Table des matières

Cours XI. Arithmétique des variétés abéliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 XI.1. Variétés abéliennes (cas d’un corps de base) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

XI.1.a. Projectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 XI.1.b. Module de Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 XI.2. Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 XI.2.a. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 XI.2.b. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 XI.2.c. Bidualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 XI.2.d. Le cas d’un corps de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

XI.3. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 XI.3.a. Quelques résultats fondamentaux supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . 8 XI.3.b. Motifs et schémas abéliens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

COURS XI

ARITHMÉTIQUE DES VARIÉTÉS ABÉLIENNES

XI.1. Variétés abéliennes (cas d’un corps de base)

XI.1.a. Projectivité. —

XI.1.1. — Soit k un corps et A un k-schéma abélien.^{(1)}

Le théorème suivant s’énonce dans le langage des diviseurs (algébriques). Ce point de vue est équivalent à celui des faisceaux inversibles compte tenu de l’isomorphisme du théorème IV.5.9 :

L : CH^{1}(A) → Pic(A).

Si D est un diviseur algébrique sur A, et a un point rationnel de A/k, on pose : D_{a} := T_{a}^{∗}(D) avec les notations du paragraphe X.1.19. D’après le théorème du carré et la définition qui le suit, on peut donc associer à D un morphisme de groupes abéliens :

Φ_{D} : A(k) → CH^{1}(A), x ↦ D_{x} − D.

Soit D un diviseur algébrique effectif sur A. Rappelons qu’on lui associe suivant la définition V.2.1, un système linéaire dit complet |D|, l’ensemble des diviseurs effectifs rationnellement équivalents à D. D’après le corollaire V.2.6 :

|D| = (Γ(A, L(D)) − {0})/k^{×}.

Si s = (s_{1}, ..., s_{n}) est une famille de sections globales qui engendrent L(D), on peut définir un unique morphisme de k-schémas :

φ : A → ℙ_{k}^{n}

tel que φ^{∗}(O(1)) = L(D) (cf [Har77, 7.1]). De plus, à un automorphisme de ℙ_{k}^{n} près, le morphisme φ ne dépend pas du choix de s. Il ne dépend en fait que du système linéaire complet |D|.

On rappelle les définitions suivantes :

– on dit que D est très ample si φ est une immersion fermée ;

– on dit que D est ample si il existe un entier n > 0 tel que n.D est très ample.

1. Dans le langage de Weil, A correspond à une variété abélienne A définie sur k.

Théorème XI.1.2 (Weil). — Soit A un k-schéma abélien, k̄ une clôture algébrique de k. On pose Ā = A ×_{k} Spec(k̄).

Soit D un diviseur algébrique effectif sur A. On note D̄ l’image inverse de A sur Ā. Alors, les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Ker(ΦD̄) est fini.

(ii) D est ample ;

(iii) 3.D est très ample ;

Il existe sur A un diviseur effectif ample.

Démonstration. — Pour la première assertion, voir [Mum08, Application 1, p. 60].

La deuxième assertion s’en déduit facilement : soit U un voisinage ouvert affine de 0_{A} dans A, et Z le fermé complémentaire muni de sa structure réduite. Il résulte de [EGA4, 21.12.7] que Z est purement de codimension 1 dans A. Ainsi, le cycle associé ⟨Z⟩_{X} – cf définition IV.2.3 – est un diviseur algébrique que l’on note D. Il est bien sûr effectif.

On va montrer que D satisfait la condition (i) de l’énoncé, ce qui permettra de conclure. On considère le morphisme \underline{Φ}D̄ : A → \underline{Pic}_{k}(A). Alors H = Ker(\underline{Φ}D̄) est un sous-schéma fermé de A. Il est donc propre sur k. Comme 0_{A} ∈ U, on en déduit H ⊂ Ū. Comme U est affine, on en déduit que H est affine. Il est donc nécessairement fini, ce qui implique la condition (i).

Corollaire XI.1.3. — Tout k-schéma abélien est projectif.

XI.1.b. Module de Tate. —

Proposition XI.1.4. — Soit k un corps de caractéristique p et A un k-schéma abélien de dimension g.

Pour tout entier n ≠ 0, l’endomorphisme n_{A} : A → A est une isogénie de degré n^{2g}. En particulier elle est séparable (donc étale) si n est premier à p et radicielle si n est une puissance de p.

Démonstration. — D’après le Théorème XI.1.2, on peut trouver un diviseur effectif ample D sur X. Soit L le fibré inversible ample sur X qui lui est associé d’après le théorème IV.5.9.

Quitte à remplacer L par L + (−1)_{A}^{∗}(L), on peut supposer que L est symétrique. Alors, d’après le Corollaire X.1.18, on obtient :

(XI.1)  n_{A}^{∗}(L) = n^{2}.L.

Ainsi, le diviseur n_{A}^{∗}(L) est ample. Soit Z le noyau de n_{A}. La restriction de n_{A}^{∗}(L) à Z est donc trivial. Mais par ailleurs, il est ample ce qui implique que Z est de dimension nulle. On déduit donc du point (iii) de la Proposition X.2.8 que f est une isogénie.

Soit α la classe du diviseur algébrique D dans CH^{1}(A). Notons que d’après l’égalité (XI.1), on obtient dans CH^{∗}(A) : n_{A}^{∗}(α) = n^{2}.α.

Notons que la puissance g-ème de α dans CH^{∗}(A) est un cycle α^{g} de codimension g, autrement dit un 0-cycle. Du fait que n_{A}^{∗} est un morphisme d’anneau, on obtient encore : n_{A}^{∗}(α^{g}) = n^{2g}.α^{g} dans CH_{0}(A).

Si on calcule le degré de ces deux 0-cycles (cf IV.4.8), on obtient l’égalité d’entiers :

deg(n_{A}).g. deg(α) = n^{2g}.g. deg(α),

ce qui entraine le résultat attendu vu que deg(α) > 0.

Remarque XI.1.5. — La proposition précédente se généralise immédiatement au cas d’une base quelconque compte tenu de la Remarque X.2.10.

Plus précisément, pour tout S-schéma abélien A et tout entier n ≠ 0, le morphisme n_{A} est un isogénie telle que deg_{S}(n_{A}) = dim(A/S). En particulier, si n est premier aux caractéristiques résiduelles de S, n_{A} est une isogénie séparable.

Ainsi, pour n ≠ 0, n_{A} est surjectif. D’où :

Corollaire XI.1.6. — Le groupe A(k̄) des points fermés de A est divisible : pour tout point x ∈ A(k̄), et tout entier n > 0, il existe un point y ∈ A(k̄) tel que x = n.y.

On pose pour tout entier n ≠ 0, on pose A_{n} := Ker(n_{A}). D’après ce qui précède c’est un kschéma en groupe. Par définition, A_{n}(k̄) est le sous-groupe de A(k̄) formé des éléments de n-torsion. De plus,

Corollaire XI.1.7. — Si n est premier à la caractéristique de k, A_{n}(k̄) = (ℤ/nℤ)^{2g}.

Démonstration. — D’après la proposition précédente, A_{n}(k̄) est de cardinal égal à n^{2g}. Par ailleurs, pour tout m | n, les éléments de m-torsion de A_{n}(k̄) sont donnés par le sous-groupe A_{m}(k̄), qui a exactement m^{2g} éléments. Il en résulte que A_{n}(k̄) est engendré par 2g éléments distincts d’ordre exactement n ce qui conclut.

Le cas où n est une puissance de p est plus délicat. On se réfère à [Mum08, p. 63, 64].

Proposition XI.1.8. — Soit k un corps de caractéristique p.

Alors, pour tout k-schéma abélien A de dimension g, il existe un entier f vérifiant 0 ≤ i ≤ g et tel que pour tout n > 0,

A_{p^{n}}(k̄) = (ℤ/p^{n}ℤ)^{f}.

Définition XI.1.9. — L’entier f qui apparait dans la proposition précédente s’appelle le p-rang du k-schéma abélien A.

Remarque XI.1.10. — La notion de p-rang est remarquablement stable :

1. Le p-rang d’un k-schéma abélien est invariant par extension de corps.

2. deux k-schémas abéliens isogènes on même p-rang.

3. Si A est un S-schéma abélien, la fonction qui à un point s ∈ S associe le p-rang de A est localement constante sur S.

XI.1.11. — Soit A un k-schéma abélien et l un entier premier.

Alors, la multiplication par l induit une tour de groupes finis :

… → A_{l^{n}}(k̄) ⟶^{l} A_{l^{n−1}}(k̄) → … → A_{l}(k̄)

On note T_{l}(A) la limite projective de cette tour. Il s’agit concrètement des suites (a_{n})_{n>0} de points fermés de A tels que l.a_{n} = a_{n−1} et l.a_{1} = 0. Du fait que A_{l^{n}}(k̄) est un ℤ/l^{n}.ℤ-module, on déduit que T_{l}(A) est un ℤ_{l}-module.

Définition XI.1.12. — Avec les notations qui précèdent, on appelle T_{l}(A) le ℤ_{l}-module de Tate associé à A.

Comme corollaire des calculs obtenus précédemment, on obtient :

Théorème XI.1.13. — Soit k un corps de caractéristique p et l un entier premier. Pour tout k-schéma abélien A de dimension g et de p-rang f, on obtient :

T_{l}(A) = \begin{cases}ℤ_{l}^{2g} & si l ≠ p, \\ ℤ_{p}^{f} & sinon. \end{cases}

Remarque XI.1.14. — La notion de p-rang d’un k-schéma abélien A est fondamentale en arithmétique.

Rappelons en particulier les définition suivantes :

– Un k-schéma abélien A est dit ordinaire si son p-rang est maximal, autrement dit égal à dim(A).

– Une courbe elliptique sur k est dite super-singulière si son p-rang est nul – autrement dit, si elle n’est pas ordinaire.

– Un k-schéma abélien A de dimension g est dit super-singulier s’il existe une courbe elliptique

E sur k̄ tel que A et une isogénie de A dans E^{g} sur k̄. C’est un théorème très profond qu’un k-schéma abélien A est super-singulier si le polygone de Newton qui est associé à sa représentation cristalline est une droite de pente −1/2.

XI.2. Dualité

XI.2.a. Définition. —

XI.2.1. — Soit A et B deux S-schémas abéliens. Rappelons que \underline{Pic}_{S}(B) est un faisceau abélien sur 𝒮ch_{S}. On note Hom_{ℤ}(A, \underline{Pic}_{S}(B)) l’ensemble des morphismes de faisceaux abélien sur 𝒮ch_{S}.^{(2)}

Proposition XI.2.2. — Avec les notations qui précèdent, il existe un isomorphisme canonique de groupes abéliens :

Cor_{S}(A, B) ⟶^{ϵ} Hom_{ℤ}(A, \underline{Pic}_{S}(B)).

Démonstration. — On note e_{A} (resp. e_{B}) la section unité de A/S (resp. B/S) et on pose : s_{A} = e_{A} ×_{S} B (resp. s_{B} = A ×_{S} e_{B}).

Par définition, et d’après le corollaire X.1.4

Hom(A, \underline{Pic}_{S}(B)) = Pic_{A}(A ×_{S} B) ≃ Pic_{s_{B}}(A ×_{S} B).

Soit Hom_{e_{A}}(A, \underline{Pic}_{S}(B)) le sous groupe formé des morphismes

A → \underline{Pic}_{S}(B)

qui envoie la section unité e_{A} sur la section nulle du faisceau abélien \underline{Pic}_{S}(B). En utilisant les notations du point 3 de la proposition X.1.9, on obient donc un isomorphisme canonique :

Hom_{e_{A}}(A, \underline{Pic}_{S}(B)) ≃ Pic_{(e_{A},e_{B})}(A ×_{S} B).

Compte tenu de la proposition X.1.9, on en déduit donc un isomorphisme :

Cor_{S}(A, B) ≃ Hom_{e_{A}}(A, \underline{Pic}_{S}(B)).

Or se donner un morphisme A → \underline{Pic}_{S}(B) de S-schémas qui respecte la section unité des Sschémas en groupes revient à se donner un morphisme de S-schémas en groupe (si l’on utilise le fait que \underline{Pic}_{S}(X) est représentable cela résulte de VIII.3.13 ; on peut aussi le déduire directement du théorème X.1.11).

Rappelons qu’on a définit (cf Définition X.1.7) un morphisme canonique de faisceau fppf sur 𝒮ch_{S} :

\underline{Pic}_{S}(A ×_{S} A) ⟶^{\underline{χ}} \underline{Cor}_{S}(A, A).

Définition XI.2.3. — Soit A un S-schéma abélien, et m : A ×_{S} A → A l’addition de A/S. On définit un morphisme canonique :

\underline{Φ} : \underline{Pic}_{S}(A) ⟶^{m^{∗}} \underline{Pic}_{S}(A ×_{S} A) ⟶^{\underline{χ}} \underline{Cor}_{S}(A, A).

2. Si l’on utilise le théorème X.1.5, il s’agit des morphismes de S-schémas en groupes.

XI.2.4. — Compte tenu de la proposition précédent la définition, en considérant les section audessus de S le morphisme Φ induit un morphisme de groupes abéliens :

Pic_{S}(A) → Cor_{S}(A, A) ⟶^{ϵ} Hom_{ℤ}(A, \underline{Pic}_{S}(A)).

Ainsi, tout élément l ∈ P ic(A) induit un morphisme de faisceaux abéliens :

\underline{Φ}_{l} : A → \underline{Pic}_{S}(A).

On peut vérifier en revenant à la définition de l’isomorphisme ϵ que ce morphisme coïncide avec le morphisme \underline{Φ}_{l} de la définition X.1.21 : sur les S-section, il s’écrit donc :

A(S) → Pic_{S}(A), Φ_{l} : x ↦ T_{x}^{∗}(l) − l.

XI.2.5. — Rappelons que les théorèmes Raynaud vus précédemment (Théorèmes X.1.5 et X.1.10) :

– Le faisceau \underline{Pic}_{S}(A) est représentable par un S-schéma propre.

– Le faisceau \underline{Cor}_{S}(A, A) est représentable par un S-schéma en groupes net et séparé. On en déduit que le noyau de \underline{Φ} est un sous-schéma ouvert et fermé de \underline{Pic}_{S}(A). Il est donc propre sur S. On montre de plus que c’est un S-schéma abélien qui est en tout point de même dimension que A.

Définition XI.2.6. — Pour tout S-schéma abélien, avec les notations de la définition précédente, on pose : \underline{Pic}_{S}^{0}(A) = Ker(\underline{Φ}).

On note Â le S-schéma abélien qui représente ce faisceau et on l’appelle le dual de A.

Compte tenu de ces notation, on notera Pic_{S}^{0}(A) le groupe des S-points de Â. Par définition, c’est un sous-groupe de Pic_{S}(A).

On considèrera aussi le sous-groupe de Pic(A) suivant :

(XI.2)  Pic^{0}(A) = {l ∈ Pic(A) | Φ_{l} = 0}.

Lemme XI.2.7. — Considérons les notations de la définition précédente ainsi que celles du Paragraphe XI.2.4.

Alors, pour tout l ∈ Pic(A), le morphisme Φ_{l} : A → \underline{Pic}_{S}(A) se factorise dans Â.

On notera simplement

(XI.3)  Φ_{l} : A → Â

le morphisme obtenu par corestriction.

Démonstration. — Pour tout x ∈ A(S), l′ := Φ_{l}(x) = T_{x}^{∗}(l) − l. On doit montrer que Φ_{l′} est nul. Or pour tout y ∈ A(S),

Φ_{l′}(y) = T_{y}^{∗}(l′) − l′ = T_{x+y}^{∗}(l) − T_{x}^{∗}(l) − T_{y}^{∗}(l) + l.

Or cet élément est nul à cause du théorème du carré X.1.20.

Le cas d’un T -point de A en résulte quitte à remplacer le S-schéma A par le T -schéma A_{T}.

XI.2.b. Propriétés. —

XI.2.8. — L’association A ↦ Â est évidemment fonctorielle.

Plus précisément, si f : B → A est un morphisme de S-schémas abéliens, on obtient par définition un diagramme commutatif :

\xymatrix{B ×_{S} B \ar[r]^{f×_{S}f} \ar[d]_{m_{B}} & A ×_{S} A \ar[d]^{m_{A}} \\ B \ar[r]^{f} & A}

d’où en particulier, d’après la définition XI.2.3, un diagramme commutatif :

\xymatrix{\underline{Cor}_{S}(B, B) & \underline{Cor}_{S}(A, A) \ar[l] \\ \underline{Pic}_{S}(B) \ar[u]^{Φ_{B}} & \underline{Pic}_{S}(A) \ar[u]_{Φ_{A}} \ar[l]_{f^{∗}}}

qui induit à son tour un morphisme f̂: Â → B̂.

De plus, d’après cette construction, on obtient pour tout l ∈ Pic(A), posant l′ = f^{∗}(l), un diagramme commutatif :

\xymatrix{B̂ & Â \ar[l]_{f̂} \\ B \ar[r]^{f} \ar[u]^{Φ_{l′}} & Â \ar[u]_{Φ_{l}}}

La proposition suivante est un peu moins évidente :

Proposition XI.2.9. — Le foncteur contravariant

𝒜b_{S} → 𝒜b_{S}, A ↦ Â

est additif : { \atop f + g} = f̂+ ĝ.

Démonstration. — On peut se ramener au cas où S est un schéma local. Comte tenu des définitions, pour tout élément l ∈ Pic_{S}(A) = Pic(A), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Φ_{l} = 0.

2. m^{∗}l = p_{1}^{∗}(l) + p_{2}^{∗}(l), où m est l’addition de A/S et p_{1}, p_{2} : A ×_{S} A → A les deux projections

canoniques. On en déduit que si l ∈ Pic_{S}^{0}(A), pour tous morphismes de S-schémas abéliens f, g : B → A, (f + g)^{∗}(l) = f^{∗}(l) + g^{∗}(l), en appliquant le morphisme (f ×_{S} g)^{∗} à l’égalité du point 2 ci-dessus.

La définition qui précède des morphismes ˆ? permet donc de conclure.

Remarque XI.2.10. — On retiendra de la démonstration qui précède que pour tout l ∈ Pic^{0}(A), n_{A}^{∗}(l) = n.l dans Pic(A). Autrement dit, l est symétrique (Définition X.1.16).

XI.2.c. Bidualité. —

XI.2.11. — Pour deux S-schémas en groupes G et H, on note \underline{Hom}(G, H) le faisceau des morphismes de S-schémas en groupes de F dans G, soit le faisceau sur 𝒮ch_{S} suivant :

T/S ↦ Hom_{T −gr}(G ×_{S} T, H ×_{S} T).

De même, on notera \underline{Ext}^{1}(F, G) le faisceau des extensions de g dans H; c’est le faisceau fppf sur 𝒮ch_{S} associé au préfaisceau :

T/S ↦ Ext^{1}(G ×_{S} T, H ×_{S} T).

Soit 𝔾_{m} le schéma en groupes multiplicatif sur S. Rappelons que le foncteur

G ↦ G^{D} := \underline{Hom}(G, 𝔾_{m})

est dualisant sur la catégorie des S-schémas en groupes plats finis.^{(3)}

Théorème XI.2.12 (Rosenlicht). — Pour tout S-schéma abélien, il existe un isomorphisme canonique :

γ_{A} : \underline{Ext}^{1}(A, 𝔾_{m}) → Â.

3. Si G est plat fini sur S, G^{D} est plat fini sur S et de plus (G^{D})^{D} = G à travers l’isomorphisme évident obtenu par adjonction.

Corollaire XI.2.13. — Si f : B → A est un S-isogénie, f̂ est une S-isogénie et Ker(f̂) = Ker(f)^{D}.

Cela de la suite exacte longue des Ext compte tenu du théorème précédent et du fait que pour un S-schéma en groupe plat fini G, \underline{Ext}^{1}(G, 𝔾_{m}) = 0.

Corollaire XI.2.14. — Pour tout suite exacte courte de S-schémas abéliens

0 → C → B → A → 0

la suite

0 → Â → B̂ → Ĉ → 0

obtenue en appliquant le foncteur ˆ? est exacte.

Compte tenu du théorème précédent, l’exactitude à gauche de la suite résulte de l’exactitude à gauche du foncteur \underline{Ext}^{1}(−, 𝔾_{m}) = 0. L’exactitude à droite résulte alors du fait que dim(A/S) = dim(Â/S).

XI.2.15. — Considérons deux S-schémas abéliens A et B.

Rappelons que Pic_{S}^{0}(B) ⊂ Pic_{S}(B) est un sous-schéma ouvert et fermé. Il en résulte que tout morphisme de S-schémas abéliens f : A → Pic_{S}(B) se factorise dans Pic_{S}^{0}(B). Autrement dit :

Hom_{ℤ}(A, Pic_{S}(B)) = Hom_{ℤ}(A, Pic_{S}^{0}(B)) = Hom_{𝒜b_{S}} (A, B̂).

On déduit donc de la Proposition XI.2.2 et du fait que Cor_{S}(A, B) = Cor_{S}(B, A) le résultat suivant :

Proposition XI.2.16. — Avec les notations qui précèdent, il existe des isomorphismes canoniques :

Hom_{𝒜b_{S}} (A, B̂) ≃ Cor_{S}(A, B) ≃ Hom_{𝒜b_{S}} (B, Â)

fonctoriels en A et B.

XI.2.17. — Il résulte de la proposition précédente que pour tout S-schéma abélien A, le mophisme 1Â : Â → Â induit canoniquement un morphisme de S-schémas abéliens :

κ_{A} : A → ˆ Â.

On en déduit de plus le résultat suivant :

Corollaire XI.2.18. — Le morphisme κ_{A} est un isomorphisme.

En effet, on déduit formellement que κ̂_{A} ∘ κÂ = Id. Donc, κÂ est un monomorphisme de Sschémas abéliens, et donc un isomorphisme. Alors, κ̂_{A} est un isomorphisme et on peut conclure en appliquant le corollaire XI.2.14.

XI.2.d. Le cas d’un corps de base. —

XI.2.19. — Dans le cas où la base est un corps k, on peut expliciter un peu les résultats précédents pour un k-schéma abélien A.

Ainsi, Â est un k-schéma abélien tel que

Â(k) = Pic^{0}(A) = {l ∈ Pic(A) | Φ_{l} = 0}

où l’on a noté : Φ_{l} : A(k) → Pic(A), x ↦ T_{x}^{∗}(l) − l.

Pour tout l ∈ Pic(A), le morphisme Φ_{l} induit A → Â. Si k est algébriquement clos, dire que l est ample équivaut à dire que Φ_{l} est un isogénie (d’après le théorème XI.1.2).

De plus, ˆ Â est canoniquement isomorphe à A. Notons par ailleurs que :

Hom_{𝒜b_{k}} (A, B̂) = Cor_{k}(A, B) = Pic(A × B)/ Pic(A) × Pic(B).

Ainsi, l’isomorphisme canonique A → ˆ Â correspond à un élément canonique

Π ∈ Pic(A × Â)/ Pic(A) × Pic(Â)

et on appelle tout faisceau inversible sur A × Â représentant la classe de Π un fibré de Poincaré associé à A.

La propriété caractéristique de cet élément est que pour tout x ∈ Â(k), correspondant à un élément l(x) dans Pic^{0}(A), on ait dans Pic(A) :

(A ×_{k} x)^{∗}(Π) = l(x).

Exemple XI.2.20. — Soit (E, e) une courbe elliptique sur un corps algébriquement clos.

Alors, pour tout diviseur D, Φ_{D} = (deg D)^{2}.Φ_{e}. On en déduit donc que Φ_{D} = 0 si et seulement si deg(D) = 0. La définition qu’on a donné ici de Pic^{0}(E), où E est vu comme un k-schéma abélien, coïncide avec la définition précédente, IV.5.14. rappelons qu’on a alors une suite exacte :

0 → Pic^{0}(E) → Pic(E) ⟶^{deg} ℤ → 0

D’après le théorème de Riemann-Roch, on sait que D est ample si et seulement si deg(D) > 0. On en déduit donc les conditions équivalentes sur D :

1. deg(D) > 0.

2. D est ample.

3. Φ_{D} : E → Ê est une isogénie. Enfin, le théorème VI.2.8 peut se traduire par l’existence d’un isormorphisme canonique (compte tenu du choix de e) :

E ≃ Ê.

Cet isomorphisme n’est pas autre chose que l’isogénie Φ_{e}.

XI.3. Conclusion

XI.3.a. Quelques résultats fondamentaux supplémentaires. —

XI.3.1. — Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique p, l premier différent de p. On termine ce cours par les résultats suivants qui méritent d’être énoncés :

1. Théorème de réductibilité complète de Poincaré : On dit qu’un k-schéma abélien est simple s’il ne contient pas de sous-k-schémas abéliens non triviaux. Alors, tout k-schéma abélien se décompose de manière unique à isogénie près comme un produit de k-schémas abéliens simples.

2. Morphismes : pour tous k-schémas abéliens X et Y :

(a) le groupe Hom_{ℤ}(X, Y) est libre de rang fini et le morphisme canonique :

Hom_{ℤ}(X, Y) → Hom_{ℤ_{l}}(T_{l}(X), T_{l}(Y)).

(b) l’anneau End^{0}(X) est une ℚ-algèbre semi-simple de dimension finie.

XI.3.b. Motifs et schémas abéliens. —

XI.3.2. — Jacobienne et cohomologie.– Fixons à nouveau un corps algébriquement clos k de caractéristique p et l ≠ p. Soit C une courbe algébrique propre, lisse et connexe sur k.

Alors, on peut décrire ainis la cohomologie étale l-adique rationnelle (Paragraphe IX.2.20) de C.

– H_{ét}^{0}(C, ℚ_{l}) = ℚ_{l} - car C est connexe.

– H_{ét}^{2}(C, ℚ_{l}(1)) ≃ H_{ét}^{0}(C, ℚ_{l}) = ℚ_{l} par dualité de Poincaré.

– Il existe un isomorphisme canonique de ℚ_{l}-espaces vectoriels :

H_{ét}^{1}(C, ℚ_{l}(1)) ≃ T_{l}(J(C)) ⊗_{ℤ} ℚ

qui sont donc de dimension finie égale à 2g où g est le genre de C.

– Pour i > 2, H_{ét}^{i}(C, ℚ_{l}(1)) – axiome (Dim1). Rappelons par ailleurs que le twist n’intervient dans ce contexte que pour rendre l’accouplement de dualité de Poincaré canonique : pour tout i ∈ ℤ, H_{ét}^{n}(C, ℚ_{l}(i)) ≃ H_{ét}^{n}(C, ℚ_{l}) – à travers un isomorphisme non canonique, défini par le choix d’une racine l-ème de l’unité dans k̄.

XI.3.3. — Jacobienne et motifs.– On reprend les notations du paragraphe précédent.

Grothendieck a imaginé sa théorie des motifs avec pour la modèle la théorie des variétés abéliennes. Son intention était de définir une cohomologie pour les k-schémas projectifs lisses qui prolonge le foncteur variété jacobienne d’une courbe, C ↦ J(C). Il cherchait de plus à définir la cohomologie universelle ayant cette propriété, et disons plus précisément une cohomologie qui s’envoie – on dit : se réalise – dans toute cohomologie de Weil (cf Définition IX.2.6).

L’originalité de cette approche est que cette cohomologie n’est plus à valeurs dans une catégorie simple comme celle des K-espaces vectoriels gradués, pour K un corps de caractéristique 0. Au contraire, elle est à valeur dans une catégorie abélienne ℚ-linéraire analogue à celle de la catégorie des variétés abéliennes à isogénies près 𝒜b_{k}^{0}.

Ainsi, Grothendieck introduit la catégorie des motifs purs rationnels modulo équivalence numérique que nous noterons ici ℳ_{num}(k)_{ℚ}. C’est une catégorie abélienne semi-simple (théorème de Jannsen), comme celle des variétés abéliennes à isogénies près. Mais elle est de plus munie d’une produit tensoriel ⊗ qui correspond à la structure multiplicative des cohomologies de Weil. On note ℚ l’unité pour ce produit tensoriel – on l’appelle le motif constant.

On dispose par ailleurs d’un foncteur de cohomologie, contravariant, de source la catégorie 𝒫_{k} des k-schémas projectifs lisses :

h : 𝒫_{k}^{op} → ℳ_{num}(k)_{ℚ},

qui vérifient l’analogue des propriétés d’une cohomologie de Weil :

– Künneth : pour X, Y dans 𝒫_{k}, h(X ×_{k} Y) = h(X) ⊗ h(Y), et h(k) = ℚ. Plus rapidement : h est monoïdal.

– Twists : il existe dans ℳ_{num}(k)_{ℚ} un motif dit de Lefschetz 𝕃 tel que h(𝒫P_{k}^{1}) = ℚ ⊕ 𝕃 et qui est ⊗-inversible. Pour tout motif M et tout entier n ∈ ZZ, on pose M(−n) = M ⊗ 𝕃^{⊗,n}.

– Dualité : si X est projectif lisse connexe de dimension d, h(X) est fortement dualisable dans ℳ_{num}(k)_{ℚ} avec pour dual fort h(X)(d) (cf Définition IX.1.20).

– Correspondances.– L’analogue de la classe de cycle dans le contexte des motifs est l’action des correspondances : pour tout k-schémas projectifs lisse X et Y, X étant équidimensionnel de dimension d, une correspondance algébrique α de X vers Y, est un cycle algébrique de X ×_{k} Y de codimension d. A toute correspondance α de ce type est alors associé un morphisme

α^{∗} : h(Y) → h(X).

Remarque XI.3.4. — Le terme équivalence numérique vient du fait que le morphisme α^{∗} cidessus ne dépend dans ℳ_{num}(k)_{ℚ} que de la classe de α modulo la relation d’équivalence numérique. Plus généralement, on peut définir une catégorie de motifs purs adaptées à une bonne relation d’équivalence sur les cycles algébriques – comme par exemple l’équivalence rationnelle (Définition IV.3.15) qui mène à la catégories dite des motifs de Chow.

XI.3.5. — On continue la discussions précédente.

Notons que la catégorie ℳ_{num}(k)_{ℚ}, comme la catégorie des variétés abéliennes à isogénies près, est munie d’une dualité : plus précisément, pour tout objet M de ℳ_{num}(k)_{ℚ} est fortement dualisable : il existe un objet M^{∨} tel que (M^{∨})^{∨} ≃ M.

Par ailleurs, pour tous motifs M, N, P, Hom(M ⊗ P, N) = Hom(P, M^{∨} ⊗ N) – rappelons que c’est la définition même de dual fort dans le cadre abstrait (IX.1.20).

On obtient alors le résultat suivant :

Théorème XI.3.6. — Soit C une courbe algébrique propre, lisse et connexe sur k. Alors, le motif de C se décompose de manière canonique^{(4)} comme suit :

h(C) = ℚ ⊕ h^{1}(C) ⊕ ℚ(−1).

De plus, il existe un foncteur covariant canonique ρ : 𝒜b_{k}^{0} → ℳ_{num}(k)_{ℚ} qui s’insère dans le diagramme commutatif suivant :

[figure: 𝒜b_{k}^{0}; ρ; 𝒞_{k}; J^{∨}; h^{1}; ℳ_{num}(k)_{ℚ}]

où 𝒞_{k} est la catégorie des courbes projectives lisse connexes et J^{∨} est le foncteur qui à une courbe C associe la variété abélienne duale de sa jacobienne J(C)^{∨}.

De plus, le foncteur ρ est pleinement fidèle.

XI.3.7. — Le premier objectif de la théorie des motifs purs de Grothendieck est donc réalisé. Malheuresement, le deuxième objetif ne l’est pas : on ne sait pas prouver que le foncteur

h : 𝒫_{k}^{op} → ℳ_{num}(k)_{ℚ}

est initial parmi les cohomologies de Weil. Plus précisément, on aimerait que pour une cohomologie de Weil H à coefficients dans un corps k, il existe un foncteur canonique R_{H} : ℳ_{num}(k)_{ℚ} → K − ev^{ℤ}, monoïdal, qui fasse commuter le diagramme :

[figure: ℳ_{num}(k)_{ℚ}; R_{H}; 𝒫_{k}; H^{∗}; h; K − ev^{ℤ}.]

Or l’existence de ce foncteur R_{H} est conditionné par l’une conjectures standards, appelée conjecture C par Grothendieck ([Gro69]). Conditionnelle à la cohomologie H^{∗}, elle s’énonce comme suit : pour tout k-schéma projectif lisse X et tout cycle algébrique α de X, les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) la classe du cycle α dans H^{∗}(X) est nulle. (ii) le cycle α est numériquement équivalent à 0. On dit encore par abus que l’équivalence homologique coïncide avec l’équivalence numérique.

Références

[EGA4] A. Grothendieck. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de jean dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., (20, 24, 28, 32), 1964-1967.

[Gro69] A. Grothendieck. Standard conjectures on algebraic cycles. In Algebraic Geometry (Internat. Colloq., Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968), pages 193–199. Oxford Univ. Press, London, 1969.

4. L’injection de ℚ dans h(C) est induit par la projection canonique C → Spec(k), et le facteur ℚ(−1) s’en déduit par dualité.

[Har77] Robin Hartshorne. Algebraic geometry. Springer-Verlag, New York, 1977. Graduate Texts in Mathematics, No. 52.

[Mum08] D. Mumford. Abelian varieties, volume 5 of Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics. Published for the Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 2008. With appendices by C. P. Ramanujam and Yuri Manin, Corrected reprint of the second (1974) edition.

premier semestre 2013 Frédéric Déglise, CNRS, UMPA (UMR 5669), E.N.S. Lyon, UMPA, 46, allée d’Italie, 69364

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