Fréquences d'une corde vibrante


On démontre (voir par exemple que la célérité c des ondes transversales pour une corde sans raideur de longueur L, de masse linéaire μ soumise à la tension T est donnée par la relation : c2 = T / μ.
Les extrémités de la corde étant fixes il s'établit un système d'ondes stationnaires tel que L = k.λ / 2 = k.c / (2.fk). (k entier désigne le numéro de l'harmonique).
Les fréquences des différents harmoniques sont données par : violon

Le mouvement de la corde est une combinaison linéaire de tous les harmoniques, l'amplitude de chaque mode propre étant fonction des conditions initiales. On examine ici uniquement le mode fondamental (k = 1).

Utilisation :
Le programme permet de modifier les trois paramètres qui influent sur la fréquence.
Attention aux unités lors du calcul des fréquences. La tension s'exprime en newtons et pas en kilogrammes comme on le voit encore dans certains documents.
La longueur maximum et la variation possible de longueur correspondent à une corde de violoncelle.


En musique la fréquence de référence est celle du la3 dont la fréquence est par convention égale à 440 Hz. Dans la musique occidentale on utilise la gamme tempérée :
Chaque octave (qui correspond à un doublement de la fréquence) est divisée en 12 tons ou demi-tons.
Si l'on pose x = (O − 3) + (n − 10) / 12. (O numéro de l'octave et n indice de la note), la fréquence de la note n est dans la gamme tempérée donnée par fn = 440.2x.
Le domaine audible (20 à 20000 Hz) comprend les octaves −1 à 9.

Valeurs des fréquences de la gamme tempérée
Note 0 1 2 3 4 5 6 7
Do 32,7 65 131 262 523 1046 2093 4186
Do # 34,6 69 139 277 554 1109 2217 4435
36,7 74 147 294 587 1175 2349 4698
Ré # 38,9 78 156 311 622 1244 2489 4978
Mi 41,2 83 165 330 659 1318 2637 5274
Fa 43,6 87 175 349 699 1397 2794 5588
Fa # 46,2 92,5 185 370 740 1480 2960 5920
Sol 49 98 196 392 784 1568 3136 6272
Sol # 51,9 104 208 415 831 1661 3322 6645
La 55 110 220 440 880 1760 3520 7040
La # 58 117 233 466 932 1865 3730 7458
Si 62 123 247 494 988 1975 3951 7902

Instruments à cordes :
Ils sont classés en trois familles : entretenus par archet, frappés ou pincés.

Famille du violon
  Longueur des cordes Fondamentaux des cordes
 Violon 33 cm mi4   la3  ré3  sol2
 Alto 35 cm la3  ré3  sol2   ut2
 Violoncelle 70 cm la2   ré2  sol1  ut1
 Contrebasse 100 m sol1   ré1  la0   mi0

La longueur utile de la corde est limitée par le chevalet (pièces de bois normale aux cordes) et un sillet. La tension est assurée par des chevilles. Le joueur modifie la longueur de la corde en l'appuyant sur la touche (pièces de bois parallèle aux cordes). La vibration de la corde est entrenue par le frottement d'un archet.

Piano : C'est un instrument à cordes frappées. La longueur et la tension des cordes sont constantes. Le registre va du la-1 au la6 avec 85 notes (12 touches par octave) et 225 cordes.

Cordes pincées : Dans cette famille, on trouve le clavecin, la harpe, la mandoline, la guitare. Pour la guitare, qui comporte 6 cordes (mi1, la1, ré2, sol2, si2 et mi3) la touche comporte des sillets qui définissent précisément la longueur de la partie vibrante de la corde.

Pour donner aux cordes graves une longueur raisonnable, il faut prendre des cordes avec une grande masse linéaire. Pour ne pas augmenter la raideur, on utilise des cordes filées : sur une corde normale, on enroule en spirale un fil de cuivre qui augmente la masse mais pas la raideur.

unicordePour pratiquement tous les instruments à corde, on modifie uniquement la longueur de la corde pour obtenir une note donnée.
Il existe une exception avec le "Dân bau" qui est un instrument traditionnel du Viêt-nam.
La corde unique est tendue au dessus d'un tube de bambou qui fait office de résonateur.
A une extrémité, elle passe sur un sillet et l'autre extrémité est fixée à une tige verticale de bambou.

Pour modifier la hauteur de la note, le joueur modifie la tension de la corde en agissant sur cette tige.