Introduction aux topos

Frédéric Déglise 6 février 2010

Plan

1 Préliminaires 2 1.1 Univers et catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Préfaisceaux, rappels «catégoriques» . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Topos et topologies de Grothendieck 6 2.1 Cribles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.1 Crible et sous-préfaisceau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.2 Crible et famille de morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Topologies et prétopologies de Grothendieck . . . . . . . . . . . . 10 2.2.1 Topologies, topologie engendré . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.2 Prétopologies, familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Notion de faisceaux sur un site . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.1 Définition et caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Faisceau associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Partie 1

Préliminaires

1.1 Univers et catégories

Définition 1.1.1 Soit U un ensemble, on dit que U est un univers si les conditions suivantes sont vérifiées : (U_{1}) x ∈ U et y ∈ x ⇒ y ∈ U (U_{2}) x, y ∈ U ⇒ {x, y} ∈ U (U_{3}) x ∈ U ⇒ P(x) ∈ U (U_{4}) I ∈ U et (x_{i})_{i∈I} ∈ U^{I} ⇒ ⋃_{i∈I} x_{i} ∈ U

Un univers U jouit des propriétés suivantes, qui montrent que c’est un ensemble essentiellement stable pour la plupart des constructions ensemblistes : Proposition 1.1.2 Soit U un univers :

(i) x ∈ U et y ⊂ x ⇒ y ∈ U (ii) x ∈ U et y quotient de x ⇒ y ∈ U (iii) x, y ∈ U ⇒ x × y ∈ U et (x, y) ∈ U (iv) I ∈ U et (x_{i})_{i∈I} ∈ U^{I} ⇒ ⨆_{i∈I} x_{i}, ⋂_{i∈I} x_{i}, Π_{i∈I}x_{i} ∈ U

(v) x, y ∈ U ⇒ y^{x} ∈ U On note que pour utiliser les univers il faut ajouter un axiome à la

théorie des ensembles, sachant que cet axiome est indépendant des axiomes de Zermelo-Fraenkel (voir [GV64]), c’est-à-dire qu’il n’en change pas la cohérence (non démontrée jusqu’à maintenant) :

Axiome des univers ∀x, ∃U univers tel que x ∈ U qui signifie que tout ensemble peut-etre considéré comme appartenant à un univers.

On dira alors : Définition 1.1.3 Soit U un univers, et 𝒞 une catégorie 0) Un ensemble x est dit U-petit si il est en bijection avec un élément de U 1) On écrit 𝒞 ∈ U si Ob(𝒞) ∈ U et Fl(𝒞) ∈ U

Plus généralement, on dit que 𝒞 est U-petite si Ob(𝒞) et Fl(𝒞) sont U-petits

3) On dit enfin que 𝒞 est une U-catégorie si on a seulement, quelques soient X,Y objets de 𝒞, Hom_{𝒞} (X, Y) est U-petit.

La dernière définition est justifiée par le fait que, si U est un univers, on n’a pas U ∈ U. Ainsi, la catégorie ℰ ns des ensembles de U est petite, mais elle n’est ni un élément de U, ni U-petite. C’est simplement une U-catégorie. L’intérêt de considérer ces notions réside dans le fait suivant :

Proposition 1.1.4 Soit 𝒞 une catégorie, et 𝒟 une U-catégorie : Pour tout foncteurs F,G de 𝒞 dans 𝒟, les transformations naturelles de F vers G forment un ensemble. On peut donc parler de la catégorie des foncteurs de 𝒞 dans 𝒟 notée 𝒟^{𝒞} .

Remarque : Si 𝒞 et 𝒟 sont U-petites 𝒟^{𝒞} est U-petite.

On fixe désormais un univers U. Notamment, tous les ensembles d’indices seront des éléments de U

1.2 Préfaisceaux, rappels «catégoriques»

Définition 1.2.1 Soit 𝒞 une catégorie, X un objet de 𝒞, on note 𝒞 /X la catégorie dont :

1. les objets sont les flèches de 𝒞 de but X

2. les morphismes entre Y → X et Z → X flèches de 𝒞 sont les diagrammes commutatifs [figure: Y; X; Z]

On a un foncteur canonique fidèle, dit foncteur source

S_{X} : 𝒞 /X ⟶ 𝒞 , (Y → X) ↦ Y

Enfin toute flèche f : X → Y de 𝒞 induit un foncteur par composition des flèches (à droite)

𝒞 /f : 𝒞 /Y → 𝒞 /X

Remarque : Si 𝒞 est U-petite, on a en fait définit un foncteur contravariant 𝒞 /. de 𝒞 dans la catégorie des U-petite catégorie.

Définition 1.2.2 Soit 𝒞 une U-catégorie :

1. On note 𝒞̂ la catégorie des foncteurs contravariants de 𝒞 dans ℰ ns. Un objet de 𝒞̂est encore appelé un préfaisceau de 𝒞 (dans l’univers U).

2. On a un foncteur canonique

\begin{matrix}𝒞 & ⟶^{(.)} & 𝒞̂ \\ X & ⟼ & X(.) \end{matrix}

3. On dira qu’un préfaisceau sur 𝒞 est représentable s’il est isomorphe dans 𝒞̂ à un élément de l’image de (.). La catégorie des préfaisceaux représentables de 𝒞 est donc l’image essentielle de (.).

Remarque :

1. X(.) est un élément de U canoniquement isomorphe à Hom_{𝒞} (., X). Lorsque 𝒞 ∈ U, X(.) = Hom_{𝒞} (., X).

2. La situation est tout à fait analogue à celle des applications bilinéaires, celles-ci étant remplacées par le bifoncteur Hom (., .)

3. On confondra souvent l’objet X et le préfaisceau X(.) en une seule notation lorsqu’aucune confusion n’est possible.

Définition 1.2.3 Soit 𝒞 une catégorie :

1. Soit f : X → Y morphisme : f est un monomorphisme si la transformation naturelle f(.) : X(.) → Y (.) est une injection sur chaque objet de 𝒞, c’est-à-dire

∀g, g′ : Z → Y, f ∘ g = f ∘ g′ ⇒ g = g′

2. La catégorie des sous-objets de X est la sous-catégorie pleine de 𝒞 /X formée des flèches de but X qui sont des monomorphismes. Rigoureusement, un sous-objet de X est une classe d’isomorphisme de la catégorie 𝒞 /X.

Ainsi, dans 𝒞̂, si f : F → G est un morphisme,

1. f monomorphisme ⇔ ∀X objet de 𝒞, F (X) →^{f_{X}} G(X) est injective

2. f isomorphisme ⇔ ∀X objet de 𝒞, F (X) →^{f_{X}} G(X) est bijective

1.2.4 En fait, 𝒞̂hérite des propriétés de ℰ ns, notament : On a une relation d’ordre sur les objets 𝒞̂, si F et G sont des préfaisceaux sur 𝒞, F ≤ G si les conditions suivantes sont vérifiées

1. ∀X objet de 𝒞, F (X) ⊂ G(X)

2. ∀f : X → Y flèche de 𝒞, G(f)|_{F (Y)} = i_{G(X)} ∘ F (f).

On dira alors que F est un sous-foncteur de G.

Par ailleurs, toute famille (F_{i})_{i∈I} de préfaisceaux de 𝒞 (I ∈ U) admet une borne inférieure (resp. supérieure),

Z ↦ ⋂_{i∈I} F_{i}(Z) ∈ U (resp. Z ↦ ⋃_{i∈I} F_{i}(Z) ∈ U)

Enfin, la catégorie des préfaisceaux sur 𝒞 admet des limites projectives et inductives, qui se calculent «argument par argument» : Soit ℐ une catégorie U-petite, ϕ : ℐ → 𝒞̂un foncteur,

(\underrightarrow{lim}_{ℐ} ϕ) (X) = \underrightarrow{lim}_{ℐ}(ϕ(.)(X))  (1.1)

où ϕ(.)(X) = Hom𝒞̂(X(.), ϕ) d’après le lemme suivant :

Lemme 1.2.5 (Yoneda) Soit 𝒞 une catégorie, F un préfaisceau sur 𝒞 et X un objet de 𝒞 Alors, les applications définies ci-dessous sont des bijections réciproques

\begin{matrix}Hom𝒞̂(X(.), F) & ⟶ & F (X) \\ ψ & ⟼ & ψ_{X}(1_{X}) \\ (f : Z → X ↦ F (f).x) & ⟵ & x \end{matrix}

Le lemme de Yoneda signifie que les éléments des ensembles images de F sont en bijection avec les objets de 𝒞 au-dessus de F. On utilisera particulièrement le corollaire suivant de ce lemme :

Lemme 1.2.6 Soit 𝒞 une catégorie, F un préfaisceau sur 𝒞.

Si \{ \begin{matrix}𝒞 /F désigne la sous-catégorie pleine de 𝒞̂/F formée des objets \\ X(.) → F \\ S_{F} désigne encore le foncteur source canonique restreint \\ à cette sous-catégorie \end{matrix}

l’application canonique suivante est un isomorphisme

\underrightarrow{lim}_{𝒞 /F}S_{F} ⟶^{∼} F

ie F est limite inductive des objets de 𝒞 au-dessus de F

Preuve : On revient à la caractérisation des limites inductives. D’abord, F →^{1_{F}} F étant objet final dans 𝒞 /F, on a une flèche évidente de \underrightarrow{lim}_{X→F ∈𝒞 /F} X

dans F. Par ailleurs, si G est un préfaisceau, se donner une flèche de F dans G revient à se donner, pour tout objet X de 𝒞, une application de F (X) dans G(X) de nature fonctorielle par rapport à X. D’après le lemme de Yoneda, celà revient à se donner, pour objet X de 𝒞 au-dessus de F une application de X dans G, et ceci de manière fonctorielle par rapport à X. □

Partie 2

Topos et topologies de Grothendieck

2.1 Cribles

On développe ici la notion de crible. Ces objets formeront la base des topologies et il faut les voir intuitivement comme les raffinements (dans un sens topologique) de l’objet qu’ils criblent. On verra aussi qu’ils généralisent la notion de voisinage en un point de vue global, ce qui explique que les topos généralisent bien les espaces topologiques.

2.1.1 Crible et sous-préfaisceau

Définition 2.1.1 Soit 𝒞 une catégorie.

1. Un crible R de 𝒞 est une classe d’objets de 𝒞 vérifiant : pour toute flèche f : X → Y de 𝒞, si Y ∈ R, X ∈ R.

2. Si X est un objet de 𝒞, on appelle encore crible de X tout crible de la catégorie 𝒞 /X.

Ainsi, si X est un objet de 𝒞, un crible est une classe de flèches de 𝒞 telles que :

1. ∀f ∈ R, le but de f est X

2. ∀f ∈ R, g ∈ Fl(𝒞), f ∘ g ∈ R i.e. un ensemble de flèches de 𝒞, de but X, stable par composition à droite.

Exemple :

1. Soit X un espace topologique, on se place dans la catégorie Ouv(X) des ouverts de X (associée à l’ensemble ordonné des ouverts de X). Soit (U_{i})_{i∈I} une famille d’ouverts de X et soit

R = {V ↪ X | V ouvert et ∃i ∈ I tq V ⊂ U_{i}}

Il est immédiat que R est un crible de l’ouvert X.

2. Soit (X, 𝒪_{X}) un espace annelé, E un 𝒪_{X}-module localement libre de type fini. On considère la catégorie Ouv(X) des ouverts de X. On définit alors un crible R de X dans cette catégorie :

R = {U ↪ X | E|_{U} est libre de type fini}

2.1.2 Dès lors, si 𝒞 est une U-catégorie, on a une correspondance entre les cribles de X et les sous-préfaisceaux de X(.) dans 𝒞̂: En effet, à tout crible R de X on associe le sous-préfaisceau de X(.)

\begin{matrix}𝒞^{0} & ⟶ & ℰ ns \\ Z & ⟼ & \{f ∈ R | src(f) = Z\} = R(Z) ⊂ Hom_{𝒞} (Z, X) \end{matrix}

On obtient bien un sous-préfaisceau, puisque si g : Z → Z′, X(g) : X(Z′) → X(Z) est l’application qui à f : Z′ → X associe f ∘ g; en particulier, si f ∈ R, f ∘g ∈ R d’après 2. Donc X(g) envoie R(Z′) dans R(Z).

Réciproquement, si F est un préfaisceau de 𝒞, sous-foncteur de X(.), on lui associe la classe R des flèches de but X qui «passent par F » :

i.e. les flèches f de 𝒞 telles que :

1. but(f) = X

2. ∃ϕ : Y (.) → F flèche de 𝒞̂ telle que f(.) = i_{F} ∘ ϕ où i_{F} désigne le

morphisme canonique d’inclusion de F dans X(.) :

\xymatrix{Y (.) \ar@{-->}[dr]^{ϕ} \ar[dd]_{f(.)} \\  & F \ar@{^{(}->}[dl]^{i_{F}} \\ X(.)}

Or, la condition 2. implique que pour tout (g : Z → Y) ∈ Y (Z), ϕ_{Z}(g) = f(g) = f ∘ g ∈ X(Z). ϕ est donc déterminé de manière unique et la condition 2. devient équivalente à :

2′. ∀g : Z → Y, f ∘ g ∈ F (Z)

Si la catégorie 𝒞 est une U-catégorie, on obtient par ce procédé deux bijections réciproques entre l’ensemble des cribles de X et l’ensemble des sous-préfaisceaux de X(.) car, si R est un crible de X, f une flèche de 𝒞

f ∈ R ⇔ ∀g : Z → src(f), f ∘ g ∈ R

2.1.3 \underline{Changement de base} : Si f : Y → X est un morphisme de 𝒞 et si R est un crible de X, on définit le crible de Y noté R^{f} ou encore R ×_{X} Y, obtenu par «changement de base» (selon f), où R^{f} est l’ensemble des flèches f′ de 𝒞 de but X telles que f ∘ f′ ∈ R.

Le crible R^{f} correspond à un sous-foncteur de Y (.), le produit fibré R ×_{X(.)} Y (.) : en effet, si Z est un objet de 𝒞,

R^{f}(Z) = {f′ ∈ Hom_{𝒞} (Z, Y) | f ∘ f′ = i_{R}(f′) i.e. f ∘ f′ ∈ R(Z)}

Remarque : si R est un crible de X, f : Y → X une flèche dans R, alors

R^{f}(Z) = {{f′ ∈ Hom_{𝒞} (Z, Y) | f ∘ f′ = i_{R}(f′) i.e. f′ ∘ f ∈ R(Z)} = Y (Z)

car R est stable par composition à droite : R^{f} = Y (.).

Exemple : On considère à nouveau le crible R défini pour une famille d’ouverts (U_{i})_{i∈I} d’un espace topologique X. Soit f : U ↪ X morphisme d’inclusion d’un ouvert de X. Alors

R^{f} = {V ↪^{f′} U | f ∘ f′ ∈ R}

= {V ↪^{f′} U | V ouvert et ∃i ∈ I tq V ⊂ U ∩ U_{i}}

Enfin, on déduit du lemme de Yoneda 1.2.5 le lemme suivant :

Lemme 2.1.4 Soit 𝒞 une catégorie, X un objet de 𝒞, R un crible de X. R est un ensemble d’objets de la catégorie 𝒞 /X, on peut donc le considérer comme une sous-catégorie pleine de celle-ci. Alors, le morphisme canonique suivant est un isomorphisme

R ⟶^{∼} \underrightarrow{lim}_{f∈R}R^{f} = \underrightarrow{lim}_{(Y →X)∈R}(R ×_{X} Y)

Preuve : D’après le lemme 1.2.6,

R = \underrightarrow{lim}_{𝒞 /R}S_{R} = \underrightarrow{lim}_{X(.)→R∈𝒞 /R}X(.)

Or, d’après le lemme de Yoneda, la catégorie 𝒞 /R des objets au-dessus de R est équivalente à la sous-catégorie pleine de 𝒞 /X dont les objets sont les flèches de R, encore notée R (une application de Y (.) dans R correspond bijectivement à un élément de R(Y), c’est-à-dire à une flèche Y → X du crible R). Par ailleurs, si la flèche f : Y → X est dans R, on a vu que R^{f} = Y (.), donc le foncteur S_{F} correspond, par l’équivalence de catégorie décrite plus haut, au foncteur f ↦ R^{f}, d’où le résultat. □

2.1.2 Crible et famille de morphismes

Les cribles de X sont donc des familles de morphismes de but X stables par composition à droite. Plus généralement, on considèrera les familles de morphismes de but X, c’est-à-dire les ensembles d’objets de 𝒞 /X. On va voir qu’une telle famille définit un unique crible :

La relation d’inclusion sur les sous-ensembles de flèches de 𝒞 induit une relation d’ordre sur les cribles de 𝒞 : Si R et R′ sont deux cribles de l’objet X, conformément à l’intuition des raffinements, R est plus fin que R′ si et seulement si R ⊂ R′ Lorsque l’on considère les cribles de X, cette relation d’ordre est tout simplement la relation d’ordre des préfaisceaux de 𝒞 induite sur les sous-préfaisceaux de X(.). Ainsi, toute famille de cribles de X admet une borne supérieure et une borne inférieure : en effet, l’intersection et la réunion de sous-préfaisceaux de X(.) sont bien définies ensemblistement et sont des sous-préfaisceaux de X(.).

Plus généralement, si ℜ = (R_{i} →^{ϕ_{i}} X(.))_{i∈I} est une famille de préfaisceaux au-dessus de X (c’est à dire d’objets de 𝒞̂/X(.) ), on définit le sous-foncteur de X(.) dit image de la famille ℜ

Z ⟼ ⋃_{i∈I} ϕ_{i}_{Z}(R_{i}(Z)) ∈ X(Z)

On notera ⟨ℜ⟩ (ou encore ⟨R_{i} → X(.) | i ∈ I⟩) le crible associé à ce foncteur, appellé crible engendré par la famille ℜ.

Lorsque la famille R est de la forme (X_{i}(.) → X(.))_{i} on notera simplement

⟨X_{i} ⟶^{f_{i}} X | i ∈ I⟩

le crible image associé, et on lui préférera le terme de crible engendré par R. Ce crible est en fait le plus petit crible de X qui contient les flèche X_{i} → X. C’est encore l’ensemble des flèches de 𝒞 de but X qui se factorisent par l’une des f_{i} (à gauche) :

⟨X_{i} → X | i ∈ I⟩ = {f : Y → X | ∃i ∈ I, g_{i} : Y → X_{i} tq f = f_{i} ∘ g_{i}}

Exemple : Si de nouveau R est le crible défini pour une famille d’ouvert (U_{i})_{i∈I} d’un espace topologique X, R est en fait un crible engendré

R = ⟨U_{i} ↪ X | i ∈ I⟩

Par ailleurs, il est immédiat si R = ⟨X_{i} →^{f_{i}} X | i ∈ I⟩, si f est un morphisme de Y dans X, si enfin la famille des f_{i} est quarrable, alors

R^{f} = ⟨X_{i} ×_{X} Y → Y | i ∈ I⟩

2.2 Topologies et prétopologies de Grothendieck

On va voir que les cribles de X généralisent la notion de recouvrement ouvert dans un espace topologique.

2.2.1 Topologies, topologie engendré

Définition 2.2.1 Soit 𝒞 une catégorie.

1. Une topologie T de 𝒞 est la donnée pour chaque objet X de 𝒞 d’un ensemble T (X) de cribles de X tels que :

(a) X(.) appartient à T (X)

(b) (Stabilité par changement de base) Si R ∈ T (X), f : Y → X, alors R^{f} ∈ T (Y)

(c) (Stabilité locale) Si R ∈ T (X) et R′ est un crible de X, et si pour tout f : Y → X tel que f ∈ R, on a R′^{f} ∈ T (Y), alors R′ ∈ T (X)

Les cribles dans T (X) sont appelés les raffinements ou cribles couvrants de X pour la topologie T.

2. Un tel couple (𝒞 , T) est appelé un site.

Remarque :

1. Les cribles couvrants sont stables par changement de bases ; si un crible est couvrant après tout changement de base par les morphismes d’un crible couvrant, alors ce premier est couvrant.

2. Les raffinements de X sont stables par intersection finie : En effet, si R et R′ sont deux raffinements de X, si f est une flèche de R′, (R ∩ R′)^{f} = R^{f}.

3. Tout crible de X qui contient un raffinement de X est un raffinement de X. En particulier, les raffinements de X sont stables par réunion quelconque. En effet, si R est une raffinement de X et R′ un crible de X tel que R ⊂ R′, alors si f est une flèche de R, R′^{f} = R^{f}.

4. En particulier, l’ensemble ordonné des raffinements de X est inductif. On voit ici comment les raffinements d’un objet X dans un topos

généralisent les voisinages d’un point dans un espace topologique. La stratégie est devenue ici «globalement locale» si l’on peut dire.

On peut faire le même travail avec ces topologies généralisées qu’avec les topologies au sens classique. Ainsi :

Définition 2.2.2 Soit 𝒞 une catégorie et T,T′ deux topologies sur 𝒞. On dira que T est plus fine que T′ si pour tout objet X de 𝒞, T′(X) ⊂ T (X).

Définition 2.2.3 Soit 𝒞 une catégorie, et (T_{i})_{i∈I} une famille de topologies sur 𝒞.

1. On définit la borne inférieure des topologies (T_{i})_{i∈I} comme la topologie dont les cribles couvrants de X sont les éléments de l’ensemble :

T_{inf}(X) = ⋂_{i∈I} T_{i}(X).

2. On définit la topologie engendrée par la famille (T_{i})_{i∈I} comme la borne inférieure des topologies plus fines que toutes les T_{i}.

3. Plus généralement, si pour chaque objet X de 𝒞, on s’est donné un ensemble de cribles J(X), il existe une topologie la moins fine possible telle que les cribles de J(X) sont des raffinements de X; c’est la topologie intersection des topologies vérifiant cette propriété. On l’appellera topologie engendrée par J.

On vérifie en effet immédiatement que les ensembles de cribles construits plus haut définissent bien des topologies sur 𝒞.

Exemble : Si 𝒞 est une catégorie,

1. La topologie discrète dont les raffinements de X sont tous les cribles de X est plus fine que toute topologie.

2. La topologie grossière ayant pour unique raffinement de X le crible trivial ⟨X →^{1_{X}} X⟩ est moins fine que toute topologie.

3. Si 𝒟 est une sous-catégorie de 𝒞, (𝒞 , T) un site, on définit la topologie induite sur 𝒟 par T comme la topologie engendrée par les ensembles de cribles T (X) ⋂ F l(𝒟), X objet de 𝒟.

Remarque : On aurait envie de dire que le foncteur d’inclusion de 𝒟 dans 𝒞 est continu, est que la topologie induite est la moins fine des topologies qui rende cette inclusion continue. Pourtant, on ne peut pas donner de définition élémentaire des morphismes continus.

2.2.2 Prétopologies, familles génératrices

Les cribles sont les outils de base pour décrire les topologies de Grothendieck. On a vu qu’il était possible de définir un crible de X (dit alors engendré) par une famille de morphismes de but X. Plus généralement, les cribles et les topologies seront toujours définis de cette manière :

Définition 2.2.4 Soit 𝒞 une catégorie. Une prétopologie C sur 𝒞 est la donnée,

pour chaque objet X de 𝒞 d’un ensemble C(X) de famille d’objets de 𝒞 /X, ces familles étant alors dites couvrantes

ℜ = (X_{i} → X)_{i∈I}

vérifiant :

1. Le singleton (X →^{1_{X}} X) est une famille couvrante de X

2. Pour tout objet X, et tout morphisme f : Y → X, pour toute ℜ = (X_{i} → X)_{i∈I} famille couvrante de X, les morphismes X_{i} → X sont quarrables et la famille (X_{i} ×_{X} Y → Y)_{i∈I} est couvrante

\xymatrix{X_{i} ×_{X} Y \ar[r] \ar[d] & X_{i} \ar[d] \\ Y \ar[r] & X}

3. Si ℜ = (X_{i} →^{f_{i}} X)_{i∈I} est couvrante, si pour tout i dans I, ℜ_{i} = (Y_{i,j} →^{g_{i,j}} X_{i})_{j∈J_{i}} est couvrante, alors

(Y_{i,j_{i}} ⟶^{g_{i}∘g_{i,j_{i}}} X)_{j_{i}∈⨆_{i∈I} J_{i}}

est une famille couvrante de X

Remarque :

1. Si C est une prétopologie, on dit encore que les familles qui sont couvrantes sur X pour C sont des raffinements de X.

2. Puisque U est un univers, le produit d’ensemble de U est encore dans U.

3. On dispose alors d’un produit sur les familles couvrantes de X :

\begin{matrix}C(X) × C(X) & ⟼ & C(X) \\ ((X_{i} → X)_{i∈I}, (Y_{j} → X)_{j∈J}) & ⟶ & (X_{i} ×_{X} X_{j} → X)_{(i,j)∈I×J} \end{matrix}

Exemple :

1. Soit X une espace topologique, Ouv(X) la catégorie associée à l’ensemble des ouverts de X ordonnés par inclusion. On prend pour familles couvrantes de l’objet U de Ouv(X) les familles d’inclusions (U_{i} ↪ U)_{i∈I} telles que U = ⋂_{i∈I} U_{i}. Comme les produits fibrés d’ensembles commutent avec la réunion, on obtient ainsi une prétopologie sur la catégorie Ouv(X).

2. Soit ℰ ns la catégorie des ensembles de U, on prend pour familles couvrantes d’un ensemble E les singletons formé d’une application surjective (E′ → E). Il est immédiat qu’on définit ainsi une prétopologie sur ℰ ns.

On voit que les prétopologies sont aisées à définir ; d’un autre côté on peut construire une topologie abstraite canoniquement à partir d’une prétopologie, et ceci de façon à ce que les cribles couvrants soient aisément caractérisables.

Définition 2.2.5 Soit 𝒞 une catégorie,

1. Soit T une topologie sur 𝒞, R = (X_{i} → X)_{i∈I} une famille de morphisme de 𝒞. On dit que R est T -couvrante sur X si et seulement si le crible ⟨X_{i} → X | i ∈ I⟩ est un raffinement de X pour T.

2. Soit C une prétopologie sur 𝒞, R un crible de X.

On dit que R est C-élémentaire si et seulement si R est engendré par une certaine famille couvrante de X pour la prétopologie C.

Ainsi, une prétopologie C sur 𝒞 engendre une unique topologie sur 𝒞, la moins fine des topologies de 𝒞 pour laquelle tous les cribles C-élémentaires sont des raffinements. Par ailleurs, la description de cette topologie est très simple grâce aux axiomes des prétopologies :

Lemme 2.2.6 Soit 𝒞 une catégorie munie d’une prétopologie C, et soit T la topologie engendrée par C (ie par les cribles élémentaires de C). Alors, si X est un objet de 𝒞, et R un crible de X, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. R est un raffinement de X pour T

2. il existe un crible C-élémentaire R′ de X qui est plus fin que R (ie R′ ⊂ R)

Preuve : Soit, pour X objet de 𝒞, T′(X) l’ensemble des cribles de X qui contiennent un crible C-élémentaire. T′(X) est encore l’ensemble des cribles qui contiennent les flèches d’une des familles couvrantes de X pour C. Il faut et il suffit de montrer que T′ est une topologie sur 𝒞 :

1. Soit R un crible de T′(X), F le sous-foncteur de X(.) associé :

R ⊂ ⟨X_{i} ⟶^{f_{i}} X | i ∈ I⟩ et F (Z) ⊂ ⋃_{i∈I} Im(f_{i}(Z)).

Soit f : Y → X un morphisme, on sait que le sous-foncteur associé à R^{f} est le produit fibré F^{f} = F ×_{X} Y. Or,

F^{f}(Z) = F (Z) ×_{X(Z)} Y (Z)

⊂ (⋃_{i∈I} Im(f_{i}(Z))) ×_{X(Z)} Y (Z)

F^{f}(Z) ⊂ ⋃_{i∈I} (Im (f_{i}(Z)) ×_{X(Z)} Y (Z))

Or, le produite fibré est exact à droite par rapport à ses deux arguments, il «commute donc à l’image». X_{i} ×_{X} Y ⟶^{g_{i}} Y est une famille couvrante pour la prétopologie C, et

F^{f}(Z) ⊂ ⋃_{i∈I} (Im (g_{i}(Z)) )

donc R^{f} contient un crible C-élémentaire.

2. Soit R un crible dans T′(X) et R′ un crible de X tel que pour toute flèche f : Y → X élément de R, R′^{f} appartient à T′(Y). En particulier, on a une famille couvrante de X, (X_{i} ⟶^{f_{i}} F)_{i∈I} telle que pour tout i ∈ I, f_{i} ∈ R. Alors R′^{f_{i}} contient les flèches d’une famille couvrante (Y_{i,j} ⟶^{g_{i,j}} X_{i})_{j∈J_{i}} de X_{i}. Cela signifie exactement que pour tout i dans I, pour tout j dans J_{i}, g_{i,j} ∘ f_{i} ∈ R′.

Or par hypothèse, (X_{i,j_{i}} ⟶^{g_{i,j}∘f_{i}} X)_{j_{i}∈⨆_{i∈I} J_{i}} est une famille couvrante de X, donc R′ contient un crible C-élémentaire. □

Remarque :

1. Ce lemme signifie encore que, pour tout objet X de 𝒞, l’ensemble des cribles C-élémentaires de X est cofinal dans l’ensemble ordonné des raffinements de X.

2. Si pour tout objet de X, on s’est donné arbitrairement un ensemble de familles de morphismes de but X, il existe une unique topologie engendrée par ces familles, et la moins fine possible. L’intérêt des prétopologies est de caractériser la topologie ainsi obtenue de manière simple.

Définition 2.2.7 Soit (𝒞 , T) un site tel que 𝒞 est une U-catégorie. Une U-famille topologiquement génératrice de 𝒞 est un ensemble U-petit G d’objets de 𝒞 tel que : pour tout objet X de 𝒞, il existe une famille couvrante pour T de flèches

(X_{i} ⟶^{f_{i}} X)_{i∈I}

où pour tout i dans I, X_{i} est un élément de G

Définition 2.2.8 Un U-site est une U-catégorie munie d’une topologie et d’une U-famille topologiquement génératrice.

2.3 Notion de faisceaux sur un site

On considère désormais un U-site (𝒞 , T) de famille topologiquement génératrice G.

2.3.1 Définition et caractérisation

Définition 2.3.1 Soit F une préfaisceau sur 𝒞. Si R est un crible de X, R|_{.} le sous-préfaisceau de X(.) associé, on a une application canonique entre ensemble U-petit :

Hom𝒞̂(X(.), F) → Hom𝒞̂(R|_{.}, F)  (2.1)

1. F est dit séparé si et seulement si pour tout raffinement R de X, l’application 2.1 est injective.

2. F est un faisceau si et seulement si pour tout raffinement R de X, l’application 2.1 est bijective.

Cette définition abstraite se traduit de manière concrète grâce aux familles couvrantes de pour T :

Lemme 2.3.2 Soit F un préfaisceau sur 𝒞 et R un crible élémentaire de X : R est un raffinement de X et R = ⟨X_{i} ⟶^{f_{i}} X | i ∈ I⟩. On considère le diagramme commutatif

\xymatrix{X_{i} ×_{X} X_{j} \ar[r]^{p_{i}} \ar[d]_{p_{j}} & X_{i} \ar[d] \\ X_{j} \ar[r] & X}

On définit alors un diagramme d’ensemble

F (X) ⟶^{f} ∏_{i∈I} F (X_{i}) ⇉ ∏_{(i,j)∈I^{2}} F (X_{i} ×_{X} X_{j})  (2.2)

Alors, pour que l’application 2.1 soit injective (respectivement bijective) il faut et il suffit que dans le diagramme ci-dessus, f soit injective (respectivement que le diagramme ci-dessus soit exact)

Preuve : On note encore R le sous-préfaisceau de X(.) associé au crible R. Alors, d’après le lemme 2.1.4

R ⟶^{∼} \underrightarrow{lim}_{f∈R}R^{f}

Ainsi, on a un isomorphisme

Hom𝒞̂(R, F) ⟵^{∼} \underleftarrow{lim}_{f∈R}Hom𝒞̂(R^{f}, F ) = \underleftarrow{lim}_{f:Y →X∈R}(Hom𝒞̂(Y (.), F))

Donc, d’après le lemme de Yoneda, on a une bijection définie canoniquement

Hom𝒞̂(R, F) ⟵^{∼} \underleftarrow{lim}_{f:Y →X∈R}F (Y)

Cette dernière limite projective se calcule facilement, et de manière plus générale on a le lemme Lemme 2.3.3 Soit 𝒞 une catégorie quelconque, ℐ un ensemble d’objets de 𝒞 vérifiant les conditions suivantes :

1. pour tout objet X de 𝒞, il existe un objet i de ℐ et un morphisme X → i de 𝒞

2. pour tout objets i,j de 𝒞, le produit i × j existe dans 𝒞 Alors, si F est un préfaisceau quelconque sur 𝒞, la limite projective de F sur 𝒞 est représentable par l’objet

Ker (∏_{i∈ℐ} F (i) ⇉ ∏_{(i,j)∈ℐ^{2}} F (i × j))

où les doubles flèches sont définies par les projections [figure: i; i × j; p_{i,j}; _{p′_{i,j}}; j]

Preuve : Soit X un objet de 𝒞. On note P le produit ∏_{i∈ℐ} et K le noyau des doubles flèches défini ci-dessus.

1. On dispose alors d’un i ∈ ℐ et d’une flèche X →^{α_{i}} i. Par composition, on trouve donc une flèche de P dans F (X), F (α_{i})∘p_{F (i)} et par restriction,

une flèche K →^{f_{X}} F (X). Or cette dernière flèche est indépendante du choix de i et α_{i} : en effet, si X →^{α_{j}} j est une autre application, j ∈ ℐ, on en déduit le diagramme commutatif

\xymatrix{ &  & i &  & F (i) \ar@{-->}[dr] \ar[drr] \\ X \ar[r] \ar[urr] \ar[drr] & i × j \ar@{-->}[dr] \ar@{-->}[ur] &  & ⟹ &  & F (i × j) \ar[r] & X \\  &  & j &  & F (j) \ar@{-->}[ur] \ar[urr]}

Par ailleurs, la définition de K dit exactement que les diagrammes suivants sont commutatifs :

\xymatrix{ & F (i) \ar@{-->}[dr] \\ K \ar@{-->}[ur] \ar@{-->}[dr] &  & F (i × j) \\  & F (j) \ar@{-->}[ur]}

d’où l’égalité des deux flèches de K dans F (X) définies plus haut pour i et j.

2. On démontre de même que la donnée de ces flèches est alors fonctorielle : si X → Y est une flèche de 𝒞, on considère deux flèches X → i et Y → j où i, j sont dans ℐ. On obtient alors une flèche de X dans i × j et d’après le calcul précédent on en déduit le diagramme commutatif suivant :

\xymatrix{ & F (i) \ar@{-->}[dr] \ar[rr] &  & F (X) \ar[dd] \\ K \ar@{-->}[ur] \ar@{-->}[dr] &  & F (i × j) \ar@{-->}[ur] \\  & F (j) \ar@{-->}[ur] \ar[rr] &  & F (Y)}

3. Enfin, si E est un ensemble muni pour chaque objet X de 𝒞 d’un morphisme E →^{ϕ_{X}} F (X), ϕ définissant alors une transformation naturelle, on définit évidemment une flèche de E dans P, soit ∏_{i∈ℐ} ϕ_{i}. Par ailleurs, du fait que ϕ est naturelle, cette flèche est en fait à valeur dans K : K représente bien la limite projective de F sur 𝒞. □

Ainsi, prenant pour ensemble d’objet ℐ = {X_{i} | i ∈ I}, le calcul ci-dessus nous donne exactement l’isomorphisme attendu :

\underleftarrow{lim}_{f:Y →X∈R}F (Y) ⟶^{∼} Ker (∏_{i∈I} F (X_{i}) ⇉ ∏_{(i,j)∈I^{2}} F (X_{i} ×_{X} X_{j})) □

On retrouve donc la condition classique sur les préfaisceaux pour une topologie sur un espace, qui est ici une condition nécessaire. On va voir que cette condition est en fait suffisante, c’est-à-dire que pour décider si un préfaisceau est un faisceau, il suffit de le «tester» sur les cribles élémentaires. Pour celà, il est commode d’utiliser le lemme suivant qui est fondamental dans la théorie des topos, et qui permet de retourner la situation :

Lemme 2.3.4 𝒞 est ici une simple U-catégorie.

Soit 𝔉 = (F_{i})_{i∈I} une famille de préfaisceau sur 𝒞. On note T_{𝔉}(X) la famille des cribles R de X tels que, pour tout f : Y → X flèche de 𝒞, pour tout i élément de I, l’application 2.1 associée à F_{i} et R^{f}

Hom𝒞̂(Y (.), F_{i}) → Hom𝒞̂(R^{f}, F_{i})

est bijective (respectivement injective).

Alors T_{𝔉} est un topologie sur 𝒞. C’est la plus fine des topologie pour laquelle chaque préfaisceau F_{i} est un faisceau (respectivement est séparé).

Preuve : on vérifie les axiomes des topologies pour T_{𝔉}.

1. Clairement, le crible trivial X(.) de X formé de toutes les flèches audessus de X est un raffinement pour T_{𝔉}, car pour toute flèche f : Y → X, le sous-foncteur X(.)^{f} est égal à Y (.).

2. Par transitivité du changement de base (R^{f}^{g} = R^{g∘f}), les raffinements de T_{𝔉} sont stables par changement de base.

3. Soient R et R′ deux cribles de X, tel que R ∈ T_{𝔉}(X), et pour tout f ∈ R, R′^{f} ∈ T_{𝔉}(X) ; On montre d’abord que S = R ∪ R′ est un raffinement de X : Si f : Y → X ∈ S, on sait que S^{f} = Y (.). Par ailleurs, par définition de T_{𝔉}, l’inclusion R^{f} ↪ Y (.) = S^{f} induit un isomorphisme

Hom𝒞̂(Y (.) = S^{f}, F_{i}) ⟶^{∼} Hom𝒞̂(R^{f}, F_{i})  (2.3)

D’après le lemme 2.1.4, S = \underrightarrow{lim}_{f∈S}S^{f}. Enfin, avant de passer à la limite

projective, on vérifie

\underrightarrow{lim}_{f∈S}R^{f} = \underrightarrow{lim}_{f∈S} (\underrightarrow{lim}_{g∈R}R^{g})^{f} = \underrightarrow{lim}_{f∈S} (\underrightarrow{lim}_{g∈R}(R^{g})^{f})

= \underrightarrow{lim}_{f∈S} (\underrightarrow{lim}_{g∈R}R^{f∘g}) = \underrightarrow{lim}_{f∈S} ( \underrightarrow{lim}_{h=f∘g∈R}R^{h})

= \underrightarrow{lim}_{h∈R} ( \underrightarrow{lim}_{f∈S|h=f∘g}R^{h}) = \underrightarrow{lim}_{h∈R} (R^{h}) = R

Ainsi, en passant à la limite projective dans 2.3, on obtient l’isomorphisme :

Hom𝒞̂(S, F_{i}) ⟶^{∼} Hom𝒞̂(R, F_{i}) ⟵^{∼} Hom𝒞̂(X(.), F_{i})

On peut bien sur faire le même raisonnement, pour f : Y → X flèche quelconque, avec R^{f} ↪ S^{f}, puisque R^{f} appartient à la famille T_{𝔉}(Y) ; on en conclut donc que S ∈ T_{𝔉}(X)

Or, R′ ⊂ S et pour tout f ∈ R ∪ R′, R′^{f} ∈ T_{𝔉}. En particulier, l’équation 2.3 où R′ remplace R est encore vraie. D’où en passant une nouvelle fois à la limite projective,

Hom𝒞̂(X(.), F_{i}) ⟶^{∼} Hom𝒞̂(S, F_{i}) ⟶^{∼} Hom𝒞̂(R′, F_{i})

et on conclut que R′ ∈ T_{𝔉} comme précédemment. □

Corollaire 2.3.5 Soit 𝒞 une catégorie munie d’une prétopologie E et F un préfaisceau sur 𝒞. Pour que F soit un faisceau (respectivement soit séparé) sur le site 𝒞 (muni de la topologie engendré par E), il faut et il suffit que, pour toute famille couvrante (X_{i} → X)_{i∈I}, le diagramme suivant soit exact (respectivement, la première application soit injective)

F (X) ⟶^{f} ∏_{i∈I} F (X_{i}) ⇉ ∏_{(i,j)∈I^{2}} F (X_{i} ×_{X} X_{j})

Il suffit de remarquer que les cribles engendrés par les familles couvrantes sont stables par changement de base.

Une autre application du lemme 2.3.4 est

Définition 2.3.6 Soit 𝒞 une catégorie, on appelle topologie canonique de 𝒞 la plus fine des topologies telles que les préfaisceaux représentables soient des faisceaux.

Remarque : Pour la topologie dicrète, seul le préfaisceau vide est un faisceau. Par contre, pour la topologie grossière, tout péfaisceau est un faisceau.

2.4 Faisceau associé

On considère une U-site (𝒞 , T), et on note 𝒞̃la sous-catégorie pleine de 𝒞̂des faisceaux sur le site 𝒞. Le théorème fondamental de la théorie des topos est le suivant :

Théorème 2.4.1 Le foncteur canonique d’inclusion

i : 𝒞̃→ 𝒞̂

admet un adjoint à droite, a : 𝒞̂ → 𝒞̃ : pour tout préfaisceaux F, et tout faisceau G

Hom𝒞̃(aF, G) ⟶^{∼} Hom𝒞̂(F, iG)

Si F est un préfaisceau, on appelera faisceau associé à F le faisceau aF

Preuve : Comme pour la théorie classique des faisceaux, il faut procéder en deux temps et commencer par séparer le préfaisceau considéré. Soit F un préfaisceau quelconque. On construit donc un préfaisceau LF comme suit : on considère h_{F} le foncteur Hom𝒞̂(., F). Or, si 𝒞 est une Ucatégorie, 𝒞̂n’est pas nécessairement une U-catégorie. On va voir que ce n’est pas gênant : soit V un univers contenant U. Alors 𝒞̂ est une V-catégorie : h_{F} est donc un foncteur de 𝒞̂dans V-ℰ ns. On pose

LF (X) = \underrightarrow{lim}_{T (X)}h_{F} = \underrightarrow{lim}_{R∈T (X)}Hom𝒞̂(R, F)

où T (X) est l’ensemble des raffinements de X, ensemble cofiltrant pour l’ordre d’inclusion sur les cribles. C’est un élément de V à priori. Or T (X) contient T_{G}(X) l’ensemble des cribles engendrés par une famille couvrante de flèches d’un élément de G dans X. Par ailleurs, cet ensemble est cofinal dans T (X). Enfin, si R = ⟨X_{i} → X | i ∈ I⟩ où X_{i} est dans G, alors Hom𝒞̂(R, F) est U-petit ; on pose finalement :

LF (X) = \underrightarrow{lim}_{T_{G}(X)}h_{F} = \underrightarrow{lim}_{R∈T_{G}(X)}Hom𝒞̂(R, F) ∈ U

Par ailleurs, si R ∈ T_{G}(X), R est de la forme R = ⟨X_{i} → X | i ∈ I⟩ où X_{i} est dans G, et on a vu

Hom𝒞̂(R, F) ≃ Ker (∏_{i∈I} F (X_{i}) ⇉ ∏_{(i,j)∈I^{2}} F (X_{i} ×_{X} X_{j}))

Si l’on pose, suivant [Art62]

H^{0} ((X_{i} → X)_{i∈I}, F) = Ker (∏_{i∈I} F (X_{i}) ⇉ ∏_{(i,j)∈I^{2}} F (X_{i} ×_{X} X_{j}))

on obtient donc la formule suivante :

LF (X) = \underrightarrow{lim}_{(X_{i}→X)_{i∈I}∈Cov_{G}(X)}H^{0} ((X_{i} → X)_{i∈I}, F)

= Ȟ^{0}(T; F) cohomologie de Čech

où Cov_{G}(X) désigne l’ensemble des familles couvrantes dont les sources sont des éléments de X, l’ordre étant induit par l’ordre d’inclusion sur les cribles (cet ordre est encore l’ordre bien connu «être plus fin» pour une famille couvrante). Si Y → X est un morphisme, l’application de changement de base de T (X) dans T (Y) qui s’en déduit induit une application de LF (Y) dans LF (X), définissant le préfaisceau LF. Par ailleurs, prenant de nouveau une limite inductive filtrante, indexée par les raffinements R de X, sur les applications naturelles F (X) → Hom_{pfxC} (R, F), on en déduit une flèche l_{F} (X) : F (X) → LF (X) dont on vérifie sans peine la naturalité par rapport à X objet de 𝒞. En fait, L est un foncteur sur la catégorie des préfaisceaux 𝒞̂, et l est une transformation naturelle de foncteur de 1𝒞̂ vers L

Lemme 2.4.2 On dispose donc d’un foncteur L de 𝒞̂ dans 𝒞̂, et d’une transformation naturelle

l : 1𝒞̂ → L

On vérifie alors les propriétés attendues :

1. Pour tout préfaisceau F, LF est un préfaisceau séparé.

LF (X) ≃ \underrightarrow{lim}_{R∈T (X)}Hom𝒞̂(R, F)

2. Pour tout préfaisceau F, les conditions suivantes sont équivalentes : (a) F est séparé (b) LF est un faisceau

(c) l_{F} : F → LF est un monomorphisme

3. Pour tout préfaisceau F, les conditions suivantes sont équivalentes : (a) F est un faisceau

(b) l_{F} : F → LF est un isomorphisme

Les deux assertions importantes sont 1. et 2.(a) → 2.(b). Il est d’abord clair que 2.(a) ⇒ 2.(c) et 3.(a) ⇒ 3.(b). En effet, l’application l_{F} (X) : F (X) ⇒ LF (X) est obtenue comme limite inductive des applications F (X) ⇒ Hom𝒞̂(R, F). Ainsi, lorsque F est séparé (respectivement est un faisceau) ces morphismes étant mono (respectivement iso), l’application déduite par passage à la limite selon une catégorie filtrante est alors mono (respectivement iso). La réciproque est évidente dès que 1. et 2.(a) ⇒ 2.(b) sont vraies. Pour démontrer ces deux dernières assertions, on a besoin d’une étude locale de la transformation naturelle l. Tout d’abord, LF (X) est une limite inductive sur un système filtrant, c’est donc un quotient d’une somme directe :

LF (X) = ⨆_{R raffinement de X} Hom𝒞̂(R, F) /_{∼}

où u : R → F et v : R′ → F sont équivalents si et seulement si il existe un raffinement R′′ de X, plus fin que R et R′ tel que

\xymatrix{ & R \ar[dr]^{u} \\ R′′ \ar@{^{(}->}[ur] \ar@{^{(}->}[dr] &  & F \\  & R′ \ar@{-->}[ur]_{v}}

Si u : R → F est un morphisme pour R raffinement de X, on note donc [u] sa classe dans LF (X), que l’on confondra grâce au lemme de Yoneda avec l’application X → LF associée. Dès lors, le foncteur LF est défini par, si f : X → Y est une flèche de 𝒞, pour u : R → F,

LF (f)([u]) = [u ×_{X} Y : R ×_{X} Y → F]

Lemme 2.4.3 1. Soit R un raffinement de X et u : R → F un morphisme, le diagramme suivant est commutatif :

\xymatrix{R \ar@{^{(}->}[r] \ar[d]_{u} & X \ar[d]^{[u]} \\ F \ar[r]^{l_{F}} & LF}

2. Soit R et R′ deux raffinements de X, u : R → F et v : R′ → F deux morphismes. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) [u] = [v]

(ii) l_{F} égalise u et v sur R ∩ R′

Preuve : D’après le lemme de Yoneda, il suffit de montrer que tout morphisme Y → R (qui correspond à un morphisme f : Y → X dans R(Y)) est égalisateur de ces deux applications. On a déjà vu que, puisque f ∈ R, R^{f} = Y. On a donc le diagramme suivant

[figure: R ×_{X} Y; p; Y; f; R; u; X; [u]; F; l_{F}; LF]

dans lequel, par définition de LF, [u ∘ p] = LF (f)([u]) = [u] ∘ f □

Dès lors, nous pouvons démontrer 2.4.2.1. Soit donc f, g : X → LF deux applications qui coincident sur un raffinement S de X. Par définition, f et g correspondent à des éléments de LF (X), on peut donc trouver u : R → F et v : R′ → F, où R et R′ sont des raffinements de X, tels que [u] = f et [v] = g. Considérant le raffinement R ∩ R′ ∩ S = R ×_{X} R′ ×_{X} S, on peut supposer que u et v sont définis sur le même raffinement R, sur lequel par ailleurs les applications f et g coincident :

\xymatrix{R \ar@{^{(}->}[r] \ar[d]_{u} \ar[d]^{v} & X \ar[d]_{f} \ar[d]^{g} \\ F \ar[r]_{l_{F}} & LF}

Dès lors, d’après la première partie du lemme précédent, l_{F} ∘ u = f|_{R} = g|_{R} = l_{F} ∘ v. On conclut donc, d’après la deuxième partie du lemme précédent, [u] = [v], ie f = g.

De même, démontrons 2.4.2.2.(a) ⇒ (b). On suppose que F est séparé ; montrons que LF est alors un faisceau. Or, on a déjà vu que l_{F} est alors un monomorphisme et on sait par ailleurs que LF est séparé, il reste à montrer que pour tout raffinement R de X, l’application naturelle LF (X) → LF (R) est surjective. Soit donc f : R → LF, on aimerait factoriser cette application par l’injection R ↪ X, ce qui revient à trouver une application d’un certain raffinement R′, plus fin que R, de X dans F. Soit R′ = F ×_{LF} R, montrons que c’est un raffinement de X :

\xymatrix{R′ \ar@{^{(}->}[r] \ar[d] & R \ar[d]^{f} \ar@{^{(}->}[r] & X \ar@{-->}[dl] \\ F \ar@{^{(}->}[r]^{l}_{F} & LF}

Puisque l_{F} est un monomorphisme, on peut supposer que R′ est un souspréfaisceau de R. Il nous suffit donc de montrer que pour toute flèche h : Y → X du crible R, R′′ = R′^{f} = R′ ×_{X} Y est un raffinement de Y.

[figure: R′ ×_{X} Y; Y; Y; h; R′; u; R; f; X; F; LF]

Or Y → LF est la classe d’une certaine application v : S → F, où S est un raffinement de Y. Or, on sait que Y = R ×_{X} Y ; par transitivité du changement de base, R′ ×_{X} Y = R′ ×_{R} Y, mais aussi R′ ×_{R} Y = F ×_{LF} Y :

\xymatrix{S \ar@{-->}[dr] \ar@{^{(}->}[drr] \ar[ddr] \\  & R′′ \ar@{^{(}->}[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\  & F \ar@{^{(}->}[r] & LF}

Par définition du produit fibré, on a donc une flèche de S dans R′′, qui est par ailleurs un monomorphisme. R′′ contient un raffinement de Y, c’est donc un raffinement de Y, et l’on a démontré que R′ est un raffinement de X. Dès lors, g = [u] : X → LF factorise bien f, ie f = g|_{R}. En effet, par définition de g, g|_{R′} = l_{F} ∘ u = f|′_{R}. En particulier, pour tout objet Y au-dessus de R, f_{R′×_{X}Y} = g_{R′×_{X}Y}, donc f|_{Y} = g|_{Y} puisque LF est séparé. □

Enfin, on pose aF = (L ∘ L)F, élément de 𝒞̃. On a deux transformations naturelles 1𝒞̂ ⟶^{l∘l} L ∘ L et L ∘ L → L puisque L.l est un monomorphisme, ce qui suffit pour déduire formellement que a et i sont adjoints. □

Remarque :

1. Si la topologie T sur le site 𝒞 est engendrée par une prétopologie E, l’ensemble des cribles E-élémentaires T_{E}(X) est cofinal dans T (X) et l’on retrouve la définition classique de L pour les familles couvrantes de E :

LF (X) = \underrightarrow{lim}_{(X_{i}→X)_{i∈I}∈E(X)}H^{0} ((X_{i} → X)_{i∈I}, F)

2. puisque T (X) est un ensemble filtrant, L est exact à gauche.

Corollaire 2.4.4 Le foncteur a : 𝒞̂→ 𝒞̃commute aux limites inductives et est exact :

1. 𝒞̃ admet des limites inductives : si φ : ℐ → 𝒞̃ est un foncteur, avec ℐ catégorie dans U,

\underrightarrow{lim}_{ℐ} φ ⟶^{∼} a (\underrightarrow{lim}_{ℐ} i ∘ φ)

2. 𝒞̃ admet des limites projective : a commute aux limites projectives.

Bibliographie

[Art62] M. Artin. Grothendieck topologies. Harvard University, 1962.

[Gir71] J. Giraud. Cohomologie non abélienne. Springer-Verlag, 1971.

[God73] R. Godement. Théorie des faisceaux. Hermann, 1973.

[GV64] A. Grothendieck and J.L. Verdier. SGA4. Springer-Verlag, 1963-64.

[MLM91] S. Mac Lane and I. Moerdijk. Sheaves in Geometry and Logic. Springer-Verlag, 1991.