Lame cristalline entre polariseurs


Toute lame cristalline biréfrigente à face parallèle possède deux directions D et D' orthogonales qui transmettent une rectiligne selon une rectiligne : ce sont les lignes neutres de cette lame. Toute section de l'indicatrice des indices (ellipsoïde) par un plan d'onde est une ellipse dont les axes sont les lignes neutres.
Dans le cas général, les vitesses de propagation selon les deux axes sont différentes. L'axe qui correspond au plus grand indice est l'axe lent et l'autre l'axe rapide. Comme les vibrations selon D et D' se propagent avec des vitesses différentes elles sont déphasées après la traversée de la lame.

Lame cristalline entre deux polariseurs.
On éclaire en lumière monochromatique une lame cristalline à faces parallèles placée entre deux polariseurs.
Les lignes neutres de la lame sont Ox et Oy. Les directions OP et OA font avec Ox les angles α et β.
A la sortie du polariseur, on a une rectiligne s = a.cos(ωt).
Ses composantes sur les axes de la lame sont : x = a.cos(α).cos(ωt)  et y = a.sin(α).cos(ωt)
La lame introduit un déphasage φ.
Après la lame on obtient (sauf cas particuliers) une vibration elliptique : x = a.cos(α).cos(ωt)  et y = a.sin(α).cos(ωt − φ).
Si l'on parcourt l'ellipse dans le sens des aiguilles d'une montre, l'ellipse est droite. Elle est gauche dans le cas contraire.
L'analyseur transmet les projections de ces vibrations sur OA. La vibration transmise est la somme des vibrations
-  a.cos(α).cos(β).cos(ωt)  et
-  a.sin(α).sin(β).cos(ωt − φ) = a.sin(α).sin(β).[cos(ωt ).cos(φ) +  sin(ωt ).sin(φ)].
En utilisant les résultats du rappel, vérifier que si I0 est l'intensité incidente, l'intensité transmise est :

 I = I0.[cos2(α + β) + sin(2α).sin(2β).cos2(φ / 2)]

ou  I = I0.[cos2(β − α ) − sin(2α).sin(2β).sin2(φ / 2)]

Cas particuliers :
1)- Polariseur et analyseur parallèles.    L'expression de l'intensité est : I = I0.[cos2(2α ) + sin2(2α).cos2(φ / 2)].
Le contraste est maximum si α = 45°. La valeur de l'intensité est alors I = I0.cos2(φ / 2).

2)- Polariseur et analyseur croisés.   L'expression de l'intensité est : I = I0.[sin2(2α).sin2(φ / 2)].
Le contraste est maximum si α = 45°. La valeur de l'intensité est alors I = I0.sin2(φ / 2).

3)- Lames onde : Déphasage 2k.π = k.λ.
En sortie on obtient une rectiligne identique à l'incidente. (Effacer l'ellipse)

4)- Lame demi-onde : Déphasage k.π = k.λ / 2.
En sortie on obtient une rectiligne symétrique de l'incidente par rapport aux lignes neutres. (Effacer l'ellipse)

5)- Lame quart d'onde. : Déphasage k.π / 2 = k.λ / 4.
En sortie on obtient une vibration elliptique dont les axes sont parallèles aux lignes neutres.

6)- Polariseur à 45 °
L'incidente d'amplitude A se décompose en deux composantes suivant X et Y d"amplitude A / √2.
Les axes de l'ellipse sont a = A.cos (φ / 2) et b = A.sin (φ / 2) et leur rapport e = B / A appelé ellipticité vaut e = tan (φ / 2).
Dans ce cas une lame quart d'onde donne une vibration circulaire en sortie.
L'ellipticité vaut dans ce cas ± 1. (gauche pour e = + 1)

Rappel : Somme de deux vibrations parallèles.
Soient deux vibrations parallèles cohérentes s1 = A.cos(ωt) et s2 = B.sin(ωt). (1)
La résultante est une vibration de même pulsation mais déphasée :
s = a.cos(ωt − φ) = a.cos(ωt).cos( φ) + a.sin(ωt).sin( φ) (2)
En identifiant les membres de (1) et (2), on tire : A = a.cos( φ) et B = a.sin( φ)
et donc a2 = A2 + B2.
On peut retrouver rapidement ces résultats en utilisant la représentation de Fresnel.


Utilisation :
Deux sliders permettent de faire varier l'orientation des polariseurs par  rapport aux lignes neutres de la lame.
Un autre curseur permet de choisir la valeur du déphasage introduit par la lame cristalline (entre 0 et 360°).
Volet gauche :
En haut : Positions relatives des axes de la lame et des polariseurs
En bas : Affichage du rapport entre de l'intensité transmise et l'intensité incidente et un cercle de la teinte observable à la sortie de l'ensemble.
Volet droit :
En rouge : vibrations rectiligne incidente.
En noir : projections de l'incidente sur les lignes neutres de la lame.
En vert : vibration en sortie de la lame. C'est la somme de la rectiligne qui s'est propagée suivant l'axe lent et de celle qui s'est propagée selon l'axe rapide. Seul le déphasage est pris en compte.
En bleu : Tracé de la vibration elliptique résultante.

Examiner plus spécialement les cas particuliers.


La réalisation des lames est délicate. Il est impossible d'utiliser des matériaux présentant un grand écart entre les indices lent et rapide car l'épaisseur des lames est alors trop faible.
Les lames sont réalisées par clivage (mica), polissage, en polymères étirés ou en superposant plusieurs lames cristallines dont les axes sont croisés : pour deux lames l'épaisseur de la lame résultante est égale à la différence des épaisseurs.