Étude du mirascope


Le mirascope est un gadget constitué de deux miroirs paraboliques identiques placés face à face. Celui du dessus est percé d'une ouverture centrée sur son sommet. Dans ce dispositif, l'image réelle d'un objet placé au centre du miroir inférieur apparait juste au-dessus de l'ouverture du miroir supérieur.
Le miroir supérieur donne de l'objet une image virtuelle et le miroir inférieur donne de cette image une image réelle.

Étude du système.
Dans un plan contenant les sommets et les foyers des paraboles avec l'axe Ox horizontal les équations des paraboles sont :
y = a.x² et y = c − a.x².
On peut utiliser la relation y = x² / 2p (a = 1 / 2p) .
Le foyer de la parabole inférieure est situé en (0, p).
La pente de la normale à la parabole au point (x0, y0) vaut − p / x0.

Méthode de tracé des rayons.
Le rayon qui part d'un point P0 (x0, y0) et dont le vecteur unitaire est U0 (sin α, cos α) a pour équation paramétrique :
x = U0x.t + x0; y = U0y.t + y0 .
Si ce rayon rencontre la parabole d'équation y = ax² ou y = c − ax², on détermine t par substitution et on obtient les coordonnées (x1, y1) du point de contact P1 du rayon avec le miroir. En ce point, la normale au miroir est N.
L'expression vectorielle des lois de Descartes , (U0U1 = 2N.cos(i) avec cos(i) = U0.N) permet d'obtenir le vecteur unitaire U1 du rayon réfléchi dont l'équation paramètrique est donc x = U1x.t + x1 ; y = U1y.t + y1.
On procède ensuite de proche en proche.

Utilisation
Les boutons radio permettent de selectionner un ou deux points sources.
Les sliders permettent de faire varier la distance focale des miroirs et leur position relative.
Pour chaque point source, on trace trois rayons qui convergent vers un même point image.
On peut constater que le système donne une image facilement visible quand la distance focale est égale à c (distance entre les sommets des miroirs).
Le sommet des chaque miroirs est confondu avec le foyer de l'autre. Le grandissement est alors γ = −1.


Exemple de mirascope commercial