énergie liée à leurs déformations. Pour en rendre compte, on utilise une loi due à Newton disant que le rapport des vitesses relatives après et avant le choc est égal à − E. Le facteur E est le coefficient de restitution. Il dépend de la nature des matériaux. Dans un choc élastique (E = 1), il y a conservation de l'énergie cinétique.
Mouvements de la bille :
On étudie le mouvement d'une bille de masse M lancée avec une vitesse initiale horizontale Vx à une hauteur H0 au dessus d'un plan horizontal.
Hypothèses : On néglige les frottements dus à l'air. Lors du choc, il y a conversation de la composante horizontale de la vitesse.
Chute initiale :
Les équations du mouvement de la bille sont : x = Vx.t et y = H0 − ½.g.t2.
Au temps t0 = (2.H0 / g)½, juste avant le choc, la composante verticale V0 de la vitesse se déduit de la conservation de l'énergie : M.g.H0 = ½.M.V02. Soit : V0 = − (2.g.H0 )½.
D'après la loi de Newton, juste après le choc, la composante verticale de la vitesse est V1 = E.(2.g.H0 )½.
Premier rebond :
La bille remonte avec une vitesse initiale V1. Les équations du mouvement sont : x = Vx.t' et y = V1.t' − ½.g.t'2.
D'après la conservation de l'énergie, la bille atteint la hauteur H1 = ½.M.V12 = E2.H0.
Elle redescend et atteint le plan avec une vitesse dont la composante verticale est V1.
Juste après le choc, la composante verticale de sa vitesse est V2 = E.(2.g.H1 )½ = E.V1 = E2.V0.
La durée du premier rebond est t1 = 2.(2.H1 / g)½ = 2.E.t0.
Nième rebond :
La bille la bille atteint la hauteur HN= E2N.H0.
La durée du Nième rebond est tN = 2.EN.t0.
Juste après le choc, la composante verticale de sa vitesse est VN = EN.V0.
Hauteur du rebond, durée du rebond et vitesse après le rebond forment des série géométriques.
Montrer que la durée totale du mouvement est T = (2.H0 / g)½.(1 + E) / (1 − E)

Utilisation :
Utiliser les sliders pour régler la hauteur initiale, la vitesse horizontale et la valeur du coefficient de restitution.
Lancer l'animation en cliquant sur le bouton [Départ].
La case à cocher "Altitude" permet d'afficher les hauteurs des divers rebonds.