Rubriques : Systèmes dynamiques (22), Théorie des groupes (6)

MERCURIALE DE GROUPES ET DE RELATIONS

Titre anglais : A list of prices for groups and relations

Damien Gaboriau

Ecole normale supérieure de Lyon, UMPA, CNRS-UMR 128 46, allée d’Italie 69364 Lyon cedex 07 E-mail : gaboriau@ umpa.ens-lyon.fr

Résumé Le coût est un invariant dynamique de groupes discrets et de relations d’équivalence. On montre qu’il est non trivial pour des groupes non moyennables, en établissant une liste de prix (mercuriale). Il nous permet notamment, de prouver que les actions libres préservant la mesure sur des espaces de mesures finies, de groupes libres de rangs différents, ou bien de SL(2, Z) ne peuvent pas être orbitalement équivalentes.

Abstract The cost is a dynamical invariant of discrete groups and equivalence relations. Establishing a list of prices (mercuriale), we show that it is not trivial for some non amenable groups. It enables us to prove that measure preserving free actions of free groups of different ranks on probability spaces cannot be orbit equivalent.

INTRODUCTION

Soit (X, μ) un espace borélien standard, de probabilité, et R une relation d’équivalence mesurée à classes dénombrables préservant μ. Les classes de R sont les orbites de l’action d’un groupe dénombrable G d’automorphismes préservant μ (voir [2]).

Un système est une famille dénombrable Φ = (φ_{j} : A_{j} → B_{j})_{j∈I} d’isomorphismes préservant μ, partiellement définis entre parties boréliennes de X. Il engendre une relation d’équivalence R_{Φ}, la plus petite relation vérifiant φ_{j}(x) ∼ x, j ∈ I, x ∈ A_{j}. La classe de x ∈ X est appelée orbite de x. Elle hérite d’une structure de graphe (les sommets sont les éléments de l’orbite et une arête orientée d’appellation φ_{j} relie y à φ_{j}(y)) qui donne à l’orbite une métrique d_{Φ} (la plus grande qui place y et φ_{j}(y) à distance 1, s’ils sont distincts). Comme G. Levitt dans [4], on définit le coût de Φ :

C(Φ) = ∑_{j∈I} μ(A_{j}).

Par exemple, si le groupe G est engendré par {g_{1}, …, g_{n}} et agit librement sur X, alors la relation R est engendrée par le système des n isomorphismes g_{j} définis sur X tout entier, pour un coût égal à n, et la structure de graphe des orbites est isomorphe au graphe de Cayley du groupe. Cependant, il n’existe pas d’identification mesurable, au sens où le graphe de Cayley a un sommet privilégié, tandis qu’on ne peut pas choisir mesurablement un point par orbite. Les relations entre les g_{j}^{±1} introduisent une “surdétermination” suggérant qu’on peut engendrer R à meilleur marché.

Le coût C(R) de R est la borne inférieure des C(Φ), pour les Φ qui engendrent R (on néglige toujours les ensembles de mesure nulle).

Typeset by AMS-TEX

Le coût C(G) d’un groupe dénombrable G est la borne inférieure des coûts des relations R_{α}, où α parcourt la famille des actions libres de G sur des (X, μ). Signalons que tout groupe dénombrable admet une action libre préservant la mesure sur un espace borélien standard de probabilité [5]. Un groupe sera dit à prix fixe si toutes les R_{α} ont même coût. On ne connaît pas d’exemple de groupe qui ne soit pas à prix fixe. Deux groupes à prix fixe avec des coûts différents ne peuvent pas avoir des actions libres orbitalement équivalentes : pour i = 1, 2, soit R_{i} la relation donnée par une action libre du groupe à prix fixe G_{i}, sur (X_{i}, μ_{i}). Une équivalence orbitale entre R_{1} et R_{2} fournit sur X_{1} une action de G_{2} par R_{1}-automorphismes (qui préservent donc μ_{1}) dont les orbites sont les R_{1}-classes.

Le théorème 2 de [4] révèle que le coût d’un groupe G, de cardinal |G|, est toujours supérieur ou égal à 1 − \frac{1}{|G|} (avec \frac{1}{∞} = 0) ; et l’invocation du théorème de [1] assure l’égalité lorsque G est moyennable. Le théorème suivant permet de mettre au jour des groupes infinis de coût différent de 1.

Théorème. Si Φ est un système fini qui donne à chaque orbite la structure d’un arbre (on dit que Φ est un arbrage), alors le coût de R_{Φ} est égal à C(Φ).

Corollaire 1.

• C(F_{n}) = n, pour le groupe libre de rang n,

• C(A ∗_{C} B) = 1 − (\frac{1}{|A|} + \frac{1}{|B|} − \frac{1}{|C|}), pour le produit amalgamé des groupes finis A, B, C,

• en particulier, C(SL(2, Z)) = \frac{13}{12}, et ces groupes sont à prix fixe.

(Pour exhiber un arbrage pour A ∗_{C} B, on en choisit un pour l’action de C, puis un compatible pour l’action de A (resp. de B)).

Corollaire 2. Les actions libres préservant la mesure, d’un groupe libre de rang q ou de SL(2, Z), ne sont jamais orbitalement équivalentes à une action libre préservant la mesure d’un groupe libre de rang p ≠ q (les espaces étant de mesures finies).

Les théorèmes de rigidité de R. Zimmer [6] fournissent des résultats analogues de non équivalence orbitale (par exemple pour les actions ergodiques des SL(n, Z), pour des n ≥ 3 distincts). Le corollaire ci-dessus s’en distingue particulièrement du fait qu’il concerne des groupes qui ne sont pas de rang supérieur. De plus, l’abondance de commutativité a tendance à trivialiser le coût, comme on peut le voir en calculant C(SL(n, Z)) = 1, pour n ≥ 3.

ESQUISSE DE PREUVE DU THÉORÈME

Soit Φ = (φ_{j})_{j=1,2,...,r} comme dans le théorème, et soit Λ un système qui a les mêmes orbites. On veut établir que C(Φ) ≤ C(Λ). Etape 1 : système adapté. Puisqu’ils ont les mêmes orbites et pour x appartenant au domaine d’un générateur ψ de l’un des systèmes, il existe un premier (quitte à se donner un bon ordre sur les mots) mot α, écrit à l’aide des lettres de l’autre système tel que α soit défini en x et α(x) = ψ(x). On peut établir que quelque soit ε > 0, il existe un système fini Ω = (ω_{i} : D_{i} → E_{i})_{i∈{1,2,...,s}} qui a les mêmes orbites que Φ, tel que :

(1) chaque ω_{i} ∈ Ω coïncide sur tout D_{i} avec un Φ-mot m_{i} = φ_{t(i,l(i))}^{ε(i,l(i))} … φ_{t(i,k)}^{ε(i,k)} … φ_{t(i,2)}^{ε(i,2)}.φ_{t(i,1)}^{ε(i,1)} de longueur l(i), avec t(i, k) ∈ {1, 2, …, r} et ε(i, k) = ±1,

(2) le domaine de chaque φ_{j} se décompose en un nombre fini de pièces sur lesquelles φ_{j} coïncide avec un Ω-mot,

(3) C(Ω) ≤ ε + C(Λ). Etape 2 : déploiement. Soient alors D_{i,0} = D_{i} et D_{i,k} = φ_{t(i,k)}^{ε(i,k)}(D_{i,k−1}) et Δ_{i,k} une copie de D_{i,k}. On construit un espace Y comme réunion disjointe de X, et des Δ_{i,k} pour i ∈ {1, …, s} et k ∈ {0, 1, …, l(i)} \ {0, l(i)}. Tribu et mesure (qu’on note encore μ et qui est finie) sont induites de celles de X.

On définit les isomorphismes σ_{i,k} sur Y, leur famille Σ, et la projection P : Y → X de manière à faire commuter les diagrammes :

D_{i} ⟶^{σ_{i,1}} Δ_{i,1} ⟶^{σ_{i,2}} … ⟶^{σ_{i,l(i)−1}} Δ_{i,l(i)−1}  ⟶^{σ_{i,l(i)}} E_{i}
=↓P  ∼↓P  ∼↓P  =↓P
D_{i} ⟶^{φ_{t(i,1)}^{ε(i,1)}} D_{i,1} ⟶^{φ_{t(i,2)}^{ε(i,2)}} … ⟶^{φ_{t(i,l(i)−1)}^{ε(i,l(i)−1)}} D_{i,l(i)−1} ⟶^{φ_{t(i,l(i))}^{ε(i,l(i))}} E_{i}

Avec la même notation pour le coût (même si μ(Y) ≠ 1), il est manifeste que :

C(Σ) − μ(Y) = C(Ω) − μ(X).

Deux points x, y ∈ Y sont dans la même Σ-orbite si et seulement si P (x) et P (y) sont dans la même Φ-orbite. De plus, les orbites sont uniformément quasi-isométriques : il existe deux nombres C_{1} et C_{2} indépendants de x et y tels que : d_{Φ}(P (x), P (y)) ≤ d_{Σ}(x, y) ≤ C_{1}.d_{Φ}(P (x), P (y)) + C_{2}.

En particulier, si u et v sont dans la même P -fibre, d_{Σ}(u, v) ≤ C_{2}. On va chercher, par l’étape 3, à réduire cette distance :

L’application σ_{i,k} ↦ φ_{t(i,k)}^{ε(i,k)} se prolonge en un morphisme P_{∗} des Σ-mots dans les Φ-mots. L’image par P_{∗} d’un Σ-mot de u à v est un Φ-mot non réduit puisqu’il correspond à un cycle dans l’arbre représentant l’orbite de P (u). Etape 3 : réduction. Rebaptisons (σ_{j})_{j∈J} le système Σ^{0} = Σ. Donnons-nous un ordre total sur l’ensemble fini K^{0} des paires (σ_{i}^{ε_{i}}, σ_{j}^{ε_{j}}) où σ ∈ Σ, σ_{i} ≠ σ_{j}, ε = ±1 et P_{∗}(σ_{i}^{ε_{i}}) = P_{∗}(σ_{j}^{ε_{j}}). Pour la première d’entre elles, disons (α_{1}, α_{2}), appelons U^{1} l’ensemble des x appartenant aux domaines de α_{1} et de α_{2}, pour lesquels les images α_{1}(x) et α_{2}(x) sont distinctes (elles sont nécessairement dans la même P -fibre). Soit π^{1} la projection de Y sur Y^{1} = Y/(α_{1}(x) ∼ α_{2}(x) pour x ∈ U^{1}) et soit P^{1} la factorisation P = P^{1} ∘ π^{1}. Les σ_{j}^{1}, déterminés par le diagramme commutatif suivant (considéré lorsque la flèche horizontale du haut est définie) sont des isomorphismes boréliens :

\begin{matrix}Y & ⟶^{σ_{j}} & Y \\ π^{1} ↓ & & ↓ π^{1} \\ Y^{1} & ⟶^{σ_{j}^{1}} & Y^{1} \\ P^{1} ↓ & & ↓ P^{1} \\ X & ⟶^{P_{∗}(σ_{j})} & X \end{matrix} .

Du coup, α_{1}^{1} et α_{2}^{1} coïncident sur π^{1}(U^{1}) : supprimons cette partie du domaine de α_{1}^{1} et appelons encore α_{1}^{1} la restriction au reste. Soit Σ^{1} = (σ_{j}^{1})_{j∈J} le système sur Y^{1} constitué des σ_{j}^{1} ainsi construits. Puisque μ(U^{1}) est la diminution de mesure de l’espace et la diminution de coût du système,

C(Σ^{1}) − μ(Y^{1}) = C(Σ) − μ(Y).

L’ensemble K^{1} défini pour Σ^{1} est en bijection naturelle avec K^{0}. Passons donc à la paire suivante et produisons de la même façon (Y^{2}, Σ^{2}) à partir de (Y^{1}, Σ^{1}). Et ainsi de suite jusqu’à la dernière paire, où achevant l’étape 3 on produit (Y^{M}, Σ^{M}) qui vérifie :

C(Σ^{M}) − μ(Y^{M}) = C(Σ) − μ(Y) = C(Ω) − μ(X).

Si P n’était pas injective, alors pour chaque paire de points distincts x et y de la même P -fibre, leurs images x^{M} et y^{M} dans Y^{M} se sont rapprochées : d_{Σ^{M}} (x^{M}, y^{M}) < d_{Σ}(x, y).

Appliquons plusieurs fois l’étape 3 à Σ^{M}, jusqu’à obtenir (Y^{N}, Σ^{N}) pour lequel P^{N} : Y^{N} → X est un isomorphisme. Chaque σ^{N} coïncide sur son domaine avec la Φ-lettre P_{∗}^{N}(σ^{N}) et Σ^{N} a les même orbites que l’arbrage Φ. On en déduit que C(Φ) ≤ C(Σ^{N}) et donc C(Φ) ≤ ε + C(Λ).

CONCLUSION

Les preuves complètes paraîtront dans un article en préparation [3], où l’on montrera que si R induit la relation S sur Y ⊂ X et si Y rencontre toutes les R-orbites alors C(S) − μ(Y) = C(R) − μ(X).

Cela permettra l’évaluation du coût des relations de type produit amalgamé R = R_{1} ∗_{R_{3}} R_{2} (voir [3]) où R_{3} est moyennable, puis celui du produit amalgamé de deux groupes G_{1}, G_{2} à prix fixe au-dessus de G_{3} moyennable :

• C(G_{1} ∗_{G_{3}} G_{2}) = C(G_{1}) + C(G_{2}) − C(G_{3}). Par exemple pour le groupe fondamental π_{g} de la surface de genre g :

• C(π_{g}) = 2g − 1, et ces groupes sont à prix fixe.

Si on appelle n(Γ) le nombre minimal de générateurs du groupe Γ, le théorème de Grushko établit, pour les produits libres : n(Γ_{1} ∗ Γ_{2}) = n(Γ_{1}) + n(Γ_{2}). La formule ci-dessus avec G_{3} = {1} en fournit un analogue mesurable.

Remarquons par ailleurs que pour le produit direct de deux groupes libres :

• C(F_{p} × F_{q}) = 1. Mais si p.q > 1, les actions n’étant pas moyennables cette valeur n’est atteinte par aucun système générateur (voir [4]). De telles actions ne sont donc pas arbrables.

Le travail présenté ici a été réalisé durant un séjour à l’Université Fédérale Fluminense de Niteroi (Brésil) que je remercie très chaleureusement pour son accueil. Si vous y trouvez un grain de sable, gardez-le, il vient de Copacabana. Je remercie sincèrement Livio Flaminio pour de passionnantes discussions. Cette recherche a été financée par le CNRS et la FAPERJ.

Références bibliographiques

[1] Connes A., Feldman J. et Weiss B, 1981, An amenable equivalence relation is generated by a single transformation, Ergod. Th. & Dynam. Sys., 1, no. 4, p.431-450.

[2] Feldman J. et Moore C., 1977, Ergodic equivalence relations, cohomology, and von Neumann algebras. I. Trans. Amer. Math. Soc., 234, no. 2, p.289-324.

[3] Gaboriau D. Mercuriale de produits amalgamés, en préparation.

[4] Levitt G., 1995. On the cost of generating an equivalence relation, Ergod. Th. & Dynam. Sys., 15, no. 6, p.1173-1181.

[5] Zimmer R., 1983. Curvature of leaves in amenable foliations. Amer. J. Math., 105, no. 4, p.1011-1022

[6] Zimmer R., 1984. Ergodic theory and semisimple groups. Monographs in Mathematics, 81. Birkhäuser.