Table des matières

Cours X. Faisceaux homotopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Correspondances finies à homotopie près . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Relation d’homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Groupe de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Le théorème de Suslin-Voevodsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4. Construction de correspondances à homotopie près . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Faisceaux homotopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2. Faisceau homotopique associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

COURS X FAISCEAUX HOMOTOPIQUES

1. Correspondances finies à homotopie près

1.1. Relation d’homotopie. — Fixons un schéma régulier S.

Définition X.1. — Considérons deux S-correspondances finies α, β : X•→ Y. Notons s_{0} (resp. s_{1}) la section nulle (resp. unité) X → 𝔸_{X}^{1} du X-schéma en anneaux 𝔸_{X}^{1}.

On dit que α est homotope à β s’il existe une S-correspondances finie H : 𝔸_{X}^{1}•→ Y tel que H ∘ s_{0} = α, H ∘ s_{1} = β. On note encore α ∼_{h} β et on dit que H est une homotopie de α vers β.

Lemme X.1. — 1. Considérons deux S-correspondances finies α, β : X•→ Y telles que α ∼_{h} β.

(a) (−α) ∼_{h} (−β).

(b) Pour toute S-correspondance γ : X•→ Y, α + γ ∼_{h} β + γ.

(c) Pour toute S-correspondance γ : Y → Y′, γ ∘ α ∼_{h} γ ∘ β.

(d) Pour toute S-correspondance γ : X′ → X, α ∘ γ ∼_{h} β ∘ γ.

(e) Pour toute S-correspondance γ : X′ → Y′, α ⊗_{S}^{tr} γ ∼_{h} β ⊗_{S}^{tr} γ.

2. La relation ∼_{h} est une relation d’équivalence.

Démonstration. — Considérons l’ensemble de propriétés du point 1 et notons H : 𝔸_{X}^{1}•→ Y une homotopie de α vers β. Alors, dans chacun des cas considérés, les homotopies attendues sont données par les formules suivantes :

1.(a) −H

1.(b) H + γ ∘ p

1.(c) γ ∘ H.

1.(d) H ∘ (1_{𝔸_{S}^{1}} ⊗_{S}^{tr} γ).

1.(e) H ⊗_{S}^{tr} γ.

Il en résulte que α ∼_{h} β si et seulement si (α − β) ∼_{h} 0. Le point 2 suit alors facilement.

Il en résulte que les classes d’équivalences de S-correspondances finies pour la relation d’homotopie forment un groupe et que la loi de composition se factorise par cette relation d’équivalence.

Définition X.2. — Pour des schémas X, Y dans ℒ_{S}, on note π_{S}(X, Y) le groupe des Scorrespondances finies modulo homotopie. On note πℒ_{S}^{cor} la catégorie ayant mêmes objets que ℒ_{S} avec pour morphismes de X vers Y le groupe π_{S}(X, Y).

Notons que la catégorie πℒ_{S}^{cor} est additive et, d’après 1.(e) dans le lemme précédent, monoïdale symétrique telle que le foncteur plein canonique

ℒ_{S}^{cor} → πℒ_{S}^{cor}

est additif monoïdal symétrique.

Par ailleurs, si Σ est un schéma régulier, pour un morphisme f : T → S dans ℒ_{Σ} (resp. lisse séparé de type fini) le foncteur f^{∗} : ℒ_{S}^{cor} → ℒ_{T}^{cor} (resp. f_{♯} : ℒ_{T}^{cor} → ℒ_{S}^{cor}) introduit dans la définition VI.7 (resp. VI.6) induit un unique foncteur

(X.1)  f^{∗} : πℒ_{S}^{cor} → πℒ_{T}^{cor}
(X.2)  f_{♯} : πℒ_{T}^{cor} → πℒ_{S}^{cor}.

1.2. Groupe de Picard. —

X.1.2.a. — Considérons un schéma X ainsi que le site de Zariski X_{Zar} qui lui est associé dans l’exemple VIII.5.

On note 𝒜b_{X} la catégorie des faisceaux abéliens sur X_{Zar} (voir paragraphe VIII.5.0.r). Rappelons que d’après la proposition VIII.9, c’est une catégorie abélienne de Grothendieck, monoïdale symétrique fermée.

Si F est un pré-faisceau d’ensembles (resp. abélien) sur X_{Zar} et x un point de X, on définit sa fibre au point x comme l’ensemble :

F_{x} = \underrightarrow{lim}_{V ∈V(x)} F (V)

(voir aussi le paragraphe II.1.2.f). Rappelons que le foncteur Φ_{x} : F ↦ F_{x} est exact sur la catégorie des faisceaux (resp. abélien) sur X_{Zar} et que la famille de ces fonteurs pour x un point de X est conservative (même démonstration que pour la proposition IX.6). Notons par ailleurs que Φ_{x} est monoïdal.

Remarque X.1. — Concernant la fonctorialité, les catégories 𝒜b_{X} possèdent des propriétés analogues à celles déjà vues pour les faisceau Nisnevich sur ℒ_{S}.

Plus précisément, pour tout morphisme de schémas f : Y → X, on définit une adjonction de catégories abéliennes :

f^{−1} : 𝒜b_{X} ⇆ 𝒜b_{Y} : f_{∗}

telle que pour tout faisceau E sur X_{Zar}, et tout ouvert V de Y, f_{∗}(E)(V) = E(V ×_{X} Y). Le foncteur f^{−1} est monoïdal.

On a par ailleurs un morphisme de restriction : pour toute immersion ouverte j : U → X, on obtient une adjonction de catégories abéliennes :

j_{!} : 𝒜b_{U} → 𝒜b_{X} : j^{∗}.

X.1.2.b. — Considérons à nouveau un schéma X. Le faisceau d’anneaux O_{X} sur X_{Zar} peut-être vu comme un monoïde de la catégorie monoïdale 𝒜b_{X} : on définit un O_{X}-module comme un faisceau abélien E sur X_{Zar} munit d’une action de O_{X} : O_{X} ⊗ E → E. Il revient au même de demander que pour tout ouvert U ⊂ X, E(U) est un O_{X}(U)-module, de façon naturelle en U. On note O_{X} −mod la catégorie des O_{X}-modules. Comme dans le cas des modules sur un anneau, on obtient une adjonction de catégories

L : 𝒜b_{X} ⇆ O_{X} −mod : o

où o est le foncteur d’oubli. Le foncteur L est exact. On en déduit formellement que la catégorie O_{X} −mod est abélienne de Grothendieck.

Considérons les notations de la remarque X.1. Pour tout morphisme de schémas f : Y → X, on dipose de morphismes d’anneaux canoniques

f^{−1}(O_{X}) → O_{Y} ,
O_{X} → f_{∗}(O_{Y}).

Si E est un O_{X}-module, f^{−1}(E) est un f^{−1}(O_{X})-module et on pose : f^{∗}(E) = f^{−1}(E)⊗_{f^{−1}(O_{X})}O_{X}.

Si F est un O_{Y} -module, f_{∗}(F) est un f_{∗}(O_{Y})-module et donc, par restriction des scalaires, un O_{X}-module que l’on note encore f_{∗}(F).

On a ainsi définit une adjonction de catégories abéliennes :

(X.3)  f^{∗} : O_{X} −mod ⇆ O_{Y} −mod : f_{∗}.

Notons que le morphisme f^{∗} est par définition monoïdal symétrique. Dans le cas où f = j : U → X est une immersion ouverte, j^{∗}(E) = E|_{U} est simplement la restriction de E à U_{Zar} (cf. paragraphe II.1.3.a).

Définition X.3. — Soit E un O_{X}-module.

1. On dit que E est libre s’il est isomorphe O_{X}^{n} pour un entier n > 0. Si X est non vide, l’entier n est est alors uniquement déterminé. On l’appelle le rang de E.

2. On dit que E est localement libre si pour tout point x de X, il existe un ouvert U ⊂ X tel que E|_{U} est libre. On note alors rg_{x}(E) le rang de E|_{U}.

3. On dit que E est inversible s’il est localement libre de rang 1 en tout point de X.

Les modules libres (resp. localement libres, inversibles) sont stables par le foncteur f^{∗}.^{(1)}

X.1.2.c. — Comme O_{X} est un monoïde commutatif de la catégorie 𝒜b_{X}, la catégorie O_{X}−mod est monoïdale symétrique. On note ⊗_{O_{X}} sont produit tensoriel. Notons enfin que pour tous O_{X}- modules E et F, le préfaisceau

U ↦ Hom_{O_{X}|_{U}} (E|_{U}, F|_{U})

est un faisceau qui porte une structure naturelle de O_{X}-module. On vérifie facilement que le bifoncteur \underline{Hom}_{O_{X}} ainsi définit est l’adjoint à droite du bifoncteur ⊗_{O_{X}}.

Si E est un O_{X}-module, on pose E^{∨} := \underline{Hom}(E, O_{X}) en utilisant le Hom interne de la catégorie O_{X} −mod. On dispose donc d’un morphisme d’adjonction canonique :

(X.4)  E ⊗_{O_{X}} E^{∨} → O_{X}.

Proposition X.2. — Supposons que E est localement libre. Alors, les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) E est un O_{X}-module inversible.

(ii) Le morphisme (X.4) est un isomorphisme.

Démonstration. — Calculant la fibre de (X.4) en un point x ∈ X, on est ramené au cas des O_{X,x}-modules qui est trivial.

Remarque X.2. — On peut aussi montrer par le même raisonnement que si E est localement libre de rang fini (en tout point de X), alors E est fortement dualisable dans O_{X} −mod avec pour dual fort E^{∨} (voir définition VI.5).

(1)Cela résulte simplement de la relation f^{∗}g^{∗} = (gf)^{∗}.

X.1.2.d. — Notons que les O_{X}-modules inversibles sont trivialement stables par produit tensoriel. La proposition précédente montre que l’ensembles des classes d’isomorphies de O_{X}-modules inversibles forment un groupe Pic(X) dont la loi est engendrée par ⊗_{O_{X}}.

Définition X.4. — On appelle Pic(X) le groupe de Picard de X.

Pour tout morphisme de schémas f : Y → X, les O_{X}-modules inversibles sont stables par le foncteur de changement de base f^{∗}. On en déduit un morphisme canonique de groupes abéliens :

(X.5)  Pic(X) → Pic(Y), [L] ↦ [f^{∗}(L)].

Exemple X.1. — Soit A un anneau, X = Spec(A). On note M̃ le faisceau associé au préfaisceau :

U ↦ M ⊗_{A} O_{X}(U).

D’après cette définition, M̃ est un O_{X}-module. Il est évident que Ã = O_{X}. Par ailleurs, le foncteur

A−mod → O_{X} −mod, M ↦ M̃.

est monoïdal. Généralisant la proposition II.5, on obtient de plus que ce foncteur est une équivalence de catégories (voir [EGA1, 1.3.8, 1.4.2]).

Il en résulte que le groupe de Picard de X est isomorphe à l’ensembles des classes d’isomorphies de A-modules projectifs de type fini de rang 1 (d’après la proposition IV.12, M est projectif de type fini si et seulement si M̃ est localement libre de rang fini).

Rappelons qu’un schéma X est dit semi-local s’il n’a qu’un nombre fini de points fermés. Alors X est nécessairement un schéma affine, spectre d’un anneau semi-local A. L’exemple précédent donen facilement le résultat suivant :

Corollaire X.2.1. — Soit X un schéma semi-local. Alors, Pic(X) = 0.

Démonstration. — D’après l’exemple précédent, il s’agit de montrer que tout A-module M projectif de type fini localement libre de rang 1 est libre. Soit M un tel A-module.

Soit (𝔪_{i})_{i∈I} la famille finie des idéaux maximaux de A et 𝔞 = ∩_{i∈I}𝔪_{i} le radical de Jacobson de A. On pose k_{i} = A/𝔪_{i}.

Pour tout i ∈ I, M_{𝔪_{i}} est un A_{𝔪_{i}}-module libre de rang 1. Il existe donc un élément x_{i} ∈ M tel que x_{i} est non nul dans M ⊗_{A} k_{i}.

Appliquant le théorème du reste Chinois à l’anneau A/𝔞, pour tout i ∈ I, il existe un élément λ_{i} ∈ A tel que pour tout j ∈ I, la classe λ̄_{i} dans k_{j} vérifie :

λ̄_{i} = \begin{cases}1 & si i = j, \\ 0 & sinon. \end{cases}

On pose x = ∑_{i∈I} λ_{i}.x_{i}. Il en résulte que pour tout i ∈ I, la classe de x dans M ⊗_{A} k_{i} est non nulle ; c’est donc une base de ce k_{i}-espace vectoriel qui est par hypothèse de dimension 1.

Considérons maintenant le morphisme φ : A → M, λ ↦ λ.x et montrons que c’est un isomorphisme. D’après le lemme de Nakayama et la propriété précédente de x, ce morphisme est surjectif. Notant N son noyau, il reste à montrer que N = 0.

Le A-module M étant projectif, la suite exacte des Tor suivante :

… → Tor_{1}^{A}(M, A/𝔞) → N ⊗_{A} A/𝔞 → A/𝔞 ⟶^{φ⊗_{A}A/𝔞} M ⊗_{A} A/𝔞 → 0

montre que N ⊗_{A} A/𝔞 = 0 et le lemme de Nakayama permet de conclure.

On dit qu’un schéma intègre noethérien X est localement factoriel si pour tout point x ∈ X, l’anneau local O_{X,x} est factoriel.^{(2)} Ainsi, tout schéma régulier est localement factoriel. Rappelons le théorème suivant :

Théorème X.3. — Soit X un schéma noethérien normal.

Alors, il existe un morphisme canonique

Pic(X) → CH^{1}(X)

naturel en X par rapport aux morphismes plats.^{(3)} Si X est localement factoriel, c’est un isomorphisme.

Pour ce théorème, on réfère le lecteur à [21.6.10, EGA4] (ou pour une référence plus accessible : [Har77, 6.16]).

Remarque X.3. — La construction de cet isomorphisme utilise la notion intermédiaire de diviseurs de Cartier qui permet de donner une description plus intrinsèque du morphisme (II.26) – plus proche de la notion de diviseur dans le cas affine.

Exemple X.2. — Soit A un anneau noethérien intègre factoriel. Alors, pour tout ouvert U de Spec(A), Pic(U) = 0.

Cela résulte du théorème précédent, de l’exemple II.22 et du fait que le morphisme canonique j^{∗} : CH^{1}(X) → CH^{1}(U) est surjectif.

1.3. Le théorème de Suslin-Voevodsky. —

X.1.3.a. — Rappelons qu’une paire fermée est un couple (X, Z) formée d’un schéma X et d’un sous-schéma fermé Z. Considérons une telle paire fermée (voir paragraphe VII.2.2.a).

Pour un O_{X}-module inversible, on pose par commodité : L|_{Z} = i^{∗}(L) où i : Z → X est l’immersion fermée structurale. Une trivialisation de L au-dessus de Z est un isomorphisme s : O_{X}|_{Z} → L|_{Z}.

Les couples (L, s) formés d’un O_{X}-module inversible L et d’une trivialisation s de L sur Z forment une sous-catégorie de la catégorie des O_{X}-modules avec pour flèches les morphismes O_{X}- linéaire φ : L′ → L tel que le diagramme suivant est commutatif :

\xymatrix{ & O_{X}|_{Z} \ar@{-->}[dr]^{s′} \ar@{-->}[dl]_{s} \\ L|_{Z} \ar[rr]^{φ|_{Z}} &  & L′|_{Z}.}

On note Pic_{X,Z} cette catégorie.

Si L (resp. L′) est un O_{X}-module inversible munit d’une trivialisation s (resp. s′) sur U, le morphisme s ⊗_{O_{X}} s′ est une trivialisation de L ⊗_{O_{X}} L′ au-dessus de Z.

Définition X.5. — Soit (X, Z) une paire fermée, U = X − Z. On définit le groupe de Picard relatif Pic(X, Z) comme l’ensemble des classes d’isomorphismes de la catégorie Pic_{X,Z} muni de la loi de groupe induite par ⊗_{O_{X}}.

On obtient par construction un morphisme de groupes abéliens :

(X.6)  Pic(X, Z) → Pic(X).

Plus généralement, si Z′ ⊂ Z est un sous-schéma fermé, on obtient un morphisme de groupes abéliens :

(X.7)  Pic(X, Z) → Pic(X, Z′), [(L, s)] ↦ [(L, s|_{Z′})].

(2)i.e. dans O_{X,x}, tout idéal premier de de hauteur 1 est principal.

(3)En considérant la fonctionrialité de (X.5) et de la définition II.26.

Si f : Y → X est un morphisme de schémas, T = f^{−1}(Z), on définit un morphisme de groupes abéliens

f^{∗} : Pic(X, Z) → Pic(Y, T), [(L, s)] ↦ [(f^{∗}L, f^{∗}s)].

Le morphisme (X.7) est naturel vis à vis de cette fontorialité.

Définition X.6. — Soit f : X → S un morphisme séparé de type fini.

Une compactification de f est une factorisation

X ⟶^{j} X̄ ⟶^{f̄} S

de f telle que j est une immersion ouverte et f̄ un morphisme propre.

De manière abrégée, on dit encore que X̄/S est une compactification de X/S. On identifie X à un ouvert de X̄ et on note X_{∞} le fermé complémentaire, munit de sa structure réduite. On appelle X_{∞} le lieu à l’infini de la compactification X̄/S.

Remarque X.4. — Le théorème de Nagata affirme que si S est noethérien, tout S-schéma séparé de type fini admet une compactification (cf. [Con07]).

X.1.3.b. — Considérons un schéma affine régulier S. On dit qu’un schéma X est quasi-affine si c’est un ouvert d’un schéma affine. Pour abréger, on dit qu’un S-schéma X est une courbe (relative) s’il est de type fini et ses fibres sont de dimension 1.

Définition X.7. — Soit X/S une courbe quasi-affine lisse. Une bonne compactification de X/S est une compactification X̄/S telle que :

1. X̄/S est une courbe.

2. X̄ est normal.

3. Il existe un ouvert V de X̄ tel que V est affine sur S et X_{∞} ⊂ V.

Remarque X.5. — Ces hypothèses impliquent en particulier que X_{∞} est un schéma affine et propre sur S. Il en résulte que X_{∞} est fini sur S (cf. [4.4.2, EGA3]).

X.1.3.c. — Considérons les hypothèses de la définition et supposons donnée une bonne compactification X̄/S de X/S.

Lemme X.4. — Tout sous-schéma fermé Z de X qui est fini et pseudo-dominant sur S est de codimension pure égale à 1 dans X.

Démonstration. — On raisonne sur les composantes irréductibles de Z et l’on peut donc supposer que Z est irréductible. Soit x son point générique et s son image dans S.

Notons k et E les corps résiduels respectifs de s et x. On note X_{s} = X ×_{S} Spec(k) la fibre de X au-dessus de s. Comme le morphisme canonique Z → S est fini, Z_{s} = Z ×_{S} Spec(k) = Spec(E).

Par hypothèse, s est un point générique de S. Il en résulte que la codimension de Z dans X est égale à la codimension de Z_{s} dans X_{s}. Par hypothèse, X_{s} est un κ(s)-schéma de type fini de dimension 1. Comme Z_{s} est un point fermé de X_{s}, la conclusion en résulte (cf. théorème II.8).

Soit Y un schéma affine dans ℒ_{S}. Alors, Y ×_{S} X̄/Y est une bonne compactification de Y ×_{S} X/Y. D’après le lemme précédent, toute correspondance finie α ∈ c_{S} (Y, X) est un cycle 1-codimensionnel dans Y ×_{S} X. Comme X est un ouvert de X̄, il en résulte que son image directe par le morphisme Y ×_{S} X → Y ×_{S} X̄ est encore 1-codimensionnel. On peut finalement considérer sa classe dans le groupe de Chow ce qui nous donne un morphisme canonique :

c_{S} (Y, X) → CH^{1}(Y X̄).^{(4)}

(4)On a supprimé le symbole ×_{S} pour alléger les notations.

Théorème X.5. — Considérant les notations introduites précédemment, il existe un unique morphisme pointillé rendant le diagramme suivant commutatif :

\xymatrix{c_{S} (Y, X) \ar[r]^{(1)} \ar@{-->}[d] & CH^{1}(Y X̄) \\ Pic(Y X̄, Y X_{∞}) \ar[r]^{(2)} & Pic(Y X̄) \ar[u]_{(3)}}

dans lequel la flèche (1) est celle qui vient d’être définie, la flèche (2) (resp. (3)) est donnée par (X.7) (resp. le théorème X.3).

Cette flèche pointillée se factorise par la relation d’homotopie et induit un isomorphisme :

(X.8)  π_{S}(Y, X) → Pic(Y X̄, Y X_{∞}).

est un isomorphisme.

On réfère le lecteur au théorème 3.1 de [SV96].

Remarque X.6. — D’après l’assertion d’unicité dans le théorème précédent, l’isomorphisme (X.8) est naturel en Y par rapport aux morphismes plats.^{(5)}

Remarque X.7. — Considérons une immersion ouverte j : U → X. Alors, U/S est encore une courbe quasi-affine lisse. Si Z ⊔ X_{∞} admet un voisinage ouvert affine dans X̄, X̄/S est une bonne compactification de U/S. Dans cette situation, on peut ajouter au théorème précédent que le diagramme suivant est commutatif :

\xymatrix{π_{S}(Y, U) \ar[r] \ar[d]_{j_{∗}} & Pic(Y X̄, Y X_{∞} ⊔ Y Z) \ar[d] \\ π_{S}(Y, X) \ar[r] & Pic(Y X̄, Y X_{∞})}

dans lequel la flèche verticale droite est celle de (X.7).

1.4. Construction de correspondances à homotopie près. — La première application nous permet de construire des sections locales de certaines immersions ouvertes.

Proposition X.6. — Considérons la situation de la remarque X.7 pour une immersion ouverte j : U → X d’image dense.

Alors, pour tout point x ∈ X, il existe un voisinage ouvert V de x dans X et un élément α ∈ c_{S} (U, V) qui fait commuter le diagramme suivant à homotopie près :

\xymatrix{ & V \ar[dl]_{α} \ar@{^{(}->}[d]_{•} \\ U \ar[r]_{j} & X.}

Démonstration. — L’affirmation étant locale en X, et U étant dense, on peut supposer que X est affine. D’après l’isomorphisme (X.8), l’identité de X correspond à un élément (L, s) de Pic(XX̄, XX_{∞}). Soit Z le fermé complémentaire de U dans X. Puisque X̄/S est une bonne compactification de U/S, Z/S est fini (voir la remarque X.5).

Considérons le schéma local X_{(x)} = Spec(O_{X,x}). Le morphisme induit a : X_{(x)} ×_{S} Z → X_{(x)} est fini. Ainsi, l’ensembles des points fermés de X_{(x)} ×_{S} Z est égal à la fibre de a au-dessus de l’unique point fermé x de X_{(x)}. Comme a est fini, cette fibre est finie et X_{(x)} ×_{S} Z est semi-local. Il en résulte que Pic(X_{(x)} ×_{S} Z) = 0 (c.f. corollaire X.2.1).

(5)On peut voir qu’il est naturel par rapport à tous les morphismes de ℒ_{S} mais on n’utilisera pas ce résultat.

Appliquant cela à la restriction de L au schéma X_{(x)} ×_{S} Z, on en déduit^{(6)} qu’il existe un voisinage ouvert affine V de x dans X tel que L|_{V Z} admet une trivialisation s′.

On peut alors considérer la classe de (L|_{V X̄}, s_{V X̄} ⊕ s′) dans Pic(V X̄, V X_{∞} ⊔ V Z). Notons α : V •→ U la correspondance finie qui lui correpond par l’isomorphisme (X.8).

Notons que d’après la remarque X.6, la classe de (L|_{V X̄}, s_{V X̄}) dans Pic(V X̄, V X_{∞}) correspond au morphisme j par (X.8). La commutativité du diagramme de l’énoncé résulte donc de la remarque X.7.

X.1.4.a. — Considérons un corps k. Notons que dans la proposition précédente, si S est un kschéma (affine) lisse de morphisme structural p : S → Spec(k), on obtient en appliquant le foncteur p_{♯} un diagramme commutatif dans πℒ_{k}^{cor}. En utilisant l’existence de bonnes compactifications au voisinage d’un point d’un k-schéma affine lisse, on en déduit le résultat suivant :

Proposition X.7. — Pour tout k-schéma lisse séparé de type fini et tout ouvert dense j : U ⊂ X, il existe un recouvrement ouvert p : W → X et une S-correspondance finie α : W → U tels que le diagramme suivant commute à homotopie près :

\xymatrix{ & W \ar[dl]_{α} \ar[d]_{•}^{p} \\ U \ar[r]_{j} & X.}

Pour plus de détails, on renvoie le lecteur à [Dég07, 4.3.22]

Citons encore l’application suivante du théorème précédent :

Proposition X.8. — Soit C/k une courbe affine lisse satisfaisant la condition suivante :

(N) Pour toute extension finie L/k, Pic(C ×_{k} Spec(L)) = 0.

Alors, pour tout carré Nisnevich distingué de schémas affines

\xymatrix{W \ar[r]^{l} \ar[d]_{h} & V \ar[d]^{p} \\ U \ar[r]^{j} & C}

le complexe suivant

[W] \underrightarrow{(\begin{matrix}h \\ −l \end{matrix})} [U] ⊕ [V] ⟶^{(j,p)} [C]

est contracile dans la catégorie additive πℒ_{k}^{cor}.

Pour ce théorème, on réfère le lecteur à [Dég07, 4.3.24].

2. Faisceaux homotopiques

Dans cette section on fixe un corps parfait k. Tous les k-schémas considérés sont séparés de type fini sauf mention explicite du contraire.

(6)En effet, Pic(X_{(x)} ×_{S} Z) = \underrightarrow{lim}_{V ⊂X} Pic(V ×_{S} Z) où V parcourt les voisinages ouverts affines de x dans X.

2.1. Définition. —

Définition X.8. — Un faisceau ( resp. préfaisceau) homotopique F est un faisceau (resp. préfaisceau) avec transferts qui est invariant par homotopie (cf. définition IX.12).

On note H𝒩_{k}^{tr} (resp. H𝒫_{k}^{tr}) la sous-catégorie pleine de 𝒩_{k}^{tr} (resp. 𝒫_{k}^{tr}) formée des faisceaux (resp. préfaisceaux) homotopiques.

Il en résulte que F induit un unique préfaisceau

F : (πℒ_{k}^{cor})^{op} → 𝒜b

Joint à la proposition X.7, ce fait implique facilement le résultat suivant :

Proposition X.9. — Soit X un k-schéma lisse et j : U → X une immersion ouvert d’image dense. Soit P un pré-faisceau homotopique sur k et F le faisceau Nisnevich (resp. Zariski) sur ℒ_{k} qui lui est associé.

Alors, le morphisme j^{∗} : F (X) → F (U) est un monomorphisme.

X.2.1.a. — Une extension de corps E/k transcendante de degré fini sera simplement appelé un corps de fonctions. Considérons l’ensemble M(E/k) des sous-k-algèbres A ⊂ E telles que Spec(A) est lisse de type fini sur k, ordonné par inclusion. Comme k est parfait, cet ensemble est non vide et filtrant. On associe donc à E/k un pro-schéma :

(E) = (Spec(A))_{A∈M(E/k)^{op}}.

Pour un faisceau avec transferts F sur k, on pose comme dans la définition IX.5 :

F (E) = \underrightarrow{lim}_{A∈M(E/k)} F (Spec(A)).

Considérons une k-algèbre A ∈ M(E/k). Alors, le schéma X = Spec(A) est intègre de corps des fonctions égal à E. Si x désigne son point générique, on obtient facilement un isomorphisme canonique

F (E) = F (X_{(x)}^{h})

en utilisant les notations de la définition IX.5. Il en résulte que le foncteur

𝒩_{k}^{tr} → 𝒜b, F ↦ F (E)

est un foncteur exact qui commute aux sommes infinies (i.e. un foncteur fibre). On déduit de la proposition précédente le corollaire suivant :

Corollaire X.9.1. — La famille des foncteurs

H𝒩_{k}^{tr} → 𝒜b, F ↦ F (E)

indexée par les corps de fonctions E est conservative.

Démonstration. — En effet, la proposition implique que si X est un k-schéma lisse connexe de corps des fonctions E, le morphisme canonique F (X) → F (E) est un monomorphisme. Le corollaire en résulte facilement.

2.2. Faisceau homotopique associé. —

X.2.2.a. — Considérons un pré-faisceau F sur ℒ_{k}. Soit X un k-schéma lisse et p : W → X un recouvrement Nisnevich. Considérons les notations du paragraphe IX.2.2.b. On définit le complexe de Čech Č_{∗}(W/X, F) de W/X à coefficients dans F en appliquant F termes à termes au schéma simplicial W_{X}^{•} :

… 0 → F (X) ⟶^{p^{∗}} F (W) → F (W ×_{X} W) → …

Ce complexe est naturel par rapport aux recouvrements Nisnevich. La cohomologie Nisnevich à la Čech Ȟ^{∗}(X, F) de X à coefficients dans F est obtenue en prenant la limite inductive de la cohomologie de ces complexes pour U/X parcourant la catégorie des recouvrements Nisnevich de X.

On déduit de la proposition X.8 le théorème suivant.

Théorème X.10. — Soit F un préfaisceau homotopique et F_{Nis} le faisceau Nisnevich sur ℒ_{k} qui lui est associé.

Alors, pour toute courbe affine lisse C/k satisfaisant la propriété (N) de la proposition X.8 et pour tout entier i ≥ 0,

Ȟ_{Nis}^{i}(C, F_{Nis}) = \begin{cases}F (C) & si i = 0, \\ 0 & sinon. \end{cases}

Remarque X.8. — Pour un entier i ≥ 0, on a toujours Ȟ_{Nis}^{i}(C, F_{Nis}) = H^{i}(C, F_{Nis}) (voir [MV99, 1.9, p. 99]).

On en déduit le corollaire suivant :

Corollaire X.10.1. — Avec les hypothèses et notations du théorème précédent, le faisceau F_{Nis} est invariant par homotopie.

Démonstration. — Il suffit de montrer que pour tout k-schéma lisse X, le morphisme s^{∗} : F_{Nis}(𝔸_{X}^{1}) → F_{Nis}(X) induit par la section nulle de 𝔸_{X}^{1}/X est un monomorphisme.

D’après la proposition X.9, pour tout ouvert dense U d’un k-schéma lisse X, F_{Nis}(𝔸_{X}^{1}) → F_{Nis}(𝔸_{U}^{1}) est un monomorphisme. On peut donc remplacer X par nimporte quel ouvert dense U.

Supposons X connexe de corps des fonctions E. Considérant le pro-schéma (𝔸_{E}^{1}) = 𝔸_{k}^{1} ×_{k} (E) avec les notations du paragraphe X.2.1.a, il suffit donc de montrer que le morphisme obtenu par limite inductive

F_{Nis}(𝔸_{E}^{1}) → F_{Nis}(E)

est un monomorphisme. Par changement de base, on se ramène au cas d’un préfaisceau homotopique sur Spec(E) et cela résulte du théorème précédent.

Ainsi le faisceau F_{Nis}, muni des transferts canoniques obtenus dans le corollaire IX.12.2, est un faisceau homotopique.

Corollaire X.10.2. — Le foncteur a_{tr} : 𝒫_{k}^{tr} → 𝒩_{k}^{tr} induit un foncteur exact H𝒫_{k}^{tr} → H𝒩_{k}^{tr} qui est adjoint à gauche du foncteur d’oubli H𝒩_{k}^{tr} → H𝒫_{k}^{tr}.

X.2.2.b. — Il résulte de ce corollaire que le foncteur d’inclusion ν : H𝒩_{k}^{tr} → 𝒩_{k}^{tr} est exact et commute aux sommes infinies.

Si F est un faisceau avec transferts, le préfaisceau avec transferts suivant

X ↦ coKer(F (X) ⟶^{s_{0}^{∗}−s_{1}^{∗}} F (𝔸_{X}^{1}))

est invariant par homotopie. On note h_{0}(F) le faisceau homotopique qui lui est associé d’après le corollaire précédent. On vérifie facilement que h_{0} est adjoint à gauche du foncteur d’inclusion ν.

Si X est un k-schéma lisse, on pose h_{0}(X) = h_{0}(ℤ_{k}^{tr}(X)). On a ainsi définit un foncteur canonique

h_{0} : πℒ_{k}^{cor} → H𝒩_{k}^{tr}.

Corollaire X.10.3. — La catégorie H𝒩_{k}^{tr} est abélienne de Grothendieck avec pour générateurs les faisceaux homotopiques h_{0}(X) pour un k-schéma lisse X.

Elle admet une unique structure monoïdale symétrique fermée telle que le foncteur h_{0} est monoïdal symétrique.

Références

[Con07] B. Conrad – « Deligne’s notes on Nagata compactifications », J. Ramanujan Math. Soc. 22 (2007), no. 3, p. 205–257.

[Dég07] F. Déglise – « Correspondences and transfers », Algebraic cycles and motives (J. Nagel &

P. Chris, éds.), Cambridge university press, April 2007.

[Har77] R. Hartshorne – Algebraic geometry, Springer-Verlag, New York, 1977, Graduate Texts in Mathematics, No. 52.

[MV99] F. Morel & V. Voevodsky – « A^{1}-homotopy theory of schemes », Publ. Math. IHES 90 (1999), p. 45–143.

[SV96] A. Suslin & V. Voevodsky – « Singular homology of abstract algebraic varieties », Invent. Math. 123 (1996), no. 1, p. 61–94.

2009-2010 Frédéric Déglise, CNRS, LAGA (UMR 7539), Institut Galilée, Université Paris 13, 99 avenue Jean-Baptiste

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