Tige oscillante


On considère une tige rectiligne AB uniforme de longueur L et de masse M dont l'extrémité A (point vert) peut glisser sans frottement sur un plan horizontal. Pour une réalisation pratique, on peut envisager un tenon qui coulisse sans frottement dans une glissière.
On écarte la tige de sa position d'équilibre stable et étudie l'évolution du système avec le temps.
Ce système d'apparence très simple n'est pratiquement jamais étudié dans les cours de mécanique car il n'existe pas de solution analytique rigoureuse ou approchée.

Repère
On utilise un repère orthonormé. On prend comme axe Oz, un axe vertical orienté vers le haut confondu avec la position d'équilibre stable de la tige et comme axe Ox un axe horizontal orienté vers la droite. Soit φ l'angle entre AB et la verticale descendante passant par le point A. La connaissance de cet angle définit totalement le système.
Soit G le centre de gravité de la tige. les vecteurs sont écrits en gras.
La tige étant uniforme AG = L / 2 , OG = z.k = −½k.L.cos(φ) / 2 et GA = ½.L[cos(φ).k −sin(φ).i ].

Mise en équation
Comme on néglige les frottements, la réaction du support en A est verticale : R = R.k.
Le principe fondamental de la dynamique donne : M.k.d2z / dt2 = −M.g.k + R.k
z(t) = −½k.L.cos(φ) / 2;   dz /dt = ½k.L.sin(φ).dφ / dt;     d2z /dt2 = ½.k.L[sin(φ).d2φ / dt2 + cos(φ).dφ / dt];
R = ½.k.M.L[sin(φ).d2φ / dt2 + cos(φ).dφ / dt + 2.g / L];
Montrer que pour une tige uniforme, le moment d'inertie par rapport à son centre de gravité est J = M.L2 / 12.
Comme le vecteur M.g.k passe par G, l'application du théorème du moment cinétique en G donne :
J.d2φ / dt2 = GAR = ½.L[cos(φ).k −sin(φ).i ]∧ ½.k.M.L[sin(φ).d2φ / dt2 + cos(φ).dφ / dt + 2.g / L].

On tire : d2φ / dt2 = −3[sin(φ).cos(φ).dφ + 2.sin(φ).g / L] / [ 1 + 3.sin2(φ)]

Il faut utiliser une méthode numérique pour intégrer cette équation. Dans le programme, nous avons utilisé la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4.

Utilisation
On peut examiner soit l'animation du mouvement soit la courbe de variation de l'angle φ avec le temps.
Avec les sliders, on peut modifier la valeur de l'angle initial et la longueur de la tige.
Pour améliorer la lisibilité, la longueur de la tige maintenue constante dans l'animation.
On peut constater que si pour les petits angles initiaux, la variation de φ est pratiquement sinusoïdale, pour les grands angles la variation est fortement anharmonique.
Examiner la variation de la "période" avec la longueur de la tige.
Examiner la variation de la "période" avec la valeur de l'angle initial.
On peut constater la stabilité de la méthode d'intégration utilisée.
Pour les petits angles, comparer ce système avec celui obtenu avec la même tige qui oscille autour d'un point A fixe.

Je remercie Alain Gibaud, professeur à l'Université du Maine, pour sa collaboration à cette page.