Roulement d'un triangle de Reuleaux


A partir de chaque sommet d'un triangle équilatéral de coté R on trace l'arc de cercle de rayon R reliant les deux sommets opposés. La surface obtenue est un "triangle de Reuleaux".
Son périmètre est 3.(π.R / 3) = π.R. Son aire vaut S = R2(π − 3½) / 2.
Pour le montrer, on peut calculer l'aire des segments de cercle et l'ajouter à celle du triangle équilatéral ou faire quelques découpages et collages afin de reconstituer un demi-cercle.
C'est une surface à largeur constante. On a pu montrer que c'est la surface à largeur constante d'aire minimale.
On a réalisé des plaques d'égout ayant cette forme. A largeur égale elles sont plus légères que les plaques circulaires mais plus difficiles à mettre en place.
La section des pistons des moteurs à piston rotatif est un triangle de Reuleaux. Ce moteur en principe séduisant (beaucoup moins de pièces mobiles) pose de gros problèmes de joints et de lubrification.

Étude cinématique du roulement sans glissement d'un triangle de Reuleaux ABC sur une droite.
Initialement les coordonnées de A sont (0, 0) celle de B sont (0, R) et celles de C sont (R.3½/ 2, R / 2).
Les points A et C sont des points de la circonférence d'un cercle qui roule sans glisser sur la droite y = 0. Ces deux points décrivent des cycloïdes dont les équations paramétriques sont :
xa = R.(ψ -sin(ψ)), ya = R(1 − cos(ψ) ; xc = R.(ψ − sin(ψ − π / 3)), ya = R.(1 − cos(ψ − π / 3)).
Le point B se déplace sur la droite yb = R et AB = AC = R.
Quand ψ = π / 3, C atteint le point de rebroussement de sa cycloïde et yc = 0 : le triangle pivote alors autour de C (R.π / 3, 0).
Les points A et B décrivent des arcs du cercle centré sur C et de rayon R.
Quand ψ = 2.π / 3 le point A est à la verticale de C (xa = R.π / 3 et ya = R).
On retrouve la situation initiale par une permutation circulaire des sommets.
Le centre de gravité G du triangle (xg = (xa + xb + xc) / 3; yg = (xg + yb + yc) / 3) décrit une courbe périodique.

Utilisation :
Le programme permet de visualiser le mouvement du triangle ainsi que les trajectoires des points A, B, C et G.