Complétion par résolution co-simpliciale

Exemples

Frédéric Déglise sous la direction de Lionel Schwartz

1^{er} octobre 1998

Plan

1 Catégories simpliciales et cosimpliciales 4 1.1 Ensembles simpliciaux, et théorie homotopique . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Définition et caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Homotopie et homologie des espaces . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Réalisation géométrique d’un espace . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.4 Groupes simpliciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Espaces cosimpliciaux et espaces de fonctions . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Définition et exemple canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2 Espaces de fonction, Espaces totaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.3 Cohomologie et théorie de l’homotopie des résolutions . . . . . . . 17 1.3 Diagrammes d’espaces, limites homotopique et lien avec les espaces

cosimpliciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1 Catégorie des ℐ -diagrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.2 Limite homotopique ; Nerf d’une petite catégorie . . . . . . . . . . 21

2 Résolutions et application à la complétion 24 2.1 Résolution associée à un triplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.1 Triplets et foncteurs adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2 Résolution associée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.3 Application au foncteur R_{•} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Tour de fibrations et suite spectrale en homotopie . . . . . . . . . . . 33 2.2.1 Préambule : tours de groupes et de fibrations . . . . . . . . . . . . 33 2.2.2 Suites homotopiques exactes dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.3 Suite spectrale homotopique de Bousfield-Kan . . . . . . . . . . . 40 2.2.4 Cas particulier d’un espace cosimplicial . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Complétion des espaces 45 3.1 Définitions et propriétées fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.1 Définition de la complétion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.2 Espaces R-complets, R-bons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.3 Espaces nilpotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2 Fibrations et lemme d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.1 Sur la compatibilité des fibrations avec la complétion . . . . . . . . 51 3.2.2 lemme des R-tours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3 Contre-exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

A Notations 53

Introduction

L’idée d’une complétion en topologie algébrique est née des travaux qui permettaient des calculs sur certaines parties des groupes d’homotopie d’un espace (comme la p-torsion dans les calculs des groupes d’homotopie de sphère par Serre). L’idée de décomposer ces groupes en une partie de torsion et une partie rationnelle avait fait naître dans les travaux de Sullivan la localisation et la proposition du carré arithmétique, analogue du lemme bien connu en arithmétique. Par un effort de généralisation sur ce thème, plusieurs auteurs ont proposé différentes «complétions » et «localisations », et nous nous proposons d’exposer ici celle définie par Bousfield et Kan dans [BK72a], dont l’intérêt est d’être à la fois générale et «constructive ». Ainsi, on obtient une complétion pour n’importe quel anneau R et pour n’importe quel espace a priori, qui se révèle être la localisation de Sullivan pour un sousanneau de ℚ et un espace simplement connexe. Si cette généralité se paye par des résultats gênants pour certains espaces (les espaces R-mauvais), elle ouvre la voie à de nouvelles méthodes qui dépassent le projet initial, comme la limite homotopique et surtout la suite spectrale homotopique de Bousfield-Kan (qui va avec). Cette complétion reste «calculable » puisqu’elle est la limite homotopique d’un certain diagramme d’espaces. Celui-ci est en effet obtenu de manière générale à partir de la paire de foncteurs adjoints (R-module simplicial libre engendré,oubli de la structure de R-module) - ce qui est à rapprocher de la «résolution barr » telle qu’obtenue dans [BB69] - et de la résolution standard d’un triplet obtenue par Godement pour l’homologie des faisceaux. Nous expliquerons en particulier dans cet exposé comment ces méthodes de calcul sur les triplets permettent de pousser la théorie initiale de Bousfield et Kan pour obtenir directement certains thérorèmes d’équivalence homotopique - celles-ci seront de plus des équivalences fortes - en évitant des calculs sur les groupes d’homotopie (qui avaient initialement été prévus comme applications de la suite spectrale homotopique).

Notre démarche est d´ éclairer autant que possible les explications parfois sibyllines de Bousfield et Kan, aussi la première partie présentera les concepts simpliciaux et cosimpliciaux nécessaires à la complétion, du point de vue homotopique. Nous emploierons à ce propos le formalisme de [Qui67], et nous donnerons la construction de la limite homotopique. La deuxième partie sera aussi préliminaire, mais nous approcherons des constructions vitales pour la complétion, c’est-à-dire la résolution standard obtenue à partir d’un triplet, ou plus particulièrement d’une paire d’adjoints et la suite spectrale homotopique dérivée d’une tour de fibrations. Enfin, la dernière partie sera centrée sur la complétion, la démonstration de certains faits élémentaires (contenant notamment les techniques permettant d’obtenir des équivalences d’homotopie à partir de résolutions standards), ainsi qu’un résumé des propriétés essentielles de la complétion de Bousfield-Kan. Enfin, on explicitera certains contre-exemples qui montrent les limites de celle-ci.

Je remercie ici mon directeur, le Professeur Schwartz, pour m’avoir introduit à cette théorie et guidé tout au long du difficile périple qu’elle proposait.

Partie 1

Catégories simpliciales et cosimpliciales

1.1 Ensembles simpliciaux, et théorie homotopique

Bref historique et références : les objets simpliciaux ont été formalisés par Eilenberg et Zilber dans [EZ50], sous le nom de «complexe semi-simplical ». On pourra trouver un exposé simple sur cette notion dans [Car60].

Kan a le premier montré comment la notion d’homotopie pouvait être étendue aux ensembles simpliciaux «fibrants » dans [Kan55]. On trouvera un exposé clair des notions d’homotopie pour les ensembles simpliciaux dans [Cur67] ou [May67].

1.1.1 Définition et caractérisation

On se place dans un univers 𝒰 contenant par exemple *, les symboles courants, les mots formés à partir de ceux-ci... Soit ℰ la catégorie des ensembles de 𝒰 , et Ord la catégorie des ensembles de 𝒰 finis ordonnés dont les morphismes sont les applications croissantes :

Définition 1.1.1 Soit 𝒞 une catégorie :

1. Les objets simpliciaux de 𝒞 sont les foncteurs contravariants de Ord dans 𝒞. On appellera encore opérateur de l’objet simplicial X l’image d’un morphisme de Ord par ce foncteur.

2. On note 𝒮_{𝒞} la catégorie des objets simplicaux de 𝒞 dont les morphismes sont les transformations naturelles.

En particulier, les propriétés de 𝒞 se transportent naturellement à celles de 𝒮_{𝒞} : par exemple, si 𝒞 admet des produits ou des sommes, est additive ou abélienne...

On peut caractériser l’objet simplicial X de 𝒞 par la donnée de :

1. Une suite d’objets de 𝒞, (X_{n})_{n∈ℕ}, images des ensembles finis standards {0,...,n}.

2. ∀n ∈ ℕ, ∀ 0 ≤ i ≤ n,

\{ \begin{matrix}d_{n,i}: X_{n} → X_{n−1} morphisme dans 𝒞 appelé opérateur face \\ s_{n,i}: X_{n} → X_{n+1} morphisme dans 𝒞 appelé opérateur de dégénerescence \end{matrix}

tels que :

(a) si i < j alors d_{n−1,i} ∘ d_{n,j} = d_{n−1,j−1} ∘ d_{n,i}

(b) si i ≤ j alors s_{n+1,i} ∘ s_{n,j} = s_{n+1,j+1} ∘ s_{n,i}

(c) \{ \begin{matrix}si i < j & alors & d_{n+1,i} ∘ s_{n,j} = s_{n−1,j−1} ∘ d_{n,i} \\ si i = j,j + 1 & alors & d_{n+1,i} ∘ s_{n,j} = Id \\ si i > j & alors & d_{n+1,i} ∘ s_{n,j} = s_{n−1,j} ∘ d_{n,i−1} \end{matrix}

Celà découle essentiellement de la possibilité de décomposer toute application croissante entre ensembles finis ordonnés par des applications élémentaires «d’évitement » et «d’écrasement » (voir par exemple [GZ60] p.24).

Ce que l’on peut encore traduire de la manière suivante : Lemme 1.1.1 (de réécriture) Soit X objet simplicial de 𝒞 et soit f opérateur de l’espace simplical X, morphisme de X_{n} dans X_{m}: ∃! (0 ≤ i_{1} < ... < i_{k} < m),(n − l > j_{1} > ... > j_{l} ≥ 0) tel que : f = s_{n+k−l−1,j_{1}} ∘ ... ∘ s_{n+k−2,j_{l}} ∘ d_{n+k−1,i_{1}} ∘ ... ∘ d_{n,i_{k}} et n + k − l = m. Nous nous intéresserons plus particulièrement aux ensembles simpliciaux : Définition 1.1.2 1. On appellera simplement espaces les ensembles simpli-

caux, et on notera 𝒮 la catégorie correspondante.

Soit donc X un espace, définit par une suite d’ensemble (X_{n})_{n∈ℕ} et par des applications de face et de dégénérescence entre ces ensembles :

2. Un élément x ∈ X_{n} est appelé un n-simplexe, et un 0-simplexe est encore appelé sommet.

3. x est alors dit dégénéré ssi ∃ y ∈ X_{n−1} , ∃ 0 ≤ i ≤ n − 1 | x = s_{n−1,i} (y)

4. On notera 𝒮_{∗} la sous-catégorie pleine de 𝒮 formés par les espaces ayant un sommet distingué, noté génériquement ∗.

On dira qu’un espace Y est un sous-espace de X lorsque, pour tout n, Y_{n} ⊂ X_{n} et d_{n,i}^{X} |_{/Y_{n}}= d_{n,i}^{Y}, s_{n,i}^{X} |_{/Y_{n}}= s_{n,i}^{Y}.

Un morphisme d’espace X →^{f} Y est donné par une suite d’application (X_{n} →^{f_{n}} Y_{n})_{n∈ℕ} qui commutent avec les opérateurs de face et de dégénérescence ; l’image de f, Im(f), est le sous-espace de X dont les n-simplexes sont dans Im(f_{n}).

Le lemme suivant montre qu’un espace est engendré par ses simplexes non dégénérés^{1} :

1On peut encore dire que X est égal au plus petit sous-espace contenant tous les simplexes non dégénérés de X

Lemme 1.1.2 Soit X espace, x n-simplexe de X : ∃! k ∈ ℕ^{∗}, n > i_{1} > ... > i_{k} ≥ 0, y (n+k)-simplexe) tels que x = s_{i_{1}} ∘ ... ∘ s_{i_{k}}(y) et y non dégénéré.

On dira que ((i_{1},...,i_{k}),y) le type de dégénérescence de x.

Preuve : L’existence est une simple récurrence, puisque : soit x est non dégénéré et l’on prend k = 0 ; soit x est dégénéré et x = s_{n−1,j_{1}} (x′), on itère alors le procédé avec x′, (n − 1)-simplexe. On obtient x = s_{j_{1}} ∘ ... ∘ s_{j_{k}}(y) et il ne reste qu’à réordonner les indices grâce au lemme de réécriture. Supposons maintenant s_{i_{1}}...s_{i_{k}}(y) = s_{j_{1}}...s_{j_{l}} (y′), et par exemple k ≤ l. On obtient alors y = d_{i_{k}}...d_{i_{1}}s_{j_{1}}...s_{j_{l}} (y′). On peut, en utilisant les identités simpliciales (c), réordonner ces opérateurs pour faire apparaître les opérateurs de dégénérescence d’abord, et l’on obtient y = s_{p_{1}}...s_{p_{l′}}d_{q_{1}}...d_{q_{k′}}(y′) où l′≤ l, k′≤ k et k − k′= l − l′. Or y est non dégénéré, donc l′= 0, l = k − k′≥ k, donc k′= 0 et : k = l, y = y′, et {i_{1},...,i_{k}} = {j_{1},...,j_{k}} □.

Par ailleurs, le lemme de réécriture inspire la définition suivante, implicite dans la littérature et en particulier dans la démonstration du théorème de Dold-Puppe (voir section 1.1.4) : Définition 1.1.3 Soit S = (S_{n})_{n∈ℕ} suite d’ensembles de 𝒰 (supposés disjoints deux à deux). On appelle espace libre de base S l’ensemble simplicial suivant :

– X_{n} est l’ensemble formé des mots a) x pour x ∈ S_{n}

b) s_{n+k−l−1,j_{1}} ...s_{n+k−2,j_{l}} d_{n+k−1,i_{1}} ...d_{n,i_{k}}x (élément de 𝒰 )

où x ∈ S_{m}, m = n + k − l et

(0 ≤ i_{1} < ... < i_{k} < n), (m − l > j_{1} > ... > j_{l} ≥ 0)

– les applications de face et de dégénérescence sont alors données par le lemme de réécriture.

Soit la catégorie ℰ^{ℕ}. Ses objets sont les (S_{n})_{n∈ℕ}, suite d’ensembles de 𝒰 , et les morphismes sont les applications (f_{n}: S_{n} → T_{n})_{n∈ℕ}.

La relation qui associe à S = (S_{n})_{n∈ℕ} l’espace libre de base S est fonctorielle, notée L. Et plus généralement, soit 𝒪 le foncteur “oubli” de 𝒮 dans ℰ^{ℕ}. Alors 𝒪 est l’adjoint à droite de L :

Hom_{mathscrE^{ℕ}}(S,𝒪(X)) ≃ Hom_{𝒮} (L(S),X)

Exemple :

a On appelera n^{ème} espace standard, △^{n} l’espace libre de base un n-simplexe qu’on notera ι_{n}. Par exemple, ∗ ≡ △^{0} possède un unique simplexe en chaque dimension. On obtient alors la propriété fondamentale des △^{n} suivante :

Soit X espace, x n-simplexe : il existe un unique morphisme f de △^{n} dans X tel que f(ι_{n}) = x.

b Soit X un espace, et pour tout n ∈ ℕ, S_{n} ⊂ X_{n}. On peut alors définir Y, sousespace de X engendré par les (S_{n})_{n} : soit Y_{0} l’espace libre de base (S_{n})_{n} et φ l’unique application de Y_{0} dans X qui soit l’identité sur chaque S_{n}, on pose Y = Im(φ). Y est aussi le plus petit sous-espace de X tel que pour tout n, S_{n} ⊂ Y_{n}.

c Soit X un espace, S_{i} l’ensemble des i-simplexes non dégénérés de X, on appelera squelette d’ordre n, Sk_{n}(X) le sous-espace de X engendré par les (S_{i})_{i≤n}.

Définition 1.1.4 Soit X espace, et ∼ une suite de relation d’équivalence, (∼_{n})_{n∈ℕ}, compatibles avec les d_{n,i} et les s_{n,i}, c’est-à-dire :

x ∼_{n} y ⇒ d_{n,i}(x) ∼_{n−1} d_{n,i}(y) et s_{n,i}(x) ∼_{n+1} s_{n,i}(y).

On définit alors l’espace quotient X_{/_{∼}} formé des X_{n}_{/_{∼n}} dont les opérateurs sont les applications induites évidentes. Corollaire 1.1.1 Tout espace est quotient d’un espace libre. Preuve : Soit donc X un espace. On considère S_{n} l’ensemble des n-simplexes de X non dégénérés et L_{X} l’espace libre de base (S_{n})_{n}. On a un unique morphisme φ de L_{X} dans X qui soit l’identité sur chaque S_{n}. Le lemme 1.1.2 se traduit alors par le fait que Im(φ)=X. Les relations dans X_{n}, x ∼_{n} y ⇔ φ_{n}(x) = φ_{n}(y), sont alors compatibles et forment une relation ∼_{φ} sur L_{X}. Il est clair que X ≃ L_{X}_{/∼_{φ}} .

En fait, la relation ∼_{φ} est engendré par l’identification de d_{n,i}(x) avec s_{i_{1}}...s_{i_{n}}(y) où x et y sont des éléments de S_{n} et ((i_{1},...,i_{n}),y) est le type de dégénérescence de d_{n,i}^{X}(x) dans X.

Finalement, un espace X est équivalent à la donnée de simplexes (qui sont les simplexes non dégénérés de X) avec leur degré, et du type de dégénérescence de leurs faces (=image par les applications faces d_{n,i}^{X}). De plus, un espace X est libre ssi quelque soit x n-simplexe non dégénéré de X, ∀i, d_{n,i}(x) est non dégénéré.

Exemple : on définit S^{n}, sphère d’ordre n, comme l’espace simplicial formé d’un sommet ∗ et d’un n-simplexe ῑ_{n}avec la relation d_{n,i}(ῑ_{n}) = ∗^{2}.

Enfin, si X et Y sont des espaces, un morphisme de X dans Y est caractérisé par sa valeur sur les simplexes non dégénérés de X, pourvu que les types de dégénérescence de leurs faces soient respectés par φ.

1.1.2 Homotopie et homologie des espaces

a) Homologie.

Soit F un foncteur de ℰ dans une catégorie 𝒞. On peut prolonger de manière évidente F en F_{•} de 𝒮 dans 𝒮_{𝒞} : si X est un foncteur de Ord dans ℰ, F_{•}(X) = F ∘ X.

2on notera pour simplifier ∗ tout simplexe de l’espace libre de base (∗,0), le degré pris en compte étant supposé clair d’après le contexte

Si 𝒞 est une catégorie abélienne, X un objet de 𝒮_{𝒞} , on peut encore définir CX comme le complexe de chaîne :

... → X_{n} →^{∂_{n}} X_{n−1} → ... → X_{0} avec ∂_{n} = ∑_{i=0}^{n} (−1)^{i}.d_{n,i}

On écrit π_{n}(X) le n^{ème} objet d’homologie de CX, appelé n^{ème} objet d’homotopie de X ^{3}. On posera encore H_{n}(X;F) = π_{n}(F_{•}X)

Exemple : Soit R un anneau commutatif et R le foncteur de ℰ dans R-mod qui associe à un ensemble S le R-module libre de base S. H_{n}(X;R_{•}) est le n^{ème} groupe d’homologie “standard” de l’espace X.

En particulier, R_{•}X désigne le R-module simplicial engendré par X.

b) Homotopie.

L’objet △^{1}possède deux sommets, noté 0 et 1 par analogie avec l’intervalle réel, avec 0 = d_{1,0}(ι_{1}) et 1 = d_{1,1}(ι_{1}). Par ailleurs, la catégorie des espaces admet des produits. Nous pouvons alors copier la définition de l’homotopie dans les espaces topologiques pour l’étendre aux espaces, ce qui sera encore justifié au paragraphe suivant avec le foncteur réalisation : Définition 1.1.5 Soit f, g morphismes entre deux espaces X et Y : On dira que f est homotope à g, noté f ∼_{h} g ssi

∃ F : X × △^{1} → Y morphisme tel que :

F ∘ (Id,d_{0}) = f et F ∘ (Id,d_{1}) = g.^{4} Si de plus M est un sous-espace de X, et F |_{M×△^{1}} = f ∘ p_{1} |_{M×△^{1}} , on écrira f ∼_{h} g (M) .^{5}

La relation ∼_{h} est réflexive, mais elle n’est ni symétrique, ni transitive en général. Puisque notre propos est ici de définir les groupes d’homotopie, nous nous intéresserons uniquement à la relation ∼_{h} (∗) entre les morphismes pointés de source S^{n}. On notera 𝒮_{∗} la catégorie des espaces pointés (par un sommet) dont les morphismes sont les applications pointées. Alors ∼_{h} (∗) est une relation d’équivalence sur Hom_{𝒮_{∗}} (S^{n},X) où S^{n} est pointé par son unique sommet ∗. Une première simplification vient d’abord du fait signalé à la fin du paragraphe 1.1.1, et qui permet de caractériser les morphismes de source S^{n} :

\begin{matrix}Hom_{𝒮_{∗}} (S^{n},X) & −→^{∼} & X̃_{n}≡ \{x ∈ X_{n} | ∀i, d_{i}(x) = ∗\} \\ f & ⟼→ & f(ῑ_{n}) \end{matrix}

3cf [Lan92]

4On écrira encore F (x,0) = f(x) et F (x,1) = g(x)

5p_{1} désigne la projection de X × △^{1} sur X. Dans ce cas, f |_{M}= g |_{M}.

Suivant le traitement de [May67], nous caractérisons la relation d’homotopie sur X̃_{n} en s’inspirant du modèle géométrique de l’espace associé à un espace topologique : Définition 1.1.6 Soit x,y ∈ X̃_{n}, on dira que x est homotope à y ssi

∃z ∈ X_{n+1} / si i < n,\{ \begin{matrix}d_{n+1,i} (z) = ∗ \\ d_{n+1,n}(z) = x & d_{n+1,n+1} (z) = y \end{matrix}

encore noté x ∼_{h′}y Il faut alors une propriété intrinsèque de l’espace X pour faire de cette dernière relation d’homotopie une relation d’équivalence : Définition 1.1.7 Un espace X est dit fibrant ssi pour tout entier n, pour tout x_{0},...,x̂_{k},...,x_{n} (n-1)-simplexes de X vérifiant d_{i}(x_{j}) = d_{j−1} (x_{i}) pour i < j,i ≠ k,j ≠ k,^{6} il existe x n-simplexe tel que d_{i}(x) = x_{i} pour i ≠ k.

Lemme 1.1.3 Si X est un espace fibrant, la relation ∼_{h′} sur X̃_{n}est une relation d’équivalence.

Preuve : Réflexivité : x ∼_{h′}x avec z = s_{n,n}(x) Symétrie et transitivité : soit x ∼_{h′}y, h_{1} le n+1-simplexes correspondant et x ∼_{h′}z par h_{2} ; nous montrons y ∼_{h′}z. Les n + 2 (n + 1)-simplexes k_{0} = ∗,...,k_{n−1} = ∗,k_{n} = h_{1},k_{n+1} = h_{2},− vérifient la condition d’extension, et nous obtenons donc k′ (n + 2)-simplexe vérifiant d_{n+2,i} (k′) = k_{i}. Alors d_{n+2,n+2} (k′) réalise bien y ∼_{h′}z. □ Remarque :

1. Cette démonstration est directement inspirée de la situation géométrique.

2. La même technique permet de montrer : x ∼_{h′}y ssi

∃z ∈ X_{n+1} , ∃j ≤ n / \{ \begin{matrix}d_{n+1,i} (z) = ∗ & si i ≠ j,j + 1 \\ d_{n+1,j} (z) = x \\ d_{n+1,j+1} (z) = y \end{matrix}

Nous pouvons maintenant caractériser la relation d’homotopie sur Hom_{𝒮_{∗}} (S^{n},X) : Lemme 1.1.4 Soit f, g ∈ Hom_{𝒮_{∗}} (S^{n},X) représentés respectivement par x, y. Alors, les deux conditions suivantes sont équivalentes :

(1) f ∼_{h} g (∗)

(2) x ∼_{h′}y Preuve :

(1) ⇒ (2) : Soit F homotopie de f à g, on pose : z_{i} = F (s_{n,i}(ῑ_{n}),s_{n,n}...ŝ_{n,i}...s_{n,0}(ι_{1}))

6On dira x_{0},...,x_{k−1} ,−,x_{k+1} ,...,x_{n} vérifient la condition d’extension de Kan

Alors, d_{n+1,i} (z_{j}) = \{ \begin{matrix}∗ & si i ≠ j,j + 1 \\ d_{n+1,i} (z_{i}) & si i = j + 1 \\ x & si i = j = 0 \\ y & si i = n + 1, j = n \end{matrix}

Or d_{n,i}(z_{i}) ∼_{h′} d_{n,i+1} (z_{i}), d’après la remarque précédente, ce qui achève la preuve de x = d_{n+1,0} (z_{0}) ∼_{h′}d_{n+1,n+1} (z_{n}) = y en utilisant la transitivité de ∼_{h′}.

(2) ⇒ (1) : Soit z réalisant l’homotopie x ∼_{h′}y. L’espace S^{n}×△^{1} a pour simplexes non dégénérés (t,s_{n}...s_{0}(0)) et (t,s_{n}...s_{0}(1)) où t = ∗,ῑ_{n} (ῑ_{n},u) où u = s_{n}...s_{0}(∗),s_{n}...ŝ_{i}...s_{0}(ι_{1}) (s_{i}(ῑ_{n}),s_{n}...ŝ_{i}...s_{0}(ι_{1})) Il suffit donc de définir F sur ces simplexes et de vérifier la compatibilité avec les dérivations. On pose donc :

\begin{aligned}F (∗,u) & = & ∗, ∀u ∈ △^{1} \\ F (ῑ_{n},s_{n}...s_{0}(0)) & = & x \\ F (ῑ_{n},s_{n}...s_{0}(1)) & = & y \\ F (ῑ_{n},s_{n}...ŝ_{i}...s_{0}(ι_{1})) & = & \{ \begin{matrix}x & si i < n \\ y & sinon \end{matrix} \\ F (s_{i}(ῑ_{n}),s_{n}...ŝ_{i}...s_{0}(ι_{1})) & = & \{ \begin{matrix}s_{i}(x) & si i < n \\ z & sinon \end{matrix} \end{aligned}

Les relations de dérivations sont alors bien vérifiées, et F réalise l’homotopie attendue. □

Définition 1.1.8 Soit X espace fibrant pointé, on pose :

π_{n}(X,∗) = Hom_{𝒮_{∗}} (S^{n},X)_{/∼_{h}} ≃ X̃_{n}_{/∼_{h′}}

appelé n^{ème}groupe d’homotopie de X.

Remarque :

1. On peut définir la structure de groupe sur π_{n}(X) de manière simpliciale en posant : soit x,y ∈ X̃_{n}, les n+1 n-simplexes ∗,...,∗,x,−,y vérifient la condition d’extension, soit z le n + 1-simplexe obtenu, on pose [x][y] = [d_{n,n}(z)].

2. Les morphismes préservant la relation d’homotopie ∼_{h′}, π_{n} est un foncteur des espaces fibrants dans les groupes.

Nous terminons cet exposé par une brève introduction du formalisme développé par Quillen dans [Qui67], qui a particulièrement inspiré Bousfield et Kan pour leur définition du complété d’un espace simplicial. Ce formalisme permet de définir des notions d’homotopie dans une catégorie possédant certains axiomes : Une catégorie de modèles (sous-entendu, pour une théorie de l’homotopie) est une catégorie 𝒞, admettant des limites projective et inductive finies et possédant trois classes d’applications, fibrations, cofibrations et équivalences faibles, qui vérifient les cinq axiomes suivants (voir [Qui67] pages 1.1-1.2) : M_{1} Soit i une cofibration et p une fibration tel que i ou p est une équivalence

faible, alors dans le diagramme où les données sont les flèches solides,

\xymatrix{A \ar[r] \ar[d]_{i} & X \ar[d]^{p} \\ B \ar[r] \ar@{-->}[ur] \ar[r] & Y}

la flèche pointillée existe. M_{2} Quelque soit f morphisme de 𝒞, il existe p cofibration, i fibration tel que

f = pi. On peut imposer de plus que soit p, soit i soit une équivalence faible. M_{3} La classe des fibrations et celle des cofibrations sont stables par composition

et contiennent tous les isomorphismes. Dans le diagramme (universel) de définition du produit fibré suivant

\xymatrix{X ×_{Y}Y′ \ar[d]_{f′} \ar[r] & X \ar[d]^{f} \\ Y′ \ar[r] & Y}

si f est une fibration, f′est une fibation. Dans le diagramme (universel) de définition de la somme amalgamée suivant

\xymatrix{A \ar[r] \ar[d]_{i} & A′ \ar[d]^{i′} \\ B \ar[r] & B⨆ _{A}A′}

si i est une cofibration, i′est une cofibation. M_{4} Dans l’énoncé précédent, si f (respectivement i) est de plus une équivalence

faible, alors f′(respectivement i′) est une équivalence faible. M_{5} La classe des équivalences faibles est stable par composition et contient tous

les isomorphismes. Soit f, g des morphismes de 𝒞 tel que gf est une équivalence faible, alors (f équivalence faible ⇔ g équivalence faible).

Ainsi, pour les espaces : Définition 1.1.9 (classe des fibrations) Soit, pour n ≥ 1 et k ≤ n, Λ^{n,k} le sous-espace de △^{n} engendré par (d_{n,0}(ι_{n}),...,{ \atop d_{n,k}(ι_{n})},...,d_{n,n}(ι_{n})), et soit i^{n,k}: Λ^{n,k}→ △^{n} l’inclusion canonique : On dira qu’un morphisme f : X → Y est une fibration ssi, pour tout n,k entiers et pour tout diagramme commutatif (représenté ici par les flèches en traits pleins)

\xymatrix{Λ^{n,k} \ar@{^{(}->}[d]_{i_{n,k}} \ar[r] & X \ar[d]^{f} \\ △^{n} \ar[r] \ar@{-->}[ur] & Y}

la flèche poitillée existe. En particulier, on vérifie qu’un espace X est fibrant ssi le morphisme trivial X → △^{0} est une fibration. Remarque : La classe des cofibrations ne nous sera pas utile, et l’on peut en trouver une définition dans [BK72a], p.240. On peut aussi prendre l’axiome M_{1} pour définition des cofibrations. Définition 1.1.10 (classe des équivalences faibles) Soit f morphismes entre espaces fibrants, f est une équivalence faible ssi ∀n, π_{n}(f) est un isomorphisme. Nous prolongeons cette définition dans le paragraphe suivant, bien qu’il soit possible d’achever cette théorie en restant uniquement dans les espaces simpliciaux (voir [Kan55]).

Remarque : Enfin, cette catégorie de modèles (comme les suivantes) est fermée, ce qui permet de caractériser plus aisément les fibrations et cofibrations, et qui simplifie les axiomes M3-M4. Remarquons que l’existence de l’espace de fonction mapdans la catégorie des espaces fait de celle-ci une catégorie «simpliciale », ce qui simplifie encore le formalisme de Quillen.

1.1.3 Réalisation géométrique d’un espace

Nous rappelons ici brièvement les propriétés de la réalisation géométrique d’un espace : Il existe un foncteur | . | de 𝒮 dans Top tel que :

1. Hom_{Top}(| X |,T) ≃ Hom_{𝒮} (X,S(T)) propriété d’adjonction

2. | X × Y |≃| X | × | Y | | X | est la réalisation géométrique de X ; C’est un cw-complexes. La réalisation géométrique préserve la structure de catégorie modèle de 𝒮 :

1. | . | préserve les fibrations et les cofibrations.

2. π_{n}(| X |,| ∗ |) = π_{n}(X,∗) pour X espace fibrant pointé.

Ainsi, nous dirons que f, morphisme d’espaces est une équivalence faible ssi | f | est une équivalence d’homotopie faible dans Top. Le premier résultat de [GZ60]^{7} est que la paire de foncteurs adjoints (| . |,S(.)) réalise une équivalence de catégories entre les localisations de 𝒮 et Top par leurs equivalences faibles respectives.

7qui motive la définition des catégories modèles

1.1.4 Groupes simpliciaux

Si G est un groupe simplicial, notre notation induit une confusion entre le n^{ème} objet d’homotopie de G, et son n^{ème} groupe fondamental. Nous allons voir au contraire que la notion homologique d’objet d’homotopie est légitime puisqu’elle coincide avec celle d’homotopie.

Nous en profitons pour montrer que les notions de Quillen se simplifient dans le cadre des groupes simpliciaux : Lemme 1.1.5 1) Soit G un groupe simplicial, alors G est fibrant.

2) Soit f : G → H morphisme de groupes simpliciaux, alors :

f surjectif ⇒ f fibration Preuve : Il suffit bien sûr de montrer 2. Soit donc,

\xymatrix{Λ^{n,k} \ar@{^{(}->}[d]_{i_{n,k}} \ar[r]^{φ} & G \ar[d]^{f} \\ △^{n} \ar[r]_{ψ} \ar@{-->}[ur] & H}

En fait, la donnée de φ est équivalente à celle de g_{i} = ϕ(d_{n,i}(ι_{n})) ∈ G_{n−1} pour i ≠ k vérifiant d_{n,i}(g_{j}) = d_{n,j−1} (g_{i}) pour i < j, i,j ≠ k. Soit h ∈ H_{n} représentant ψ, la commutativité du diagramme ci-dessus se traduit alors par f(g_{i}) = d_{n,i}(h) pour i ≠ k. On cherche g ∈ G_{n} tel que d_{n,i}(g) = g_{i} et f(g) = h. Lemme 1.1.6 Soit x n-simplexe, y_{i} (n − 1)-simplexe, alors il existe x′ tel que ∀j < i, d_{j}(x′) = d_{j}(x) et d_{i}(x′) = y_{i} il suffit de poser : x′= x.s_{i}((d_{i}x)^{−1} .y_{i}). f est surjective, donc on a g_{0} ∈ G_{n} tel que f(g_{0}) = h. Appliquant alors le lemme précédent n − 1 fois à g_{0}, avec y_{i} = d_{n,i}(h), on obtient g, dont l’image reste h, et dont les dérivées sont bien celles attendues. □ Nous citons ici le théorème de Dold-Kan (voir [Cur67] ou [May67] p.96) : Théorème 1.1.1 (Dold-Kan ou Dold-Puppe) Il existe deux foncteurs N,K qui définissent une équivalence de catégorie entre les groupes abéliens simpliciaux et les complexes de groupes abéliens bornés inférieurement. Nous donnons juste les définitions des deux foncteurs, en utilisant la notion d’espace libre qui a été inspirée par cette démonstration. Définition 1.1.11 1. Soit G un groupe simplicial, NG est le complexe suivant :

NG_{n} = ⋂_{i=0}^{n−1} Ker(d_{n,i}) et ∂_{n} = (−1)^{n}.d_{n,n}

2. Soit A un complexe de groupes abéliens. Soit X l’espace libre de base (A_{n})_{n∈ℕ}, et soit ℤ_{•}X le groupe abélien simplicial définit en 1.1.2.a.

On réduit la loi de groupe de ℤ_{•}X_{n} pour qu’elle coincide avec celle de A_{n} : soit Q le sous-groupe abélien simplicial de ℤ_{•}X engendré, par ({a + b − c; a,b,c ∈ A_{n}, a + b = c dans A_{n}}) _{n∈ℕ} et K′A le groupe abélien simplicial ℤ_{•}X_{/Q} Enfin, soit Q′ le sous-groupe abélien simplicial de K′A engendré par ({d_{n,i}(a_{n}) ; i ≠ n, a_{n} ∈ A_{n}} ∪ {d_{n,n}(a_{n}) − (1)^{n}.∂_{n}(a_{n}); a_{n} ∈ A_{n}})_{n∈ℕ} . On pose KA = K′A_{/Q′}

Les complexes NG et Cℤ_{•}G sont homotopiquement équivalents et ont donc les mêmes groupes d’homologie. Si G est un groupe simplicial sans autre précision, on le considèrera pointé par le sommet 1_{G_{0}} correspondant à l’élément neutre de G_{0}. Il nous reste à démontrer : Proposition 1.1.1 ∀n, H_{n}(NG) ≃ π_{n}(G,∗) Preuve : On a déjà vu que π_{∗}(G) ≃ G̃_{n}_{/∼_{h′}}, par l’application qui à f associe f(ῑ_{n}) Il est clair que Ker(∂_{n}) = G̃_{n}. Soit f, g morphismes pointés de S^{n} dans G, représentés respectivement par x = f(ῑ_{n}), y = f(ῑ_{n}) ∈ G̃_{n}.

Si f est homotope à g, on a z homotopie de x à y : xy^{−1} = d_{n+1} (s_{n}x.z^{−1} ) ∈ Im(∂_{n}). Et réciproquement, si xy^{−1} = d_{n+1} (u), d_{i}(u) = 1_{G_{0}} si i ≠ n + 1, alors xy^{−1} est homotope à 1_{G_{0}}. Il ne nous reste donc plus qu’à voir la compatibilité des deux structures de groupes.

Posons z = s_{n,n−1}(x)s_{n,n}(y) : alors d_{n+1,i} (z) = \{ \begin{matrix}∗ & si i < n \\ x & si i = n − 1 \\ xy & si i = n \\ y & si i = n + 1 \end{matrix}

Donc, par définition (voir remarque du paragraphe 1.1.2.b), [xy] = [x][y], ce qui achève la démonstration. □

Nous obtenons le résultat suivant sur le foncteur R_{•} qui sera notre point de départ pour réaliser une complétion de l’espaxe X :

\begin{matrix}π_{n}(R_{•}X,∗) & −→^{∼} & H_{n}(NR_{•}X) ≃ H_{n}(X;R) \\ [f] & ⟼→ & [f(ῑ_{n})] \end{matrix}

Cette application est tout simplement le morphisme d’Hurewicz.

1.2 Espaces cosimpliciaux et espaces de fonctions

Les espaces cosimpliciaux ont été explicitement développés par Bousfield et Kan dans [BK72a] comme auxiliaire pour leur théorie de la complétion. C’est un des premiers exemples de catégorie pour laquelle le formalisme de Quillen s’applique «naturellement », et on peut encore trouver un développement autour des notions d’homotopie sur les espaces cosimpliciaux dans [Mey90].

1.2.1 Définition et exemple canonique

Définition 1.2.1 Soit 𝒞 une catégorie :

1. Les objets cosimpliciaux de 𝒞 sont les foncteurs covariants de Ord dans 𝒞.

2. On note 𝒮_{𝒞}^{0} la catégorie des objets cosimplicaux de 𝒞 dont les morphismes sont les transformations naturelles.

Nous nous intéresserons plus particulièrement à la catégorie 𝒮^{0} des espaces cosimpliciaux, appelés encore résolutions. Un espace cosimplicial X^{•} est équivalent à la donnée d’un diagramme :

[figure: X_{n}^{m+1}; s_{n,i}^{m+1}; σ_{n}^{m,j}; X_{n+1}^{m+1}; d_{n+1,i}^{m+1}; σ_{n+1}^{m,j}; X_{n}^{m}; s_{n,i}^{m}; δ_{n}^{m+1,j}; X_{n}^{m+1}; d_{n,i}^{m+1}; δ_{n+1}^{m+1,j}]

Exemple :

1. On a un foncteur, dit foncteur constant, des espaces dans les espaces cosimpliciaux, qui a un espace X associe l’espace cosimplicial \overline{X}^{•}, ou plus simplement si aucune confusion n’en résulte, \overline{X}avec \overline{X}^{n}= X et avec pour opérateurs cosimpliciaux le morphisme identité. On notera ainsi ∗ = \overline{∗}^{•} l’espace cosimplicial trivial.

2. On définit l’espace cosimplicial standard △ comme suit :

△^{n} est le n^{ème} espace standard, σ^{n,i}: △^{n+1} → △^{n} est définit par σ^{n,i}(ι_{n+1} ) = s_{n,i}(ι_{n}) δ^{n,i}: △^{n−1} → △^{n} est définit par δ^{n,i}(ι_{n−1} ) = d_{n,i}(ι_{n}) Cet espace cosimplicial jouera pour nous le rôle d’une «résolution libre canonique ».

3. On peut prolonger le foncteur Sk_{n}(.) des espaces aux espaces cosimpliciaux. Soit X^{•} un espace cosimplicial, on notera X_{(n)}^{•} l’espace image de X^{•} par le foncteur ainsi obtenu.

Lemme 1.2.1 (lemme fondamental) Soit X un espace, Hom_{𝒮_{ℰ}} (.,X) est un foncteur contravariant des espaces dans les ensembles. On peut donc le prolonger de manière canonique en un foncteur des espaces cosimpliciaux dans les espaces, que l’on note Hom_{𝒮^{0} ,𝒮} (.,X). Alors,

Hom_{𝒮^{0} ,𝒮} (△,X) = X

Remarque : Plus généralement, on peut prolonger le foncteur Hom_{𝒞} (.,X) à la catégorie des objets cosimpliciaux de 𝒞, et l’on notera encore le foncteur ainsi obtenu Hom_{𝒮_{𝒞}^{0} ,𝒞} , à valeur dans 𝒮_{𝒞} . Le foncteur covariant réalisation peut-être prolongé aux espaces cosimpliciaux : |△| est l’espace topologique cosimplicial standard. Le foncteur bien connu espace simplicial associé est alors 𝒮 (T) = Hom_{𝒮_{Top}^{0} ,Top}(|△|,T).

1.2.2 Espaces de fonction, Espaces totaux

Définition 1.2.2 Soit 𝒞 une catégorie admettant des produits finis : on appelle exponentielle^{8}, noté exp_{𝒞} tout bi-foncteur adjoint à droite du bifoncteur produit, c’est-à-dire, tel que :

Hom_{𝒞} (X × Y,Z) ≃ Hom_{𝒞} (X,exp_{𝒞} (Y,Z))

Exemple :

1. Dans la catégorie des espaces topologiques de Kelley ^{9}, exp_{Top}(X,Y) = Hom_{Top}(X,Y) muni de la topologie compacte-ouverte.

2. Dans la catégorie des espaces, la résolution canonique △ nous permet de résoudre les problèmes d’adjonctions :

Hom_{𝒮} (X × Y,Z) ≃ Hom_{𝒮} (X,exp_{𝒮} (Y,Z))

d’où, en prolongeant ces foncteurs par rapport à X,

Hom_{𝒮^{0} ,𝒮} (△ × Y,Z) ≃ Hom_{𝒮^{0} ,𝒮} (△,exp_{𝒮} (Y,Z)) ≃ exp_{𝒮} (Y,Z)^{10}

d’après le lemme 1.2.1

On notera, selon [Qui67] et [BK72a], map = exp_{𝒮} appelé espace de fonctions de la catégorie simplicale^{11} 𝒮.

3. Dans la catégorie des espaces pointés, la résolution △_{∗} = △⨆ ∗ joue le même rôle de résolution canonique et l’on obtient :

Hom_{𝒮^{0} _{∗},𝒮_{∗}} (△_{∗}× Y,Z) ≃ Hom_{𝒮^{0} _{∗},𝒮_{∗}} (△_{∗},exp_{𝒮_{∗}} (Y,Z)) ≃ exp_{𝒮_{∗}} (Y,Z)

On posera encore map_{∗} = exp_{𝒮_{∗}} .

8Ce terme provient du Lambda-calcul, voir [BW90]

9cf [GZ60]

10Dans cette formule, il faut considérer le foncteur .×Y comme prolongé aux espaces cosimpliciaux. En fait, △ × Y = △ × \overline{Y}ce dernier produit étant pris dans 𝒮^{0}

11voir [Qui67] II-1.1

On a vu comment les espaces de fonctions dans la catégorie des espaces pouvaient être considérés comme des exponentielles catégorielles. Suivant cette fois [BK72a], nous définissons les espaces de fonction pour les espaces cosimpliciaux. La différence provient du fait que notre bifoncteur est à valeur dans les espaces simpliciaux et non dans les espaces cosimpliciaux.

Soit X un espace, on dispose alors de l’endofoncteur des espaces cosimpliciaux qui à Y^{•} associe \overline{X}× Y^{•}; on définit map_{𝒮^{0}} (Y^{•},.) comme le foncteur adjoint à droite du précédent :

Hom_{𝒮^{0}} (\overline{X}× Y^{•},Z^{•}) ≃ Hom_{𝒮} (X,map_{𝒮^{0}} (Y^{•},Z^{•}))

l’avantage étant que l’on ait encore :

Hom_{𝒮_{𝒮}^{0} ,𝒮^{0}} (\overline{△} × Y^{•},Z^{•}) ≃ Hom_{𝒮^{0} ,𝒮} (△,map_{𝒮^{0}} (Y^{•},Z^{•})) ≃ map_{𝒮^{0}} (Y^{•},Z^{•})

On peut enfin définir un foncteur espace total, propre aux espaces cosimpliciaux, et qui est l’analogue pour ceux-ci du foncteur total d’un bicomplexe :

Tot(X) = map_{𝒮^{0}} (△,X)

On définit encore une suite d’approximation de l’espace total, n^{ème}espace total partiel, en posant

Tot_{n}(X) = map_{𝒮^{0}} (△_{(n)},X)

où △_{(n)} est formé des squelettes d’ordre n des espaces consitutant △ (voir 1.2.1 exemple 3)

Exemple : il est clair que, si X est un espace, Tot(\overline{X}) ≃ X.

1.2.3 Cohomologie et théorie de l’homotopie des résolutions

a) Cohomologie.

Nous citons brièvement les notions duales de celles exposées en 1.1.2.a : Soit F foncteur de ℰ dans 𝒞. On note F^{•} de le foncteur de 𝒮^{0} dans 𝒮_{𝒞}^{0}

obtenu par prolongement de F.

Si 𝒞 est une catégorie abélienne, X un objet de 𝒮_{𝒞}^{0} , on définit C′X comme le complexe :

X^{0} → ... → X^{n−1} →^{∂_{n−1}} X^{n} → ... avec ∂_{n−1} = ∑_{i=0}^{n} (−1)^{i}.δ^{n,i}

On écrit π^{n}(X) le n^{ème} objet de cohomologie de C′X, appelé n^{ème} objet de cohomotopie de X. On posera encore H^{n}(X;F) = π^{n}(F^{•}X) b) Cohomotopie et théorie de l’homotopie. Nous exposons ici les notions développées dans [BK72a], qui sont vitales pour l’efficacité de la méthode de complétion par résolution.

Définition 1.2.3 Soit X un espace cosimplicial, on peut définir le groupe de cohomotopie d’ordre 0 de X, π^{0}(X), comme l’augmentation maximale de X, considéré comme diagramme d’espaces :

[figure: π^{0}(X); X^{0}; δ^{0,1}; δ^{0,0}; X^{1}; {x ∈ X^{0} | δ^{0,1}(x) = δ^{0,0}(x)}; ∥]

Remarque : Si X est un groupe simplicial cosimplicial, il est immédiat que cette définition coïncide avec celle (cohomologique) donnée dans le paragraphe a).

On définit alors les notions d’équivalence faible et de cofibration : Définition 1.2.4 Soit f : X^{•} → Y^{•} morphisme de 𝒮^{0} :

1. f est une équivalence faible ssi ∀i, f^{i} : X^{i} → Y^{i} est une équivalence faible d’espaces.

2. f est une cofibration ssi \{ \begin{matrix}f injective \\ f(π^{0}(X^{•})) = π^{0}(Y^{•}) \end{matrix}

3. On dira que X^{•} est cofibrant ssi le morphisme trivial ∅ → X^{•} est une cofi-

bration, c’est-à-dire X^{•} n’est pas augmentable. Exemple :

1. △, △_{(n)} sont des résolutions cofibrantes.

2. Si n ≤ m, l’injection canonique △_{(n)} → △_{(m)} est clairement une cofibration.

3. △ est homotopiquement trivial : le morphime △ → ∗ est une équivalence faible.

Ces deux définitions et celle de map_{𝒮^{0}} font de 𝒮^{0} une catégorie de modèles fermée et simpliciale au sens de Quillen^{12}, ce qui est démontré dans [BK72a] (ch.X, §5). L’avantage de développer ces notions réside en particulier dans la propostion suivante :

Proposition 1.2.1 Soient X^{•}, Y^{•}, Z^{•} espaces cosimpliciaux.

1. Soit f : Y^{•} → Z^{•} équivalence faible, X^{•} cofibrant et Y^{•}, Z^{•} fibrants, alors le morphisme induit

map_{𝒮^{0}} (X^{•},Y^{•}) →^{f_{∗}} map_{𝒮^{0}} (X^{•},Z^{•})

est une équivalence faible.^{13} 2. Soit g : X^{•} → Y^{•} équivalence faible, Z^{•} fibrant et X^{•}, Y^{•} cofibrants,

12la notion de fibration étant définie dans ce cas à partir de celle de cofibration

13cf [BK72a], ch X, §5, prop.5.2 (i)

alors le morphisme induit

map_{𝒮^{0}} (Y^{•},Z^{•}) →^{g^{∗}} map_{𝒮^{0}} (X^{•},Z^{•})

est une équivalence faible.^{14}

3. Soit g : X^{•} → Y^{•} cofibration, X^{•},Y^{•} cofibrants et Z^{•} fibrant, alors le morphisme induit

map_{𝒮^{0}} (Y^{•},Z^{•}) →^{g^{∗}} map_{𝒮^{0}} (X^{•},Z^{•})

est une fibration.

Nous utiliserons cette application sous la forme du corollaire suivant : Corollaire 1.2.1

1. Soit f : Y^{•} → Z^{•} équivalence faible, Y^{•}, Z^{•} espaces cosimpliciaux fibrants, alors le morphisme induit

Tot(Y^{•}) →^{f_{∗}} Tot(Z^{•})

est une équivalence faible d’espace.

2. Soit X^{•} espace cosimplicial cofibrant, n ∈ ℕ alors le morphisme induit

Tot_{n}(X^{•})→ Tot_{n−1} (X^{•})

est une fibration. Preuve : 1) est clair puisque △ est cofibrant. Pour 2), il en est de même sachant que l’injection canonique △_{(n−1)} → △_{(n)} est une cofibration entre espaces cofibrants □

Enfin, on dispose d’un énoncé analogue à celui de 1.1.4 : Lemme 1.2.2 1) Tout groupe simplicial cosimplicial G^{•} est fibrant.

2) Soit f^{•} : G^{•} → H^{•} morphisme de groupes simpliciaux cosimpliciaux, alors : f^{•} surjectif ⇒ f^{•} fibration

1.3 Diagrammes d’espaces, limites homotopique et lien avec les espaces cosimpliciaux

Comme annoncé précédemment, nous exposons les notions de diagramme d’espaces, de limite homotopique telles qu’on les trouve dans [BK72a]. Ces notions généralisent celles du paragraphe précédent, car le foncteur espace total est une certaine limite homotopique.

14cf [BK72a], ch X, §5, prop.5.2 (ii)

1.3.1 Catégorie des ℐ -diagrammes

Définition 1.3.1 Soit ℐ une petite catégorie, 𝒞 une catégorie quelconque : 1. Les ℐ -diagrammes à valeurs dans 𝒞 sont les foncteurs Φ de ℐ dans 𝒞.

2. On note (conformément à la notation générale) 𝒞^{ℐ} la catégorie dont les objets sont les ℐ -diagrammes à valeur dans 𝒞 et dont les morphismes sont les transformations naturelles entre ceux-ci.

Exemple :

1. Une résolution est un Ord-diagramme d’espace.

2. On a, comme pour les résolutions, un foncteur constant évident qui à un objet X de 𝒞 associe \overline{X} ℐ -diagrammes à valeur dans 𝒞.

L’intérêt essentiel des diagrammes réside dans la notion de limite : Définition 1.3.2 On définit le foncteur limite (respectivement colimite) comme le foncteur adjoint à droite (respectivement à gauche), lorsqu’il est définit, du foncteur constant :

Hom_{𝒞} (X,limΦ) ≃ Hom_{𝒞^{ℐ}} (\overline{X},Φ)
Hom_{𝒞} (colimΦ,X) ≃ Hom_{𝒞^{ℐ}} (Φ,\overline{X})

Exemple : lim\overline{X}≃ colim\overline{X}≃ X En effet, Hom_{𝒞^{ℐ}} (\overline{X},\overline{X}) contient alors un isomorphisme.

Nous étudierons principalement les diagrammes d’espaces. D’un point de vue homotopique, la limite d’un diagramme n’est pourtant pas satisfaisante, car elle ne permet pas de préserver de description cohérente des propriétés homotopiques des espaces limites. Pour palier à ce défaut, les topologues en sont venus à définir une notion de limite homotopique pour les diagrammes d’espaces qui représente une approximation de la limite théorique «à homotopie près ». Le formalisme de [Qui67] nous sera utile dans la définition et l’énoncé des propriétés de la limite homotopique, et comme annoncé précédemment, la catégorie des ℐ -diagrammes d’espaces est simpliciale car on peut définir un espace de fonction comme pour les résolutions : Définition 1.3.3 Soit Φ,Ψ des ℐ -diagrammes, X un espace. On définit map_{𝒮^{ℐ}} comme foncteur adjoint :

Hom_{𝒮^{ℐ}} (\overline{X}× Φ,Ψ) ≃ Hom_{𝒮} (X,map_{𝒮} (Φ,Ψ))

d’où

Hom_{𝒮_{(𝒮^{ℐ} )}^{0} ,𝒮^{ℐ}} (\overline{△} × Φ,Ψ) ≃ Hom_{𝒮^{0} ,𝒮} (△,map_{𝒮^{ℐ}} (Φ,Ψ)) ≃ map_{𝒮^{ℐ}} (Φ,Ψ)

Il est intéressant de noter que cet espace de fonction «généralise » la notion de limite :

Proposition 1.3.1 Soit Φ un ℐ -diagramme d’espaces,

map_{𝒮^{ℐ}} (∗,Φ) ≃ limΦ

Preuve : par définition,

Hom_{𝒮^{ℐ}} (\overline{X}× ∗,Φ) ≃ Hom_{𝒮} (X,map_{𝒮^{ℐ}} (∗,Φ))

Or, on a un isomorphisme de ℐ -diagrammes d’espaces : \overline{X}× ∗ ≃ \overline{X × ∗} ≃ \overline{X} En particulier, le foncteur map_{𝒮^{ℐ}} (∗,.) de 𝒮^{ℐ} dans 𝒮 est l’adjoint à droite du foncteur constant, d’où l’isomorphisme attendu par unicité de l’adjoint. □

De plus, on peut déduire naturellement que 𝒮^{ℐ} est une catégorie de modèles simpliciale fermée avec : Définition 1.3.4 Soit f = (f_{i})_{i∈I} un morphisme de ℐ -diagrammes d’espaces, f est une fibration (respectivement cofibration, équivalence faible) ssi ∀i, f_{i} est une fibration (respectivement cofibration, équivalence faible). Remarque : Dans le cas des Ord-diagrammes, ces définitions de la classe des fibrations et de celles des cofibrations contredisent celles du paragraphe 1.2.3 quand à la structure modèle de la catégorie des espaces cosimpliciaux. Cependant, Bousfield et Kan établissent la construction d’un espace cosimplicial de remplaçement, Π, foncteur des ℐ -diagrammes dans les espaces cosimpliciaux, qui transforme une fibration au sens de ce paragraphe en une fibration au sens du paragraphe 1.2.3.

1.3.2 Limite homotopique ; Nerf d’une petite catégorie

Nous commençons par le rappel d’une construction très utilisée en topologie algébrique : Définition 1.3.5 Soit 𝒞 une petite catégorie. On peut alors définir le nerf de 𝒞, N𝒞 comme l’espace suivant :

1. N𝒞_{n} = {X_{0} →^{f_{0}} ... →^{f_{n−1}} X_{n} | X_{i} objet de 𝒞, f_{i} morphisme de 𝒞 }

2. s_{n,i} : (X_{0} →^{f_{0}} ... →^{f_{n−1}} X_{n}) ⟼→ (X_{0} →^{f_{0}} ... X_{i} →^{Id} X_{i} ... →^{f_{n−1}} X_{n})

3. d_{n,i} : (X_{0} →^{f_{0}} ... →^{f_{n−1}} X_{n}) ⟼→ (X_{0} →^{f_{0}} ... X_{i−1} −→^{f_{i}∘f_{i−1}} X_{i+1} ... →^{f_{n−1}} X_{n})

Cette construction bénéficie des propriétés élémentaires suivantes : Proposition 1.3.2

1. Si F : ℐ → 𝒥 est un foncteur entre petites catégories, on définit canoniquement NF morphisme d’espaces simpliciaux entre Nℐ et N𝒥

2. Si α : F → G est une transformation naturelle entre deux foncteurs comme précédemment, on définit canoniquement Nα homotopie de NF à NG

3. Si ℐ admet un objet initial ou final, Nℐ est contractile.

Exemple : On considère la petite catégorie n définie par :

1. Ob(n) = {0,...,n}

2. Hom_{n}(i,j) = \{ \begin{matrix}∗ & si i ≤ j \\ ∅ & sinon \end{matrix}

Il est immédiat que △^{n} = Nn, espace libre formé d’un unique n-simplexe non dégénéré. En fait, tout espace simplicial est le nerf d’une certaine catégorie.

Soit ℐ une petite catégorie, nous considérerons D_{ℐ} le ℐ -diagramme d’espace «standard » suivant

ℐ −→^{D_{ℐ}} 𝒮 , i ⟼→ N(ℐ_{/i})

où ℐ_{/i} est la catégorie dont :

- Les objets sont les morphismes de ℐ dont la cible est i

- Les morphismes entre les objets f et g sont les diagrammes commutatifs suivants

[figure: j; f; i; k; g]

Comme cette dernière catégorie admet l’objet final Id_{i}, N(ℐ_{/i}) est contractile. On peut enfin définir la limite homotopique d’un ℐ -diagramme d’espaces, suivant [BK72a] : Définition 1.3.6 Soit Φ un ℐ -diagramme d’espace, on pose :

holimΦ = map_{𝒮^{ℐ}} (D_{ℐ} ,Φ)

Le morphisme canonique D_{ℐ} →^{ct} \overline{⟨∗⟩}nous permet d’obtenir le morphisme :

limΦ −→ holimΦ

Il est à noter que, bien que ct soit une équivalence faible de 𝒮^{ℐ} , ce dernier morphisme n’est pas en général une équivalence faible de 𝒮

Exemple : holim\overline{X}≃ map(Nℐ ,X) En effet,

Hom_{𝒮} (Z,holim\overline{X}) ≃ Hom_{𝒮^{ℐ}} (\overline{Z}× D_{ℐ} ,\overline{X}) ≃ Hom_{𝒮} (colim(\overline{Z}× D_{ℐ} ),X)

Or, colim(\overline{Z}× D_{ℐ} ) ≃ Z × colim(D_{ℐ} ) ≃ Z × Nℐ d’où,

Hom_{𝒮} (Z,holim\overline{X}) ≃ Hom_{𝒮} (Z,map(Nℐ),X)

On voit bien grâce à cet exemple que limΦ et holimΦ n’ont pas toujours le même type d’homotopie.

La proposition qui nous intéresse est, enfin, la suivante :

Proposition 1.3.3 Soit X^{•} un espace cosimplicial, et donc un Ord-diagramme, alors

Tot(X^{•}) ≃ holim_{Ord} (X^{•})

Preuve : On définit le foncteur F^{n} de Ord_{/n} dans n qui a un morphisme i →^{f} n associe le maximum de f. Cette relation est bien fonctorielle car si l’on a un morphisme de f à g dans Ord_{/n}, max(f) ≤ max(g). Alors NF^{n} est une application simpliciale de D_{Ord}^{n} dans △^{n}. On vérifie que ces applications sont compatibles avec les structures cosimpliciales, d’où une application τ cosimpliciale entre D_{Ord} et △. Or, △ →^{ct} ∗ est une équivalence faible (paragraphe 1.2.3, Exemple). Enfin, ct ∘τ est aussi une équivalence faible de Ord-diagrammes, donc τ est une équivalence faible de Ord-diagramme, c’est-à-dire d’espaces cosimpliciaux. D_{Ord} étant cofibrant, on peut appliquer la proposition 1.2.1-2 à τ, d’où

map_{𝒮^{0}} (△,X^{•}) −→^{τ^{∗}} map_{𝒮^{0}} (D_{Ord} ,X^{•})est une équivalence faible □

Dans cet esprit, Bousfield et Kan établissent une généralisation du corollaire 1.2.1 en utilisant les théorèmes du paragraphe 1.2.3 sur les espaces cosimpliciaux et l’espace cosimplicial de remplacement (voir [BK72a] Ch XI, 5.5 et 5.6). Proposition 1.3.4

1. Soit f : Φ → Ψ équivalence faible de ℐ -diagrammes, Φ, Ψ ℐ -diagrammes fibrants, alors le morphisme induit

holim(Φ) →^{f_{∗}} holim(Ψ)

est une équivalence faible d’espace.

2. Soit f : Φ → Ψ une fibration de ℐ -diagrammes, alors le morphisme induit

holim(Φ) →^{f_{∗}} holim(Ψ)

est une équivalence faible d’espace. Pour clore ce chapitre, nous citons le récent article [CS98]. Celui-ci établit directement ce dernier théorème sur la limite homotopique. En anticipant sur la suite de l’exposé, on peut en particulier l’appliquer directement pour définir la complétion d’un espace comme limite homotopique. On gagne ainsi en généralité (et en élégance) pour une partie des théorèmes sur la complétion. Toutefois, la suite spectrale homotopique de Bousfield-Kan (définie dans la section suivante) reste particulièrement liée à la structure homotopique de la résolution «à coefficients dans un anneau » associée à un espace.

Résolutions et application à la complétion

Nous expliquons ici comment obtenir des résolutions cosimpliciales à partir de certains foncteurs. Par ailleurs, la deuxième partie est consacrée à la définition de la suite spectrale homotopique de Bousfield-Kan que l’on peut associer aux résolutions précédentes. Cette dernière est essentielle dans l’étude de la complétion.

2.1 Résolution associée à un triplet

2.1.1 Triplets et foncteurs adjoints

On pourra trouver un exposé sur les triplets dans [BW90].

Nous adoptons un formalisme qui simplifiera un peu l’écriture des propriétés des triplets. On rappelle que si 𝒞 et 𝒟 sont des catégories, on note 𝒟^{𝒞} la catégorie des foncteurs de 𝒞 dans 𝒟, dont les morphismes sont les transformations naturelles. Soit 𝒞 une catégorie, on considère les endofoncteurs de 𝒞 et leurs transformations naturelles :

1. Soit F,G deux endofoncteurs, F ∘ G ou simplement F G désigne alors leur composée.

2. Soit α : G → H et β : F → G deux transformations naturelles, on note α ∘ β : F → H leur composée.

3. Soit X objet de 𝒞, F,G,H des endofoncteurs, et α : F → G une transformation naturelle, on définit alors les transformations naturelles suivantes :

\{ \begin{matrix}H.α : H ∘ F −→ H ∘ G & où (H.α)_{X} = H(α_{X}) \\ α.H : F ∘ H −→ G ∘ H & où (α.H)_{X} = α_{HX} \end{matrix}

Pour compléter ce formalisme, nous énoncons quatres règles fondamentales, que l’on peut trouver dans l’appendice de [God73] :

1. \{ \begin{matrix}(F ∘ G).α = F.(G.α) \\ α.(F ∘ G) = (α.F).G \end{matrix}

2. F.(α.G) = (F.α).G ≡ F.α.G

3. \{ \begin{matrix}F.(α ∘ β) = (F.α) ∘ (F.β) \\ (α ∘ β).F = α.F ∘ β.F \end{matrix}

4. Soit α : F → G et β : H → K deux transformations naturelles : Appliquant β à F X −→^{α_{X}} GX, on obtient :

\xymatrix{HF X \ar[r]^{Hα_{X}} \ar[d]_{β_{F X}} & HGX \ar[d]^{β_{GX}} \\ KFX \ar[r]_{Kα_{X}} & KGX}

c’est-à-dire β.G ∘ H.α = K.α ∘ β.F Définition 2.1.1 Soit 𝒞 une catégorie, un triplet sur 𝒞 est la donnée :

1. Un endofoncteur T de 𝒞

2. De transformations naturelles

\{ \begin{matrix}η : Id_{𝒞} → T & transformation naturelle dite unité \\ μ : T^{2} −→ T & transformation naturelle dite produit \end{matrix}

qui vérifient

[figure: T; T.η; η.T; T^{2}; μ; T^{2}; μ; T; T^{3}; T.μ; μ.T; T^{2}; μ; T^{2}; μ; T]

μ ∘ T.η = Id_{T} = μ ∘ η.T  μ ∘ T.μ = μ ∘ μ.T
neutre à gauche et à droite  associativité

Remarque : Un triplet est en quelque sorte la transposition des monoïdes (d’ensembles) dans les catégories.

Exemple fondamental : Obtention de triplets à partir d’adjoints Cette méthode a été particulièrement employée pour les paires d’adjoints du type (oubli de structure,objet libre engendré), notamment par Bousfield et Kan dans leur définition de la complétion simpliciale.

Soit F : 𝒞 → 𝒟 et G : 𝒟 → 𝒞 deux foncteurs adjoints.

On a donc γ: Hom_{𝒟} (F.,.) → Hom_{𝒞} (.,G.) transformation naturelle et isomorphisme, entre foncteurs de 𝒞^{0} × 𝒟 dans la catégorie des ensembles, ce que l’on traduit par les relations :

Soit X,X′objets de 𝒞, Y,Y′objets de 𝒟, \{ \begin{matrix}f : F X → Y & g: X → GY \\ h: X′→ X & k: Y → Y′ \end{matrix}

(i) γ_{F X′,Y′}(k ∘ f ∘ F h) = Gk ∘ γ_{F X,Y}(f) ∘ h (ii) γ_{F X′,Y′}^{−1}(Gk ∘ g ∘ h) = k ∘ γ_{F X,Y}^{−1}(f) ∘ F h

On peut définir maintenant les applications d’adjontion suivantes :

\begin{matrix}η_{X} = γ(Id_{F X}) : X → GF X \\ ϵ_{Y}= γ^{−1} (Id_{GY}) : F GY → Y \end{matrix}

Les transformations de foncteurs η et ϵ sont alors naturelles. On démontre ainsi (et dualement pour ϵ) : GF (f) ∘ η_{X} = GF (f) ∘ γ(Id_{F X})

= γ(F (f) ∘ Id_{F X}) , d’après (i)

= γ(Id_{F Y}∘ F (f))
= γ(Id_{F Y}) ∘ f , d’après (ii)
= η_{Y}∘ f

Par ailleurs,

Lemme 2.1.1 \{ \begin{matrix}ϵ.F ∘ F.η = Id_{F} \\ G.ϵ ∘ η.G = Id_{G} \end{matrix}

Preuve : \begin{aligned}ϵ_{F X}∘ F (η_{X}) & = γ^{−1} (Id_{GF X}) ∘ F (γ(Id_{F X})) \\ & = γ^{−1} (Id_{GF X}∘ γ(Id_{F X})) = Id_{F X}□ \end{aligned}

On construit alors le triplet associé à la paire d’adjoints (F,G) : T = GF, η est le neutre pour T, et μ = G.ϵ.F le produit. On vérifie alors que (T,η,μ) est bien un triplet :

a) D’après le lemme précédent, on obtient la loi neutre :

μ ∘ η.T = G.ϵ.F ∘ η.GF = (G.ϵ ∘ η.G).F = Id_{GF} = Id_{T} μ ∘ T.η = G.ϵ.F ∘ GF.η = G.(ϵ.F ∘ F.η) = Id_{T}

b) μ ∘ μ.T = G.ϵ.F ∘ (G.ϵ.F).GF

= G.(ϵ ∘ ϵ.F G).F
= G.(ϵ ∘ F G.ϵ).F d’après la 4ème règle avec α = β = ϵ
= G.ϵ.F ∘ GF G.ϵ.F
= μ ∘ T.μ □

Remarque : Il est démontré dans [BW90] que tout triplet peut être construit à partir d’une paire d’adjoints (non unique).

On peut définir de manière duale un cotriplet (S,ϵ,ν) sur 𝒞 (c’est-à-dire un triplet sur 𝒞^{0}). Par ailleurs, la contruction précédente peut être dualisé : à partir d’une paire d’adjoints (F,G), on construit (F G,ϵ,G.η.F) cotriplet sur 𝒞.

2.1.2 Résolution associée

Soit (T,η,μ) un triplet sur la catégorie 𝒞.

Suivant [God73], on peut alors définir T̃, résolution associée à (T,η,μ) (encore appelée «résolution standard » par Godement), que l’on considérera comme objet cosimplicial sur la catégorie des endofoncteurs de 𝒞, soit un objet de 𝒮 𝒞^{𝒞} . Il suffira alors d’«évaluer » cette résolution en X, objet de 𝒞, pour obtenir la résolution classique, objet cosimplicial sur 𝒞 au sens de [God73] et [BK72a] :

T̃^{n}= T^{n+1}
σ^{n,i} = T^{i}.μ.T^{n−i} : T̃^{n+1}→ T̃^{n}
δ^{n,i} = T^{i}.η.T^{n−i} : T̃^{n−1}→ T̃^{n}

Par naturalité de η et μ, σ^{n,i} et δ^{n,i} sont des transformations naturelles.

L’«évaluation » de T̃ en X est alors T̃_{X}, objet cosimplicial de 𝒞, avec pour n-cosimplexes (T̃_{X})^{n} = T̃^{n}(X), et pour opérateurs σ_{X}^{n,i} et δ_{X}^{n,i}.

Par ailleurs, on vérifie les égalités cosimpliciales en utilisant les propriétés du triplet (T,η,μ) et les 4 règles énoncées en 2.1.1 :

(a) \underline{i < j ⇒ δ^{n+1,j} ∘ δ^{n,i} = δ^{n+1,i} ∘ δ^{n,j−1}} T^{j}.η.T^{n+1−j} ∘ T^{i}.η.T^{n−i}

= T^{i}.( \underbrace{T^{j−i} .η ∘ η.T^{j−i−1}}_{∥}).T^{n+1−j}

η.T^{j−i} ∘ T^{j−i−1} .η d’après la 4ème règle avec \{ \begin{matrix}α = T^{j−i−1} .η \\ β = η \end{matrix}

= T^{i}.η.T^{n+1−i} ∘ T^{j−1} .η.T^{n+1−j}

(b) \underline{i ≤ j ⇒ σ^{n,j} ∘ σ^{n+1,i} = σ^{n,i}∘ σ^{n+1,j+1}} T^{j}.μ.T^{n−j} ∘ T^{i}.μ.T^{n+1−i}

= T^{i}.( \underbrace{T^{j−i} .μ ∘ μ.T^{j−i+1}}_{∥}).T^{n−j}

μ ∘ μ.T = μ ∘ T.μ si i = j d’après la loi d’associativité de T
μ.T^{j−i} ∘ T^{j−i+1} .μ sinon 4ème règle avec\{ \begin{matrix}α = T^{j−i−1} .μ \\ β = μ \end{matrix}

= T^{i}.μ.T^{n−i} ∘ T^{j+1} .μ.T^{n−j}

(c)_{1} \underline{i < j ⇒ σ^{n,j} ∘ δ^{n+1,i} = δ^{n,i}∘ σ^{n−1,j−1}} T^{j}.μ.T^{n−j} ∘ T^{i}.η.T^{n+1−i}

= T^{i}.( \underbrace{T^{j−i} .μ ∘ η.T^{j−i+1}}_{∥}).T^{n−j}

η.T^{j−i} ∘ T^{j−i−1} .μ d’après la 4ème règle où \{ \begin{matrix}α = T^{j−i−1} .μ \\ β = η \end{matrix}

= T^{i}.η.T^{n−i} ∘ T^{j−1} .μ.T^{n−j}

(c)_{2} \underline{σ^{n,j} ∘ δ^{n+1,j} = σ^{n,j} ∘ δ^{n+1,j+1} = Id_{T^{n+1}}} En effet, d’après la loi neutre du triplet (T,η,μ) :

T^{j}.μ.T^{n−j} ∘ T^{j}.η.T^{n+1−j}
= T^{j}.(μ ∘ η.T).T^{n−j} = T^{j}.(Id_{T}).T^{n−j} = Id_{T^{n+1}}
T^{j}.μ.T^{n−j} ∘ T^{j+1} .η.T^{n−j}
= T^{j}.(μ ∘ T.η).T^{n−j} = T^{j}.(Id_{T}).T^{n−j} = Id_{T^{n+1}}

(c)_{3} \underline{i > j + 1 ⇒ σ^{n,j} ∘ δ^{n+1,i} = δ^{n,i−1} ∘ σ^{n−1,j}}

T^{j}.μ.T^{n−j} ∘ T^{i}.η.T^{n+1−i}

= T^{j}.( \underbrace{μ.T^{i−j−1} ∘ T^{i−j} .η}_{∥}).T^{n+1−i}

T^{i−j} .η ∘ μ.T^{i−j−2} d’après la 4ème règle où \{ \begin{matrix}α = T^{i−j−2} .η \\ β = μ \end{matrix}

= T^{i}.η.T^{n−i} ∘ T^{j−1} .μ.T^{n−j}

Par ailleurs, cette résolution standard possède une augmentation canonique que nous décrirons, suivant le formalisme de ce paragraphe, comme un morphisme d’endofoncteurs cosimpliciaux. Soit \overline{Id_{𝒞}}^{•} l’endofoncteur cosimplicial constant égal au foncteur identité en chaque dimension, et ayant chaque opérateurs cosimpliciaux égaux à la transformation naturelle identique. Il est clair que si l’on évalue \overline{Id_{𝒞}}^{•} en X objet de 𝒞, on obtient tout simplement l’objet cosimplicial constant \overline{X}. Le morphisme d’augmentation est alors un morphisme A_{T}, de \overline{Id_{𝒞}}^{•} dans T̃, défini par :

Id_{𝒞} −→^{A_{T}^{n}} T̃^{n}= T^{n+1}

𝒜_{T}^{n} = \{ \begin{matrix}η si n=0 \\ δ^{n,n}∘ ... ∘ δ^{1,1}∘ η sinon \end{matrix}

On vérifie que A_{T} est un morphisme d’objets cosimpliciaux : δ^{n,i}∘ A_{T}^{n−1} = A_{T}^{n} si n > 1 σ^{n,i}∘ A_{T}^{n+1} = A_{T}^{n} si n > 1

d’après les égalités cosimpliciales^{1}. La seule chose à vérifier est : δ^{1,0}∘ η = δ^{1,1}∘ η = A_{T}^{1} d’après la 4ème règle avec α = β = η

Remarque : Dualement, on peut appliquer la même construction à un cotriplet (S,ϵ,ν), et on obtient alors l’endofoncteur simplicial S̃ de 𝒞, ainsi qu’une coaugmentation, S̃−→^{ℬ_{S}} \overline{Id_{𝒞}}, morphisme d’endofoncteurs simpliciaux.

1Ou encore le lemme de réécriture pour les objets cosimpliciaux

Application : 1-Dérivation des triplets

Cette notion se révèle finalement centrale dans les méthodes de Bousfield-Kan puisque la suite spectrale homotopique associée à un triplet d’espace se calcule à partir de foncteurs dérivés (voir section suivante). On trouve une importante utilisation des triplets (ainsi qu’une application des méthodes de Bousfield-Kan) dans [Mil84].

Soit F : 𝒞 → 𝒟 un foncteur. F_{∘} désignera le foncteur de 𝒞^{𝒞} dans 𝒞^{𝒟} qui associe

1. à G endofoncteur de 𝒞, le foncteur F ∘ G

2. à la transformation naturelle α, la transformation naturelle F.α Alors F_{∘}^{•} est le prolongement cosimplicial de F_{∘}, de 𝒮_{𝒞^{𝒞}}^{0} dans 𝒮_{𝒞^{𝒟}}^{0} . Il est immédiat que (F_{∘}^{•}T̃)_{X} = F^{•}(T̃_{X}) où F^{•} est le prolongement cosimplicial (voir paragraphe 1.2.3.a). Définition 2.1.2 Soit (T,η,μ) un triplet sur 𝒞 et F un foncteur de 𝒞 dans 𝒜, catégorie abélienne.

1. On définit alors le n^{ème} foncteur dérivé de F par T, comme le n^{ème} objet

d’homotopie

R_{T}^{n}F = H^{n}(T̃;F_{∘}) = π^{n}(F_{∘}^{•}T̃)

c’est-à-dire, pour X objet de 𝒞,

R_{T}^{n}F (X) = H^{n}(T̃_{X};F) = π^{n}(F^{•}(T̃_{X}))

2. Le morphisme d’augmentation canonique de T nous donne alors une transformation naturelle

F = π^{0}(F_{∘}^{•}\overline{Id_{𝒞}} = \overline{F}) −−−−−−→^{π^{0}(F_{∘}^{•}(A_{T}))} R_{T}^{0}F

On dira alors que le foncteur F est T -acyclique ssi

(a) ∀n ≠ 0, R_{T}^{n}F = 0

(b) pour n = 0, cette transformation naturelle π^{0}(F_{∘}^{•}(A_{T})) est un isomor-

phisme de foncteur

3. On dira encore qu’un objet X de 𝒞 est R_{T}^{∗}F -acyclique lorsque (a) ∀n ≠ 0, R_{T}^{n}F (X) = 0

(b) pour n = 0, l’application canonique π^{0}(F_{∘}^{•}(A_{T}))_{X} est un isomor-

phisme entre X et R_{T}^{0}F (X)

Remarque : Dualement, si (S,ϵ,ν) est un cotriplet, on appellera n^{ème}foncteur dérivé (à gauche) de F par S l’objet L_{n}^{F}S = H_{n}(S̃;F_{∘}) = π_{n}(F_{∘}_{•}S̃X).

On aura besoin par la suite de la proposition suivante qui est une généralisation du lemme 10.6 de [BK72b] :

Proposition 2.1.1 Soit (T,η,μ) un triplet sur 𝒞. Soit F foncteur de 𝒞 dans une catégorie abélienne 𝒜 tel que F.η admette un inverse naturel à gauche :

∃ψ: F ∘ T → F / ψ ∘ F.η = Id_{F}

alors, F est T -acyclique Preuve : On considère le complexe de foncteurs C^{.}F_{∘}^{•}(T̃) ayant pour n^{ème} terme le foncteur^{2} F T^{n+1} , et pour n^{ème} différentielle la transformation naturelle

d^{n} = ∑_{i=0}^{n+1}(−1)^{i}F.δ^{n+1,i} = ∑_{i=0}^{n+1}(−1)^{i}F T^{i}.η.T^{n+1−i}

Il nous suffit de démontrer qu’on a l’équivalence d’homotopie

\xymatrix{0 \ar[r] & F T \ar[d]_{ψ} \ar[r]^{d^{0}} & F T^{2} \ar[r] \ar[d]_{0} & ... \ar[r] & F T^{n} \ar[r] \ar[d]_{0} & ... \\ 0 \ar[r] & F \ar[u]_{F.η} \ar[r] & 0 \ar[r] \ar[u]_{0} & ... \ar[r] & 0 \ar[r] \ar[u]_{0} & ...}

En effet, ψ ∘ F.η = Id_{F} par définition, et il reste à démontrer Id_{C^{.}F_{∘}^{•}T̃}− (F.η ∘ ψ)_{0} est homotopiquement nul.

\xymatrix{0 \ar[r] & F T \ar[r]^{d^{0}} \ar[d]_{Id_{F T}−F.η∘ψ} & F T^{2} \ar[r] \ar[d]^{Id_{F T^{2}}} \ar[dl]_{h^{1}} & ... \ar[r] & F T^{n} \ar[r]^{d^{n}} \ar[d]_{Id_{F T^{n}}} & F T^{n+1} \ar[r] \ar[d]^{Id_{F T^{n+1}}} \ar[dl]_{h^{n+1}} & ... \\ 0 \ar[r] & F T \ar[r]^{d^{0}} & F T^{2} \ar[r] & ... \ar[r] & F T^{n} \ar[r]^{d^{n}} & F T^{n+1} \ar[r] & ...}

avec h^{n} = ψ.T^{n} donne l’homotopie attendue :

h^{1}∘ d^{0} = ψ.T ∘ (F.η.T − F T.η)

= \underbrace{ψ.T ∘ F.η.T}_{∥} − \underbrace{ψ.T ∘ F T.η}_{∥}

(ψ ∘ F.η).T = Id_{F T} F.η ∘ ψ En effet, dans la catégorie abélienne 𝒜, la composition de foncteur est «bilinéaire », il en est donc de même pour les transformations naturelles entre les foncteurs à valeur dans 𝒜. Pour le reste, on applique les règles 4 et 3.

h^{n+1} ∘ d^{n}+ d^{n−1} ∘ h^{n}

= ψ.T^{n+1} ∘ ( ∑^{n+1} ; i=0F T^{i}.η.T^{n+1−i} ) + ( ∑^{n} ; i=0 F T^{i}.η.T^{n−i}) ∘ ψ.T^{n}

= ∑^{n+1} ; i=0(−1)^{i} \underbrace{ψ.T^{n+1} ∘ F T^{i}.η.T^{n+1−i}}_{∥}+ ∑^{n} ; i=0 (−1)^{i} \underbrace{F T^{i}.η.T^{n−i} ∘ ψ.T^{n}}_{∥}

2Toute catégorie de foncteurs à valeurs dans une catégorie abélienne est aussi abélienne. Raisonner ainsi évite des lourdeurs de notations

(\underbrace{ψ.T^{i}∘ F T^{i}.η}_{∥}).T^{n+1−i} (F T^{i}.η ∘ ψ.T^{i}).T^{n−i}

\{ \begin{matrix}F T^{i−1} .η ∘ ψ.T^{i−1} & si i > 0 (règle 4) \\ ψ ∘ F.η = Id_{F} & si i = 0 \end{matrix}

= Id_{F T^{n+1}}car les autres termes des deux sommes s’annulent mutuellement □

On peut énoncer une version «locale » de ce théorème, dont la démonstration s’obtient simplement en localisant les transformations naturelles et foncteurs de la démonstration précédente par un objet X de 𝒞 : Proposition 2.1.2 Soit (T,η,μ) un triplet sur 𝒞. Soit F foncteur de 𝒞 dans une catégorie abélienne 𝒜, et X un objet de 𝒞 tels que F (η_{X}) admette un inverse à gauche :

∃ψ_{X}: F T X → F X / ψ_{X}∘ F (η_{X}) = Id_{F X}

alors, X est R_{T}^{∗}F -acyclique

Cette proposition nous permettra de construire des équivalences faibles d’espaces. On peut la trouver (de manière plus génèrale) dans [BB69] où les auteurs construisent directement une homotopie contractante de l’objet cosimplicial F_{∘}^{•}(T̃). Une autre généralisation qui nous sera utile est la suivante :

Application : 2-Homotopies cosimpliciales pour des triplets La référence pour cette application est l’article [Mey90]. L’auteur définit d’abord la notion d’homotopie cosimpliciale entre deux applications cosimpliciales, notée ∼^{h}, notion duale de l’homotopie simpliciale (définie en 1.1.5) et établit Lemme 2.1.2 Soit X^{•} et Y^{•} espaces cosimpliciaux, f^{•},g^{•} : X^{•} → Y^{•} morphismes. Alors :

f^{•} ∼^{h} g^{•} ⇒ Tot(f^{•}) ∼_{h} Tot(g^{•})

Il déduit enfin un théorème général qui permet de contruire des équivalences d’homotopies entre deux triplets particulires. Nous utiliserons les corollaires (propositions 4.1,4.2,4.3 de [Mey90]) : Proposition 2.1.3

1. Soit (T,η,μ),(U,η′,μ′) des triplets sur les espaces tels que

il existe des morphismes de triplets T → U et U → T, alors T̃ et Ũ ont même type d’homtopie

⇒ pour tout espace X, Tot(T̃_{X}) et Tot(Ũ_{X}) ont même type d’homotopie

2. Soit F un foncteur de cible 𝒮 et (T,η,μ) un triplet sur 𝒮 vérifiant

∃ψ: T F → F tel que \{ \begin{matrix}ψ ∘ η.F = Id_{F} \\ ψ ∘ T.ψ = ψ ∘ μ.F \end{matrix}

alors, pour tout espace X, Tot(T̃_{F X}) et F X ont même type d’homotopie 3. Soit F un endofoncteur sur 𝒮 et (T,η,μ) un triplet sur 𝒮 vérifiant

∃θ: F T → F tel que \{ \begin{matrix}θ ∘ F.η = Id_{F} \\ θ ∘ θ.T = θ ∘ F.μ \end{matrix}

alors, pour tout espace X, F Tot(Ũ_{X}) et F X ont même type d’homotopie La 3ème assertion est donc la généralisation au cas non abélien de la proposition 2.1.1.

Exemple : Soit R un anneau et R le foncteur de la catégorie des ensembles dans celles des R-module à gauche, notée R-mod, qui à un ensemble associe le R-module à gauche libre engendré. Soit 𝒪 le foncteur oubli des R-modules à gauche dans les ensembles. Il est bien connu, que 𝒪 est l’adjoint à droite de R. On obtient donc un triplet (T = 𝒪 ∘ R,η,𝒪.ϵ.R) et un cotriplet (S = R ∘ 𝒪,ϵ,ν = R.η.𝒪) associés à cette paire d’adjoints où, pour M objet de R-mod et X ensemble,^{3}

\begin{matrix}η_{X} : \begin{matrix}X → T X \\ x ↦ 1 · x \end{matrix} & ϵ_{M} : \begin{matrix}SM → M \\ r · m ↦ rm \end{matrix} \\ ν_{M} : \begin{matrix}SM → S^{2}M \\ r · m ↦ r · 1 · m \end{matrix} \end{matrix}

Le localisé de S̃en M est un R-module simplicial dont les opérateurs faces sont

d_{n,i}: S^{n+1} M → S^{n}M, r_{0}· ... · r_{n}· x ↦ \{ \begin{matrix}r_{0}· ... · r_{n}x si i=n \\ r_{0}· ... · (r_{i}r_{i+1} ) · ... · r_{n}· x sinon \end{matrix}

2.1.3 Application au foncteur R_{•}

L’exemple fondamental qui sert pour la complétion d’un espace est la paire d’adjoint (R_{•},𝒪_{•}) où les foncteurs sont naturellement prolongés aux catégories simpliciales sous-jacentes (cf paragraphe 1.1.2.a). La construction du paragraphe précédent nous permet d’obtenir un triplet, (T_{R} = 𝒪_{•}∘ R_{•},η,μ), et d’en déduire un objet cosimplicial d’endofoncteur sur les espaces, que nous noterons R̃.

Ainsi, si X est un espace, R̃_{X}est un espace cosimplicial :

(a) (R̃_{X})_{m}^{n} est un R-module libre de base

{r_{0}· ... · r_{n}· x | r_{0},...,r_{n} ∈ R, x m-simplexe de X}

(b) Les opérateurs cosimpliciaux sont donnés par des formules analogues à celles de l’exemple précédent :

η_{X} : \begin{matrix}X & −→ & T_{R}X \\ x & ⟼→ & 1 · x \end{matrix} μ_{X} : \begin{matrix}T_{R}^{2}X & −→ & T_{R}X \\ r_{1}· r_{2}· m & ⟼→ & (r_{1}r_{2}) · m \end{matrix}

3On emploiera l’écriture r · m uniquement pour noter formellement les éléments d’un R-module engendré, et non la loi de composition externe des R-module

δ^{n,i} : (R̃_{X})^{n−1} −→ (R̃_{X})^{n} r_{0}· ... · r_{n−1} · x ⟼→ r_{0}· ... · \underbrace{1}_{i^{ème} position}·... · r_{n−1} · x

σ^{n,i} : \begin{matrix}(R̃_{X})^{n+1} & −→ & (R̃_{X})^{n} \\ r_{0}· ... · r_{i}· r_{i+1} · ... · r_{n+1} · x & ⟼→ & r_{0}· ... · (r_{i}r_{i+1} ) · ... · r_{n+1} · x \end{matrix}

Il apparaît que tout ces opérateurs sont des morphismes de R-modules simpliciaux, exceptés les δ^{n,0} :

r_{1}· x + r_{2}· x = (r_{1}+ r_{2}) · x mais par contre,

1 · r_{1}· x + 1 · r_{2}· x − 1 · (r_{1}+ r_{2}) · x ≠ 0

On dira que R̃_{X}est un quasi-R-module simplicial cosimplicial (voir [Lan92]). L’intérêt de cette définition est que le lemme 1.2.2 sur les R-modules simpliciaux cosimpliciaux reste valide. Ainsi, R̃_{X} est un espace cosimplicial fibrant, et tout morphisme de quasi-R-module simplicial cosimplicial qui est de plus surjectif est une fibration (cosimpliciale).

Enfin, cet espace cosimplicial est naturellement augmenté et on dispose d’une application :

\overline{X}→ R̃_{X}

Remarque : On peut tout aussi bien prendre le foncteur R-espace affine libre au lieu du foncteur R-module libre, et c’est ce qui est fait dans [BK72a] pour obtenir une complétion avec des espaces pointés.

2.2 Tour de fibrations et suite spectrale en homotopie

2.2.1 Préambule : tours de groupes et de fibrations

a) Suites homotopiques exactes

Le prototype de suite homotopique exacte est la «suite homotopique » associée à une fibration (voir [Spa66] p.371-379). Nous aurons donc souvent à traiter avec ce genre de suite, bien que certaines ne proviennent pas directement d’une fibration. D’où Définition 2.2.1 La suite de morphisme

... → G′_{i+1} →^{∂_{i}} F_{i} →^{h_{i}} G_{i} →^{f_{i}} G′_{i} →^{∂_{i−1}} F_{i−1} → ... →^{∂_{0}} F_{0} →^{h_{0}} G_{0} →^{f_{0}} G′_{0}

est une suite homotopique exacte ssi 1. G_{i}, G′_{i}et F_{i} sont \{ \begin{matrix}des groupes abéliens si i > 1 \\ des groupes si i = 1 \\ des ensembles pointés (par ∗) si i = 0 \end{matrix}

2. si i ≥ 1, alors \{ \begin{matrix}Im(∂_{i}) = Ker(h_{i}) \\ Im(h_{i}) = Ker(f_{i}) et h_{0}(F_{0}) = f_{0}^{−1} (∗) \\ Im(f_{i+1} ) = Ker(∂_{i}) et f_{0}(G_{0}) = G′_{0} \end{matrix}

3. G′_{1} agit sur F_{0} On note ∼_{G′_{1}} la relation d’équivalence sur F_{0} induite par cette action :

x ∼_{G′_{1}} y ⇔ ∃g ∈ G′_{1} tel que y = g.x

(a) ∂_{0}(g) = g.∗

(b) ∂_{0}^{−1} (∗) = Im(f_{1})

(c) h_{0}(x) = h_{0}(y) ⇔ x ∼_{G′_{1}} y

b) Tours de groupes et pro-objets.

Nous exposons ici les bases algébriques qui nous permettrons de définir la suite spectrale homotopique de Bousfield-Kan, mais aussi d’énoncer plus tard certains théorèmes sur la complétion, notamment le «lemme des R-tours ». Pour cela, nous introduirons brièvement le langage de [AM69] ; ceci est loin d’être anecdotique et les méthodes employées par Bousfield et Kan pour définir la complétion y sont particulièrement rattachées.

Définition 2.2.2 Soit 𝒢 la catégorie des groupes

1. Soit 𝒩 la petite catégorie dont l’ensemble des objets est ℕ et avec une unique flèche non triviale entre n ∈ ℕ et n + 1 ∈ ℕ. On appelera encore tour de groupes tout 𝒩 -diagramme :

... −→ G_{n} −→^{j_{n}} G_{n−1} −→ ... −→ G_{0} −→ G_{−1} = {0}

où G_{n} est un groupe, j_{n} un morphisme de groupes.

2. On définit pro𝒢 la catégorie des pro-groupes avec

(a) pour objets les ℐ -diagrammes de groupes où ℐ est nimporte quelle catégorie filtrante (les tours de groupes sont donc des pro-groupes particuliers)

(b) pour morphismes

Hom_{pro𝒢} (G,H) ≡ lim_{ℐ}colim_{𝒥}Hom_{𝒢} (G_{i},H_{j})

où G (respectivement H) est le ℐ -diagramme (respectivement 𝒥 - diagramme) composé des groupes G_{i} (respectivement H_{i})

Les tours de groupes étant des 𝒩 -diagrammes, nous disposons de la notion de limite pour ces objets. Lorsque l’on se restreint aux groupes abéliens, dont la catégorie associée est abélienne, on peut contruire les foncteurs dérivés du foncteur lim (et ceci pour tout diagramme de groupes abéliens). Dans le cas particulier d’une tour de groupe, on peut toutefois définir l’analogue d’un foncteur dérivé du premier ordre, et la limite est définit de manière «constructive ». Soit donc

G = ... → G_{n} →^{j_{n}} G_{n−1} → ...

une tour de groupes. Soit S_{G} = ∏ _{n∈ℕ} G_{n}. Le groupe S_{G} agit sur l’ensemble sous-jacent encore noté S_{G} : Soit g = (g_{n})_{n∈ℕ},x = (x_{n})_{n∈ℕ} ∈ S_{G}, alors

g.x = (g_{0}x_{0}(j_{1}(g_{1}))^{−1} ,...,g_{n}x_{n}(j_{n+1} (g_{n+1} ))^{−1} ,...)

Par définition,

limG = {(g_{n})_{n∈ℕ} | g_{n} = j_{n+1} (g_{n+1} )}
c’est-à-dire limG = Stabilisateur_{S_{G}}(1) = {g ∈ S_{G} | g.1 = 1}

On peut de plus définir un ensemble qui généralise le premier foncteur dérivé à droite de lim dans le cas des groupes abéliens Définition 2.2.3 Soit ∼_{S_{G}} la relation d’équivalence associée à l’action de S_{G}. On pose

lim^{(1)}G ≡ S_{G}_{/∼_{S_{G}}}

Si G est un groupe abélien, cet ensemble est canoniquement muni d’une structure de groupe induite par celle de S_{G}. Bien sûr, le foncteur lim^{(1)} vérifie la propriété fondamentale suivante : Proposition 2.2.1 Soit la suite exacte de tour de groupes

0 → G′→ G → G′′→ 0

on en dérive la suite homotopique exacte

...0 → ... → 0 → limG′→ limG →^{f_{1}} limG′′ →^{∂_{0}} lim^{(1)}G′→ lim^{(1)}G → lim^{(1)}G′′

Lorsque ces diagrammes sont à valeurs dans les groupes abéliens, cette suite est tout simplement une suite exacte de groupes abéliens. En particulier le foncteur définit précédemment coïncide bien avec le premier foncteur dérivé à droite de lim_{𝒩} .

Pour établir des isomorphismes (et donc faire des calculs) sur la limite de tours de groupes, on utilisera la notion de pro-isomorphisme qui est par ailleurs au coeur d’un théorème important sur la complétion de Bousfield-Kan :

Proposition 2.2.2 Soit

G −→^{φ} H

un morphisme de tour de groupes, qui induit un pro-isomorphisme dans la catégorie des pro-groupes, alors f induit les isomorphismes

\{ \begin{matrix}lim(G) = lim(H) \\ lim^{(1)}(G) = lim^{(1)}(H) \end{matrix}

On peut trouver une preuve de cette proposition dans [BK72a], Ch.III, §2 (p.75). On l’appliquera en premier lieu au cas suivant : Définition 2.2.4 Soit

G = ... −→ G_{n} −→^{j_{n}} G_{n−1} −→ ... −→ G_{0}

une tour de groupes, on définit G^{(r)}, r^{ème} tour dérivée de G, en posant :

G_{n}^{(r)} = Im(G_{n+r} −→^{j_{n+r}} ... −→^{j_{n+1}} G_{n})

G^{(r)} ≡ ... −→ G_{n}^{(r)} −→^{j̃_{n}} G_{n−1}^{(r)} −→ ... −→ G_{0}^{(r)}

où j̃_{n} est le morphisme induit par j_{n}

En effet, il est immédiat que j_{n}(G_{n}^{(r)}) = G_{n−1}^{(r)} . On dispose alors d’une injection canonique de G^{(r)} dans G qui induit un pro-isomorphisme de pro-groupes. On déduit donc de la proposition 2.2.2 Lemme 2.2.1 Soit G une tour de groupes, alors :

∀r,\{ \begin{matrix}lim(G^{(r)}) ≃ lim(G) \\ lim^{(1)}(G^{(r)}) ≃ lim^{(1)}(G) \end{matrix}

c) Notations

Définition 2.2.5 On appelle tour de fibrations (d’espaces) toute suite

... → X_{n} →^{f_{n}} X_{n−1} → ... → X_{0} → X_{−1} = ∗

où X_{i} est un espace pointé, f_{i} un morphisme pointé et une fibration. On note {X_{n},f_{n}}_{n} une telle tour de fibrations.

L’espace limite d’une tour de fibrations est particulièrement intéressant et l’on dispose de la proposition suivante (voir [BK72a], Ch.IX,§3, theorème 3.1 p.254-255) qui nous permet de faire des calculs d’homotopie : Proposition 2.2.3 Soit {X_{n},f_{n}}_{n} une tour de fibrations, on a alors pour tout entier i la suite exacte suivante :

0 −→ lim_{n}^{(1)}(π_{i+1} (X_{n})) −→ π_{i}( lim_{n}(X_{n})) −→ lim_{n}(π_{i}(X_{n})) −→ 0

La suite spectrale homotopique de Bousfield-Kan permet de préciser les liens entre les différents groupes d’homotopie en jeu dans une telle tour de fibrations, et ceci à partir des suites exactes associées à chaque fibration. On posera donc :

Z_{n} est la fibre de f_{n}

G_{i,n} = π_{i}(X_{n})

F_{i,n} = π_{i}(Z_{n}) Entre ces deux types de groupes, on a les applications suivantes :

G_{i,n} −→^{f_{i,n}} G_{i,n−1} où f_{i,n} = π_{i}(f_{n})

F_{i,n} −→^{h_{i,n}} G_{i,n} obtenue à partir de l’inclusion canonique de Z_{n} dans X_{n}

On peut associer à chaque fibration de cette tour sa suite homotopique exacte, ce qui nous permet d’obtenir le diagramme suivant :

[figure: ...; F_{i,n+1}; G_{i,n+1}; G_{i,n}; F_{i−1,n+1}; G_{i−1,n+1}; ...; ...; G_{i+1,n−1}; ∂_{i,n}; F_{i,n}; G_{i,n}; G_{i,n−1}; ∂_{i−1,n}; F_{i−1,n}; G_{i−1,n}; ...; ...; G_{i+1,n−2}; F_{i,n−1}; G_{i,n−1}; G_{i,n−2}; F_{i−1,n−1}; ...] (2.1)

où les lignes de ce diagramme sont formées de suites (indexées par i) homotopiques exactes.

2.2.2 Suites homotopiques exactes dérivées

A partir de ce diagramme de suites homotopiques exactes, on peut dériver de nouvelles suites à partir des applications de la tour de fibrations. Elles nous serviront à préciser les liens entre les groupes G_{i,j} et les groupes d’homotopie de la limite de notre tour de groupes.

On voudrait maintenant «dériver » le diagramme 1 de manière que :

- Les tours de groupes en diagonales soient les dérivées des tours (G_{i,j})_{j∈ℕ}

- Les lignes soient encore des suites homotopiques exactes. Il nous reste donc à définir les dérivés r^{ème} des groupes F_{i,j} pour i > 0, et des G_{1,j}-ensembles F_{0,j+1} .

1er cas : i>0

\xymatrix{ &  & G_{i,n+r} \ar[ddr]^{f_{i,n+1} ∘...∘f_{i,n+r}} \\  & K_{1} \ar@{^{(}->}[d] \ar@{-->}[r]^{˜∂} & K_{2} \ar@{^{(}->}[d] \\ G_{i+1,n} \ar[r]^{f_{i+1,n}} & G_{i+1,n−1} \ar[r]^{∂_{i,n}} \ar[ddr]_{ψ=f_{i+1,n−r} ∘...∘f_{i+1,n−1}} & F_{i,n} \ar[r]^{h_{i,n}} \ar[drr]_{φ} & G_{i,n} \ar[r]^{f_{i,n}} \ar@{-->}[dr] & G_{i,n−1} \\  &  &  &  & G_{i,n}/G_{i,n}^{(r)} \\  &  & G_{i+1,n−1−r}}

où K_{1} = Ker(ψ) et K_{2} = Ker(φ). Alors ∂_{i,n}(K_{1}) ⊂ K_{2} car h_{i,n}∘ ∂_{i,n} = 0. On pose donc ˜∂ = ∂_{i,n}_{/K_{1}}^{\K_{2}}. Enfin, on peut définir :

F_{i,n}^{(r)} = coKer(˜∂) = K_{2}_{/∂_{i,n}(K_{1})}

Il reste à vérifier que ce groupe s’insère bien dans un diagramme dérivé comme celui décrit au début de ce paragraphe :

1. En fait, K_{2} = h_{i,n}^{−1} (G_{i,n}^{(r)}), et on a l’application K_{2} →^{h_{i,n}} G_{i,n}^{(r)}. Comme ∂_{i,n}(K_{1}) ⊂ Ker(h_{i,n}), cette application se factorise et l’on obtient :

F_{i,n}^{(r)} −→^{h_{i,n}^{(r)}} G_{i,n}^{(r)}

2. On utilise l’application G_{i+1,n−1} →^{ψ} G_{i+1,n−1−r} :

K_{1} = Ker(ψ) et G_{i+1,n−1−r}^{(r)} = Im(ψ) ≃ G_{i+1,n−1} _{/K_{1}}

Or, h_{i,n}(∂_{i,n}(G_{i+1,n−1} )) = 0 ⊂ G_{i,n}^{(r)}, d’où

[figure: G_{i+1,n−1}; ∂_{i,n}; K_{2}; _{G_{i+1,n−1} _{/K_{1}}}; ≃; _{K_{2}_{/∂_{i,n}(K_{1})}}; =; G_{i+1,n−1−r}^{(r)}; ∂_{i,n}^{(r)}; F_{i,n}^{(r)}]

3. On obtient donc :

G_{i+1,n−r}^{(r)} −→^{f_{i+1,n−r}^{(r)}} G_{i+1,n−1−r}^{(r)} −→^{∂_{i,n}^{(r)}} F_{i,n}^{(r)} −→^{h_{i,n}^{(r)}} G_{i,n}^{(r)} −→^{f_{i,n}^{(r)}} G_{i,n−1}^{(r)}

et il nous reste à vérifier que ce morceau de suite est (homotopique) exact :

(a) Im(h_{i,n}^{(r)}) = h_{i,n}(K_{2} = h_{i,n}^{−1}(G_{i,n}^{(r)})) = Im(h_{i,n})⋂ G_{i,n}^{(r)} = Ker(f_{i,n})⋂ G_{i,n}^{(r)} =

Ker(f_{i,n}^{(r)})

(b) Ker(h_{i,n}^{(r)}) = Ker(h_{i,n})_{/∂_{i,n}(K_{1})}= Im(∂_{i,n})_{/∂_{i,n}(K_{1})}= Im(∂_{i,n}^{(r)})
(c) Ker(∂_{i,n}^{(r)}) ≃ Ker(∂_{i,n})_{/K_{1}} = Im(f_{i+1,n})_{/K_{1}} ≃ Im(f_{i+1,n−r}^{(r)} )

Les deux isomorphismes employés sont réciproques l’un de l’autre, on a donc une égalité.

2ème cas : i=0 \xymatrix{ & & G_{0,n+r} \ar[ddr]^{f_{0,n+1} ∘...∘f_{0,n+r}} \\ & K_{1} \ar@{^{(}->}[d] \ar@{-->}[r]^{˜∂} & K_{2} \ar@{^{(}->}[d] \\ G_{1,n} \ar[r]^{f_{1,n}} & G_{1,n−1} \ar[r]^{∂_{0,n}} \ar[dr]_{ψ=f_{1,n−r} ∘...∘f_{1,n−1}} & F_{0,n} \ar[r]^{h_{0,n}} & G_{0,n} \ar[r]^{f_{0,n}} & G_{0,n−1} \\ & & G_{1,n−1−r}}

On ne travaille plus avec des groupes, mais avec des groupes agissant sur des ensembles. Il faut juste adapter les définitions précédentes à cette situation : On pose : K_{1} = Ker(ψ) et K_{2} = h_{0,n}^{−1} (G_{0,n}). Alors, K_{1}, sous-groupe de G_{1,n−1} , agit par restriction sur F_{0,n} et K_{2} est stable par cette action car :

Si x ∈ K_{2}, g ∈ K_{1}, h_{0,n}(g.x) = h_{0,n}(x) ∈ G_{0,n} d’après les propriétés énoncées en 2.2.1. On définit alors F_{0,n}^{(r)} comme l’espace des orbites de K_{2} sous l’action de K_{1} :

F_{0,n}^{(r)} = K_{2}_{/∼_{K_{1}}}

1. D’après ce qui précède, il est clair que l’application K_{2} →^{h_{0,n}} G_{0,n}^{(r)} est stable pour la relation ∼_{K_{1}}, et par passage au quotient :

F_{0,n}^{(r)} −→^{h_{0,n}^{(r)}} G_{0,n}^{(r)}

2. A nouveau, G_{1,n−1−r}^{(r)} = Im(ψ) ≃ G_{1,n−1}_{/K_{1}} Si g ∈ G_{1,n−1−r} , alors ∂_{1,n}(g) = g.∗ On obtient encore

[figure: G_{1,n−1}; ∂_{1,n}; K_{2}; _{G_{1,n−1}_{/K_{1}}}; τ; ϕ; ≃; _{K_{2}_{/∼_{K_{1}}}}; G_{1,n−1−r}^{(r)}; ∂_{1,n}^{(r)}; F_{1,n}^{(r)}]

3. Enfin,

G_{1,n−r}^{(r)} −→^{f_{1,n−r}^{(r)}} G_{1,n−1−r}^{(r)} −→^{∂_{0,n}^{(r)}} F_{0,n}^{(r)} −→^{h_{0,n}^{(r)}} G_{0,n}^{(r)} −→^{f_{0,n}^{(r)}} G_{0,n−1}^{(r)}

est bien la fin d’une suite homotopique exacte :

Le groupe G_{1,n−1−r}^{(r)} ≃ G_{1,n−1}_{/K_{1}} agit sur K_{2}_{/∼_{K_{1}}} = F_{0,n}^{(r)} de façon induite à partir de l’action de G_{1,n−1} sur F_{0,n}.

(a) si g ∈ G_{1,n−1−r}^{(r)} , et z ∈ G_{1,n−1} tel que ϕ^{−1} (g) = [z] alors

∂_{1,n}^{(r)}(g) = τ(ϕ^{−1} (g) = [z]) = [∂_{1,n}^{−1} (z)] = [z.∗] = g.[∗]

(b) (∂_{1,n}^{(r)})^{−1} ([∗]) = ϕ(τ^{−1} ([∗])) ⊂ ϕ(Im(f_{1,n})_{/K_{1}}) = Im(f_{1,n−r}^{(r)} )

(c) si x,y ∈ K_{2}, [x],[y] ∈ F_{0,n}^{(r)}, alors

h_{0,n}^{(r)}([x]) = h_{0,n}^{(r)}([y]) ⇔ h_{0,n}(x) = h_{0,n}(y)
⇔ x ∼_{G_{1,n}} y ⇔ [x] ∼_{G_{1,n−1−r}^{(r)}} [y]

2.2.3 Suite spectrale homotopique de Bousfield-Kan

On a donc obtenu des diagrammes dérivés du type (2.1). Les flèches pointillées qui y sont indiquées vont maintenant nous servir à réorganiser l’information contenue dans ces diagrammes en une suite spectrale homotopique, définie par Bousfield et Kan dans [BK72a] : Définition 2.2.6 Avec les notations du paragraphe précèdent, on définit alors la suite spectrale homotopique, dite de Bousfield-Kan, associée à notre tour de fibrations initiale :

E_{r}^{i,j} ≃ F_{j−i,i}^{(r−1)}

avec pour différentielles

d_{r}^{i,j} : E_{r}^{i,j} → E_{r}^{i+r,j+r−1}
[figure: G_{j−i,i}^{(r−1)}; ∂_{j−i−1,i+r}^{(r−1)}; F_{j−i−1,i+r}^{(r−1)}; F_{j−i,i}^{(r−1)}; h_{j−i,i}^{(r−1)}; d_{r}^{i,j}; G_{j−i,i}^{(r−1)}]

Les termes E_{r}^{i,j} = F_{j−i,i}^{(r−1)} de cette suite spectrale, parfois dite «étendue » pour cette raison, sont :

- nuls si j<i

- des ensembles pointés sur la diagonale j = i

- des groupes sur la diagonale j = i + 1

- des groupes abéliens sur les diagonales j > i + 1 On justifie alors la dénomination de suite spectrale homotopique en raison des propriétés suivantes :

\xymatrix{... \ar[r]^{d_{r}^{i−r,j−r+1}} & E_{r}^{i,j} \ar[r]^{d_{r}^{i,j}} & E_{r}^{i+r,j+r−1} \ar[r] & ... \ar[r]^{d_{r}^{l−2r,l−2r+2}} & E_{r}^{l−r,l−r+1} \ar[r]^{d_{r}^{l−r,l−r+1}} & E_{r}^{l,l}}

où l = i + (j − i)r 1. ∀i < j, d_{r}^{i,j} est un morphisme de groupe et :

E_{r+1}^{i,j} = Ker(d_{r}^{i,j})/Im(d_{r}^{i−r,j−r+1} )

2. E_{r}^{l−r,l−r+1} agit sur E_{r}^{l,l} tel que (a) E_{r+1}^{l,l} ⊂ E_{r}^{l,l}_{/∼_{E{l−r,l−r+1 \atop r}}}

(b) Si g ∈ E_{r}^{l−r,l−r+1} , d_{r}^{l−r,l−r+1} (g) = g.∗

Preuve : pour j − i > 0,

Ker(d_{r}^{i,j})= Ker( ∂_{j−i−1,i+r}^{(r−1)} ∘ h_{j−i,i}^{(r−1)} )

= h_{j−i,i}^{(r−1)}^{−1} ( Ker(∂_{j−i−1,i+r}^{(r−1)} ) = Im(f_{j−i,i+1}^{(r−1)} ) = f_{j−i,i+1}^{(r−1)} (G_{j−i,i+1}^{(r−1)} ))

= h_{j−i,i}^{(r−1)}^{−1} ( f_{j−i,i+1}^{(r−1)} (Im(f_{j−i,i+2} ∘ ... ∘ f_{j−i,i+r} )))

= \frac{h_{j−i,i} ^{−1} ( Im(f_{j−i,i+1} ∘ f_{j−i,i+2} ∘ ... ∘ f_{j−i,i+r} ))}{∂_{j−i,i} ( Ker(f_{j−i+1,i−r+1} ∘ ... ∘ f_{j−i+1,i−1} ))}

et par ailleurs,

Im(d_{r}^{i−r,j−r+1} )= Im( ∂_{j−i,i}^{(r−1)} ∘ h_{j−i+1,i−r}^{(r−1)} )

= ∂_{j−i,i}^{(r−1)} ( Im(h_{j−i+1,i−r}^{(r−1)} ) = Ker(f_{j−i+1,i−r}^{(r−1)} ))

= ∂_{j−i,i}^{(r−1)} ( Ker(f_{j−i+1,i−r} )⋂ Im(f_{j−i+1,i−r+1} ∘ ... ∘ f_{j−i+1,i−1} ))

= \frac{∂_{j−i,i} ( (f_{j−i+1,i−r+1} ∘ ...f_{j−i+1,i−1} )^{−1} ( Ker(f_{j−i+1,i−r} )) )}{∂_{j−i,i} ( Ker(f_{j−i+1,i−r+1} ∘ ... ∘ f_{j−i+1,i−1} ))}

= \frac{∂_{j−i,i} ( Ker(f_{j−i+1,i−1} ∘ ... ∘ f_{j−i+1,i−r+1} ∘ f_{j−i+1,i−r} ))}{∂_{j−i,i} ( Ker(f_{j−i+1,i−r+1} ∘ ... ∘ f_{j−i+1,i−1} ))}

et on obtient bien l’isomorphisme 1. Alors l’action de G_{1,l−r}^{(r−1)} sur F_{0,l}^{(r−1)} induit une action de F_{1,l−r}^{(r−1)} sur F_{0,l}^{(r−1)} , qui vérifie donc la propriété 2(b). L’inclusion 2(a) est alors immédiate. □

Remarque : De même que les suites homotopiques exactes dérivées, de la tour de fibrations {X_{n},f_{n}}_{n}, cette suite spectrale est naturelle en {X_{n},f_{n}}_{n}.

Les propriétés suivantes montrent finalement comment la suite spectrale homotopique d’une tour de fibrations détermine l’homotopie de sa limite :

Proposition 2.2.4 (Lemme de connexité) Soit {X_{n},f_{n}}_{n} une tour de fibrations et E_{r}^{i,j} les termes de la suite spectrale homotopique qui lui est associée. Si

∃k ≥ 0, r > 0 | pour 0 ≤ j − i ≤ k, E_{r}^{i,j} = ∗

alors pour tout n ≥ 0, 0 ≤ i ≤ k,

lim(π_{i}(X_{n})) = ∗  lim^{(1)}(π_{i+1} (X_{n})) = ∗

d’où, lim(X_{n}) est k-connexe

Preuve : Par hypothèse, si 0 ≤ i ≤ k, et pour tout n F_{i,n}^{(r−1)} = 0. Donc, d’après la r^{ème} suite homotopique exacte dérivée, G_{i,n}^{(r−1)} → G_{i,n−1}^{(r−1)} est un isomorphisme si i ≤ k et sujectif pour i = k + 1. Il s’ensuit bien que lim(G_{i,n}^{(r−1)} ) = ∗ et lim^{(1)}(G_{i+1,n}^{(r−1)} ) = ∗ pour 0 ≤ i ≤ k, ce qui donne le résultat d’après le lemme 2.2.1, l’implication étant immédiate d’après la proposition 2.2.3 □

Proposition 2.2.5 (Mapping lemma) Soit {X_{n},f_{n}}_{n} −→^{τ={τ_{n}}_{n}} {Y_{n},g_{n}}_{n} un morphisme de tours de fibrations. Si ∃ r > 0 tel que

1. pour tout i, E_{r}^{i,i}( {X_{n},f_{n}}_{n}) = ∗

2. pour j − i ≥ 0, E_{r}^{i,i}(τ) est un isomorphisme (de groupes pour j − i ≥ 1, et

d’ensembles pointés pour j = i) alors, pour tout i ≥ 0, n ≥ 0,

lim_{n}(π_{i}(X_{n})) ≃_{τ_{∗}} lim_{n}(π_{i}(Y_{n})) lim^{(1)}(π_{i+1} (X_{n})) ≃_{τ_{∗}} lim^{(1)}(π_{i+1} (Y_{n}))

d’où, τ induit une équivalence d’homotopie (faible) entre lim(X_{n}) et lim(Y_{n})

Preuve : Tout d’abord, d’après l’hypothèse 1., pour tout entier n, dans la suite homotopique exacte dérivée associée à {X_{n},f_{n}}_{n},

G_{0,n}^{(r−1)} = G_{0,n−1}^{(r−1)} = ... = G_{0,−1}^{(r−1)} = ∗

Il en est de même pour {Y_{n},g_{n}}_{n} d’après les isomorphismes donnés en 2. Maintenant, par application itérative du lemme des cinq aux morphismes de suites homotopiques exactes dérivées induits par τ,on voit que ceux-ci sont des isomorphismes. Le passage à la limite nous donne le résultat toujours d’après le lemme 2.2.1 □

2.2.4 Cas particulier d’un espace cosimplicial

Soit X^{•} un espace pointé cosimplicial fibrant. D’après le corollaire 1.2.1, l’espace total de X^{•} est la limite d’une tour de fibrations

... → Tot_{n}(X^{•}) → Tot_{n−1} (X^{•}) → ... → Tot_{0}(X^{•})

On notera donc E_{r}^{i,j}(X^{•}) la suite spectrale homotopique associée à cette tour de fibration. Ici, les termes E_{1} de cette suite spectrale homotopique sont particulièrement faciles à décrire (voir [BK72a] Ch.X, §6-7, p281-285). Il suffit de définir Définition 2.2.7

1. Soit 𝒜 catégorie abélienne, A^{•} objet cosimplical sur 𝒜. On définit N endofoncteur de 𝒮_{𝒜}^{0}

(N A^{•})^{n} = A^{n}⋂ ( Ker(σ^{n−1,0} ) ∩ ... ∩ Ker(σ^{n−1,n−1} ))

les opérateurs cosimpliciaux de N A^{•} étant alors induit par ceux de A^{•}

2. Soit X^{•} un espace pointé cosimplical. On définit encore N endofoncteur de 𝒮_{𝒮_{∗}}^{0}

(N X^{•})^{n} = X^{n}⋂ ( (σ^{n−1,0} )^{−1} (∗) ∩ ... ∩ (σ^{n−1,n−1} )^{−1} (∗))

les opérateurs cosimpliciaux de N X^{•} étant alors induit par ceux de X^{•}

3. Si G^{•} est un groupe cosimplicial, ZG^{1} = {g ∈ (N G^{•})^{1} | δ^{2,0}(g)(δ^{2,1}(g))^{−1} δ^{2,2}(g) = 1} est un G^{0}-ensemble pour l’action

si g ∈ G^{0}, x ∈ ZG^{1}, g.x = (δ^{1,0}(g))x(δ^{1,1}(g)) On définit alors le foncteur de 𝒮_{𝒢}^{0} dans 𝒮^{0} par

π_{𝒢}^{1} (G^{•}) = ZG^{1}_{/∼_{G^{0}}}

Lemme 2.2.2 Soit X^{•} un espace pointé cosimplicial fibrant, alors pour tout 0 ≤ i ≤ j,

1. E_{1}^{i,j}(X^{•}) ≃ N (π_{j} ^{•}(X^{•}))

2. E_{2}^{i,j}(X^{•}) ≃ \{ \begin{matrix}\begin{matrix}π^{i}( N (π_{j} ^{•}(X^{•}))) \\ si j ≥ 2 \end{matrix} \} & i^{ème}objet de cohomotopie dans 𝒮_{Ab}^{0} \\ π_{𝒢}^{1} (π_{1}^{•}(X^{•})) & si j = 1,i = 1 \\ \begin{matrix}π^{0}(π_{1}^{•}(X^{•})) & si j = 1,i = 0 \\ π^{0}(π_{0}^{•}(X^{•})) & si j = 0,i = 0 \end{matrix} \} & coaugmentation des espaces cosimpliciaux \end{matrix}

indication de Preuve :

1. On vérifie facilement que la fibre de la fibration

Tot_{n}(X^{•}) = map_{𝒮^{0}} (△_{(n)},X^{•}) −→ Tot_{n−1} (X^{•}) = map_{𝒮^{0}} (△_{(n−1)} ,X^{•})

est l’espace pointé map_{∗}(S^{n},N X^{n}) Or, E_{1}^{i,j} = π_{j−i} (map_{∗}(S^{i},N X^{i})) = π_{j−i+i} (N X^{i}) On utilise alors le lemme (voir [BK72a] Ch.X,proposition 6.3),

π_{j}(N X^{i}) = N (π_{j}(X^{•})

2. Il faut vérifier que les différentielles d_{1}^{i,j} de la suite spectrale homotopique sont données par les opérateurs cosimpliciaux de X^{•} : pour j ≥ 2,

d_{1}^{i,j} = ∑_{k=0}^{i+1}(−1)^{k}N π_{j} ^{•}(δ^{i+1,k})

Ensuite, il faut montrer par ailleurs, que les actions de groupes (définitions 2.2.7(3) et 2.2.6(2)) coïncident. La description des termes E_{1}^{i,j} permet alors de conclure □

Exemple : Soit X un espace,

E_{2}^{i,j}(\overline{X}^{•}) = \{ \begin{matrix}π_{j}(X) & si i = 0 \\ ∗ & sinon \end{matrix}

En effet,

E_{1}^{i,j} = π_{j} ^{•}(\overline{X}^{•}) = \overline{π_{j}(X)}^{•}
d_{1}^{i,j} = ∑_{k=0}^{i+1}(−1)^{k}Id = \{ \begin{matrix}0 & si i est pair \\ Id & si i est impair \end{matrix}

Complétion des espaces

Nous exposons ici la méthode de Bousfield et Kan pour définir la R-complétion d’un espace (ou encore sa complétion au sens classique si R=𝔽_{p}, et sa localisation si R ⊂ ℚ). L’objectif principal qui motiva la définition de la complétion/localisation était le lemme de fracture qui devait permettre des calculs sur les groupes d’homotopie, en particulier sur leurs p-torsion ou leur localisation par 1/p (voir []). La méthode exposée ici généralise les résultats antérieurs en les insérant dans un cadre formel plus clair, et permet de mieux...

3.1 Définitions et propriétées fondamentales

3.1.1 Définition de la complétion

Dans tout ce paragraphe, R sera un anneau, R le foncteur R-module-libre engendré. R_{•} sera alors le prolongement naturel de ce foncteur aux espaces. Outre être l’adjoint d’un foncteur oubli, rappelons qu’il satisfait la propriété essentielle suivante :

π_{n}(R_{•}X,0) ≃ H_{n}(X;R)

d’après le paragraphe 1.1.4, l’isomorphisme étant celui d’Hurewicz. Enfin, X désignera un espace connexe. Cette hypothèse simplifie légèrement la définition de la complétion sans perte de généralité au final. On peut alors définir la complétion de X : Définition 3.1.1 On rappelle que la paire d’adjoints (R_{•},𝒪) induit un triplet sur les espaces qui nous permet de construire la résolution R̃(voir 2.1.3) ; on appelle alors R-complété de X l’espace :

R_{∞} X = Tot(R̃_{X})

On sait que la résolution R̃est canoniquement augmentée : Ct → R̃. D’où l’on dispose d’une application naturelle en X, \overline{X}→ R̃_{X}. En passant à l’espace total, on obtient l’application canonique :

X −→^{φ_{X}} R_{∞} X

Par ailleurs, φ est une transformation naturelle du foncteur Id au foncteur R_{∞}, endofoncteurs des espaces.

Comme tout espace total, R_{∞} X est l’espace limite d’une tour de fibration. On pose R_{n}X = Tot_{n}(X) :

... → R_{n}X → R_{n−1} X → ... → R_{0}X = X → ∗

est en effet une tour de fibration d’après le corollaire 1.2.1. Par ailleurs,

R_{∞} X = lim(R_{n}X)

Enfin, R̃_{X}est un espace cosimplicial. On dispose donc de la suite spectrale homotopique de Bousfield-Kan, naturelle en X, dont les termes E_{2} sont :

E_{2}^{i,j}(X) ≃ \{ \begin{matrix}π^{i}(N π_{j} ^{•}(R̃_{X})) pour 0 < i ≤ j \\ ∗ sinon \end{matrix}

En effet, X est connexe et π_{j} ^{•}(R̃_{X}) est un groupe abélien cosimplicial.

Remarque :

1. En exploitant la construction de R̃ grâce au triplet associé à une paire d’adjoint, on peut construire directement certaines homotopies pour le foncteur R_{∞}. Ainsi, dans [Mey90], Meyer montre comment construire des «homotopies » entre des résolutions cosimpliciales (obtenues à partir de triplets), qui donnent des homotopies après passage à l’espace total, à partir de transformations naturelles. Il démontre en particulier, de manière élémentaire et sans utiliser la machinerie développée par Bousfield et Kan : Proposition 3.1.1 Il existe une équivalence d’homotopies cosimpliciales entre R̃_{X}× R̃_{Y}et R̃_{X×Y}. En particulier, après passage à l’espace total, R_{∞} X × R_{∞} Y ≃ R_{∞} (X × Y)

2. Nous revenons sur l’hypothèse de connexité faite sur X. Tout d’abord, il suffit de remplacer le foncteur R^{aff} par le foncteur R-espace affine engendré pour obtenir la complétion de Bousfield-Kan pour les espaces pointés. Ensuite, Il est montré dans [BK72a] Proposition 3.1.2 Soit X un espace, et (X_{i})_{i∈I} la famille des composantes connexes de X.

⨆_{i∈I} R_{∞} X_{i} ≃ R_{∞} X

et l’on peut donc se limiter aux composantes connexes de l’espace X. Enfin, il est démontré dans [Lan92] que, si X est connexe, les complétions par R ou par R^{aff} coïncident.

3.1.2 Espaces R-complets, R-bons

On utilise la transformation naturelle φ pour définir : Définition 3.1.2 On dira :

1. X R-bon ssi ∀n ∈ ℕ, H_{n}(X;R) −→^{φ_{X}_{∗}} H_{n}(R_{∞} X;R) est un isomorphisme

2. X R-complet ssi X →^{φ_{X}} R_{∞} X est une équivalence d’homotopie faible, ce qui

signifie,

∀n ∈ ℕ, π_{n}(X) −→^{φ_{X}_{∗}} π_{n}(R_{∞} X) est un isomorphisme. Bien sûr, si X est R-complet, il est R-bon. Cette notion d’espace R-bon for-

malise les problèmes que l’on rencontre si l’on sort des espaces simplements connexes pour obtenir des complétions viables, c’est-à-dire qui permettent des calculs sur les groupes d’homotopie. Ainsi,

Proposition 3.1.3 Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. X R-bon

2. R_{∞} X R-complet

3. R_{∞} X R-bon

On utilisera les lemmes suivants : Lemme 3.1.1 Soit X →^{f} Y morphisme d’espaces pointés, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. H_{∗}(X;R) →^{f_{∗}} H_{∗}(Y;R) est un isomorphisme

2. R_{∞} X →^{R_{∞} f} R_{∞} Y est une équivalence d’homotopie faible

3. H_{∗}(R_{∞} X;R) →^{(R_{∞} f)_{∗}} H_{∗}(R_{∞} Y;R) est un isomorphisme

Lemme 3.1.2 Pour tout n ∈ ℕ, l’application

H_{n}(X;R) →^{φ_{X}_{∗}} H_{n}(R_{∞} X;R)

admet un inverse à gauche ψ_{X} naturel en X.

Preuves :

a) lemme 3.1.2 Tout d’abord, on définit un morphisme d’espaces cosimpliciaux, de «projection » sur un espace cosimplicial constant, p_{X}: R̃_{X}→ \overline{R_{•}X}en posant :

\begin{aligned}(p_{X})^{n} = σ_{X}^{n−1,n−1} ∘ ... ∘ σ_{X}^{0,0} : & (R̃_{X})^{n} & → & (R̃_{X})^{0} = R_{•}X \\ & r_{0}· ... · r_{n}· x & ↦ & (r_{0}...r_{n}) · x \end{aligned}

En effet, les identités cosimpliciales de R̃ montrent que ces applications sont compatibles avec les opérateurs de R̃_{X}. Par ailleurs, celles-ci sont naturelles en X puisque les opérateurs σ^{n,i} sont en fait ici des transformations naturelles. Si R_{•}^{•} désigne le foncteur R prolongé au espaces cosimpliciaux (c’est-à-dire aux ensembles simpliciaux cosimpliciaux), il est alors immédiat que :

R_{•}^{•}(\overline{X}) −→^{R_{•}^{•}(φ_{X})} R_{•}^{•}(R̃_{X}) −→^{R_{•}^{•}(p_{X})}R_{•}^{•}(\overline{R_{•}X}) ≃ \overline{R_{•}^{2}X} −→^{\overline{σ_{X}^{0,0}}} \overline{R_{•}X}≃ R_{•}^{•}(\overline{X})

est en fait l’identité. Or, si A^{•} est un espace cosimplicial, Tot(R_{•}^{•}(A^{•})) = R_{•}(Tot(A^{•})). D’où, en passant à l’espace total,

R_{•}X −→^{R_{•}(φ_{X})} R_{•}R_{∞} X −→ R_{•}X

est bien l’identité.

[figure: π_{n}(R_{•}X); π_{n}(R_{•}(φ_{X})); π_{n}(R_{•}R_{∞} X); π_{n}(R_{•}X); H_{n}(X;R); (φ_{X})_{∗}; H_{n}(R_{∞} X;R); H_{n}(X;R)]

et la deuxième flèche est l’inverse naturel en X attendu □

b) lemme 3.1.1 b)_{1} 1. ⇒ 2.

Par hypothèse, H_{∗}(X;R) −→^{f_{∗}} H_{∗}(Y;R) est un isomorphisme ⇔ π_{∗}(R_{•}X) −→^{f_{∗}} π_{∗}(R_{•}Y) est un isomorphisme ⇒ H_{∗}(R_{•}X;R) −→^{f_{∗}} H_{∗}(R_{•}Y;R) est un isomorphisme

et ainsi,

R̃_{X} −→^{f_{∗}} R̃_{Y}est une équivalence d’homotopie d’espaces cosimpliciaux au sens de 1.2.3. Donc, R_{∞} X −→^{f_{∗}} R_{∞} Y est une équivalence d’homotopie d’après le corollaire 1.2.2.

b)_{2} 2 ⇒ 3 est évidente. b)_{3} 3 ⇒ 1

En appliquant le lemme 3.1.2, on obtient le diagramme commutatif suivant :

[figure: H_{∗}(X;R); ^{φ_{X}^{∗}}; α=f_{∗}; H_{∗}(R_{∞} X;R); ψ_{X}; β=(R_{∞} f)_{∗}; H_{∗}(X;R); α=f_{∗}; H_{∗}(Y;R); _{φ_{X}_{∗}}; H_{∗}(R_{∞} Y;R); ψ_{X}; H_{∗}(Y;R)]

par hypothèse, β est un isomorphisme. Alors, α admet un inverse à gauche et à droite :

φ_{Y}_{∗}α = βφ_{X}_{∗} ⇒ (ψ_{X}β^{−1} φ_{Y}_{∗})α = ψ_{X}(β^{−1} β)φ_{X}_{∗} = ψ_{X}φ_{X}_{∗} = Id □

αψ_{X} = ψ_{Y}β ⇒ α(ψ_{X}β^{−1} φ_{Y}_{∗}) = ψ_{Y}ββ^{−1} φ_{Y}_{∗} = Id □ La proposition 3.1.3 est alors évidente en appliquant le lemme 3.1.1 à l’application φ_{X} □

Le premier exemple d’espace R-complet est alors : Proposition 3.1.4 Soit B un R-module simplicial (connexe), B est R-complet. Preuve : Nous donnons deux explications pour cette proposition, qui toutes deux utilisent l’application :

\begin{matrix}R_{•}B & −→^{ψ_{B}} & B \\ r · x & ⟼→ & rx \end{matrix}

Première démonstration : On utilise la suite spectrale homotopique de B:

E_{2}^{i,j}(R̃_{B}) ≃ π^{i}(N π_{j} ^{•}(R̃_{B})) ≃ R_{T_{R}}^{i}(N π_{j}^{•})(B)

Autrement dit, E_{2}^{i,j} est le i^{ème} foncteur dérivé à droite du foncteur N π_{j}^{•} par le triplet T_{R}.

Or, ψ_{B} est clairement un inverse à gauche de η_{B}, b ↦ 1 · b. On peut donc appliquer le lemme 2.1.2 au triplet T_{R} et à chaque foncteur F = N π_{j}^{•}, puisque F (ψ_{B}) est un inverse à gauche de F (η_{B}). Il s’ensuit que pour tout j, B est R_{T_{R}}^{∗}(N π_{j}^{•})-acyclique, et donc :

E_{2}^{i,j}(\overline{B}) −→^{A_{B}_{∗}} E_{2}^{i,j}(R̃_{B}) ≃ ∗ si i > 0

est un isomorphisme pour tout i,j entiers (en particulier pour i=0). On conclut, d’après la proposition 2.2.5, que φ_{B} = Tot(A_{B})) est une équivalence faible. □

Deuxième démonstration : On considère toujours le triplet (T_{R},η,μ), et encore le foncteur oubli F = 𝒪_{•} des R-modules simpliciaux dans les espaces. La proposition 2.1.3 b nous donne une équivalence d’homotopie (forte). En effet, ψ_{B} est naturelle en B et donne donc une transformation naturelle ψ entre les foncteurs T_{R}∘ F et F. On vérifie les deux propriétés demandée à ψ dans cette proposition :

1. ψ_{B}∘ η_{F B}(x) = ψ_{B}(1 · x) = 1x = x

2. ψ_{B}∘ T_{R}(ψ_{B})(r_{1}· r_{2}· x) = ψ_{B}(r_{1}· (r_{2}x)) = r_{1}(r_{2}x) et ψ_{B}∘ μ_{F B}(r_{1}· r_{2}· x) = ψ_{B}((r_{1}r_{2}) · x) = (r_{1}r_{2})x

On obtient donc immédiatement R_{∞} (𝒪_{•}B) = Tot(R̃_{F B}) et 𝒪_{•}B sont homotopiquement équivalents (au sens fort). □

Remarque : La deuxième démonstration montre comment on peut obtenir des propositions globales sur la complétion, c’est-à-dire à équivalence d’homotopie forte près. Pour autant, la première démonstration reste exemplaire, car elle montre comment faire des calculs sur les groupes d’homotopie d’un complété, ce qui est bien sûr essentiel dans le projet d’une complétion en topologie algébrique.

Application : Soit G un groupe tel que

K(G,n) −→^{f} K(R ⊗_{ℤ}G,n)

application induite par le morphisme de groupes G → R⊗_{ℤ}G, est un isomorphisme en homologie à coefficients dans R. Alors, f_{∗} : R_{∞} K(G,n) → R_{∞} K(R ⊗_{ℤ} G,n) est une équivalence faible. Or, R_{∞} K(R ⊗_{ℤ}G,n) est un R-module simplicial, il est donc R-complet d’après la proposition précédente, d’où

R_{∞} K(G,n) ≃ K(R ⊗ G,n)

L’hypothèse ci-dessus est en particulier vérifiée si G est abélien de type fini et (R ⊂ ℚ ou R = 𝔽_{p})

3.1.3 Espaces nilpotents

La classe des espaces nilpotents se révèle être celle qui convient le mieux à la complétion. Les espaces R-bons étant pour l’instant difficile à cerner, ceux-là fournissent un exemple simple - et plus général que les espaces simplements connexes - d’espace complet. On verra ici comment le comportement des groupes d’homotopie peut suffire à déterminer le type d’homotopie de la complétion d’un espace. Ce qui nous interesseras en premier lieu est l’action du groupe fondamental sur les autres groupes d’homotopie d’un espace. Aussi, on définit : Définition 3.1.3

1. Soit G un groupe et π un groupe agissant sur G, on dit que cette dernière action est R-nilpotente ssi ∃G = G_{0}⊳ G_{1}⊳ ... ⊳ G_{n} = ∗, tour de groupes telle que

(a) G_{i} est π-stable

(b) G_{i+1} est distingué dans G_{i} (noté plus haut G_{i+1} ⊲ G_{i} )

(c) le groupe G_{i}/G_{i+1} peut-être muni d’une structure de R-module et l’ac-

tion induite par π y est triviale

2. Soit G un groupe, G est dit R-nilpotent ssi l’action des automorphismes intérieurs de G sur G est R-nilpotente, c’est-à-dire ∃G = G_{0} ⊳ G_{1} ⊳ ... ⊳ G_{n} = ∗, tour de groupes telle que G_{i+1} est distingué dans G_{i} et le groupe G_{i}/G_{i+1} peut-être muni d’une structure de R-module.

Exemple :

1. On retrouve la définition bien connu d’espace nilpotent pour espace ℤnilpotent, c’est-à-dire une généralisation des groupes abéliens.

2. L’action de π sur G est R-nilpotente si et seulement si elle est nilpotente et le groupe G est R-nilpotent.

Nous appliquons maintenant ces définitions aux groupes d’homotopie d’un espace, ou encore d’une fibration Définition 3.1.4

1. Un espace X sera dit R-nilpotent ssi l’action canonique de π_{1}(X) sur π_{n}(X) est R-nilpotente.

2. Une fibration E → B de fibre F sera dite R-nilpotente ssi l’action canonique de π_{1}(B) sur π_{n}(F) est R-nilpotente.

3. Une fibration E → B de fibre F sera encore dite R-bonne ssi l’action de Serre de π_{1}(B) sur H_{n}(F;R) est R-nilpotente.

Comme annoncé précédemment, on peut déduire : Proposition 3.1.5 Si X est un espace connexe R-nilpotent, alors X est R-complet La preuve de ce théorème repose sur le fait qu’un espace R-nilpotent est caractérisé par la propriété suivante : sa tour de Postnikov peut-être raffiné, à homotopie près, en une tour de fibrations principales dont les fibres sont des espaces de type K(G,n) où G admet une structure de R-module. Il faut par contre disposer d’un lemme sur la «complétion des fibrations ».

3.2 Fibrations et lemme d’approximation

3.2.1 Sur la compatibilité des fibrations avec la complétion

Si f : X → Y est un morphisme d’espaces surjectif, alors le morphisme induit de R̃_{X} dans R̃_{Y} est surjectif, entre quasi-R-modules. En particulier, c’est une fibration, et son image par le foncteur espace total est une fibration. Ainsi, en particulier, toute fibration reste une fibration après composition par le foncteur espace total, mais dont la fibre n’a pas forcément le type d’homotopie du complété de la fibre initiale.

Contre-Exemple : Considérons la fibration P_{ℝ}^{2} → K(𝔽_{2},1), de fibre S^{2}. D’après le paragraphe 3.1.2, ℚ_{∞} K(𝔽_{2},1) est contractile. Par ailleurs, H̃_{∗}(P_{ℝ}^{2};ℚ) = ∗ et en appliquant le lemme 3.1.1 à l’application P_{ℝ}^{2} → ∗, on obtient que ℚ_{∞} P_{ℝ}^{2} est aussi contractile. Pourtant, ℚ_{∞} S^{2} n’est pas contractile car π_{2}(ℚ_{∞} S^{2}) = ℚ (On utilise l’application S^{2} → K(ℤ,2) et le théorème de Whitehead généralisé).

On dispose du lemme très général suivant qui répond à ce problème :

Proposition 3.2.1 Soit F ↪ E →^{f} B une fibration entre espaces connexes. Si F_{∞} désigne la fibre de R_{∞} E → R_{∞} B, et si f est R-bonne, alors l’application naturelle

3.2.2 lemme des R-tours

On dispose pour nos calculs du lemme suivant : Proposition 3.2.2 Soit X espace connexe, et {Y_{n},f_{n}}_{n} une tour de fibration. Soit ψ: \overline{X}→ \{Y_{n},f_{n}\}_{n} un morphisme de tour de fibration qui induit pour tout i un pro-isomorphisme entre tours de groupes

\{\overline{H_{i}(X;R)}\}_{n} −→ \{H_{i}(Y_{n};R),(f_{n})_{∗}\}_{n}

Alors, psi induit une équivalence faible

R_{∞} X ≃ limR_{∞} Y_{n}

3.3 Contre-exemples

Nous citons pour finir deux contre-exemples édifiant :

1. S^{1}∧ S^{1} est 𝔽_{p}-mauvais.^{1}

2. P_{ℝ}^{2} est ℤ-mauvais.^{2}

1cf [Bou92]

2cf [BK72a], Ch.VII, 5.2, p.216

Annexe A

Notations

Tout au long de ce mémoire, on se place dans un univers 𝒰 contenant par exemple *, les symboles courants, les mots formés à partir de ceux-ci...

𝒞, 𝒟 désignent alors des U-catégorie. 𝒜,ℬ désignent des catégories abéliennes. ℐ,𝒥 des catégories «d’indices » (intuitivement).

Par contre, lorsqu’un ensemble est employé comme une catégorie, ce sera toujours la petite catégorie discrète dont les objets sont l’ensemble en question.

Les catégories employées sont : 𝒞^{0} est la catégorie opposée de la catégorie 𝒞. 𝒟^{𝒞} est la catégorie des foncteurs de 𝒞 dans 𝒟, dont les morphismes sont les

transformations naturelles. ℰ la catégorie des ensembles de 𝒰 𝒢 la sous-catégorie pleine de ℰ des groupes Ab la sous-catégorie pleine des groupes abéliens Ord la catégorie des ensembles de 𝒰 finis ordonnés dont les morphismes sont

les applications croissantes. Top la catégorie des espaces topologiques Si R est un anneau, R-mod est la catégorie des R-modules à droite (mais on

supposera généralement que tout anneau est commutatif) 𝒮_{𝒞} = 𝒞^{Ord^{0}} est la catégorie des objets simpliciaux de 𝒞 𝒮_{𝒞}^{0} = 𝒞^{Ord} est la catégorie des objets cosimpliciaux de 𝒞 𝒮 = 𝒮_{ℰ} est la catégorie des ensembles simpliciaux, encore appelés espaces 𝒮_{∗} est la catégorie des espaces pointés 𝒮^{0} = 𝒮_{𝒮}^{0} est la catégorie des ensembles simpliciaux cosimpliciaux, ou encore

espaces cosimpliciaux et parfois résolutions (plutôt que la catégorie des ensembles cosimpliciaux)

F,G,H,K,... désignent des foncteurs α,β,η,μ,ν,ϵ,... des transformations naturelles Les foncteurs employés sont : | . | est le foncteur réalisation de 𝒮 dans Top S est le foncteur espace singulier de Top dans 𝒮 Si F est un foncteur covariant de 𝒞 dans 𝒟, F_{•}: 𝒮_{𝒞} → 𝒮_{𝒞} désigne son prolonge-

ment simplicial et F^{•} : 𝒮_{𝒞}^{0} → 𝒮_{𝒞}^{0} désigne son prolongement cosimplicial. Si X est un objet de 𝒞, Hom_{𝒮_{𝒞}^{0} ,𝒞} (.,X) (respectivement Hom_{𝒞 ,𝒮_{𝒞}} (X,.))

désigne le prolongement cosimplicial (respectivement simplicial) du foncteur Hom_{𝒞} (.,X) (respectivement Hom_{𝒞} (X,.))

¯.désigne d’une manière générale le foncteur objet (simplicial, cosimplicial, dia-

gramme, ...) constant. 𝒪 désigne d’une manière générique tout foncteur oubli. L le foncteur espace libre engendré Si R est un anneau, R est le foncteur R-module libre engendré Sk_{n} l’endofoncteur qui à un espace associe son espace squelette d’ordre n 𝒮^{0} → 𝒮^{0} , X^{•} ↦ X_{(n)}^{•} est le prolongement cosimplicial du foncteur Sk_{n}

Le symbole ∗ désigne suivant le contexte le point base d’un espace le groupe nul l’espace trivial △^{0} l’espace cosimplicial trivial \overline{△^{0}} ^{•}

et plus généralement, le diagramme d’espace trivial \overline{△^{0}}

Bibliographie

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