LA MAJORATION FONDAMENTALE

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Table des matières

1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Des resultats qu’on utilisera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1. Choses élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2. Choses difficiles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. La preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1. Introduction

Le but de cet exposé est de donner la preuve de Deligne de la majoration fondamentale. On utilisera la notation suivante pendant pour tout l’exposé.

[figure: ℱ; ℱ_{0}; u ∈; U; U_{0}; j_{0}; F; ℙ^{1}; ℙ_{𝔽_{q}}^{1}; \overline{𝔽_{q}}; 𝔽_{q}]

j_{0} : U_{0} → ℙ_{𝔽_{q}}^{1} est le complément d’un ensemble fini de points fermés.

U est la courbe sur \overline{𝔽}_{q} qui s’en déduit.

u est un point fermé de U.

ℱ_{0} est un ℚ_{ℓ}-faisceau constant tordu sur U_{0},

ℱ est son image réciproque sur U.

F est le morphisme de Frobenius qui est l’identité sur les espaces topologiques sous-jacents, et a ↦ a^{q} sur les sections du faisceau structural.

F^{∗} : H_{c}^{•}(U, ℱ) → H_{c}^{•}(U, ℱ) le morphisme induit sur les groupes de cohomologie à support compacte.

F_{x} : ℱ_{x} → ℱ_{x} le morphisme induit sur le fibre pour x un point fermé de U_{0}.

q_{x} = #k(x) est la taille du corps résiduel pour un point fermé x de U_{0}.

On demande les propriétés suivantes.

Hypothèse. — (For_{β}) ℱ_{0} est muni d’une forme bilinéaire alternée non dégnénéree

ψ : ℱ_{0} ⊗ ℱ_{0} → ℚ_{ℓ}(−β) (β ∈ ℤ).

(Mon) L’image de π_{1}(U, u) dans GL(ℱ_{u}) est un sous-groupe ouvert du groupe symplectique Sp(ℱ_{u}, ψ_{u}).

(Rat) Pour tout x ∈ |U_{0}|, le polynôme det(1 − F_{x}t, ℱ_{0}) est à coefficients rationnels.

Remarque 1.1. — Dans l’application notre ℱ_{0} sera R^{d}f_{∗}ℚ_{ℓ} pour f un pinceau de Lefschetz de fibre de dimension d. La forme vient de la dualité de Poincaré. (Rat) vient du fait que après changement de base il s’agit du faisceau ℚ_{ℓ}.

On demontrera

La majoration fondamentale ([Deligne, 3.9]). — Soit α une valeur propre de F^{∗} agissant sur sur H^{1}(ℙ^{1}, j_{∗}ℱ). Alors, sous les hypothèses (For_{β}), (Mon), (Rat) α est un nombre algébrique, dont tous les conjugués complexes vérifient

q^{\frac{β}{2}} ≤ |α| ≤ q^{\frac{β}{2} +1}.

On ne donnera pas une esquisse de la preuve parce que il s’agit plutôt des idées qui sont utilisées plusieurs fois. On donnera par contre une esquisse vague et simplifiée à l’excès de quelques’unes de ces idées comme avertissement.

1. Dualité. (Voir le lemme 2.6). En général, les valeurs propres d’un endomorphisme F sur un espace vectoriel V sont les inverses des valeurs propres de l’action induite de F sur le dual V^{∨}. Il découle que si jamais on possède une majoration a ≤ |x| pour les valeurs propres de F |_{V} et F |_{V^{∨}} au même temps, on aura a ≤ |x| ≤ a^{−1}.

2. Convergence d’une série formelle. Si x est une racine d’une série formelle f, et on sait que f converge pour |t| < a est n’est pas zéro, on trouvera une majoration a ≤ |x|.

3. Formule de Leftschetz. Nos séries seraient les produits d’Euler des fonctions zêta de la courbe

Z(U_{0}, ℱ_{0}, t) = ∏_{x∈|X_{0}|} \frac{1}{det(1 − F_{x}t^{deg(x)}, ℱ_{0})} (définition)

dont nos 1/α sont des racines grâce à la formule de Lefschetz :

Z(U_{0}, ℱ_{0}, t) = \frac{det(1 − F^{∗}t, H_{c}^{1})}{det(1 − F^{∗}t, H_{c}^{0}) det(1 − F^{∗}t, H_{c}^{2})} (formule de Lefschetz)

4. Calcul des H^{0}, H^{2}. On isolera le H^{1} de la fonction zêta via des calculs explicites de H^{0} et H^{2}. Le H^{2} sera calculé avec (Mon) et des propriétés des Sp-invariants.

5. Puissances paires. Parce qu’on travaille avec un ℚ_{ℓ}-faisceau constant tordu ar-

bitraire on peux en prendre des puissances. Ça sert deux motifs :

(a) on peut s’assurer que les coefficients de la série seraient positifs en prenant une puissance paire,

(b) on aura en fait une suite de majorations qui convergera vers les majora-

tions (ou égalités) qu’on veut quand la puissance tend vers l’infini.

6. Choses élémentaires. Le fait que les coefficients de notre série sont vraiment positifs suit de (Rat) et un petit jeu élémentaire pour comparer les coefficients de det(1 − F t) avec les T r(F^{n}). On aura aussi besoin d’un lemme facile pour établir un rapport entre la convergence des facteurs locaux \frac{1}{det(1−F_{x}t^{deg(x)},ℱ_{0})} avec la convergence du produit d’Euler.

Remarque 1.2. — La suivante, prise de wikipedia, pourrait être intéressant. The crucial idea of considering even k powers of E was inspired by the paper Rankin (1939), who used a similar idea with k = 2 for bounding the Ramanujan tau function. Langlands commented that a generalization of Rankin’s result for higher even values of k would imply the Ramanujan conjecture, and Deligne realized that in the case of zeta functions of varieties, Grothendieck’s theory of zeta functions of sheaves provided an analogue of this generalization.

Remarque 1.3. — Un dernier mot sur la notation, on verra ℚ_{ℓ}(n) plusieurs fois et donc on se souviens que ça peut signifier deux choses. Soit ℚ_{ℓ}(1) est le faisceau construit avec les ℓ^{m}-ième racines de l’unité muni de l’endomorphisme de Frobenius, soit ℚ_{ℓ}(1) signifie ℚ_{ℓ} muni de l’endomorphisme a ↦ q^{−1}a. Quand il s’agit du spec d’un corps algébriquement, c’est deux choses sont pareilles. Puis on met ℚ_{ℓ}(n) =⊗^{n} ℚ_{ℓ}(1). On constate que la valeur propre de ℚ_{ℓ}(n) est q^{−n}.

2. Des resultats qu’on utilisera

Voilà quelques résultats dont on a besoin. On commence avec les choses élémentaires qu’on démontre, et puis on se rappelle des résultats difficiles. Pour les choses difficiles on ne donnera pas les énoncés en toute généralité, mais dans la forme qu’on va les utiliser.

2.1. Choses élémentaires.—

Remarque 2.1. — On se rappelle la série de Taylor en 0 de log(1 + x)

log(1 + x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n} x^{n}

d’où l’identité

(1)  t\frac{d}{dt} log(1 − ∑_{n>0} a_{n}t^{n})^{−1} = ∑_{m>0}(∑_{n>0} a_{n}t^{n})^{m}

qui se calcul facilement.

Lemme 2.2 ([Deligne, 1.5.3]). — Pour G un endomorphisme d’un espace vectoriel V on a une identité de séries formelles

t\frac{d}{dt} log (\frac{1}{det(1 − Gt, V)}) = ∑_{n>0} T r(G^{n}, V)t^{n}

Démonstration. — La démonstration par récurrance sur la dimension de V. Supposons que V est de dimension un. Alors G n’est que multiplication par un scalaire a et on a

t\frac{d}{dt} log(det(1 − Gt, V)^{−1}) = t\frac{d}{dt} log(1 − at)^{−1}

= ∑_{n>0}(at)^{n}

= ∑_{n>0} T r(G^{n}, V)t^{n}

Pour V de dimension plus grande que un, on trouve une suite courte exacte 0 → V′ → V → V′′ → 0 tel que G préserve V′, un sous-espace vectoriel de dimension 0 < dim V′ < dim V. Soient G′ et G′′ les endomorphismes induits sur V′ et V′′. Alors, on a

log(det(1 − Gt, V)^{−1}) = log(det(1 − G′t, V′)^{−1} det(1 − G′′t, V′′)^{−1})
= log(det(1 − G′t, V′)^{−1}) + log(det(1 − G′′t, V′′)^{−1}))

et T r(G^{n}, V) = T r(G^{′n}, V′) + T r(G^{′′n}, V′′). C’est-à-dire les deux termes de l’égalité sont additifs en V.

Lemme 2.3 ([Deligne, 3.3, 3.4]). — Soit G un endomorphisme d’un espace vectoriel V. Alors, pour tout m, k > 0, on a

det(1 − Gt) ∈ ℚ[t]  ⟹  det(1 − Gt^{m}, ⊗^{2k} V)^{−1} ∈ ℚ_{≥0}⟦t⟧

Démonstration. —

det(1 − Gt) ∈ ℚ[t] ⟹ t\frac{d}{dt} log(det(1 − Gt))^{−1}) ∈ ℚ⟦t⟧  (Equation 1)
⟹ T r(G^{n}, V) ∈ ℚ  ∀n  (2.2)

⟹ T r(G^{n}, V)^{2k} = T r(G^{n}, ⊗^{2k} V) ∈ ℚ_{≥0} ∀n, k

⟹ t\frac{d}{dt} log(det(1 − Gt, ⊗^{2k} V)^{−1}) ∈ ℚ_{≥0}⟦t⟧ (2.2)

⟹ t\frac{d}{dt} log(det(1 − Gt^{m}, ⊗^{2k} V)^{−1}) ∈ ℚ_{≥0}⟦t⟧  ∀m > 0  (Equation 1)
⟹ det(1 − Gt^{m}, ⊗^{2k} V)^{−1} ∈ ℚ_{≥0}⟦t⟧  ∀m > 0  (Equation 1)

Lemme 2.4 ([Deligne, 3.5, 3.6]). — Soit [a_{i,n}]_{i,n≥0} ∈ M_{ℕ×ℕ}(ℝ_{≥0}) une matrice infinie à coéfficients positifs tel que

1. a_{i,0} = 1 pour tout i,

2. chaque colonne possède un nombre fini d’éléments positif.

On met f_{i} = ∑_{n≥0} a_{i,n}t^{n} et f = ∏_{i≥0} f_{i}. Alors, le rayon de convergence absolue de f_{i} est au moins égal à celui de f.

En plus, si les f, f_{i} sont les développements en série de Taylor de fonctions méromorphes, alors

inf{|z|t.q.f(z) = ∞} ≤ inf{|z|t.q.f_{i}(z) = ∞}.

Démonstration. — On écrit f = ∑_{n≥0} a_{n}t^{n}. Pour chaque n, on peut écrit a_{n} = b + ∑_{i≥0} a_{i,n} avec b ∈ ℝ_{≥0} et donc a_{n} ≥ a_{i,n}, et puis ∑_{n=0}^{N} |a_{n}t^{n}| ≥ ∑_{n=0}^{N} |a_{i,n}t^{n}| pour tout i.

Si les f, f_{i} viennent des fonctions méromorphes, alors les quantités dans l’énoncé sont les rayons de convergence absolue.

Lemme 2.5. — Soit (a_{κ})_{κ∈K} ⊂ ℂ un ensemble denombrable (i.e. |K| = |ℕ|). Alors le produit ∏_{κ∈K}(1 + a_{κ}) est convergent et non-nul si et seulement si ∑_{κ∈K} |a_{κ}| est convergent.

Démonstration. — On demontrera une direction seule. Supposones que ∑_{κ∈K} |a_{κ}| est convergente. Il découle que |a_{κ}| < 1/2 pour presque tout les κ. Soit K′ = {κ ∈ K : |a_{κ}| < 1/2\}. Puisque \frac{2}{3}|w| ≤ | log(1 + w)| ≤ 2|w|, pour |w| < 1/2, il suit que ∑_{κ∈K′} | log(1 + a_{κ})| est convergente et donc ∑_{κ∈K} | log(1 + a_{κ})| et ∑_{κ∈K} log(1 + a_{κ}) sont convergentes, et exp(∑_{κ∈K} log(1+a_{κ})) = ∏_{κ∈K}(1+a_{κ}) aussi. Puisque ce dernier est l’exp de quelque chose, il n’est pas nul.

Lemme 2.6. — Soient V, W deux K-espaces vectoriels de la même dimension, muni d’automorphismes F_{V} , F_{W} et ψ : V ⊗ W → K une forme bilinéaire non-dégénérée telle que

ψ(F_{V} v, F_{W} w) = λψ(v, w)

avec λ ∈ K^{∗}. Si α est une valeur propre de F_{V} alors λ/α est une valeur propre de de F_{W}.

Démonstration. — La forme ψ donne lieu à un morphisme V → W^{∨} défini par v ↦ ψ(v, −) qui est un isomorphisme (puisque ψ est non-dégénérée). Soit α une valeur propre de F_{V}, et v un vecteur propre. Alors

\frac{α}{λ}ψ(v, −) = ψ(αv, \frac{1}{λ}−) = ψ(F_{V} v, \frac{1}{λ}−) = ψ(F_{V} v, F_{W} F_{W}^{−1} \frac{1}{λ}−) = λψ(v, \frac{1}{λ}F_{W}^{−1}−) = ψ(v, F_{W}^{−1}−)

donc \frac{α}{λ} est une valeur propre pour l’action canonique de F_{W} sur W^{∨}, d’où l’inverse \frac{λ}{α} est une valeur propre de F_{W} agissant sur W.

Définition 2.7. — Soit V un K-espace vectoriel (car K = 0) et ϕ une forme bilinéaire, alternée, non-dégénérée. Pour P une partition de [1, …, 2k] en paires {{i_{α}, j_{α}}} avec i_{α} < j_{α}, on définit

ψ_{P} :⊗^{2k} V → K, v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{2k} ↦ ∏_{α} ψ_{P} (v_{i_{α}}, v_{j_{α}}).

Évidement, ψ_{P} est toujours un morphisme de K-espace vectoriel qui est Sp-invariant

pour l’action diagonal de Sp sur ⊗^{2k} V.

Le prochain resultat on énonce sans démonstration.

Lemme 2.8 (Weyl, The classical groups). — Dans la situation de la définition

précedante, les formes ψ_{P} engendrent hom(⊗^{2k} V, ℚ_{ℓ})^{Sp}.

2.2. Choses difficiles.— Voilà quelques résultats qu’on utilisera qui sont très difficile à démontrer. On les énonce même pas en tout généralité mais nous nous contentons des énonces adopté à nos besoins.

Lemme 2.9 ([Deligne, 1.14.3] “Formule de Lefschetz”)

Il y a une égalité

∏_{x∈|U_{0}|} \frac{1}{det(1 − F_{x}t^{deg(x)}, ℱ_{0})} = \frac{det(1 − F^{∗}t, H_{c}^{1})}{det(1 − F^{∗}t, H_{c}^{0}) det(1 − F^{∗}t, H_{c}^{2})}.

Lemme 2.10 ([Deligne, 2.10] “calcul de H_{c}^{0}, H_{c}^{2}”). — On a

1. H_{c}^{0}(U, ℱ) = 0 si U est affine.

2. H_{c}^{2}(U, ℱ) ≅ (ℱ_{u})_{π_{1}(U,u)}(−1).

Sous les hypothèses (For_{β}) et (Mon) ce dernier est isomorphe à ℚ_{ℓ}(−β)^{N} pour un N

convenable. En particulier, H_{c}^{2}(U, ⊗^{2k} ℱ) ≅ ℚ_{ℓ}(−kβ)^{N′}

Remarque 2.11. — Le premier découle parce que ℱ n’a pas de sections à support compact pour U affine. La deuxième c’est une conséquence de la dualité de Poincaré : pour n’importe quel X connexe, le foncteur ℱ ↦ ℱ_{x} est une équivalence de la catégorie des ℚ_{ℓ}-faisceaux constants tordus avec celle des représentations ℓ-adic de π_{1}(X, x). Via cette équivalence, H^{0}(X, ℱ) s’identifie aux invariants de π_{1}(X, x) agissant dans ℱ_{x}. Après la dualité de Poincaré alors (en-dessous), on a H_{c}^{2}(U, ℱ) ≅ H^{0}(U, ℱ^{∨}(1))^{∨} ≅ (F_{x})_{π_{1}}(−1).

Lemme 2.12 ([Deligne, 2.12] “Dualité de Poincaré”). — Il existe une forme bilinéaire non-dégénérée

H^{i}(ℙ^{1}, j_{∗}ℱ) ⊗ H^{2−i}(ℙ^{1}, j_{∗}ℱ^{∨}(1)) → ℚ_{ℓ}

3. La preuve

On se rappelle nos hypothèse :

Hypothèse. — (For_{β}) ℱ_{0} est muni d’une forme bilinéaire alternée non dégnénéree

ψ : ℱ_{0} ⊗ ℱ_{0} → ℚ_{ℓ}(−β) (β ∈ ℤ).

(Mon) L’image de π_{1}(U, u) dans GL(ℱ_{u}) est un sous-groupe ouvert du groupe symplectique Sp(ℱ_{u}, ψ_{u}).

(Rat) Pour tout x ∈ |U_{0}|, le polynôme det(1 − F_{x}t, ℱ_{0}) est à coefficients rationnels.

Lemme 3.1 ([Deligne, 3.7]). — Sous les hypothèses (For_{β}) et (Mon) on un isomorphisme

H_{c}^{2}(U, ℱ) ≅ ℚ_{ℓ}(−β)^{N}

pour un N convenable.

Démonstration. — Déjà (2.10) on a un isomorphisme H_{c}^{2}(U, ℱ) ≅ (ℱ_{u})_{π_{1}(U,u)}(−1) qui vient de la dualité de Poincaré et le fait que U et de dimension 1. On a assumé (Mon) que π_{1}(U, u) est Zariski dense dans Sp(ℱ_{u}, ψ_{u}) et donc le morphisme (ℱ_{u})_{π_{1}(U,u)} → (ℱ_{u})_{Sp} est un isomorphisme. Puis par (2.8) on sait que pour un choix convenable 𝒫′ de sous-ensemble de l’ensemble 𝒫 des partitions de [1, …, 2k] en ensembles à deux éléments {i_{α}, j_{α}} (i_{α}, j_{α}) la somme des ψ_{P} pour P ∈ 𝒫′ donne un isomorphisme

∑_{P ∈𝒫′} (ℱ_{u})_{Sp} → ℚ_{ℓ}(−kβ)^{N}.

Théorème 3.2 ([Deligne, 3.2]). — Sous les hypothèses (For_{β}), (Mon), (Rat), ℱ est de poids β.

C’est-à-dire, pour chaque x ∈ |U_{0}| les valeurs propres α de F_{x} agissant sur ℱ_{0} sont des nombres algébriques dont tous les conjugués complexes sont de valeur absolue q_{x}^{β/2}.

Démonstration. — On peut supposer, et nous supposerons, que U est affine et que ℱ ≠ 0. Soit k ≥ 1. Après le calcul de H^{0} et H^{2} (2.10) on sait que

H_{c}^{0}(U, ⊗^{2k} ℱ) = 0  et  H_{c}^{2}(U, ⊗^{2k} ℱ) ≅ ℚ_{ℓ}(−kβ − 1)^{N}

pour un N convenable. Donc on a

\frac{det(1 − F^{∗}t, H_{c}^{1}(X, ⊗^{2k} ℱ))}{det(1 − F^{∗}t, H_{c}^{0}(X, ⊗^{2k} ℱ)) det(1 − F^{∗}t, H_{c}^{2}(X, ⊗^{2k} ℱ))} ≅ \frac{det(1 − F^{∗}t, H_{c}^{1}(X, ⊗^{2k} ℱ))}{(1 − q^{kβ+1}t)^{N}}

qui est une fonction rationnelle n’ayant de pôle qu’en t = \frac{1}{q^{kβ+1}} . D’autre part, le formule de Lefschetz (2.9) nous dit que cette fonction égal

(2)  ∏_{x∈|X_{0}|} \frac{1}{det(1 − F_{x}t^{deg(x)}, ⊗^{2k} ℱ)} .

Puisque α est une valeur propre de F_{x} sur ℱ_{0}, la puissance α^{2k} est une valeur propre de

F_{x} sur ⊗^{2k} ℱ_{0} et donc la puissance inverse \frac{1}{α^{2k/deg(x)}} est un pôle de _{\frac{1}{det(1−F_{x}t^{deg(x)},⊗^{2k}ℱ)}} .

Il suffit donc de vérifier que la série (2) est convergente pour t < \frac{1}{q^{kβ+1}} pour avoir la majoration

(3)  |\frac{1}{q^{kβ+1}} | ≤ |\frac{1}{α^{2k/deg(x)}} |.

L’hypothèse (Rat) nous permet à appliquer le lemme (2.3) qui dit qu’il s’agit d’une série à coefficients rationels positifs et donc on peut appliquer le lemme (2.4) pour avoir la convergence désirée. La majoration (3) équivaut

|α| ≤ q^{\frac{deg(x)}{2k} (kβ+1)} = q_{x}^{β/2+ \frac{1}{2k}} .

Faisant tendre k vers l’infini, on trouve que

|α| ≤ q_{x}^{β/2}.

Par ailleurs, après le lemme (2.6) l’existence de la ψ : ℱ_{0} ⊗ ℱ_{0} → ℚ_{ℓ}(−β) de (For_{β}) assure que q_{x}^{β}α^{−1} est également valeur propre, d’où l’inégalité

|q_{x}^{β}α^{−1}| ≤ q_{x}^{β/2}

soit

q_{x}^{β/2} ≤ |α|.

Si on met les deux majorations ensemble on trouve q_{x}^{β/2} ≤ |α| ≤ q_{x}^{β/2}. Ceci achève la démonstration.

Proposition 3.3 ([Deligne, 3.8]). — Assumons les hypothèses (Rat), (For_{β}), (Mon). Soit α un valeur propre de F^{∗} agissant sur H_{c}^{1}(U, ℱ). Alors, α est un nombre algébrique, dont tous les conjugués complexes vérifient

|α| ≤ q^{\frac{β+1}{2} + \frac{1}{2}} .

Démonstration. — Le formule de Lefschetz (2.9) nous dit que

∏_{x∈|U_{0}|} \frac{1}{det(1 − F_{x}t^{deg(x)}, ℱ_{0})} = \frac{det(1 − F^{∗}t, H_{c}^{1})}{det(1 − F^{∗}t, H_{c}^{0}) det(1 − F^{∗}t, H_{c}^{2})}.

Par (Rat), le premier est une série formelle à coefficients rationnels, et donc la deuxième aussi. Puisque 1/α est une racine du deuxième, ceci prouve que α est algébrique. Pour demontrer l’inégalité on verra que la série à gauche converge absolument, et est non nul pour |t| < q^{−β/2−1}.

Soit N le rang de ℱ et posons

det(1 − F_{x}t, ℱ) = ∏_{i=1}^{N}(1 − α_{i,x}t)

pour que le produit d’Euler devienne (∏_{i,x}(1 − α_{i,x}t^{deg(x)}))^{−1}. La convergence de ce

produit resulte de celle de la série ∑_{i,x} |α_{i,x}t^{deg(x)}| (2.5). D’après (3.2), |α_{i,x}| = q_{x}^{β/2}

et donc pour |t| = q^{\frac{−β}{2} −1−ϵ} (avec ϵ > 0), on a

∑_{i,x} |α_{i,x}t^{deg(x)}| = N ∑_{x} q_{x}^{−1−ϵ}.

Sur la droite affine, il y a q^{n} points à valeurs dans 𝔽_{q^{n}}, donc au plus q^{n} points fermés de degré n. On a donc

∑_{x} q_{x}^{−1−ϵ} ≤ ∑_{n} q^{n}q^{n(−1−ϵ)} = ∑_{n} q^{−nϵ} < ∞,

ce qui achève la démonstration.

Démonstration de la majoration fondamentale. — On a la suite exacte courte

0 → j_{!}ℱ → j_{∗}ℱ → i_{∗}i^{∗}j_{∗}ℱ → 0

qui induit une suite exacte long en appliquant H^{•}(ℙ^{1}, −) dont une partie est H_{c}^{1}(U, ℱ) → H^{1}(ℙ^{1}, j_{∗}ℱ) → H^{1}(ℙ^{1}, i_{∗}i^{∗}j_{∗}ℱ ℱ). On constate que H^{1}(ℙ^{1}, i_{∗}i^{∗}j_{∗}ℱ) = H^{1}(⨿x_{i}, i^{∗}j_{∗}ℱ) = 0, où x_{i} sont les points fermés enlévés, parce que \overline{𝔽}_{q} est algébriquement clos. Il découle que le morphisme H_{c}^{1}(U, ℱ) → H^{1}(ℙ^{1}, j_{∗}ℱ) est surjectif. La valeur propre α apparaît

donc déjà dans H_{c}^{1}(U, ℱ), et on a vu que |α| ≤ q^{\frac{β+1}{2} + \frac{1}{2}} . La dualité de Poincaré (2.12) et (2.6) implique que 1/α est une valeur propre de H_{c}^{1}(U, ℱ^{∨}(1)). Mais ℱ^{∨}(1) satis-

fait également (Rat), (Mon), (For_{−2−β}) et donc |1/α| ≤ q^{\frac{(−2−β)+1}{2} + \frac{1}{2}} = q^{\frac{−β}{2}} d’où

q^{\frac{β}{2}} ≤ |α|. On trouve le resultat en mettant les deux majorations ensemble.

Références

[Deligne] Deligne ; La conjecture de Weil I.

[Milne] Milne ; Étale cohomology - online notes (pas son livre).