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\begin{document}

\title{Processus stochastiques}

\maketitle
\begin{center}
{\LARGE Cours donné par Jean-Christophe Mourrat (ENS Lyon)}
\par\end{center}{\LARGE \par}

\begin{center}
http://perso.ens-lyon.fr/jean-christophe.mourrat/index/html
\par\end{center}

\begin{center}
{\Large Script rédigé par Nils Caillerie (UCBL)}
\par\end{center}{\Large \par}

\begin{center}
http://math.univ-lyon1.fr/\textasciitilde{}caillerie/
\par\end{center}


\newpage{}

\tableofcontents{}

\newpage{}

Dans la suite, on considère $\left(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}\right)$
un espace de probabilité et on note $\mathbb{E}$ l'espérance associée
à $\mathbb{P}$.


\section{Mouvement brownien}


\subsection{Vecteurs gaussiens}
\begin{defn}
On dit que $X$ suit une loi gaussienne standard sa loi a pour densité
\[
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{exp}\left(-\frac{\left|x\right|^{2}}{2}\right)
\]
On note $X\sim\mathcal{N}\left(m,\sigma^{2}\right)$ si $X=m+\sigma X_{0}$
où $X_{0}$ suit une loi gaussienne standard.

Le vecteur aléatoire $X=\left(X_{1},\ldots,X_{n}\right)$ est un vecteur
gaussien si pour tout $\lambda\in\mathbb{R}^{n}$, le processus $\langle\lambda,X\rangle$
suit une loi gaussienne.\end{defn}
\begin{prop}
Soit $X=\left(X_{1},\ldots,X_{n}\right)$ un vecteur gaussien tel
que $\mathbb{E}\left[X_{i}\right]=0\;\forall i$. Soit $C=\left(\mathbb{E}\left[X_{I}X_{J}\right]\right)_{i,j}$
. On a

i) $\mathrm{Var}\left({\displaystyle \sum\lambda_{i}X_{i}}\right)=\lambda^{\mathrm{t}}C\lambda$

ii) $\mathbb{E}\left[e^{i\sum\lambda_{j}X_{j}}\right]=\mathrm{exp}\left(-\frac{1}{2}\lambda^{\mathrm{t}}C\lambda\right)$

iii) La loi de $X$ est déterminée par $C$. En particulier, $\left(X_{1},\ldots,X_{n}\right)$
sont des variables aléatoires indépendantes si et seulement si $C$
est diagonale.
\end{prop}
(La preuve de ce résultat se trouve dans la littérature standard sur
le sujet)
\begin{prop}
1) Soit $\left(X_{n}\right)_{n}$ telle que $X_{n}\sim\mathcal{N}\left(m_{n},\sigma_{n}^{2}\right)$
telle que $X_{n}\overset{\mathscr{L}}{\longrightarrow}X$. Alors,
\[
X\sim\mathcal{N}\left(m,\sigma^{2}\right)
\]
où $m=\underset{n}{\mathrm{lim}}\; m_{n}$ et $\sigma^{2}=\underset{n}{\mathrm{lim}}\;\sigma_{n}^{2}$
.

2) Si $X_{n}\overset{\mathbb{P}}{\longrightarrow}X$, alors la convergence
a lieu dans tous les espaces $L^{p}$.\end{prop}
\begin{proof}
1) La convergence en loi est équivalente à
\[
\forall\xi\in\mathbb{R},\;\mathbb{E}\left[e^{i\xi X_{n}}\right]\longrightarrow\mathbb{E}\left[e^{i\xi X}\right]=e^{i\xi m_{n}-\frac{\sigma_{n}^{2}}{2}\xi^{2}}
\]
En prenant le module,
\[
e^{-\frac{\sigma_{n}^{2}}{2}\xi^{2}}\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\left|\mathbb{E}\left[e^{i\xi X}\right]\right|\;\mbox{(continue en \ensuremath{\xi=0})}
\]
ceci implique que $\sigma_{n}^{2}$ converge. Soit $\sigma^{2}$ la
limite.
\[
e^{i\xi m_{n}}\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}e^{\frac{\sigma^{2}}{2}\xi^{2}}\mathbb{E}\left[e^{i\xi X}\right]
\]
Si on sait a priori que $\left(m_{n}\right)$ est bornée, soient $m$
et $m'$ deux valeurs d'adhérence. On a, pour tout $\xi\in\mathbb{R}$,
\[
e^{i\xi m}=e^{i\xi m'}=1+i\xi m'+o\left(\xi\right)
\]
et on a $m=m'$. Montrons donc que la suite $\left(m_{n}\right)$
est bornée supérieurement. Si on suppose le contraire, on peut extraire
une sous-suite $m_{n_{k}}\underset{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}+\infty$.
On a :
\[
\mathbb{P}\left(X_{n_{k}}\geq m_{n_{k}}\right)=\frac{1}{2}
\]
\begin{eqnarray*}
\mathbb{P}\left(X\geq A\right) & \geq & \underset{k\rightarrow\infty}{\mathrm{limsup}}\mathbb{P}\left(X_{n_{k}}\geq A\right)\\
 & \geq & \underset{k\rightarrow\infty}{\mathrm{limsup}}\mathbb{P}\left(X_{n_{k}}\geq m_{n_{k}}\right)\\
 & \geq & \frac{1}{2}
\end{eqnarray*}
Pour tout $A$, $\mathbb{P}\left(X\geq A\right)\geq\frac{1}{2}$ .
Or, $\underset{A\rightarrow\infty}{\mathrm{lim}}\mathbb{P}\left(X\geq A\right)=0$.
De la même manière, on montre que $\left(m_{n}\right)_{n}$ est bornée
inférieurement.

2) Pour tout $\theta\in\mathbb{R}$, 
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[e^{\theta X_{n}}\right] & = & e^{\theta m_{n}+\frac{\theta^{2}}{2}\sigma_{n}^{2}}\\
\underset{n}{\mathrm{sup}\mathbb{E}}\left[e^{\theta X_{n}}\right] & < & +\infty\\
\underset{n}{\mathrm{sup}}\mathbb{E}\left[e^{\theta\left|X_{n}\right|}\right] & < & +\infty
\end{eqnarray*}
car $e^{\left|x\right|}\leq e^{x}+e^{-x}$. En particulier, pour tout
$q>0$,
\begin{eqnarray*}
\underset{n}{\mathrm{sup}}\mathbb{E}\left[\left|X_{n}\right|^{q}\right] & < & +\infty\\
\underset{n}{\mathrm{sup}}\mathbb{E}\left[\left|X_{n}-X\right|^{q}\right] & < & +\infty
\end{eqnarray*}
$Y_{n}=\left|X_{n}-X\right|^{p}$ est tel que $Y_{n}\overset{\mathbb{P}}{\longrightarrow}0$
et $Y_{n}$ est bornée dans $L^{2}$ donc uniformément intégrable.
Donc $Y_{n}\rightarrow0$ dans $L^{1}$ :
\[
\mathbb{E}\left[\left|X_{n}-X\right|^{p}\right]\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0
\]

\end{proof}

\subsection{Une construction du mouvement brownien}


\subsubsection{Définitions}
\begin{defn}
Un processus stochastique est une collection de variable aléatoires
indexées par ``le temps'', i.e $\mathbb{R}_{+}$ ou un sous-ensemble
de $\mathbb{R}_{+}$.

Un processus stochastiques $\left(X\left(t\right)\right)_{t\geq0}$
est à accroissements stationnaires si la loi de $X\left(t+s\right)-X\left(t\right)$
ne dépend que de $s$, i.e $\forall t_{1},t_{2},s\geq0$,
\[
X\left(t_{1}+s\right)-X\left(t_{1}\right)\overset{\mathscr{L}}{=}X\left(t_{2}+s\right)-X\left(t_{2}\right)
\]


$\left(X\left(t\right)\right)$ est à accroissements indépendants
si pour tout $0\leq t_{0}<t_{1}<\ldots<t_{n}$, la famille de variables
aléatoires $\left(X\left(t_{1}\right)-X\left(t_{0}\right),\ldots,X\left(t_{n}\right)-X\left(t_{n-1}\right)\right)$
indépendante.

$\left(X\left(t\right)\right)$ est un processus gaussien si pour
tout $0\leq t_{0}<\ldots<t_{n}$, le vecteur $\left(X\left(t_{0}\right),\ldots,X\left(t_{n}\right)\right)$
est gaussien.\end{defn}
\begin{example}
Soient $\tau_{1},\tau_{2},\ldots$ des variables aléatoires de loi
$\mathrm{Exp}\left(\lambda\right)$. On pose $N\left(t\right)=\mathrm{card}\left\{ k\mid\tau_{1}+\ldots+\tau_{k}\leq t\right\} $.
Alors, $N$ est un processus à accroissements indépendants stationnaires.\end{example}
\begin{defn}
On appelle mouvement brownien standard (issu de 0) tout processus
stochastique $\left(B_{t}\right)_{t}$ tel que

i) $B_{0}=0$ p.s.

ii) $\forall s,t\geq0$, $B_{t+s}-B_{t}\sim\mathcal{N}\left(0,s\right)$.

iii) $B$ est à accroissements indépendants.

iv) Il existe $A$ mesurable tel que $\mathbb{P}\left(A\right)$ et
tel que pour tout $\omega\in A$, la fonction $\begin{cases}
\mathbb{R}_{+} & \rightarrow\mathbb{R}\\
t & \mapsto B_{t}\left(\omega\right)
\end{cases}$ est continue.\end{defn}
\begin{rem}
Par le théorème d'extension de Kolmogorov, on peut construire un processus
stochastique sur $\mathbb{R}^{\mathbb{R}_{+}}$ muni de la topologie
produit et qui satisfait i), ii) et iii). L'ensemble $\left\{ \omega\mid t\mapsto B_{t}\left(\omega\right)\mbox{ est continue}\right\} $
n'est pas mesurable. C'est même pire que ça ! Imaginons que $B$ soit
un mouvement brownien. Soit $\tau\sim\mathrm{Exp}\left(1\right)$
et $\overline{B_{t}}=\begin{cases}
B_{t} & \mbox{si }t\neq\tau\\
B_{t}+1 & \mbox{si }t=\tau
\end{cases}$. Alors, $\overline{B_{t}}$ n'est pas continu mais il satisfait i),
ii) et iii). En effet, pour tout $t\geq0$,
\[
\mathbb{P}\left(B_{t}=\overline{B_{t}}\right)=\mathbb{P}\left(\tau\neq t\right)=1
\]
même si $\mathbb{P}\left(\forall t\geq0,\; B_{t}=\overline{B_{t}}\right)=0$.\end{rem}
\begin{defn}
Quand on a deux processus $\left(\overline{B_{t}}\right)_{t}$, $\left(B_{t}\right)_{t}$
qui vérifient $\mathbb{P}\left(B_{t}=\overline{B_{t}}\right)=1$,
on dit que $\overline{B}$ est une modification de $B$.
\end{defn}
Les propriétés i), ii), iii) concernent seulement les ``lois fini-dimensionnelles''
: la loi de $\left(B_{t_{1}},\ldots,B_{t_{n}}\right)$ est celle de
$\left(\overline{B_{t_{1}}},\ldots,\overline{B_{t_{n}}}\right)$.


\subsubsection{Construction rigoureuse}

On va construire le mouvement brownien sur $\left[0,1\right]$. On
peut ``recoller'' ensuite pour l'avoir sur $\mathbb{R}_{+}$. On
choisit une base orthonormée de $L^{2}\left[0,1\right]$ (base de
Haar). On pose 
\[
H\left(t\right)=\begin{cases}
1 & \mbox{si }0\leq t<\frac{1}{2}\\
-1 & \mbox{si }\frac{1}{2}\leq t<1\\
0 & \mbox{sinon}
\end{cases}
\]
Pour $n\geq1$ entier, on pose $n=2^{j}+k$ où $0\leq k<2^{j}$ et
\[
H_{n}\left(t\right)=H_{j,k}\left(t\right)=2^{\frac{j}{2}}H\left(2^{j}t-k\right)
\]
Pour $n=0$, $H_{0}\left(t\right)=1$. Alors $\left(H_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$
est une base orthonormée de $L^{2}\left(\left[0,1\right]\right)$.

Soit $\left(Z_{n}\right)$ une suite de variables aléatoires indépendantes
$\mathcal{N}\left(0,1\right)$. On pose 
\[
\xi\left(f\right)=\sum_{n\in\mathbb{N}}Z_{n}\langle H_{n},f\rangle_{L^{2}\left(\left[0,1\right]\right)}
\]
La variable aléatoire ${\displaystyle \sum_{n=0}^{N}Z_{n}\langle H_{n},f\rangle}$
est une gaussienne centrée de variance ${\displaystyle \sum_{n=0}^{N}\langle H_{n},f\rangle^{2}}$
et ${\displaystyle \sum_{n=0}^{N}\langle H_{n},f\rangle^{2}}\underset{N\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\left\Vert f\right\Vert _{L^{2}}$
donc $\sum_{n=0}^{N}Z_{n}\langle H_{n},f\rangle$ converge en norme
$L2$ vers une variable aléatoire gaussienne de variance $\left\Vert f\right\Vert _{L^{2}}^{2}=\xi\left(f\right)$.
On a envie de poser $B_{t}=\xi\left(\mathds{1}_{[0,t]}\right)$, mais
pour chaque $t$, $B_{t}$ est défini p.s. donc on n'aura pas de sens
à la question de la continuité. On regarde
\begin{equation}
\sum_{n\in\mathbb{N}}Z_{n}\langle H_{n},\mathds{1}_{[0,t]}\rangle\label{eq:s=0000E9rie}
\end{equation}
On va montrer que, sauf sur un ensemble de probabilité nulle, cette
série converge uniformément en $t$.
\begin{lem*}
Si $\left(Z_{n}\right)_{n}$ est une suite de variables aléatoires
indépendantes $\mathcal{N}\left(0,1\right)$, alors $\underset{n}{\mathrm{sup}}\frac{\left|Z_{n}\right|}{\sqrt{\mathrm{ln}n}}<+\infty$
p.s.\end{lem*}
\begin{proof}
On a
\begin{eqnarray*}
\mathbb{P}\left(Z_{1}\geq x\right) & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x}^{+\infty}e^{-\frac{u^{2}}{2}}du\\
 & \leq & \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x}^{+\infty}\frac{u}{x}e^{-\frac{u^{2}}{2}}du\\
 & \leq & \frac{1}{x\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}
\end{eqnarray*}
Si $x\geq1$, $\mathbb{P}\left(\left|Z_{1}\right|\geq x\right)\leq\frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}$.
\begin{eqnarray*}
\mathbb{P}\left(Z_{n}\geq2\sqrt{\mathrm{ln}n}\right) & \leq & \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{exp}\left(2\mathrm{ln}n\right)\\
 & \leq & \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\cdot\frac{1}{n^{2}}
\end{eqnarray*}
qui est sommable. Il suffit ensuite d'appliquer le lemme d Borel-Cantelli.
\end{proof}
Retour à la construction :

\begin{eqnarray*}
\langle H_{j,k},\mathds{1}_{[0,t]}\rangle & = & \int_{0}^{t}H_{j,k}\left(s\right)ds\\
 & = & \int_{0}^{t}2^{\frac{j}{2}}H\left(2^{j}s-k\right)ds\\
 & \leq & 2^{-\frac{j}{2}}\mathds{1}_{\left\{ t\in[\frac{k}{2},\frac{k+1}{2}[\right\} }
\end{eqnarray*}
Montrons maintenant que la série (\ref{eq:s=0000E9rie}) converge
uniformément pour tout $\omega$ tel que $C\left(\omega\right):=\mathrm{sup}\frac{\left|Z_{n}\left(\omega\right)\right|}{\sqrt{\mathrm{ln}n}}<+\infty$.
On rappelle que $n=2^{j}+k\leq2^{j+1}$ et donc $\mathrm{ln}n\leq C\left(j+1\right)$.
\begin{eqnarray*}
\sum_{j=J}^{+\infty}\sum_{k=0}^{2^{j}-1}\left|Z_{n}\left(\omega\right)\langle H_{n},\mathds{1}_{[0,t]}\right| & \leq & \sum_{j=J}^{+\infty}\sum_{k=0}^{2^{j}-1}C\left(\omega\right)\cdot C\sqrt{j+1}\cdot2^{-\frac{j}{2}}\mathds{1}_{\left\{ t\in\left[\frac{k}{2^{j}},\frac{k+1}{2^{j}}\right[\right\} }\\
 & \leq & C\cdot C\left(\omega\right)\times\sum_{j=J}^{+\infty}\sqrt{j+1}2^{-\frac{j}{2}}
\end{eqnarray*}
aussi petit que voulu, uniformément en $t$. Conclusion : pour tout
$\omega$ tel que $C\left(\omega\right)<+\infty$, la série (\ref{eq:s=0000E9rie})
converge uniformément. On note $t\mapsto B_{t}$ la limite (continue
!). il reste à vérifier les propriétés i), ii) et iii) :

i) $B_{0}=0$ p.s : évident

ii) On veut vérifier $B_{t+s}-B_{t}\sim\mathcal{N}\left(0,s\right)$
:
\[
B_{t+s}=\xi\left(\mathds{1}_{[0,t+s]}\right)
\]
et $\begin{cases}
L^{2}\left(\left[0,1\right]\right) & \rightarrow L^{2}\left(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}\right)\\
f & \mapsto\xi\left(f\right)
\end{cases}$ est une isométrie.
\begin{eqnarray*}
B_{t+s}-B_{t} & = & \xi\left(\mathds{1}_{\left[0,t+s\right]}-\mathds{1}_{\left[0,t\right]}\right)\\
\mathbb{E}\left[\left(B_{t+s}-B_{t}\right)^{2}\right] & = & s
\end{eqnarray*}
Par ailleurs, $\xi\left(f\right)$ est gaussienne pour tout $f\in L^{2}\left(\left[0,1\right]\right)$,
ce qui démontre ii)

iii) Montrons que les accroissements sont indépendants. Soit $0\leq t_{0}<\ldots<t_{n}$.
On veut montrer $\left(B_{t_{1}}-B_{t_{0}},\ldots,B_{t_{n}}-B_{t_{n-1}}\right)$
est indépendante. $\left(B_{t_{1}}-B_{t_{0}},\ldots,B_{t_{n}}-B_{t_{n-1}}\right)$
est un vecteur gaussien. Toute combinaison linéaire est $\xi\left(f\right)$
donc une gaussienne. Il suffit alors de voir que, pour tout $i\neq j$,
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\left(B_{t_{i+1}}-B_{t_{i}}\right)\left(B_{t_{j+1}}-B_{t_{j}}\right)\right] & = & 0
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\xi\left(\mathds{1}_{\left]t_{i},t_{i+1}\right]}\right)\cdot\xi\left(\mathds{1}_{\left]t_{j},t_{j+1}\right]}\right)\right] & = & \mathbb{E}\left[\xi\left(f\right)\xi\left(g\right)\right]\\
 & = & \langle f,g\rangle_{L^{2}}\\
 & = & 0
\end{eqnarray*}
 par isométrie.


\subsection{Propriétés du mouvement brownien}
\begin{thm}
Théorème limite centrale. Soient $X_{1},X_{2},\ldots$ des variables
aléatoires iid $\mathbb{E}\left[X_{1}\right]=0$, $\mathbb{E}\left[X_{1}^{2}\right]=1$.
Soit $S_{\varepsilon}\left(t\right)=\sqrt{\varepsilon}{\displaystyle \sum_{k=0}^{\left\lfloor t/\varepsilon\right\rfloor }X_{k}}$.
Alors,
\[
S_{\varepsilon}\overset{\mathscr{L}}{\longrightarrow}B
\]
où $B$ est un mouvement brownien standard au sens des lois fini-dimensionnelles
: pour tout $t_{1},\ldots,t_{n}$,
\[
\left(S_{\varepsilon}\left(t_{1}\right),\ldots,S_{\varepsilon}\left(t_{n}\right)\right)\overset{\mathscr{L}}{\longrightarrow}\left(B_{t_{1}},\ldots,Bt_{n}\right).
\]
\end{thm}
\begin{prop}
Soit $\left(X_{t}\right)_{t\geq0}$ un processus stochastique. Il
y a équivalence entre :

a) $X$ est à accroissements indépendants stationnaires et $X_{t}\sim\mathcal{N}\left(0,t\right)$
pour tout $t\geq0$

b)$ $ $X$ est un processus gaussien tel que pour tout $t,s$, $\mathbb{E}\left[X_{t}\right]=0$
et $\mathbb{E}\left[X_{s}X_{t}\right]=s\wedge t$.\end{prop}
\begin{proof}
On procède par double inclusion

``a$\Rightarrow$b''

$\mathbb{E}\left[X_{t}\right]=0$ OK.

Mettons que $s<t$,
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[X_{s}X_{t}\right] & = & \mathbb{E}\left[X_{s}\left(X_{t}-X_{s}\right)\right]+\mathbb{E}\left[X_{s}^{2}\right]\\
 & = & \mathbb{E}\left[\left(X_{s}-X_{0}\right)\left(X_{t}-X_{s}\right)\right]+\mathbb{E}\left[X_{s}^{2}\right]\\
 & = & 0+s=s=s\wedge t
\end{eqnarray*}
Il reste à voir que $X$ est un processus gaussien. Soient $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\in\mathbb{R}$,
$0\leq t_{1}<\ldots<t_{n}$. On veut voir que $\sum\lambda_{i}X_{t_{i}}$
est gaussienne. Par sommation par parties,$\sum\lambda_{i}X_{t_{i}}=\sum\mu_{i}\left(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}\right)$
(gaussiennes indépendantes) où on pose $t_{0}=0$ donc $\sum\lambda_{i}X_{t_{i}}$
est gaussienne.

``b$\Rightarrow$a''

On a bien $X_{0}=0$ p.s.
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\left(X_{t+s}-X_{t}\right)^{2}\right] & = & \mathbb{E}\left[X_{t+s}^{2}\right]+\mathbb{E}\left[X_{t}^{2}\right]-2\mathbb{E}\left[X_{t}X_{t+s}\right]\\
 & = & s
\end{eqnarray*}
$X_{t+s}-X_{t}$gaussienne centrée de variance $s$. on a bien $X_{s}\sim\mathcal{N}\left(0,s\right)$
et accroissements stationnaires. Reste à voir que les accroissements
sont indépendants. Soit $0\leq t_{0}<t_{1}<\ldots<t_{n}$. $\left(X_{t_{1}}-X_{t_{0}},\ldots,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}\right)$
est un vecteur gaussien. il suffit donc de voir que pour tout $i\neq j$,
(disons $i<j$),
\[
\mathbb{E}\left[\left(X_{t_{i+1}}-X_{t_{i}}\right)\left(X_{t_{j+1}}-X_{t_{j}}\right)\right]=t_{i+1}-t_{i+1}-t_{i}+t_{i}=0
\]
\end{proof}
\begin{thm}
Soit $B_{t}$ un mouvement brownien standard. Les processus suivants
sont aussi des mouvements browniens standards :

1) $X_{1}\left(t\right)=B_{t+s}-B_{s}$ avec $s\geq0$ fixé

2) $X_{2}\left(t\right)=-B_{t}$

3) $X_{3}\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{C}}B_{Ct}$ avec $C>0$ fixé

4) $X_{4}\left(t\right)=\begin{cases}
t\cdot B_{\frac{1}{t}} & \mbox{si }t>0\\
0 & \mbox{si }t=0
\end{cases}$\end{thm}
\begin{proof}
Pour les trois premiers processus, la preuve est laissée en exercice.

Pour $X_{4}$ :

C'est un processus gaussien et il est continu sauf peut-être en 0.
On montre 
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[X_{4}\left(s\right)X_{4}\left(t\right)\right] & = & \mathbb{E}\left[st\cdot B_{\frac{1}{s}}\cdot B_{\frac{1}{t}}\right]\\
 & = & \frac{st}{s\vee t}=s\wedge t
\end{eqnarray*}
Il reste à voir la continuité en 0. Comme $B$ est continu :
\begin{eqnarray*}
\left\{ \omega\mid\underset{t\rightarrow0}{\mathrm{lim}}B_{t}=0\right\}  & = & \underset{m\in n}{\cap}\underset{n\in\mathbb{N}}{\cup}\left\{ \omega\mid\forall t\in\mathbb{Q}\cap\left]0,\frac{1}{n}\right],\;\left|B_{t}\left(\omega\right)\leq\frac{1}{m}\right|\right\} \\
\end{eqnarray*}
\[
\left\{ \omega\mid\underset{t\rightarrow0}{\mathrm{lim}}X_{4}\left(t\right)=0\right\} =\underset{m\in\mathbb{N}}{\cap}\underset{n\in\mathbb{N}}{\cup}\left\{ \omega\mid\forall t\in\mathbb{Q}\cap\left]0,\frac{1}{n}\right],\;\left|X_{4}\left(t\right)\leq\frac{1}{m}\right|\right\} 
\]
Donc $\mathbb{P}\left(\underset{0}{\mathrm{lim}}X_{4}\left(t\right)=0\right)=\mathbb{P}\left(\underset{0}{\mathrm{lim}}B_{t}=0\right)=1$
car les lois fini-dimensionnelles de $X_{4}$ et $B$ coïncident.
on a bien la continuité en 0.
\end{proof}
Conséquence : $\underset{t\rightarrow0}{\mathrm{lim}}t\cdot B_{\frac{1}{t}}=0\mbox{ p.s.}$
et $\underset{t\rightarrow+\infty}{\mathrm{lim}}\frac{B_{t}}{t}=0$
presque sûrement par la loi des grands nombres. Soit $B_{n}={\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\left(B_{k+1}-B_{k}\right)}$.
Par le théorème limite centrale et la loi du 0-1, on peut montrer
\[
\underset{n\rightarrow\infty}{\mathrm{limsup}}\frac{B_{n}}{\sqrt{n}}=+\infty\mbox{ p.s.}
\]
et
\[
\underset{n\rightarrow\infty}{\mathrm{liminf}}\frac{B_{n}}{\sqrt{n}}=-\infty\mbox{ p.s.}
\]
\[
\underset{t\rightarrow\infty}{\mathrm{limsup}}\frac{t\cdot B_{\frac{1}{t}}}{\sqrt{t}}=+\infty\mbox{ p.s.}
\]
\[
\underset{t\rightarrow0}{\mathrm{limsup}}\frac{B_{t}}{\sqrt{t}}=+\infty\mbox{ p.s.}
\]
\[
\underset{t\rightarrow0}{\mathrm{liminf}}\frac{B_{t}}{\sqrt{t}}=-\infty\mbox{ p.s.}
\]
 En particulier, $B$ change de signe une infinité de fois sur tout
intervalle $\left[0,\varepsilon\right]$, $\varepsilon>0$. Presque
sûrement, $t\mapsto B_{t}$ n'est pas dérivable en 0.
\begin{defn}
Soient $\left(B^{\left(1\right)},\ldots,B^{\left(d\right)}\right)$
$d$ mouvements browniens standards indépendants. On dit que $B=\left(B^{\left(1\right)},\ldots,B^{\left(d\right)}\right)$
est un mouvement brownien standard $d$-dimensionnel.
\end{defn}

\subsection{L'espace de Wiener}

Soit $C=C\left(\mathbb{R}_{+},\mathbb{R}\right)$ l'espace des fonctions
continues de $\mathbb{R}_{+}$ dans $\mathbb{R}$ muni de la topologie
de la convergence uniforme sur tout compact. Soit $\mathscr{C}$ la
tribu des boréliens sur $C$.
\begin{prop}
La tribu $\mathscr{C}$ coïncide avec $\mathscr{B}$, la plus petite
tribu qui rend mesurable les applications coordonnées $\begin{cases}
C & \rightarrow\mathbb{R}\\
x & \mapsto x\left(t\right)
\end{cases}$.\end{prop}
\begin{proof}
Les applications coordonnées sont continues sur $C$ donc $\mathscr{B}\subset\mathscr{C}$.
Pour l'autre inclusion, notons que la topologie est métrisable par
la distance
\[
d\left(x,y\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}2^{-n}\left(1\wedge\underset{0\leq t\leq n}{\mathrm{sup}}\left|x\left(t\right)-y\left(t\right)\right|\right)
\]
L'espace $C$ est séparable (par exemple les polynômes à coefficients
rationnelles forment une base dénombrable dense). Tout ouvert est
donc union dénombrable de boules. Il suffit de montrer que toute boule
est dans la tribu $\mathscr{B}$. Il suffit donc de voir que $\forall y\in C$,
l'application $x\mapsto d\left(x,y\right)$ est mesurable pour la
tribu $\mathscr{B}$. On constate que
\[
d\left(x,y\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}2^{-n}\left(1\wedge\underset{t\in\mathbb{Q}\cap\left[0,n\right]}{\mathrm{sup}}\left|x\left(t\right)-y\left(t\right)\right|\right)
\]
qui est $\mathscr{B}$-mesurable.
\end{proof}
Conséquence 1 : si $\mathbb{P}$ et $P$ sont deux mesures de probabilité
sur $C$ qui ont les mêmes marginales fini-dimensionnelles (i.e. $\mathbb{P}\left(\left\{ x\mid x\left(t_{1}\right)\in A_{1},\ldots,x\left(t_{n}\right)\in A_{n}\right\} \right)=P\left(\left\{ x\mid x\left(t_{1}\right)\in A_{1},\ldots,x\left(t_{n}\right)\in A_{n}\right\} \right)$
pour tout $A_{1},\ldots,A_{n}\in\mathscr{B}$ et tout $t_{1}\leq\ldots\leq t_{n}$)
alors $\mathbb{P}=P$, par le lemme des classes monotones.

Conséquence 2 : Soit $B$ un brownien défini sur $\left(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}\right)$.
L'application $\begin{array}{cccc}
\Phi: & \Omega & \rightarrow & C\\
 & \omega & \mapsto & B\left(\omega\right)
\end{array}$ est mesurable. En effet, il suffit de vérifier que pour tout $t$,
$\omega\mapsto B_{t}\left(\omega\right)$ est mesurable, ce qui est
clair par définition d'un processus stochastique.

Conséquence 3 : L'application $G:\begin{cases}
\mathbb{R}\times\Omega & \rightarrow\mathbb{R}\\
\left(t,\Omega\right) & \mapsto B_{t}\left(\omega\right)
\end{cases}$ est mesurable. En effet, si $F$ est définie par $F:\begin{cases}
\mathbb{R}_{+}\times C & \to\mathbb{R}\\
\left(t,x\right) & \mapsto x\left(t\right)
\end{cases}$ , alors $G\left(t,\omega\right)=F\left(t,\Phi\left(\omega\right)\right)$.
\begin{defn}
La mesure de Wiener est la mesure image de $\mathbb{P}$ par $\Phi$,
autrement dit la loi de $B$, notée $\mathbb{P}_{0}$. La définition
a un sens car deux browniens $B$ et $B'$ ont même loi par la conséquence
1. L'espace de Wiener est le triplet $\left(C,\mathscr{C},\mathbb{P}_{0}\right)$.
L'image de $\mathbb{P}_{0}$ par l'application $\begin{cases}
C & \rightarrow C\\
x & \mapsto x+z
\end{cases}$ avec $z\in\mathbb{R}$ est la mesure $\mathbb{P}_{z}$.
\end{defn}

\subsection{Filtration}

On note $\begin{array}{cccc}
X: & C & \to & C\\
 & \omega & \mapsto & \omega
\end{array}$ le processus canonique : pour tout $t\geq0$ et pour tout $\omega\in C$,
$X_{t}\left(\omega\right)=\omega\left(t\right)$.
\begin{defn}
Une filtration $\left(\mathcal{F}_{t}\right)_{t\geq0}$ est une famille
de tribus croissante pour l'inclusion. On dit que $\left(\mathcal{F}_{t}\right)_{t}$
est continue à droite si pour tout $t\geq0$, $\mathcal{F}_{t}=\underset{s>t}{\cap}\mathcal{F}_{s}$. 
\end{defn}
Une filtration possible sur $\left(C,\mathscr{C}\right)$ est $\sigma\left(\omega\mapsto\omega\left(s\right),s\leq t\right)=:\mathcal{F}_{t}^{0}$.
Or, $\left(\mathcal{F}_{t}^{0}\right)_{t}$ n'est pas continue à droite.
Exemple : $L=\underset{t\to0}{\mathrm{limsup}}\;\frac{X_{t}}{\sqrt{2t\mathrm{log}\left|\mathrm{log}t\right|}}$
est $\underset{t>0}{\cap}\mathcal{F}_{t}^{0}$-mesurable mais pas
$\mathcal{F}_{0}^{0}$-mesurable. car $\left\{ L=1\right\} \in\mathcal{F}_{0}$
mais $\left\{ L=1\right\} \notin\mathcal{F}_{0}^{0}$.

On pose $\mathcal{F}_{t}=\underset{s>t}{\cap}\mathcal{F}_{s}^{0}$
: c'est clairement continu à droite. 
\begin{defn}
L'espace de Wiener filtré est le quadruplet $\left(\Omega,\mathcal{F},\left(\mathcal{F}_{t}\right)_{t\geq0},\left(\mathbb{P}_{x}\right)_{x\in\mathbb{R}}\right)$.
\end{defn}

\subsection{Propriété de Markov}


\subsubsection{Propriété de Markov faible}
\begin{prop}
Pour tout $s\geq0$, le processus $X_{t}^{(s)}:=X_{t+s}-X_{s}$ est
un mouvement brownien indépendant de $\mathcal{F}_{s}^{0}$ sous $\mathbb{P}_{x}$
pour tout $x$ .\end{prop}
\begin{proof}
Sous $\mathbb{P}_{x}$, $X$ est un brownien car il a même loi que
$B"$, un brownien issu de $x$ : en effet, pour tout $A\in\mathscr{C}$,
$\mathbb{P}_{x}\left(X^{-1}\left(A\right)\right)=\mathbb{P}_{x}\left(A\right)=\mathbb{P}\left(B_{x}^{-1}\left(A\right)\right)$.
On a déjà vu que cela implique que $X_{t}^{(s)}$ est un mouvement
brownien. Il reste à justifier l'indépendance. Soient $t_{1},\ldots,t_{p}\geq0$
et $A_{1},\ldots,A_{p}$ des boréliens de $\mathbb{R}$.$\left\{ X_{t_{1}}^{(s)}\in A_{1},\ldots,X_{t_{p}}^{(s)}\in A_{p}\right\} $
est indépendant de $\sigma\left(X_{u},u\leq s\right)=\mathcal{F}_{s}^{0}$.
Par le lemme des classes monotones, $\sigma\left(X_{t}^{(s)},t\geq0\right)$
est indépendante de $\mathcal{F}_{s}^{0}$ donc $X^{()}$ est indépendante
de $\mathcal{F}_{s}^{0}$.\end{proof}
\begin{thm}
Loi du 0-1 de Blumenthal. $\mathcal{F}_{0}$ est une tribu triviale
i.e. pour tout $A\in\mathcal{F}_{0}$ et pour tout $x\in\mathbb{R}$,
$\mathbb{P}_{x}\left(A\right)\in\left\{ 0,1\right\} $.\end{thm}
\begin{proof}
Soit $A\in\mathcal{F}_{0}$, $t_{1}<\ldots<t_{p}$ et $0<\varepsilon<t$.
La famille $\left(X_{t_{1}}-X_{\varepsilon},\ldots,X_{t_{p}}-X_{\varepsilon}\right)$
est indépendante de $\mathcal{F}_{\varepsilon}^{0}$ donc de $A$.
pour tout $F$ continue bornée,
\[
\mathbb{E}\left[\mathds{1}_{A}F\left(X_{t_{1}}-X_{\varepsilon},\ldots,X_{t_{p}}-X_{\varepsilon}\right)\right]=\mathbb{P}_{x}\left(A\right)\mathbb{E}_{x}\left[F\left(X_{t_{1}}-X_{\varepsilon},\ldots,X_{t_{p}}-X_{\varepsilon}\right)\right]
\]
Par continuité en 0, 
\[
\mathbb{E}\left[\mathds{1}_{A}F\left(X_{t_{1}}-x,\ldots,X_{t_{p}}-x\right)\right]=\mathbb{P}_{x}\left(A\right)\mathbb{E}_{x}\left[F\left(X_{t_{1}}-x,\ldots,X_{t_{p}}-x\right)\right]
\]
$A$ est indépendant de $\sigma\left(\left(X_{s}\right),s\geq0\right)$.
$A$ est indépendant de $\mathcal{F}_{\varepsilon}^{0}$ pour tout
$\varepsilon>0$ donc de $\mathcal{F}^{0}=\underset{\varepsilon>0}{\cap}\mathcal{F}_{\varepsilon}^{0}$.
Ainsi $A$ est indépendant de $A$ d'où $\mathbb{P}_{x}\left(A\right)=\mathbb{P}_{x}\left(A\right)^{2}$ \end{proof}
\begin{cor}
La propriété de Markov faible reste vraie si on remplace $\mathcal{F}_{s}^{0}$
par $\mathcal{F}_{s}$.\end{cor}
\begin{proof}
Soit $\mathcal{F}_{t}^{\left(s,0\right)}=\sigma\left(X_{r}^{(s)},r\leq t\right)$.
$\mathcal{F}_{t}^{(s)}=\underset{\varepsilon>0}{\cap}\mathcal{F}_{t+\varepsilon}^{(s,0)}$.
Par la loi du 0-1, $\mathcal{F}_{0}^{(s)}$ est triviale. De plus
: $\mathcal{F}_{s}=\sigma\left(\mathcal{F}_{s}^{0},\mathcal{F}_{0}^{(s)}\right)$.
$X^{(s)}$ est indépendante de $\mathcal{F}_{s}^{0}$ par la propriété
de Markov. $X^{(s)}$ est indépendante de $\mathcal{F}_{0}^{(s)}$
car cette tribu est triviale. Donc $X^{(s)}$ est indépendantes de
$\mathcal{F}_{s}$.
\end{proof}
Conséquence : la loi du 0-1 assure que $L=\mbox{constante}$ $\mathbb{P}_{0}$-presque
sûrement. Si $T=\mathrm{inf}\left\{ t\geq0\mid X_{t}>0\right\} $,
$\mathbb{P}\left(T\leq t\right)\geq\frac{1}{2}$ par symétrie donc
$\mathbb{P}\left(T=0\right)\geq\frac{1}{2}$. Par la loi du 0-1, $\mathbb{P}\left(T=0\right)=1$.
\begin{thm}
Soit $\mathcal{F}^{\infty}=\underset{t\geq0}{\cap}\sigma\left(X_{s},s\geq t\right)$.
La tribu $\mathcal{F}^{\infty}$ est triviale : pour tout $x\in\mathbb{R}$,
$\mathbb{P}_{x}\left(\mathcal{F}^{\text{\ensuremath{\infty}}}\right)\in\left\{ 0,1\right\} $.\end{thm}
\begin{proof}
$\tilde{X}:t\mapsto t\cdot X_{\frac{1}{t}}$ est un brownien sous
$\mathbb{P}_{0}$. On transforme un événement $A\in\mathcal{F}^{\infty}$
en un événement $\tilde{A}\in\tilde{\mathcal{F}_{0}}$. cette tribu
est triviale, donc $\mathbb{P}_{0}\left(A\right)\in\left\{ 0,1\right\} $.
L'application $\begin{cases}
C & \to C\\
\omega & \mapsto\omega+x
\end{cases}$ préserve l'ensemble $\mathcal{F}_{\infty}$ mais change $\mathbb{P}_{0}$
en $\mathbb{P}_{x}$. Donc on en déduit le résultat sous $\mathbb{P}_{x}$.\end{proof}
\begin{xca*}
Si $A\in\mathcal{F}^{\infty}$, alors $\mathbb{P}_{x}\left(A\right)$
ne dépend pas de $x$.
\end{xca*}

\subsubsection{Temps d'arrêt}
\begin{defn}
Une variable aléatoire $T:\Omega\to\left[0,+\infty\right]$ est un
temps d'arrêt si pour tout $t\geq0$, l'événement $\left\{ T\leq t\right\} \in\mathcal{F}_{t}$.\end{defn}
\begin{example*}
1) Un temps d'arrêt constant est un temps d'arrêt.

2) Pour $a$ fixé, $T_{a}=\mathrm{inf}\left\{ t\geq0\mid X_{t}=a\right\} $
est un temps d'arrêt : $\left\{ T_{a}\leq t\right\} =\left\{ \underset{s\in\mathbb{Q}\cap\left[0,s\right]}{\mathrm{sup}}X_{s}\geq a\right\} $\end{example*}
\begin{prop}
$T$ est un temps d'arrêt si et seulement si pour tout $t\geq0$,
$\left\{ T<t\right\} \in\mathcal{F}_{t}$.\end{prop}
\begin{proof}
``$\Rightarrow$'' facile

``$\Leftarrow$'' $\left\{ T\leq t\right\} =\underset{\varepsilon<0}{\cap}\left\{ T<t+\varepsilon\right\} \in\underset{\varepsilon>0}{\cap}\mathcal{F}_{t+\varepsilon}=\mathcal{F}_{t}$
par continuité à droite de la filtration.\end{proof}
\begin{prop}
Soit $\mathcal{O}$ un ouvert de $\mathbb{R}$ (ou de $\mathbb{R}^{d}$
pour le brownien multi-dimensionnel) et soit $T=\mathrm{inf}\left\{ t\geq0\mid X_{t}\in\mathcal{O}\right\} $.
Alors, $T$ est un temps d'arrêt.\end{prop}
\begin{proof}
Il suffit de voir $\left\{ T<t\right\} \in\mathcal{F}_{t}$ : $\left\{ T<t\right\} =\underset{s\in\mathbb{Q}\cap[0,t[}{\cup}\left\{ X_{s}\in\mathcal{O}\right\} \in\mathcal{F}_{t}$.\end{proof}
\begin{rem*}
La démonstration utilise seulement la continuité à droite du processus.\end{rem*}
\begin{prop}
Soit $T_{n}$ une suite de temps d'arrêt. Les variables aléatoires
suivantes sont des temps d'arrêt :

1) $\mathrm{sup}\; T_{n}$

2) $\mathrm{inf}\; T_{n}$

3) $\mathrm{limsup}\; T_{n}$

4) $\mathrm{liminf}\; T_{n}$\end{prop}
\begin{proof}
1) $\left\{ \mathrm{sup}T_{n}\leq t\right\} =\underset{n}{\cap}\left\{ T_{n}\leq t\right\} \in\mathcal{F}_{t}$

2) $\left\{ \mathrm{inf}T_{n}\right\} =\underset{n}{\cup}\left\{ T_{n}\geq t\right\} $

3) $\mathrm{limsup}T_{n}=\underset{n}{\mathrm{inf}}\;\underset{k\geq n}{\mathrm{sup}}T_{k}$
donc c'est bon.

4) idem\end{proof}
\begin{prop}
Soit $F$ un fermé de $\mathbb{R}$ (ou de $\mathbb{R}^{d}$ pour
le brownien multi-dimensionnel) et soit $T=\mathrm{inf}\left\{ t\geq0\mid X_{t}\in F\right\} $.
Alors, $T$ est un temps d'arrêt.\end{prop}
\begin{proof}
Soit $\mathcal{O}_{n}:=\left\{ x\mid\exists y\in F,\;\left|x-y\right|<\frac{1}{n}\right\} $.
$\mathcal{O}_{n}$ est un ouvert qui contient $F$. On note $T_{n}$
le temps d'atteinte de $\mathcal{O}_{n}$. $T_{n}$ est une suite
croissante de temps d'arrêt. Soit $S=\underset{n}{\mathrm{lim}}T_{n}$.
Par la propriété précédente, $S$ est un temps d'arrêt. Clairement,
$T_{n}\leq T$ donc $S\leq T$. On veut montrer que $S\geq T$.

Si $S=+\infty$ il n'y a rien à démontrer.

Si $S<+\infty$, $X_{T_{n}}\in\overline{\mathcal{O}_{n}}\subset\overline{\mathcal{O}_{m}}$
pour $n\leq m$. En utilisant la continuité des trajectoires, $\underset{n\to\infty}{\mathrm{lim}}X_{T_{n}}=X_{S}\in\overline{\mathcal{O}_{m}}$
donc $X_{S}\in\underset{m}{\cap}\overline{\mathcal{O}_{m}}=F$ donc
$T\leq S$ et $T$ est un temps d'arrêt.\end{proof}
\begin{rem*}
On utilise la continuité à gauche de $X$. En fait, on a seulement
besoin de la quasi-continuité à gauche, i.e. pour tout $T_{n}$ et
$T$ temps d'arrêt tels que $T_{n}\to T$ et $T_{n}\leq T$ alors
$X_{T_{n}}\to X_{T}$.\end{rem*}
\begin{defn}
On définit la tribu associée au temps d'arrêt $T$ par $\mathcal{F}_{T}=\left\{ A\mbox{ mesurable }\mid\left\{ T\leq t\right\} \cap A\in\mathcal{F}_{t}\right\} $.
\end{defn}
Définition d'un processus adapté :
\begin{defn}
Un processus stochastique $\left(Y_{t}\right)_{t}$ est dit adapté
si pour tout $t\geq0$, $Y_{t}$ est $\mathcal{F}_{t}$-mesurable.\end{defn}
\begin{prop}
Soient $T,T_{n}$ des temps d'arrêt.

1) $T$ est $\mathcal{F}_{T}$-mesurable.

2) si $T_{1}\leq T_{2}$, $\mathcal{F}_{T_{1}}\subset\mathcal{F}_{T_{2}}$.

3) Si $T_{n}\searrow T$, alors $\mathcal{F}_{T}=\underset{n}{\cap}\;\mathcal{F}_{T_{n}}$.

4) Si $\left(Y_{t}\right)$ est adapté et continu à droite (càd $t\mapsto T_{t}$
est presque sûrement continue à droite) alors $Y_{T}\mathds{1}_{\left\{ T<\infty\right\} }$
est $\mathcal{F}_{T}$-mesurable.\end{prop}
\begin{proof}
1) On doit vérifier que $\left\{ T\leq s\right\} \in\mathcal{F}_{T}$
pour tout $s$ : $\left\{ T\leq s\right\} \cap\left\{ T\leq t\right\} =\left\{ T\leq s\wedge t\right\} \in\mathcal{F}_{T}$.

2) Soient $t\geq0$ et $A\in\mathcal{F}_{T_{1}}$. $A\cap\left\{ T_{2}\leq t\right\} =\left(A\cap\left\{ T_{1}\leq t\right\} \right)\cap\left\{ T_{2}\leq t\right\} \in\mathcal{F}_{t}$.

3) Il est clair que $\mathcal{F}_{T}\subset\mathcal{F}_{T_{n}}$ d'où
$\mathcal{F}_{T}\subset\underset{n}{\cap}\;\mathcal{F}_{T_{n}}$,
\[
A\cap\left\{ T<t\right\} =\underset{n}{\cup}\; A\cap\left\{ T_{n}<t\right\} \in\mathcal{F}_{t}
\]
\begin{eqnarray*}
A\cap\left\{ T\leq t\right\}  & = & \underset{\varepsilon>0}{\cap}\; A\cap\left\{ T<t+\varepsilon\right\} \\
 &  & \in\underset{\varepsilon>0}{\cap}\mathcal{F}_{t+\varepsilon}=\mathcal{F}_{t}
\end{eqnarray*}


4) Si $T$ prend des valeurs dans un ensemble dénombrable $\left\{ t_{1},t_{2},\ldots\right\} $
alors avec $\mathcal{B}$ borélien,
\[
\left\{ Y_{T}\mathds{1}_{\left\{ T<\infty\right\} }\in\mathcal{B}\right\} \cap\left\{ T\leq t\right\} =\underset{k,\; t_{k}\leq t}{\cup}\left\{ T=t_{k},Y_{t_{k}}\in\mathcal{B}\right\} \in\mathcal{F}_{t}
\]


Supposons $T<+\infty$ presque sûrement. on approche $T$ par $T_{n}=\frac{k+1}{2^{n}}$
si $\frac{k}{2^{n}}\leq T<\frac{k+1}{2^{n}}$ avec $k$ entier (autrement
dit $T_{n}=\frac{\left\lfloor 2^{n}T\right\rfloor +1}{2^{n}}$). Alors,
\[
\left\{ T_{n}\leq t\right\} =\left\{ T<\frac{k}{2^{n}}\right\} \in\mathcal{F}_{\frac{k}{2^{n}}}\subset\mathcal{F}_{t}
\]
 

si $\frac{k}{2^{n}}\leq t<\frac{k+1}{2^{n}}$. On a donc bien que
$T_{n}$ est un temps d'arrêt. Or, $T_{n}\searrow T$. Comme $Y$
est continu à droite, $Y_{T_{n}}=\underset{n\to+\infty}{\mathrm{lim}}Y_{T}$,
$Y_{T_{n}}$ est $\mathcal{F}_{T_{n}}$-mesurable (OK car $T_{n}$
prend ses valeurs dans un ensemble dénombrable) et $T_{n}\leq T_{m}$
pour $n\geq m$ : $\mathcal{F}_{T_{n}}\subset\mathcal{F}_{T_{m}}$.
$Y_{T_{n}}$ est $\mathcal{F}_{T_{m}}$-mesurable. $Y_{T}$ est $\mathcal{F}_{T_{m}}$
mesurable. $Y_{t}$ est $\underset{m}{\cap}\mathcal{F}_{T_{m}}$-mesurable
c'est à dire $\mathcal{F_{T}}$-mesurable.

Il reste à voir les cas où $T=\infty$ est autorisé. On peut utiliser
le résultat pour $T\wedge m$ : $Y_{T\wedge m}$ est $\mathcal{F}_{T\wedge m}$-mesurable
donc $\mathcal{F}_{T}$-mesurable.

$Y_{T}\mathds{1}_{\left\{ T<\infty\right\} }=\underset{n\to\infty}{\mathrm{lim}}Y_{T\wedge n}\mathds{1}_{\left\{ T<\infty\right\} }$
est $\mathcal{F}_{T}$-mesurable.
\end{proof}

\subsubsection{Propriété de Markov forte}
\begin{thm}
Soit $T$ un temps d'arrêt. Sur l'événement $\left\{ T<\infty\right\} $,
le processus $X^{\left(T\right)}$ défini par 
\[
X_{t}^{(T)}=\left(X_{t+T}-X_{T}\right)\mathds{1}_{\left\{ T<+\infty\right\} }
\]
est un mouvement brownien indépendant de $\mathcal{F}_{T}$.\end{thm}
\begin{proof}
Supposons $T<\infty$ presque sûrement. On va montrer que pour tout
$A\in\mathcal{F}_{T}$, $0\leq t_{1}<\ldots<t_{p}$ et pour tout $F$
continue bornée,
\[
\mathbb{E}_{0}\left[\mathds{1}_{A}F\left(X_{t_{1}}^{(T)},\ldots,X_{t_{p}}^{(T)}\right)\right]=\mathbb{P}_{0}\left(A\right)\mathbb{E}_{0}\left[F\left(X_{t_{1}},\ldots,X_{t_{p}}\right)\right]
\]
Si $A=\Omega$, l'égalité montre que la loi de $X^{(T)}$ est la loi
d'un mouvement brownien (il est clair que $t\mapsto X_{t}^{(T)}$
est continu). L'indépendance suit de l'égalité générale.
\[
F\left(X_{t_{1}}^{\left(T\right)},\ldots,X_{t_{p}}^{\left(T\right)}\right)=\underset{n\to\infty}{\mathrm{lim}}\sum_{k=0}^{+\infty}\mathds{1}_{\left\{ \frac{k}{2^{n}}\leq T<\frac{k+1}{2^{n}}\right\} }F\left(X_{\frac{k}{2^{n}}+t_{1}}-X_{\frac{k}{2^{n}}},\ldots,X_{\frac{k}{2^{n}}+t_{p}}-X_{\frac{k}{2^{n}}}\right)
\]
par continuité des trajectoires et de $F$. Par le théorème de convergence
dominée,
\[
\mathbb{E}_{0}\left[\mathds{1}_{A}F\left(X_{t_{1}}^{(T)},\ldots,X_{t_{p}}^{(T)}\right)\right]=\underset{n\to\infty}{\mathrm{lim}}\sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{E}_{0}\left[\mathds{1}_{A\cap\left\{ \frac{k}{2^{n}}\leq T<\frac{k+1}{2^{n}}\right\} }F\left(X_{\frac{k}{2^{n}}+t_{1}}-X_{\frac{k}{2^{n}}},\ldots,X_{\frac{k}{2^{n}}+t_{p}}-X_{\frac{k}{2^{n}}}\right)\right]
\]
L'événement $A\cap\left\{ \frac{k}{2^{n}}\leq T<\frac{k+1}{2^{n}}\right\} $
est dans $\mathcal{F}_{\frac{k}{2^{n}}}$, ($A\cap\left\{ T\leq\frac{k}{2^{n}}\right\} $
est dans $\mathcal{F}_{\frac{k}{2^{n}}}\subset\mathcal{F}_{\frac{k+1}{2^{n}}}$).
Par la propriété de Markov faible,
\[
\mathbb{E}_{0}\left[\cdot\right]=\mathbb{E}_{0}\left[\mathds{1}_{A\cap\left\{ \frac{k}{2^{n}}\leq T<\frac{k+1}{2^{n}}\right\} }\right]\mathbb{E}_{0}\left[F\left(X_{t_{1}},\ldots,X_{t_{p}}\right)\right]
\]
donc
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}_{0}\left[\mathds{1}_{A}F\left(X_{t_{1}}^{(T)},\ldots,X_{t_{p}}^{(T)}\right)\right] & = & \underset{n\to\infty}{\mathrm{lim}}\sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{E}_{0}\left[\mathds{1}_{A\cap\left\{ \frac{k}{2^{n}}\leq T<\frac{k+1}{2^{n}}\right\} }\right]\mathbb{E}_{0}\left[F\left(X_{t_{1}},\ldots,X_{t_{p}}\right)\right]\\
 & = & \mathbb{P}_{0}\left(A\right)\mathbb{E}_{0}\left[F\left(X_{t_{1}},\ldots,X_{t_{p}}\right)\right]
\end{eqnarray*}


Si $\mathbb{P}_{0}\left(T=+\infty\right)>0$, 
\[
\mathbb{E}_{0}\left[\mathds{1}_{A\cap\left\{ T<+\infty\right\} }F\left(X_{t_{1}}^{(T)},\ldots,X_{t_{p}}^{(T)}\right)\right]=\mathbb{P}_{0}\left(A\cap\left\{ T<+\infty\right\} \right)\mathbb{E}_{0}\left[F\left(X_{t_{1}},\ldots,X_{t_{p}}\right)\right]
\]
(la preuve est identique à la précédente).\end{proof}
\begin{lem}
Soit $f\left(\cdot,\cdot\right)$ une fonction mesurable positive,
$Y$ $\mathcal{G}$-mesurable, $Z$ est indépendante de $\mathcal{G}$.
Alors,
\[
\mathbb{E}\left[f\left(Y,Z\right)\mid\mathcal{G}\right]=g\left(Y\right)\quad\mbox{p.s.}
\]
où $g\left(y\right)=\mathbb{E}\left[f\left(y,Z\right)\right]$.\end{lem}
\begin{proof}
Soit $X$ une variable aléatoire $\mathcal{G}$-mesurable. $\left(X,Y\right)$
et $Z$ sont indépendantes. la loi jointe de $\left(X,Y,Z\right)$
a la forme $\mu\left(x,y\right)\otimes\nu\left(z\right)$. On veut
vérifier
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[Xf\left(Y,Z\right)\right] & = & \mathbb{E}\left[Xg\left(Y\right)\right]
\end{eqnarray*}
$\mathbb{E}\left[Xf\left(Y,Z\right)\right]=\int xf\left(y,z\right)d\mu\left(x,y\right)d\nu\left(z\right)=\int x\int f\left(y,z\right)d\nu\left(z\right)d\mu\left(x,y\right)$
par Fubini donc $\mathbb{E}\left[Xf\left(Y,Z\right)\right]=\int xg(y)d\mu\left(x,y\right)=\mathbb{E}\left[Xg\left(Y\right)\right]$.
\end{proof}
On peut donner à la propriété de Markov une reformulation plus adaptée
à des processus ``moins homogènes''. On définit les trajectoires
temporelles $\begin{array}{cccc}
\theta_{s}: & C & \to & C\end{array}$ par $\left(\theta_{s}\omega\right)\left(t\right)=\omega\left(t+s\right)$.
On se place sur l'espace canonique de Wiener.
\begin{thm}
Soit $F$ une variable aléatoire positive sur $\Omega=C$ et soit
$T$ un temps d'arrêt. Pour tout $x$,
\[
\mathds{1}_{\left\{ T<+\infty\right\} }\mathbb{E}_{x}\left[F\circ\theta_{T}\mid\mathcal{F}_{T}\right]=\mathbb{E}_{X_{T}}\left[F\right]\mathds{1}_{\left\{ T<+\infty\right\} }\quad\mathbb{P}_{x}\mbox{-p.s.}
\]
\end{thm}
\begin{proof}
$T<+\infty$ presque sûrement.
\[
\mathbb{E}_{x}\left[F\circ\theta_{t}\mid\mathcal{F}_{T}\right]=\mathbb{E}_{x}\left[F\left(X^{(T)}+X_{T}\right)\mid\mathcal{F}_{T}\right]
\]
$X_{T}$ est $\mathcal{F}_{T}$-mesurable, $X^{(T)}$ est indépendante
de $\mathcal{F}_{T}$.

Soit $g\left(y\right)=\mathbb{E}_{x}\left[F\left(X^{(T)}+y\right)\right]=\mathbb{E}_{y}\left[F\right]$
car $X^{(T)}$ a pour loi $\mathbb{P}_{0}$. Par le lemme, $\mathbb{E}_{x}\left[F\circ\theta_{T}\mid\mathcal{F}_{T}\right]=g\left(X_{T}\right)=\mathbb{E}_{X_{T}}\left[F\right]$.
\end{proof}

\subsubsection{Principe de réflexion}

Soit $M_{t}=\underset{0\leq s\leq t}{\mathrm{sup}}X_{s}$.
\begin{thm}
Principe de réflexion. Soit $a>0$ et $b<a$. Pour tout $t>0$, 
\[
\mathbb{P}_{0}\left(M_{t}\geq a,\; X_{t}\leq b\right)=\mathbb{P}_{0}\left(X_{t}\geq2a-b\right)
\]
\end{thm}
\begin{rem*}
Cela décrit complètement la loi jointe $\left(M_{t},X_{t}\right)$.\end{rem*}
\begin{proof}
Soit $T=\mathrm{inf}\left\{ s\ge0,\; X_{s}=a\right\} $ (on a vu que
$\mathrm{limsup}\frac{B_{t}}{\sqrt{t}}=+\infty$ et $\mathrm{liminf}\frac{B_{t}}{\sqrt{t}}=-\infty$
$\mathbb{P}_{0}$-p.s. donc $T<+\infty$ presque sûrement). On pose
$\overline{X}_{t}=X_{t+T}-X_{T}=X_{t+T}-a$. 
\begin{eqnarray*}
\mathbb{P}_{0}\left(M_{t}\geq a,\; X_{t}\leq b\right) & = & \mathbb{P}_{0}\left(T\leq t,\; X_{t}\leq b\right)\\
 & = & \mathbb{P}_{0}\left(T\leq t,\;\overline{X}_{t-T}\leq b-a\right)
\end{eqnarray*}
Par la propriété de Markov forte, $T$ et $\overline{X}$ sont indépendantes
et $\overline{X}$ est un mouvement brownien issu de 0 donc $-\overline{X}$
est un brownien issu de 0. $T$ et $-\overline{X}$ sont indépendantes.
Donc $\left(T,\overline{X}\right)$ et $\left(T,-\overline{X}\right)$
ont la même loi. Soit $A=\left\{ \left(s,x\right)\in\mathbb{R}_{+}\times C\mid s\leq t\mbox{ et }x_{t-s}\leq b-a\right\} $.
\begin{eqnarray*}
\mathbb{P}_{0}\left(\left(T,\overline{X}\right)\in A\right) & = & \mathbb{P}_{0}\left(\left(T,-\overline{X}\right)\in A\right)\\
 & = & \mathbb{P}_{0}\left(T\leq t,\;-\overline{X}_{t-T}\leq b-a\right)\\
 & = & \mathbb{P}_{0}\left(T\leq t,\;-X_{t}+a\leq b-a\right)\\
 & = & \mathbb{P}_{0}\left(T\leq t,\; X_{t}\geq2a-b\right)
\end{eqnarray*}
Or, $X_{t}\geq2a-b\Rightarrow X_{t}\geq a\Rightarrow T\leq t$ donc
$\mathbb{P}_{0}\left(T\leq t,\; X_{t}\leq2a-b\right)=\mathbb{P}_{0}\left(X_{t}\geq2a-b\right)$.
\end{proof}
Conséquence 1 : $M_{t}$ et $\left|X_{t}\right|$ ont la même loi
pour tout $t$ fixé.
\[
\mathbb{P}\left(M_{t}\geq a\right)=\mathbb{P}\left(M_{t}\geq a,\; X_{t}<a\right)+\mathbb{P}\left(M_{t}\geq a,\; X_{t}\geq a\right)
\]
Par le théorème précédent et passage à la limite,
\[
\mathbb{P}_{0}\left(M_{t}\geq a,\; X_{t}<a\right)=\mathbb{P}\left(X_{t}>a\right)
\]
D'autre part,
\[
\mathbb{P}_{0}\left(M_{t}\geq a,\; X_{t}\geq a=\mathbb{P}_{0}\left(X_{t}\geq a\right)\right)
\]
donc 
\[
\mathbb{P}_{0}\left(M_{t}\geq a\right)=2\mathbb{P}_{0}\left(X_{t}\geq a\right)=\mathbb{P}_{0}\left(\left|X_{t}\right|\geq a\right)
\]


Conséquence 2 :
\begin{xca*}
Montrer que $\left(M_{t}-X_{t}\right)$ et $\left|X_{t}\right|$ ont
la même loi pour chaque $t$ fixé (en fait les deux processus ont
la même loi).
\end{xca*}
Conséquence 3 : Soit $T=\mathrm{inf}\left\{ t\geq0,\; X_{t}=0\right\} $.
pour tout $x\neq0$, 
\[
\mathbb{P}_{x}\left(T\leq t\right)=\int_{0}^{t}\frac{\left|x\right|}{\sqrt{2\pi z^{3}}}\mathrm{exp}\left(-\frac{x^{2}}{2z}\right)dz
\]
En effet, 
\begin{eqnarray*}
\mathbb{P}_{x}\left(T\leq t\right) & = & \mathbb{P}_{\left|x\right|}\left(T\leq t\right)\\
 & = & \mathbb{P}_{\left|x\right|}\left(\exists s\leq t,\; X_{s}=0\right)\\
 & = & \mathbb{P}_{\left|x\right|}\left(\exists s\leq t,\; X_{s}=2\left|x\right|\right)\\
 & = & \mathbb{P}_{0}\left(M_{t}\geq\left|x\right|\right)\\
 & = & \mathbb{P}_{0}\left(\left|X_{t}\right|\geq\left|x\right|\right)\\
 & = & 2\mathbb{P}_{0}\left(X_{t}\geq\left|x\right|\right)\\
 & = & \frac{2}{\sqrt{2\pi t}}\int_{\left|x\right|}^{+\infty}e^{-\frac{y^{2}}{2t}}dy
\end{eqnarray*}
On pose $y=\left|x\right|\sqrt{\frac{t}{z}}$ et ça fonctionne.


\subsubsection{Zéros du brownien}
\begin{prop}
Soit $Z=\left\{ t\geq0,\; X_{t}=0\right\} $. $\mathbb{P}_{0}$-presque
sûrement, l'ensemble $Z$ est parfait (i.e. c'est un fermé tel que
tout point est point d'accumulation de $Z$).\end{prop}
\begin{proof}
$Z$ est fermé car $X$ est continue. Soit $T_{a}=\mathrm{inf}\left\{ t\geq a,\; X_{t}=0\right\} $.
Soit $A=\left\{ \exists\left(t_{n}\right)_{n}\in\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{\mathbb{N}}\mbox{ tendant vers }0\mid X_{t_{n}}=0\;\forall n\right\} $.
$A$ est l'événement : ``0 est un point d'accumulation à droite''.
$\mathbb{P}_{0}\left(A\right)=1$ (déjà vu). Par propriété de Markov
forte, 
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}_{0}\left[\mathds{1}_{A}\circ\theta_{T_{a}}\mid\mathcal{F}_{T_{a}}\right] & = & \mathbb{E}_{X_{T_{a}}}\left[\mathds{1}_{A}\right]\\
 & = & \mathbb{E}_{0}\left[\mathds{1}\right]\\
 & = & 1
\end{eqnarray*}
 En particulier, $\mathbb{E}_{0}\left[\mathds{1}_{A}\circ\theta_{T_{A}}\right]=1$.
$\left\{ X\mid\theta_{T_{a}}X\in A\right\} =\left\{ \exists t_{n}\to0,t_{n>0}\text{\textdiv mid }\forall n,X_{T_{a}+t_{n}}=0\right\} $.
Presque sûrement, $\forall a\in\mathbb{Q}_{+}$, $T_{a}$ est un point
d'accumulation à droite. Soit $x\in Z\setminus\underset{a\in\mathbb{Q}_{+}}{U}T_{a}$.
Alors, $\forall a\in\mathbb{Q}_{+}$, $a<x$ il existe un $x'\in\left]a,x\right[\cap Z$.
Donc $x$ est un point d'accumulation à gauche.
\end{proof}
L'ensemble $Z$ a une mesure nulle :
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}_{0}\left[\int_{0}^{+\infty}\mathds{1}_{Z}(t)dt\right] & = & \int_{0}^{+\infty}\mathbb{E}_{0}\left[\mathds{1}_{Z}\left(t\right)\right]dt\\
 & = & \int_{0}^{+\infty}\mathbb{P}_{0}\left(X_{t}=0\right)dt\\
 & = & 0
\end{eqnarray*}



\subsubsection{Un contre-exemple pour la propriété de Markov}

La propriété de Markov faible n'implique pas la propriété de Markov
forte en général. Soit, pour tout $x\neq0$, $\mathbb{P}_{x}$ la
loi usuelle du brownien partant de $x$ et $\mathbb{P}_{0}$ le dirac
sur la trajectoire $X=0$. Alors, pour tout $s>0$, $F$ mesurable
positive et $x$, 
\[
\mathbb{E}_{x}\left[F\circ\theta_{s}\mid\mathcal{F}_{s}\right]=\mathbb{E}_{X_{s}}\left[F\right]\quad\mathbb{P}_{x}\mbox{-p.s.}
\]
C'est vrai :

si $x\neq0$ car $X_{s}\neq0$ $\mathbb{P}_{x}\mbox{-p.s.}$ (et par
la propriété usuelle)

si $x=0$ (évident)
\[
\]
On n'a pas la propriété de Markov forte : Soit $T=\mathrm{inf}\left\{ t\geq0\mid X_{t}=0\right\} $.
On n'a pas $\mathbb{E}_{x}\left[F\circ\theta_{T}\mid\mathcal{F}_{T}\right]=\mathbb{E}_{X_{T}}\left[F\right]$
car $\mathbb{E}_{X_{T}}\left[F\right]=\mathbb{E}_{0}\left[F\right]=F\left(t\mapsto0\right)\neq\mathbb{E}_{x}\left[F\circ\theta_{T}\mid\mathcal{F}_{T}\right]$.
Pour avoir Markov faible $\implies$ Markov faible, il semble nécessaire
que $\mathbb{P}_{x_{n}}\to\mathbb{P}_{x}$ quand $x_{n}\to x$.


\section{Martingales}

Tous les résultats sur les martingales à temps discret sont supposés
connus. Soit $\left(\Omega,\mathcal{F},\left(\mathcal{F}_{t}\right)_{t\geq0},\mathbb{P}\right)$
espace de probabilité muni d'une filtration continue à droite.
\begin{defn}
Un processus $\left(M_{t}\right)_{t\geq0}$ adapté et tel que pour
tout $t$, $\mathbb{E}\left[\left|M_{t}\right|\right]<+\infty$ est
:

une martingale si pour tout $s,t\geq0$, $\mathbb{E}\left[M_{t+s}\mid\mathcal{F}_{s}\right]=M_{t}$

une sur-martingale si pour tout $s,t\geq0$, $\mathbb{E}\left[M_{t+s}\mid\mathcal{F}_{s}\right]\leq M_{t}$

une sous-martingale si pour tout $s,t\geq0$, $\mathbb{E}\left[M_{t+s}\mid\mathcal{F}_{s}\right]\geq M_{t}$\end{defn}
\begin{example}
Soit $\left(X_{t}\right)_{t}$ processus adapté et a accroissements
indépendants par rapport à $\left(\mathcal{F}_{t}\right)_{t}$ i.e.
pour tout $s,t\geq0$, $\left(X_{t+s}-X_{t}\right)$ est indépendante
de $\mathcal{F}_{t}$. On a :

i) si $X_{t}\in L^{1}$ pour tout $t$ alors $M_{t}=X_{t}-\mathbb{E}\left[X_{t}\right]$
est une martingale

ii) si $X_{t}\in L^{2}$ pour tout $t$, alors $\overline{M_{t}}=M_{t}^{2}-\mathbb{E}\left[M_{t}^{2}\right]$
est une martingale

iii) si pour $\lambda\in\mathbb{R}$, $\mathbb{E}\left[e^{\lambda X_{t}}\right]<+\infty$,
alors $N_{t}=\frac{e^{\lambda X_{t}}}{\mathbb{E}\left[e^{\lambda X_{t}}\right]}$
est une martingale.\end{example}
\begin{proof}
i) 
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[X_{t+s}\mid\mathcal{F}_{t}\right] & = & \mathbb{E}\left[\left(X_{t+s}-X_{t}\right)+X_{t}\mid\mathcal{F}_{t}\right]\\
 & = & X_{t}+\mathbb{E}\left[X_{t+s}-X_{t}\right]\\
\Leftrightarrow\mathbb{E}\left[M_{t+s}\mid\mathcal{F}_{t}\right] & = & X_{t}+\mathbb{E}\left[X_{t+s}-X_{t}\right]-\mathbb{E}\left[X_{t+s}\right]\\
 & = & M_{t+s}
\end{eqnarray*}


ii) 
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[M_{t+s}^{2}\mid\mathcal{F}_{t}\right] & = & \mathbb{E}\left[\left(M_{t+s}-M_{t}+M_{t}\right)^{2}\mid\mathcal{F}_{t}\right]\\
 & = & \mathbb{E}\left[\left(M_{t+s}-M_{t}\right)^{2}\mid\mathcal{F}_{t}\right]+2\mathbb{E}\left[M_{t+s}-M_{t}\mid\mathcal{F}_{t}\right]\cdot M_{t}+M_{t}^{2}\\
 & = & \mathbb{E}\left[\left(M_{t+s}-M_{t}\right)^{2}\right]+M_{t}^{2}\\
 & = & \mathbb{E}\left[M_{t+s}^{2}\right]-2\mathbb{E}\left[M_{t+s}\cdot M_{t}\right]+\mathbb{E}\left[M_{t}^{2}\right]+M_{t}^{2}\\
 & = & \mathbb{E}\left[M_{t+s}^{2}\right]-2\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[M_{t+s}\mid\mathcal{F}_{t}\right]M_{t}\right]+\mathbb{E}\left[M_{t}^{2}\right]+M_{t}^{2}\\
 & = & \mathbb{E}\left[M_{t+s}^{2}\right]-2\mathbb{E}\left[M_{t}^{2}\right]+\mathbb{E}\left[M_{t}^{2}\right]+M_{t}^{2}\\
 & = & \mathbb{E}\left[M_{t+s}^{2}\right]-\mathbb{E}\left[M_{t}^{2}\right]+M_{t}^{2}
\end{eqnarray*}
donc $\mathbb{E}\left[\overline{M_{t+s}}\mid\mathcal{F}_{t}\right]=-\mathbb{E}\left[M_{t}^{2}\right]+M_{t}^{2}=\overline{M_{t}}$

iii) $\mathbb{E}\left[N_{t+s}\mathcal{F}_{t}\right]=\frac{\mathbb{E}\left[e^{\lambda\left(X_{t+s}-X_{t}+X_{t}\right)}\mid\mathcal{F}_{t}\right]}{\mathbb{E}\left[e^{\lambda\left(X_{t+s}-X_{t}+X_{t}\right)}\right]}=e^{\lambda X_{t}}\frac{\mathbb{E}\left[e^{\lambda\left(X_{t+s}-X_{t}\right)}\right]}{\mathbb{E}\left[e^{\lambda\left(X_{t+s}-X_{t}\right)}\right]\mathbb{E}\left[e^{\lambda X_{t}}\right]}=N_{t}$
\end{proof}
Par exemple si $B$ est un brownien, $t\mapsto B_{t}$ est une martingale
(1), $t\mapsto B_{t}^{2}-t$ est une martingale (2) et $t\mapsto\mathrm{exp}\left(\lambda B_{t}-\frac{\lambda^{2}}{2}t\right)$
est une martingale.
\begin{rem*}
Les propriétés (1)-(2) caractérisent le mouvement brownien parmi les
processus adaptés continues (caractérisation due à Paul Lévy).\end{rem*}
\begin{prop}
Soit $\left(M_{t}\right)_{t}$ une martingale et $\phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
convexe telle que $\mathbb{E}\left[\left|\phi\left(M_{t}\right)\right|\right]<\infty$.
Alors, $\left(\phi\left(M_{t}\right)\right)_{t\geq0}$ est une sous-martingale.\end{prop}
\begin{proof}
$\mathbb{E}\left[\phi\left(M_{t+s}\right)\mid\mathcal{F}_{t}\right]\underset{\mbox{Jensen}}{\geq}\phi\left(\mathbb{E}\left[M_{t+s}\mid\mathcal{F}_{t}\right]\right)=\phi\left(M_{t}\right)$.\end{proof}
\begin{rem*}
La propriété est aussi vraie si $M$ est une sous-martingale et $\phi$
est convexe croissante.
\end{rem*}
Conséquence : si $\left(M_{t}\right)$ est une martingale, alors $\left|M_{t}\right|,M_{t}^{+}$
sont des sous-martingales. Si $M_{t}\in L^{p}$ pour tout $t$ ($p\geq1$)
alors $\left(\left|M_{t}\right|^{p}\right)_{t}$ est une sous-martingale.
\begin{prop}
Si $\left(M_{t}\right)_{t}$ est une sous-martingale (resp. une sur-martingale),
alors pour tout $t\geq0$, $\underset{s\leq t}{\mathrm{sup}}\mathbb{E}\left[\left|M_{s}\right|\right]<+\infty$.\end{prop}
\begin{proof}
Il suffit de le voir pour une sous-martingale (si $M$ est une sur--martingale,
$-M$ est une sous-martingale).

Soit donc $M$ une sous-martingale. $\left(M_{t}^{+}\right)_{t}$
est une sous-martingale. $\mathbb{E}\left[M_{s}^{+}\right]\leq\mathbb{E}\left[M_{t}^{+}\right]$.
$\left(M_{t}\right)_{t}$ est une sous-martingale donc $\mathbb{E}\left[M_{s}\right]\geq\mathbb{E}\left[M_{0}\right]$.
Or $\left|x\right|=2x^{+}-x$ donc
\[
\mathbb{E}\left[\left|M_{s}\right|\right]=2\mathbb{E}\left[M_{s}^{+}\right]-\mathbb{E}\left[M_{s}\right]\leq2\mathbb{E}\left[M_{t}^{+}\right]-\mathbb{E}\left[M_{0}\right]
\]
\end{proof}
\begin{prop}
Soit $\left(M_{t}\right)_{t}$ martingale de carré intégrable. Soit
$0\leq s=t_{0}<\ldots<t_{p}=t$. Alors,
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{p}\left(M_{t_{i}}-M_{t_{i-1}}\right)^{2}\mid\mathcal{F}_{s}\right] & = & \mathbb{E}\left[M_{t}^{2}-M_{s}^{2}\mid\mathcal{F}_{s}\right]\\
 & = & \mathbb{E}\left[\left(M_{t}-M_{s}\right)^{2}\mid\mathcal{F}_{s}\right]
\end{eqnarray*}
En particulier, $\mathbb{E}\left[\left(M_{t_{i+1}}-M_{t_{i}}\right)^{2}\right]=\mathbb{E}\left[M_{t_{i+1}}^{2}\right]-\mathbb{E}\left[M_{t_{i}}^{2}\right]$.\end{prop}
\begin{proof}
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\left(M_{t_{i}}-M_{t_{i-1}}\right)^{2}\mid\mathcal{F}_{s}\right] & = & \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[\left(M_{t_{i}}-M_{t_{i-1}}\right)^{2}\mid\mathcal{F}_{t_{i-1}}\right]\mid\mathcal{F}_{s}\right]\\
 & = & \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[M_{t_{i}}^{2}\mid\mathcal{F}_{t_{i-1}}\right]-2M_{t_{i-1}}\mathbb{E}\left[M_{t_{i}}\mid\mathcal{F}_{t_{i-1}}\right]+M_{t_{i-1}}^{2}\mid\mathcal{F}_{s}\right]\\
 & = & \mathbb{E}\left[M_{t_{i}}^{2}\mid\mathcal{F}_{s}\right]-\mathbb{E}\left[M_{t_{i-1}}^{2}\mid\mathcal{F}_{s}\right]
\end{eqnarray*}
\end{proof}
\begin{prop}
Inégalité maximale. Soit $\left(X_{t}\right)_{t}$ une sur-martingale
(resp une sur-martingale) continue à droite. Pour tout $t>0$ et $\lambda>0$,
\[
\lambda\cdot\mathbb{P}\left(\underset{s\leq t}{\mathrm{sup}}\left|X_{s}\right|>\lambda\right)\leq\mathbb{E}\left[\left|X_{0}\right|\right]+2\cdot\mathbb{E}\left[\left|X_{t}\right|\right]
\]


Inégalité de Doob. Soit $\left(X_{t}\right)_{t}$ une martingale continue
à droite. Pour tout $t>0$ et $p>1$,
\[
\mathbb{E}\left[\underset{0\leq s\leq t}{\mathrm{sup}}\left|X_{s}\right|^{p}\right]\leq\left(\frac{p}{p-1}\right)^{p}\mathbb{E}\left[\left|X_{t}\right|^{p}\right]
\]
\end{prop}
\begin{proof}
Fixons $t>0$ et soit $D$ un sous-ensemble dénombrable dense de $\left[0,t\right]$
tel que $0\in D$, $t\in D$. On écrit$D=\underset{m}{\cup}D_{m}$
avec $D_{m}$ fini et $D_{m}\subset D_{m+1}$. Par exemple $\mathrm{card}D_{m}=m+1$
et $D_{m}=\left\{ t_{0}^{m},\ldots,t_{m}^{m}\right\} $ avec $t_{0}^{m}=0$
et $t_{m}^{m}=t$. La suite $Y_{n}^{(m)}=X_{t_{n\wedge m}^{m}}$.
$Y^{(m)}$ est une martingale pour la filtration $\left(\mathcal{F}_{t_{n\wedge m}^{m}}\right)_{n\in\mathbb{N}}$.
Par la version discrète de l'inégalité maximale,
\[
\lambda\cdot\mathbb{P}\left(\underset{n\in\left\{ 0,\ldots,m\right\} }{\mathrm{sup}}\left|Y_{n}^{(m)}\right|>\lambda\right)\leq\mathbb{E}\left[\left|X_{0}\right|\right]+2\cdot\mathbb{E}\left[\left|X_{t}\right|\right]
\]
\[
\lambda\cdot\mathbb{P}\left(\underset{s\in D_{m}}{\mathrm{sup}}\left|X_{s}\right|>\lambda\right)\leq\mathbb{E}\left[\left|X_{0}\right|\right]+2\cdot\mathbb{E}\left[\left|X_{t}\right|\right]
\]
Par passage à la limite, comme $\left\{ \underset{s\in D_{m}}{\mathrm{sup}}\left|X_{s}\right|>\lambda\right\} _{m}$
est une suite croissante, on a
\begin{eqnarray*}
\underbrace{\lambda\cdot\mathbb{P}\left(\underset{s\in D}{\mathrm{sup}}\left|X_{s}\right|>\lambda\right)} & \leq & \mathbb{E}\left[\left|X_{0}\right|\right]+2\cdot\mathbb{E}\left[\left|X_{t}\right|\right]\\
=\underset{s\in\left[0,t\right]}{\mathrm{sup}}\left|X_{s}\right|
\end{eqnarray*}
Le raisonnement pour Doob est similaire :
\[
\mathbb{E}\left[\underset{s\in D_{m}}{\mathrm{sup}}\left|X_{s}\right|^{p}\right]\leq\left(\frac{p}{p-1}\right)^{p}\mathbb{E}\left[\left|X_{t}\right|^{p}\right]
\]
Par le théorème de convergence dominée,
\[
\mathbb{E}\left[\underset{s\in D}{\mathrm{sup}}\left|X_{s}\right|^{p}\right]\leq\left(\frac{p}{p-1}\right)^{p}\mathbb{E}\left[\left|X_{t}\right|^{p}\right]
\]
 Par continuité à droite, on a le résultat.\end{proof}
\begin{defn}
Si $f=I\to\mathbb{R}$ où $I\subset\mathbb{R}_{+}$, on définit le
nombre de montées de $X$ de $a$ à $b$ où $a<b$ comme le plus grand
$k\geq1$ tel qu'il existe $s_{1}<t_{1}<s_{2}<t_{2}<\ldots<s_{k}<t_{k}$
tous dans $I$ et tel que $X_{s_{i}}<a$, $X_{t_{i}>b}$ pour tout
$i\in\left\{ 1,\ldots,k\right\} $ (le nombre de montées est égal
à 0 s'il n'existe pas de tel $k$). On le note $U_{ab}^{X}\left(I\right)$.\end{defn}
\begin{prop}
Inégalité du nombre de montées. Soit $\left(X_{t}\right)_{t}$ une
sur-martingale continue à droite et soit $a<b$, $t>0$. Alors,
\[
\mathbb{E}\left[U_{ab}^{X}\left(\left[0,t\right]\right)\right]\leq\frac{1}{b-a}\cdot\mathbb{E}\left[\left(X_{t}-a\right)^{-}\right]
\]
\end{prop}
\begin{proof}
On reprend $D_{m}$ défini comme précédemment. Par l'inégalité du
nombre de montées discrète,
\[
\mathbb{E}\left[U_{ab}^{X}\left(D_{m}\right)\right]\leq\frac{1}{b-a}\cdot\mathbb{E}\left[\left(X_{t}-a\right)^{-}\right]
\]
$U_{ab}^{X}\left(D_{m}\right)$ converge en croissant vers $U_{ab}^{X}\left(D\right)$
quand $m\to+\infty$.
\[
\mathbb{E}\left[U_{ab}^{X}\left(D\right)\right]\leq\frac{1}{b-a}\cdot\mathbb{E}\left[\left(X_{t}-a\right)^{-}\right]
\]
On conclut par continuité à droite.\end{proof}
\begin{thm}
Théorème de convergence des martingale presque sûr. Soit $X$ une
surmartingale continue à droite et bornée dans $L^{1}$ : $\underset{t}{\mathrm{sup}}\mathbb{E}\left[\left|X_{t}\right|\right]<\infty$.
Alors, il existe $X_{\infty}\in L^{1}$ tel que $X_{t}\underset{t\to+\infty}{\longrightarrow}X_{\infty}$
\uline{presque sûrement}.\end{thm}
\begin{proof}
On a vu que pour tout $a<b$ et pour tout $t>0$, $\mathbb{E}\left[U_{ab}^{X}\left(\left[0,t\right]\right)\right]\leq\frac{1}{b-a}\cdot\mathbb{E}\left[\left(X_{t}-a\right)^{-}\right]$.
Par le théorème de convergence monotone,
\[
\mathbb{E}\left[U_{ab}^{X}\left(\left[0,t\right]\right)\right]\leq\frac{1}{b-a}\cdot C
\]
 avec $C=\underset{t}{\mathrm{sup}}\mathbb{E}\left[\left|X_{t}\right|\right]+a<\infty$.
Presque sûrement, pour tout $a,b\in\mathbb{Q}$, $a<b$, $U_{ab}^{X}\left(\mathbb{R}_{+}\right)<+\infty$.
Ceci implique $X_{t}\underset{t\to+\infty}{\longrightarrow}X_{\infty}\in\left[-\infty,+\infty\right]$
(convergence presque sûre). Par le lemme de Fatou,
\[
\mathbb{E}\left[\left|X_{\infty}\right|\right]\leq\underset{t\to+\infty}{\mathrm{liminf}}\mathbb{E}\left[\left|X_{t}\right|\right]<+\infty
\]
Donc $X_{\infty}\in L^{1}$ (en particulier, $\left|X_{\infty}\right|\neq+\infty$).\end{proof}
\begin{rem*}
La condition $\mathrm{sup}\;\mathbb{E}\left[\left|X_{t}\right|\right]<\infty$
est vérifiée dès que $\left(X_{t}\right)$ est une sur-martingale
positive.\end{rem*}
\begin{defn}
Une famille de variables aléatoires $\left(X_{t}\right)_{t}$ est
uniformément intégrable si pour tout $\varepsilon>0$, il existe $m>0$
tel que pour tout $t$,
\[
\mathbb{E}\left[\left|X_{t}\right|\mathds{1}_{\left\{ \left|X_{t}\right|\geq m\right\} }\right]\leq\varepsilon
\]
\end{defn}
\begin{prop}
Soit $\left(X_{t}\right)_{t}$ uniformément intégrable. Alors, pour
tout $\varepsilon>0$, il existe $\delta>0$ tel que pour tout $A$
mesurable, 
\[
\mathbb{P}\left(A\right)\leq\delta\implies\forall t,\;\mathbb{E}\left[\left|X_{t}\right|\mathds{1}_{A}\right]\leq\varepsilon
\]
\end{prop}
\begin{proof}
Soit $m$ tel que $\mathbb{E}\left[\left|X_{t}\right|\mathds{1}_{\left\{ \left|X_{t}\right|\geq m\right\} }\right]\leq\varepsilon$.
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\left|X_{t}\right|\mathds{1}_{A}\right] & \leq & \mathbb{E}\left[\left|X_{t}\right|\mathds{1}_{A\cap\left\{ \left|X_{t}\right|\geq m\right\} }\right]+\mathbb{E}\left[\left|X_{t}\right|\mathds{1}_{A\cap\left\{ \left|X_{t}\right|\leq m\right\} }\right]\\
 & \leq & \varepsilon+m\cdot\mathbb{P}\left(A\right)
\end{eqnarray*}
Il suffit de prendre $\delta=\frac{\varepsilon}{m}$ pour $2\varepsilon$.
\end{proof}
Conséquence : Soit $Z\in L^{1}$. Alors, $\left(\mathbb{E}\left[Z\mid\mathcal{G}\right]\right)$
(où $\mathcal{G}$ est une sous-tribu de $\mathcal{F}$) est uniformément
intégrable.
\begin{proof}
Soit $\varepsilon>0$. Il existe $\delta>0$ tel que pour tout $A$
mesurable, $\mathbb{P}\left(A\right)\leq\delta\implies\mathbb{E}\left[\left|X\right|\mathds{1}_{A}\right]\leq\varepsilon$.

\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\left|\mathbb{E}\left[Z\mid\mathcal{G}\right]\right|\mathds{1}_{\left\{ \left|\mathbb{E}\left[Z\mid\mathcal{G}\right]\right|\geq m\right\} }\right] & \leq & \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[\left|Z\right|\mid\mathcal{G}\right]\mathds{1}_{\left\{ \left|\mathbb{E}\left[Z\mid\mathcal{G}\right]\right|\geq m\right\} }\right]\\
 & \leq & \mathbb{E}\left[\left|Z\right|\mathds{1}_{\left\{ \left|\mathbb{E}\left[Z\mid\mathcal{G}\right]\right|\geq m\right\} }\right]
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\mathbb{P}\left(\left|\mathbb{E}\left[Z\mid\mathcal{G}\right]\right|\geq m\right) & \leq & \frac{\mathbb{E}\left[\left|\mathbb{E}\left[Z\mid\mathcal{G}\right]\right|\right]}{m}\\
 & \leq & \frac{\mathbb{E}\left[\left|Z\right|\right]}{m}
\end{eqnarray*}
On prends $m=\frac{\mathbb{E}\left[\left|Z\right|\right]}{\delta}$
et c'est bon.\end{proof}
\begin{defn}
Une martingale $\left(X_{t}\right)_{t\geq0}$ est dite fermée s'il
existe $Z\in L^{1}$ tel que pour tout $t\geq0$, $X_{t}=\mathbb{E}\left[Z\mid\mathcal{F}_{t}\right]$.\end{defn}
\begin{prop}
Soit $\left(X_{t}\right)$ une martingale continue à droite. il y
a équivalence entre :

1) $\left(X_{t}\right)$ est une martingale fermée

2) $X_{t}$ converge presque sûrement et dans $L^{1}$ quand $t\to\infty$.

3) $\left(X_{t}\right)$ est uniformément intégrable.\end{prop}
\begin{proof}
1)$\implies$3) déjà vu

3)$\implies$2) par le théorème de convergence, $X_{t}\to X_{\infty}$
p.s. $\left(X_{t}\right)$ uniformément intégrable $\implies$ la
convergence a lieu dans $L^{1}$.

2)$\implies$1 $X_{\infty}=\mathrm{lim}X_{t}$. $X_{s}=\mathbb{E}\left[X_{t}\mid\mathcal{F}_{s}\right]$.
$X_{t}\to X_{\infty}$ dans $L^{1}$ donc $\mathbb{E}\left[X_{t}\mid\mathcal{F}_{s}\right]\overset{L^{1}}{\to}\mathbb{E}\left[X_{\infty}\mid\mathcal{F}_{s}\right]$
et $X_{s}=\mathbb{E}\left[X_{\infty}\mid\mathcal{F}_{s}\right]$.\end{proof}
\begin{rem*}
Il n'est pas vrai que $X_{t}\overset{\mbox{p.s}}{\to}X_{\infty}$
implique $\mathbb{E}\left[X_{t}\mid\mathcal{F}_{s}\right]\overset{\mbox{p.s}}{\to}\mathbb{E}\left[X_{\infty}\mid\mathcal{F}_{s}\right]$.
\end{rem*}
Si $X_{t}\overset{\mbox{ps}}{\to}X_{\infty}$ et si $T$ est un temps
d'arrêt, on note
\[
X_{T}=\mathds{1}_{\left\{ T<\infty\right\} }X_{T}+\mathds{1}_{\left\{ T=\infty\right\} }X_{\infty}
\]
$X_{T}$ est $\mathcal{F}_{T}$-mesurable.
\begin{thm}
Théorème d'arrêt. Soit $\left(X_{t}\right)$ une martingale continue
à droite et uniformément intégrable. Soient $S$ et $T$ deux temps
d'arrêt tels que $S\leq T$. Alors, $X_{S}$ et $X_{T}$ sont dans
$L^{1}$ et $X_{S}=\mathbb{E}\left[X_{T}\mid\mathcal{F}_{s}\right]$.
En particulier, $X_{S}=\mathbb{E}\left[X_{\infty}\mid\mathcal{F}_{s}\right]$
et $\mathbb{E}\left[X_{S}\right]=\mathbb{E}\left[X_{\infty}\right]=\mathbb{E}\left[X_{0}\right]$.\end{thm}
\begin{proof}
On utilise le résultat en temps discret. Soit $S_{n}=\frac{1}{2^{n}}\left\lceil 2^{n}S\right\rceil $
et $T_{n}=\frac{1}{2^{n}}\left\lceil 2^{n}T\right\rceil $ . On a
$S_{n}\searrow S$ et $T_{n}\searrow T$. $S_{n}$et $T_{n}$ sont
des temps d'arrêt par rapport à la filtration $\left(\mathcal{F}_{\frac{k}{2^{n}}}\right)_{k}$
. Par le résultat discret, 
\[
X_{S_{n}}=\mathbb{E}\left[X_{T_{n}}\mid\mathcal{F}_{S_{n}}\right]
\]
Soit $A\in\mathcal{F}_{s}$. On veut $\mathbb{E}\left[\mathds{1}_{A}X_{S}\right]=\mathbb{E}\left[\mathds{1}_{A}X_{T}\right]$
car $X_{S}$ est $\mathcal{F}_{S}$ mesurable. $A\in\mathcal{F}_{S}\subset\mathcal{F}_{S_{n}}$.
On a 
\[
\mathbb{E}\left[\mathds{1}_{A}X_{S_{n}}\right]=\mathbb{E}\left[\mathds{1}_{A}X_{T_{n}}\right]
\]
On a également $X_{S_{n}}\overset{\mbox{ps}}{\to}X_{S}$ et $X_{T_{n}}\overset{\mbox{ps}}{\to}X_{T}$
par continuité à droite. Toujours par le résultat discret, $X_{S_{n}}\mathbb{E}\left[X_{\infty}\mid\mathcal{F}_{S_{n}}\right]$
donc $X_{S_{n}}$ est uniformément intégrable. Donc $X_{S_{n}}\overset{L^{1}}{\to}X_{S}$.
De même, $X_{T_{n}}\overset{L^{1}}{\to}X_{T}$. On a donc $X_{S},X_{T}\in L^{1}$
et pour tout $A\in\mathcal{F}_{s}$, $\mathbb{E}\left[\mathds{1}_{A}X_{S}\right]=\mathbb{E}\left[\mathds{1}_{A}X_{T}\right]$
i.e $X_{S}=\mathbb{E}\left[X_{T}\mid\mathcal{F}_{S}\right]$.\end{proof}
\begin{rem*}
On peut montrer un résultat analogue : si $X_{t}$ est une surmartingale
fermée par $X_{\infty}$ ie pour tout $t\geq0$, $X_{t}\geq\mathbb{E}\left[X_{\infty}\mid\mathcal{F}_{t}\right]$
et si $S\leq T$ alors $X_{S}\geq\mathbb{E}\left[X_{t}\mid\mathcal{F}_{s}\right]$.\end{rem*}
\begin{prop}
Soit $\left(X_{t}\right)$ une martingale continue à droite et $S\leq T$
des temps d'arrêt bornés presque sûrement alors $X_{S},X_{T}\in L^{1}$
et $X_{S}=\mathbb{E}\left[X_{T}\mid\mathcal{F}_{S}\right]$.\end{prop}
\begin{proof}
Soit $m$ tel que $T\leq m$ presque sûrement. $\left(X_{t\wedge m}\right)_{t}$
est une martingale fermée par $X_{m}$. Il suffit 'appliquer le théorème
d'arrêt à cette martingale.\end{proof}
\begin{rem*}
De même, si $\left(X_{t}\right)$ est une surmartingale continue à
droite et $S\leq T$ temps d'arrêt bornés alors $X_{S}\geq\mathbb{E}\left[X_{T}\mid\mathcal{F}_{s}\right]$.\end{rem*}
\begin{prop}
Soit $\left(X_{t}\right)_{t\geq0}$une martingale continue à droite
et $T$ un temps d'arrêt. Alors,

1) $\left(X_{t\wedge T}\right)_{t\geq0}$ est une martingale

2) Si $\left(X_{t}\right)_{t}$ est uniformément intégrable, alors
$\left(X_{t\wedge T}\right)_{t}$ est uniformément intégrable et pour
tout $t\geq0$, $\mathbb{E}\left[X_{t}\mid\mathcal{F}_{t}\right]=X_{t\wedge T}$.\end{prop}
\begin{proof}
On commence par montrer 2). On sait déjà $X_{T}\in L^{1}$ et $X_{t\wedge T}=\mathbb{E}\left[X_{t}\mid\mathcal{F}_{t\wedge T}\right]$
par le théorème d'arrêt. $X_{T}$ est $\mathcal{F}_{T}$-mesurable.
$X_{T}\mathds{1}_{\left\{ T\leq t\right\} }$ est $\mathcal{F}_{t}$-mesurable
et aussi $\mathcal{F}_{T}$-mesurable donc aussi $\mathcal{F}_{T\wedge t}$-mesurbale.
\[
\mathbb{E}\left[X_{T}\mathds{1}_{\left\{ T\leq t\right\} }\mid\mathcal{F}_{t\wedge T}\right]=X_{T}\mathds{1}_{\left\{ T\leq t\right\} }=\mathbb{E}\left[X_{T}\mathds{1}_{\left\{ T\leq t\right\} }\mid\mathcal{F}_{t}\right]
\]
Il reste à voir :
\[
\mathbb{E}\left[X_{T}\mathds{1}_{\left\{ T>t\right\} }\mid\mathcal{F}_{t\wedge T}\right]=\mathbb{E}\left[X_{T}\mathds{1}_{\left\{ T>t\right\} }\mid\mathcal{F}_{t}\right]
\]
Soit $A\in\mathcal{F}_{t}$. $A\cap\left\{ T>t\right\} \in\mathcal{F}_{T}$.
On a aussi $A\cap\left\{ T>t\right\} \in\mathcal{F}_{t}$ donc dans
$\mathcal{F}_{t\wedge T}$.
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\mathds{1}_{A}X_{T}\mathds{1}_{\left\{ T>t\right\} }\right] & = & \mathbb{E}\left[\mathds{1}_{A\cap\left\{ T>t\right\} }\mathbb{E}\left[X_{T}\mid\mathcal{F}_{t\wedge T}\right]\right]\\
 & = & \mathbb{E}\left[\mathds{1}_{A}\mathbb{E}\left[X_{T}\mathds{1}_{\left\{ T>t\right\} }\mid\mathcal{F}_{t\wedge T}\right]\right]
\end{eqnarray*}
Or, $\mathbb{E}\left[X_{T}\mathds{1}_{\left\{ T>t\right\} }\mid\mathcal{F}_{t\wedge T}\right]$
est $\mathcal{F}_{t}$ mesurable donc on a bien $\mathbb{E}\left[X_{T}\mathds{1}_{\left\{ T>t\right\} }\mid\mathcal{F}_{t}\right]=\mathbb{E}\left[X_{T}\mathds{1}_{\left\{ T>t\right\} }\mid\mathcal{F}_{t\wedge T}\right]$.
En résumé, 
\[
X_{t\wedge T}=\mathbb{E}\left[X_{t}\mid\mathcal{F}_{t\wedge T}\right]=\mathbb{E}\left[X_{T}\mid\mathcal{F}_{t}\right]
\]
 donc $\left(X_{t\wedge T}\right)_{t}$ est une martingale fermée
donc uniformément intégrable.

Pour montrer 1), on observe que pour tout $t_{0}\geq0$ fixé, $\left(X_{t\wedge t_{0}}\right)_{t}$
est une martingale fermée (par $X_{t_{0}}$). Donc $\left(X_{t\wedge t_{\grave{a}}\wedge T}\right)_{t\geq0}$
es une martingale. Si $t\leq t_{0}$,
\[
X_{t\wedge T}=\mathbb{E}\left[X_{t_{0}\wedge T}\mid\mathcal{F}_{t}\right]
\]
donc $\left(X_{t\wedge T}\right)_{t\geq0}$ est une martingale.\end{proof}
\begin{example}
1) $T=\mathrm{inf}\left\{ t\geq0\mid B_{t}=0\right\} $ pour le brownien
partant de 1. $\left(B_{t\wedge T}\right)_{t}$ est une martingale
positive. $B_{t\wedge T}\overset{\mbox{ps}}{\to}0$. Mais on a pas
de convergence dans $L^{1}$, pas uniformément intégrable, pas fermée
etc...

2) Soit $B$ un brownien issu de 0 et soit $a<0<b$, $T_{a}=\mathrm{inf}\left\{ t\geq0\mid B_{t}=a\right\} $
$T_{b}=\mathrm{inf}\left\{ t\geq0\mid B_{t}=b\right\} $. $T=T_{a}\wedge T_{b}<\infty$
presque sûrement. On a :
\[
\mathbb{P}_{0}\left(T_{a}<T_{b}\right)=\frac{b}{b-a}
\]
 et 
\[
\mathbb{P}_{0}\left(T_{b}<T_{a}\right)=\frac{-a}{b-a}
\]
 en effet, soit $M_{t}=B_{t\wedge T}$ martingale bornée donc uniformément
intégrable.
\[
0=\mathbb{E}\left[M_{0}\right]=\mathbb{E}\left[M_{T}\right]=\mathbb{E}\left[B_{T}\right]=\mathbb{P}\left(T_{a}<T_{b}\right)a+\mathbb{P}\left(T_{b}<T_{a}\right)b
\]


3) $T=\mathrm{inf}\left\{ t\geq0\mid\left|B_{t}\right|=1\right\} $.
$M_{t}=B_{t}^{2}-t$ est une martingale. Soit $n>0$, $\left(M_{t\wedge T\wedge n}\right)_{t\geq0}$
martingale bornée.
\[
0=\mathbb{E}\left[M_{0}\right]=\mathbb{E}\left[M_{T\wedge n}\right]
\]
\[
\mathbb{E}\left[B_{T\wedge n}^{2}\right]=\mathbb{E}\left[T\wedge n\right]
\]
d'où, par convergence dominée et convergence monotone, en passant
à la limite,
\[
\mathbb{E}\left[B_{t}^{2}\right]=\mathbb{E}\left[T\right]=1
\]
\end{example}
\begin{prop}
Soit $\left(X_{t}\right)_{t\geq0}$ surmartingale positive continue
à droite et $S\leq T$ un temps d'arrêt. Alors, $X_{S}$ et $X_{T}$
sont dans $L^{1}$ et 
\[
\mathbb{E}\left[X_{S}\mathds{1}_{\left\{ S<\infty\right\} }\right]\geq\mathbb{E}\left[X_{T}\mathds{1}_{\left\{ T<\infty\right\} }\right]
\]
\end{prop}
\begin{proof}
On a vu le résultat si $S$ et $T$ sont des temps d'arrêt bornés.
Donc, pour tout $n$,
\[
\mathbb{E}\left[X_{S\wedge n}\right]\geq\mathbb{E}\left[X_{T\wedge n}\right]
\]
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[X_{S\wedge n}\mathds{1}_{\left\{ S>n\right\} }\right] & = & \mathbb{E}\left[X_{n}\mathds{1}_{\left\{ S>n\right\} }\right]\\
 & \leq & \mathbb{E}\left[X_{n}\mathds{1}_{\left\{ T>n\right\} }\right]\\
 & = & \mathbb{E}\left[X_{T\wedge n}\mathds{1}_{\left\{ T>n\right\} }\right]
\end{eqnarray*}
En prenant la différence,
\[
\mathbb{E}\left[X_{S\wedge n}\mathds{1}_{\left\{ S\leq n\right\} }\right]\geq\mathbb{E}\left[X_{T\wedge n}\mathds{1}_{\left\{ T\leq n\right\} }\right]
\]
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[X_{T\wedge n}\mathds{1}_{\left\{ T\leq n\right\} }\right] & = & \mathbb{E}\left[X_{T}\mathds{1}_{\left\{ T\leq n\right\} }\right]\\
 & \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} & \mathbb{E}\left[X_{T}\mathds{1}_{\left\{ T<\infty\right\} }\right]
\end{eqnarray*}
 car $X_{T}\geq0$ et par le théorème de convergence monotone.
\[
\mathbb{E}\left[X_{S}\mathds{1}_{\left\{ S<\infty\right\} }\right]\geq\mathbb{E}\left[X_{S}\mathds{1}_{\left\{ S\leq n\right\} }\right]
\]

\end{proof}
Quelques résultats techniques pour le chapitre suivant :
\begin{prop}
Soit $\left(X_{t}\right)_{t\in\mathbb{Q}_{+}}$ une surmartingale
bornée. Presque sûrement,$\underset{s\nearrow t,s\in\mathbb{Q}_{+}}{\mathrm{lim}}M_{s}$
et $\underset{s\searrow t,s\in\mathbb{Q}_{+}}{\mathrm{lim}}M_{s}$
existent.\end{prop}
\begin{proof}
On a déjà vu que le nombre de montées est tel que $\mathbb{E}\left[U_{ab}^{X}\left(\mathbb{Q}_{+}\cap\left[0,t\right]\right)\right]\leq\frac{1}{b-a}\mathbb{E}\left[\left(X_{t}-a\right)^{-}\right]$
uniformément borné. Donc, avec probabilité 1, pour tout $a,b\in\mathbb{Q}$
avec $a<b$, $U_{ab}^{X}\left(\mathbb{Q}_{+}\right)<\infty$, cela
suffit à conclure.\end{proof}
\begin{prop}
Soit $\left(X_{t}\right)_{t\in\mathbb{Q}_{+}}$ une surmartingale
positive. Pour tout $t\in\mathbb{Q}_{+}$, 
\[
\mathbb{P}\left(X_{t}>0,\;\underset{s\in\mathbb{Q}\cap\left[0,t\right]}{\mathrm{inf}}X_{s}=0\right)=0
\]
\end{prop}
\begin{proof}
Soient $0\leq s_{1}<\ldots<s_{p}\leq t$ rationnelles, soit $\varepsilon>0$.
Soit $A_{k}:=\left\{ X_{s_{k}}<\varepsilon\right\} \cap\left\{ \forall i<k,X_{s_{i}}\geq\varepsilon\right\} $

\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[X_{t}\mathds{1}_{A_{k}}\right] & = & \mathbb{E}\left[\mathds{1}_{A_{k}}\mathbb{E}\left[X_{t}\mid\mathcal{F}_{s_{k}}\right]\right]\\
 & \leq & \mathbb{E}\left[\mathds{1}_{A_{k}}X_{s_{k}}\right]\leq\varepsilon\mathbb{P}\left(A_{k}\right)
\end{eqnarray*}
Les $A_{k}$ sont disjoints et $\bigcup A_{k}=\left\{ \underset{1\leq k\leq p}{\mathrm{min}}X_{s_{k}}<\varepsilon\right\} $.
\[
\mathbb{E}\left[X_{t}\mathds{1}_{\left\{ \underset{1\leq k\leq p}{\mathrm{min}}X_{s_{k}}<\varepsilon\right\} }\right]\leq\varepsilon\mathbb{P}\left(\mathrm{min}X_{s_{k}}<\varepsilon\right)
\]
\[
\mathbb{E}\left[X_{t}\mathds{1}_{\left\{ \underset{s\in\mathbb{Q}\cap\left[0,t\right]}{\mathrm{inf}}X_{s}<\varepsilon\right\} }\right]\leq\varepsilon\mathbb{P}\left(\underset{s\in\mathbb{Q}\cap\left[0,t\right]}{\mathrm{inf}}X_{s}<\varepsilon\right)
\]
\[
\mathbb{E}\left[X_{t}\mathds{1}_{\left\{ \mathrm{inf}X_{s}=0\right\} }\right]=0
\]

\end{proof}

\section{Processus de Markov}

On a vu la propriété de Markov pour le mouvement brownien. On va maintenant
étudier des processus plus généraux qui ont cette propriété. Soit
$S$ un espace métrique (espace ``des états''). Soit $D=D\left(\mathbb{R}_{+},S\right)$
l'ensemble des fonctions de $\mathbb{R}_{+}$ dans $S$ continues
à droite et avec limite à gauche (noté cadlag). Soit $\mathcal{F}$
la plus petite tribu qui rende mesurable les applications coordonnées
$\begin{array}{ccc}
D & \to & \mathbb{R}\\
x & \mapsto & x\left(t\right)
\end{array}$. L'espace $\left(D,\mathcal{F}\right)$ est notre nouvel espace mesurable
canonique. On a des translations temporelles : $\left(\theta_{s}x\right)\left(t\right)=x\left(s+t\right)$
et $X$ le processus canonique $\begin{array}{cccc}
X: & D & \to & D\\
 & x & \mapsto & x
\end{array}$.


\subsection{Rappels sur les chaînes de Markov sur $S$ fini.}

Soit $S$ un ensemble fini
\begin{defn}
Une chaîne de Markov (à temps continu) sur $S$ et la donnée :

a) d'une collection de mesures de probabilité $\left(\mathbb{P}_{x}\right)_{x\in S}$
sur $\left(D,\mathcal{F}\right)$.

b) d'une filtration $\left(\mathcal{F}_{t}\right)_{t}$ continue à
droite sur $\left(D,\mathcal{F}\right)$ telle que $X$ est adaptée
et pour tout $x\in S$,

$\mathbb{P}_{x}\left(X_{0}=x\right)=1$

Pour tout $F$ mesurable positive $D\to\mathbb{R}_{+}$, $\mathbb{E}_{x}\left[F\circ\theta_{s}\mid\mathcal{F}_{s}\right]=\mathbb{E}_{X_{s}}\left[F\right]$,
$\mathbb{P}_{x}$-presque sûrement.

$p_{t}\left(x,y\right)=\mathbb{P}_{x}\left(X_{t}=y\right)$ sont les
probabilités de transition associées.
\end{defn}
On a 
\begin{equation}
\begin{cases}
p_{t}\left(x,y\right)\geq0\\
{\displaystyle \sum_{y}p_{t}\left(x,y\right)=1}\\
\underset{t\to0}{\mathrm{lim}}p_{t}\left(x,x\right)=1\\
p_{s+t}\left(x,y\right)={\displaystyle \sum_{z}p_{s}\left(x,z\right)p_{t}\left(z,y\right)} & \mbox{(Chapman-Kolmogorov)}
\end{cases}\label{eq:z}
\end{equation}


Réciproquement, si $\left(p_{t}\left(x,y\right)\right)$ satisfait
(\ref{eq:z}) alors il définit une chaîne de Markov de manière unique.
\begin{prop}
Pour tout $x\in S$, il existe $C\left(x\right)\geq0$ tel que $p_{t}\left(x,x\right)=1-C(x)t+o\left(t\right)$

Pour tout $x\neq y\in S$, il existe $q\left(x,y\right)\geq0$ tel
que $p_{t}\left(x,y\right)=tq\left(x,y\right)+o\left(t\right)$. On
pose $C\left(x\right)={\displaystyle \sum_{y\neq x}q\left(x,y\right)}$.
On pose $q\left(x,x\right)=-C\left(x\right)$. On a $\sum_{y}q\left(x,y\right)=0$.

Soit $P_{t}=\left(p_{t}\left(x,y\right)\right)_{x,y}$ et $Q=\left(q\left(x,y\right)\right)_{x,y}$
(matrice de transition).

On a $P_{t}=e^{tQ}$.

On a $P_{t+s}=P_{t}P_{s}$, $P_{t}=1+tQ+o\left(t\right)$.

$\frac{d}{dt}P_{t}=QP_{t}=P_{t}Q$ (équation de Kolmogorov)

Réciproquement, si $Q=\left(q\left(x,y\right)\right)$ telle que pour
tout $x\neq y$, $q\left(x,y\right)\geq0$ et pour tout $x$ ${\displaystyle \sum_{y}q\left(x,y\right)=0}$
alors $P_{t}=e^{tQ}$ définit des probabilités de transition.
\end{prop}
Conclusion : Il y a correspondance entre chaîne de Markov, probabilité
de transition et matrice de transition. On a toujours la propriété
de Markov forte.


\subsection{Processus de Feller}

A partir de maintenant, on suppose que $S$ est un espace métrique
séparable et localement compact (pour tout $x$ il existe $\varepsilon>0$
tel que $\overline{B\left(x,\varepsilon\right)}$ est compacte).
\begin{example*}
$S=\mathbb{R}^{d}$ ou $S=\left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{Z}^{d}}$
muni de la topologie produit.\end{example*}
\begin{defn}
Une fonction $f:S\to\mathbb{R}$ tend vers $0$ en l'infini si pour
tout $\varepsilon>0$ il existe un compact $K$ tel que $ $$\underset{S\setminus K}{\mathrm{sup}}\left|f\right|\leq\varepsilon$.
Dans ce cas, on note $\underset{\infty}{\mathrm{lim}}f=0$. On note
$C_{0}\left(S\right)$ l'ensemble des fonctions continues qui tendent
vers 0 en l'infini. On le munit de la norme $\left\Vert f\right\Vert =\left\Vert f\right\Vert _{\infty}=\underset{S}{\mathrm{sup}}\left|f\right|$.
$C_{0}\left(S\right)$ est un espace de Banach. 
\end{defn}
NB : Toute fonction de $C_{0}\left(S\right)$ est uniformément continue.
\begin{defn}
Un processus de Feller est la donnée :

a) d'une collection de mesure de probabilités $\left(\mathbb{P}_{x}\right)_{x\in S}$
sur $\left(D,\mathcal{F}\right)$

b) d'une filtration $\left(\mathcal{F}_{t}\right)_{t\geq0}$ continue
à droite tel que $X$ est adapté et pour tout $x\in S$,

b1) $\mathbb{P}_{x}\left(X_{0}=x\right)=1$

b2) L'application $z\mapsto\mathbb{E}_{z}\left[f\left(X_{t}\right)\right]$
est dans $C_{0}\left(S\right)$ pour tout $f\in C_{0}\left(S\right)$
et $t\geq0$

b3) Pour tout $F$ mesurable $D\to\mathbb{R}_{+}$, pour tout $s\geq0$,
\[
\mathbb{E}_{x}\left[F\circ\theta_{s}\mid\mathcal{F}_{s}\right]=\mathbb{E}_{X_{s}}\left[F\right]\;\mathbb{P}_{x}\mbox{-p.s}
\]
 \end{defn}
\begin{rem*}
La dernière propriété (b2) est la propriété de Feller. Elle implique
que si $x_{n}\to x\in S$ alors la loi de $X_{t}$ sous $\mathbb{P}_{x_{n}}$
converge vers la loi de $X_{t}$ sous $\mathbb{P}_{x}$.\end{rem*}
\begin{thm}
\label{thm:Propri=0000E9t=0000E9-de-Markov-Feller}Propriété de Markov
forte pour un processus de Feller. Soit $T$ un temps d'arrêt, $F$
mesurable positive $D\to\mathbb{R}_{+}$. Alors,
\[
\mathbb{E}_{x}\left[F\circ\theta_{T}\mid\mathcal{F}_{T}\right]=\mathbb{E}_{X_{T}}\left[F\right]\quad\mathbb{P}_{x}\mbox{-p.s sur }\left\{ T<\infty\right\} 
\]
\end{thm}
\begin{lem*}
Disons que $F:D\to\mathbb{R}$ est spéciale si elle s'écrit $F\left(X\right)={\displaystyle \prod_{i=1}^{p}f_{i}\left(X_{t_{i}}\right)}$
avec $f_{i}\in C_{0}\left(S\right)$ et $0\leq t_{0}<\ldots<t_{p}$.
La fonction $x\mapsto\mathbb{E}_{x}\left[F\right]$ est continue.\end{lem*}
\begin{proof}
$p=1$ vient de la définition

pour $p\geq2$ soit $F=G.f_{p}\left(X_{t_{p}}\right)$
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}_{x}\left[F\right] & = & \mathbb{E}_{x}\left[Gf_{p}\left(X_{t_{p}}\right)\right]\\
 & = & \mathbb{E}_{x}\left[G\mathbb{E}_{X_{T_{p-1}}}\left[f_{p}\circ\theta_{t_{p}-t_{p-1}}\right]\right]
\end{eqnarray*}
par la propriété de Markov et car $G$ est $\mathcal{F}_{t_{p_{-1}}}$-mesurable.
Si $g\left(x\right)=\mathbb{E}_{x}\left[f\circ\theta_{t_{p}-t_{p-1}}\right]$,
on a$\mathbb{E}_{x}\left[F\right]=\mathbb{E}_{x}\left[Gg\left(X_{t_{p-1}}\right)\right]$
fonction spéciale avec $p\to p-1$.
\end{proof}
Retour à la démonstration du théorème \ref{thm:Propri=0000E9t=0000E9-de-Markov-Feller}
:
\begin{proof}
On suppose $T<\infty$ presque sûrement. Soit $A\in\mathcal{F}_{T}$
et $F$ mesurable bornée. Si $T$ prend ses valeurs dans un ensemble
dénombrable $D$, alors :
\begin{equation}
\mathbb{E}_{x}\left[\mathds{1}_{A}F\circ\theta_{T}\right]=\mathbb{E}_{x}\left[\mathds{1}_{A}\mathbb{E}_{X_{T}}\left[F\right]\right]\label{eq:tete}
\end{equation}
En effet, 
\[
\mathbb{E}_{x}\left[\mathds{1}_{A}F\circ\theta_{T}\right]=\sum_{s\in D}\mathbb{E}_{x}\left[\mathds{1}_{A\cap\left\{ T=s\right\} }F\circ\theta_{s}\right]
\]
par Markov faible (incluse dans la définition d'un processus de Feller)
\begin{eqnarray*}
\sum_{s\in D}\mathbb{E}_{x}\left[\mathds{1}_{A\cap\left\{ T=s\right\} }F\circ\theta_{s}\right] & = & \sum_{s\in D}\mathbb{E}_{x}\left[\mathds{1}_{A\cap\left\{ T=s\right\} }\mathbb{E}_{X_{S}}\left[F\right]\right]\\
 & = & \mathbb{E}_{x}\left[\mathds{1}_{A}\mathbb{E}_{X_{s}}\left[F\right]\right]
\end{eqnarray*}
Sinon, on suppose $F$ spéciale et on approche $T$ par $T_{n}=\frac{1}{2^{n}}\left\lceil 2^{n}T\right\rceil $.
Par continuité à droite, on a bien $X_{T_{n}}\overset{\mbox{p.s}}{\longrightarrow}X_{T}$.
Comme $F$ est spéciale, par le lemme, on a $\mathbb{E}_{X_{T_{n}}}\left[F\right]\overset{\mbox{p.s}}{\longrightarrow}\mathbb{E}_{X_{T}}\left[F\right]$.
On arrive à (\ref{eq:tete}) pour toute fonction spéciale $F$. Par
densité des fonctions spéciales, on a le résultat pour toute $F$
mesurable bornée puis pour toute fonction mesurable positive.\end{proof}
\begin{defn}
Un semi-groupe de Feller est une famille d'applications $\left(P_{t}\right)_{t\geq0}$,
linéaires continues de $C_{0}\left(S\right)$ dans $C_{0}\left(S\right)$
telle que pour tout $f\in C_{0}\left(S\right)$,

1) $P_{0}f=f$,

2) $\left\Vert P_{t}f-f\right\Vert \underset{t\to0}{\longrightarrow}0$,

3) $P_{t+s}f=P_{t}P_{s}f$,

4) $f\geq0\implies P_{t}f\geq0$,

5) Si $S$ est compact, $P_{t}\mathds{1}=\mathds{1}$ ; si $S$ non
compact, il existe $\left(f_{n}\right)_{n}\in\left(C_{0}\left(S\right)\right)^{\mathbb{N}}$
tel que $\mathrm{sup}\left\Vert f_{n}\right\Vert <\infty$ et pour
tout $x\in S$, $P_{t}f_{n}\left(x\right)\to1$ pour tout $t\geq0$.\end{defn}
\begin{rem*}
2) est appelé la continuité forte. On a
\[
\left\Vert P_{t+s}f-P_{s}f\right\Vert =\left\Vert P_{s}\left(P_{t}f-f\right)\right\Vert \leq C\left\Vert P_{t}f-f\right\Vert \to0
\]


$P_{t}:C_{0}\left(S\right)\to C_{0}\left(S\right)$ est appelé la
propriété de Feller.

3) est la propriété de semi-groupe, parallèle de Chapman-Kolmogorov.\end{rem*}
\begin{prop}
Pour tout $t\geq0$, $P_{t}$ est une contraction i.e pour tout $f\in C_{0}\left(S\right)$,
$\left\Vert P_{t}f\right\Vert \leq\left\Vert f\right\Vert $.\end{prop}
\begin{proof}
Si $S$ est compact, 
\[
P_{t}f\leq P_{t}\left\Vert f\right\Vert =\left\Vert f\right\Vert 
\]


\[
-P_{t}f=P_{t}\left(-f\right)\geq P_{t}\left(-\left\Vert f\right\Vert \right)=-\left\Vert f\right\Vert 
\]
Si $S$ est non compact, on fixe $x\in S$ et $t\geq0$,
\[
f\mapsto P_{t}f\left(x\right)
\]
 est une forme linéaire continue sur $C_{0}\left(S\right)$ donc,
par le théorème de Riesz, il existe $\mu_{t,x}$ mesure finie telle
que 
\[
P_{t}f\left(x\right)=\int fd\mu_{t,x}
\]
$P_{t}f_{n}(x)=\int f_{n}d\mu_{t,x}$, $f_{n}\to f$ ponctuellement,
$\mathrm{sup}\left\Vert f_{n}\right\Vert <\infty$ donc par le théorème
de convergence dominée,
\begin{eqnarray*}
\int f_{n}d\mu_{t,x} & \to & \int d\mu_{t,x}\\
=\\
P_{t}f_{n}\left(x\right) & \to & 1
\end{eqnarray*}
donc $\mu_{t,x}$ est une mesure de probabilité et $\left|P_{t}f_{n}\left(x\right)\right|\leq\left\Vert f_{n}\right\Vert $.\end{proof}
\begin{defn}
A tout semi-groupe $\left(P_{t}\right)$ on peut associer sa transformée
de Laplace $U_{\alpha}f={\displaystyle \int_{0}^{+\infty}e^{-\alpha t}P_{t}fdt}$
pour $\alpha>0$.\end{defn}
\begin{rem*}
Comme $\left\Vert e^{-\alpha t}P_{t}f\right\Vert \leq e^{-\alpha t}\left\Vert f\right\Vert $,
on a $\left\Vert U_{\alpha}f\right\Vert \leq\frac{1}{\alpha}\left\Vert f\right\Vert $
donc $\alpha U_{\alpha}$ est une contraction.

$\alpha U_{\alpha}f={\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\alpha e^{-\alpha t}P_{t}fdt}\underset{\alpha\to+\infty}{\longrightarrow}f$.
En effet, $\left\Vert P_{t}f-f\right\Vert \underset{t\to0}{\longrightarrow}0$
donc $\forall\varepsilon>0$ , $\exists\delta$, $t\leq\delta\implies\left\Vert P_{t}f-f\right\Vert \leq\varepsilon$
\[
\alpha U_{\alpha}f={\displaystyle \int_{0}^{\delta}\alpha e^{-\alpha t}P_{t}fdt+\int_{\delta}^{+\infty}\alpha e^{-\alpha t}P_{t}f}dt
\]
\end{rem*}
\begin{prop}
Equation résolvante : Pour tout $\alpha,\beta>0$,
\[
U_{\alpha}-U_{\beta}=\left(\beta-\alpha\right)U_{\alpha}U_{\beta}
\]
En particulier, $U_{\alpha}U_{\beta}=U_{\beta}U_{\alpha}$.\end{prop}
\begin{proof}
Pour $\alpha\neq\beta$,
\begin{eqnarray*}
U_{\alpha}U_{\beta}f & = & \int_{0}^{+\infty}e^{-\alpha t}P_{t}\left(U_{\beta}f\right)dt\\
 & = & \int_{0}^{+\infty}e^{-\alpha t}P_{t}\left(\int_{0}^{+\infty}e^{-\beta t}P_{s}fds\right)dt\\
 & = & \int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}e^{-\alpha t-\beta s}P_{t+s}fdtds\\
 & = & \int_{0}^{+\infty}dr\int_{0}^{r}e^{-\alpha t-\beta\left(r-t\right)}dtP_{r}fdr\\
 & = & \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-\alpha r}-e^{-\beta r}}{\beta-\alpha}P_{r}fdr\\
 & = & \frac{U_{\alpha}f-U_{\beta}f}{\beta-\alpha}
\end{eqnarray*}
\end{proof}
\begin{rem*}
Si $P_{t}f=e^{-\lambda t}f$ alors $U_{\alpha}f=\frac{1}{\alpha+\lambda}f$.
On peut vérifier que $\frac{1}{\alpha+\lambda}-\frac{1}{\beta+\lambda}=\frac{\beta-\alpha}{\left(\alpha+\lambda\right)\left(\beta+\lambda\right)}$.\end{rem*}
\begin{prop}
Dans la définition de semi-groupe de Feller, on peut remplacer l'hypothèse
de continuité forte $\left\Vert P_{t}f-f\right\Vert \underset{t\to0}{\longrightarrow}0$
par : $\forall x\in S$, $P_{t}f\left(x\right)\underset{t\to0}{\longrightarrow}f\left(x\right)$.\end{prop}
\begin{proof}
1) on vérifie la propriété forte pour $f=U_{\alpha}g$, $\alpha>0$,
$g\in C_{0}\left(S\right)$.
\begin{eqnarray*}
P_{t}f & = & P_{t}\int_{0}^{+\infty}e^{-\alpha s}P_{s}gds\\
 & = & \int_{0}^{+\infty}e^{-\alpha s}P_{s+t}gds\\
 & = & \int_{t}^{+\infty}e^{-\alpha\left(s-t\right)}P_{s}gds\\
P_{t}f-f & = & \int_{t}^{+\infty}\left(e^{\alpha t}-1\right)e^{-\alpha s}P_{s}gds\\
 &  & -\underbrace{\int_{0}^{t}e^{-\alpha s}P_{s}gds}\\
 &  & \quad\;\left\Vert \cdot\right\Vert \leq t\left\Vert g\right\Vert 
\end{eqnarray*}
$\int_{t}^{+\infty}\left(e^{\alpha t}-1\right)e^{-\alpha s}P_{s}gds$
converge vers 0 pour tout $s$ et on a la domination $\left\Vert \int_{t}^{+\infty}\left(e^{\alpha t}-1\right)e^{-\alpha s}P_{s}gds\right\Vert \leq\frac{e^{\alpha t}-1}{\alpha}\left\Vert g\right\Vert $.
Par le théorème de convergence dominée $\int_{t}^{+\infty}\left(e^{\alpha t}-1\right)e^{-\alpha s}P_{s}gds\underset{t\to0}{\longrightarrow}0$.

2) On montre que $\left\{ U_{\alpha}g,\alpha>0,g\in C_{0}\left(S\right)\right\} $
est dense dans $C_{0}\left(S\right)$. Par un argument de dualité,
il suffit de montrer que pour toute mesure finie sur $S$, pour tout
$\alpha>0$, $g\in C_{0}\left(S\right)$, $\int U_{\alpha}gd\mu=0$$\implies$$\mu=0$.
On veut justifier
\[
\int\alpha U_{\alpha}gd\mu\underset{\alpha\to+\infty}{\longrightarrow}\int gd\mu
\]
On a vu $\left\Vert \alpha U_{\alpha}g\right\Vert \leq\left\Vert g\right\Vert $.
il suffit de vérifier la convergence ponctuelle : pour tout $x\in S$,
$\alpha U_{\alpha}g\left(x\right)\underset{\alpha\to+\infty}{\longrightarrow}g\left(x\right)$
(voir preuve précédente) et on conclut par le théorème de convergence
dominée.

2) Conclusion : Soit $\varepsilon>0$ : il existe $h\in U$ tel que
$\left\Vert f-h\right\Vert \leq\varepsilon$
\begin{eqnarray*}
\left\Vert P_{t}f-f\right\Vert  & \leq & \left\Vert P_{t}f-P_{t}h\right\Vert +\left\Vert P_{t}h-h\right\Vert +\left\Vert h-f\right\Vert \\
 & \leq & 2\left\Vert h-f\right\Vert +\left\Vert P_{t}h-h\right\Vert 
\end{eqnarray*}
donc $\underset{t\to0}{\mathrm{limsup}}\left\Vert P_{t}f-f\right\Vert \leq2\varepsilon$.
\end{proof}

\subsection{Du processus au générateur infinitésimal}
\begin{thm}
Etant donné un processus de Feller $\left(X_{t}\right)_{t}$, on pose
\[
P_{t}f\left(x\right)=\mathbb{E}_{x}\left[f\left(X_{t}\right)\right]
\]
avec $\mathbb{E}_{x}\left[\cdot\right]$ l'espérance associée à $\mathbb{P}_{x}$.
Alors, $P_{t}$ est un semi-groupe de Feller.\end{thm}
\begin{proof}
$P_{0}f=f$ OK

$f\geq0\implies P_{t}f\geq0$

Si $S$ est compact, $P_{t}\mathds{1}=\mathds{1}$ (admis pour $S$
non compact)

Propriété de semi-groupe : 
\begin{eqnarray*}
P_{t+s}f\left(x\right) & = & \mathbb{E}_{x}\left[f\left(X_{t+s}\right)\right]\\
 & = & \mathbb{E}_{x}\left[\mathbb{E}_{x}\left[f\left(X_{t+s}\right)\mid\mathcal{F}_{t}\right]\right]\\
 & = & \mathbb{E}_{x}\left[\mathbb{E}_{X_{t}}\left[f\left(X_{s}\right)\right]\right]\\
 & = & \mathbb{E}_{x}\left[P_{s}f\left(X_{t}\right)\right]\\
 & = & P_{t}\left(P_{s}f\right)\left(x\right)
\end{eqnarray*}


Pour montrer la continuité ponctuelle, il suffit de voir que pour
tout $x\in S$, $P_{t}f\left(x\right)\underset{t\to0}{\longrightarrow}f\left(x\right)$.
C'est clair par continuité à droite des trajectoires. Par définition
du processus de Feller, $P_{t}$ envoie $C_{0}\left(S\right)$ dans
$C_{0}\left(S\right)$.\end{proof}
\begin{rem*}
On peut ré-écrire la propriété de Markov $\mathbb{E}_{x}\left[f\left(X_{t+s}\right)\mid\mathcal{F}_{t}\right]=P_{s}f\left(X_{t}\right)$.\end{rem*}
\begin{prop}
Si $f\in C_{0}\left(S\right)$, $f\geq0$, $\alpha>0$, alors $M_{t}:=e^{-\alpha t}U_{\alpha}f\left(X_{t}\right)$
est une sur-martingale sous $\mathbb{P}_{x}$.\end{prop}
\begin{proof}
$\left\Vert U_{\alpha}f\right\Vert \leq\frac{1}{\alpha}\left\Vert f\right\Vert $
donc $M_{t}\in L^{1}$.
\begin{eqnarray*}
P_{s}\left(e^{-\alpha s}U_{\alpha}f\right) & = & e^{-\alpha s}\int_{0}^{+\infty}e^{-\alpha t}P_{s+t}fdt\\
 & = & \int_{s}^{+\infty}e^{-\alpha t}P_{t}fdt\leq U_{\alpha}f
\end{eqnarray*}
 car $f\geq0$
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}_{x}\left[M_{t+s}\mid\mathcal{F}_{t}\right] & = & \mathbb{E}_{x}\left[e^{-\alpha\left(t+s\right)}U_{\alpha}f\left(X_{t+s}\right)\mid\mathcal{F}_{t}\right]\\
 & = & P_{s}\left(e^{-\alpha\left(t+s\right)}U_{\alpha}f\right)\left(X_{t}\right)\\
 & \leq & e^{-\alpha t}U_{\alpha}f\left(X_{t}\right)=M_{t}
\end{eqnarray*}

\end{proof}
Comment passe-t-on maintenant du semi-groupe au générateur infinitésimal
? Pour le cas où $S$ est fini, la matrice de transition est $Q=\left(q\left(x,y\right)\right)$
qu'on peut voir comme l'application linéaire 
\[
Qf\left(x\right)=\sum_{y\neq x}q\left(x,y\right)\left(f\left(y\right)-f\left(x\right)\right)
\]
De même, on a $P_{t}=\left(p_{t}\left(x,y\right)\right)$ qu'on peut
voir comme $P_{t}f\left(x\right)={\displaystyle \sum_{y}p_{t}\left(x,y\right)f\left(y\right)=\mathbb{E}_{x}\left[f\left(X_{t}\right)\right]}$
et $P_{t}=e^{tQ}=1+tQ+o\left(t\right)$. On a $P_{t}f\left(x\right)=f\left(x\right)+tQf\left(x\right)+o\left(t\right)$
et $\mathbb{E}_{x}\left[f\left(X_{t}\right)\right]=f\left(x\right)+tQf\left(x\right)+o\left(t\right)$.
On se replace à présent dans le cadre général.
\begin{defn}
Soit $\left(P_{t}\right)$ un semi-groupe de Feller. Le générateur
infinitésimal associé est l'opérateur linéaire $\mathscr{L}f=\underset{t\to0}{\mathrm{lim}}\frac{P_{t}f-f}{t}$
sur le domaine $\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right):=\left\{ f\in C_{0}\left(S\right)\mid\frac{P_{t}f-f}{t}\mbox{ existe dans }C_{0}\left(S\right)\right\} $.\end{defn}
\begin{prop}
Equation de Kolmogorov. Si $f\in\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$,
alors $t\mapsto P_{t}f$ est une fonction $C^{1}$ et $\frac{d}{dt}\left(P_{t}f\right)=P_{t}\mathscr{L}f=\mathscr{L}P_{t}f$.\end{prop}
\begin{proof}
$\frac{1}{s}\left(P_{t+s}f-P_{t}f\right)=P_{t}\left(\frac{P_{s}f-f}{s}\right)\underset{s\to0}{\longrightarrow}P_{t}\mathscr{L}f$
et la convergence est uniforme en $t$. 
\begin{eqnarray*}
P_{t}f-f & = & \underset{n\to\infty}{\mathrm{lim}}\sum_{k=0}^{n-1}\underbrace{P_{\frac{k+1}{n}\cdot t}f-P_{\frac{k}{n}\cdot t}f}\\
 &  & \quad\quad\quad\quad\sim\frac{1}{n}P_{\frac{k}{n}\cdot t}\mathscr{L}f\\
 & = & \int_{0}^{t}P_{s}\mathscr{L}fds
\end{eqnarray*}
 donc $t\mapsto P_{t}f$ est $C^{1}$ et $\frac{d}{dt}\left(P_{t}f\right)=P_{t}\mathscr{L}f$.

\begin{eqnarray*}
P_{t}\mathscr{L}f & = & \underset{s\to0}{\mathrm{lim}}P_{t}\left(\frac{P_{s}f-f}{s}\right)\\
 & = & \underset{s\to0}{\mathrm{lim}}\frac{P_{s}\left(P_{t}f\right)-P_{t}f}{s}\\
 & = & \mathscr{L}P_{t}f
\end{eqnarray*}
\end{proof}
\begin{prop}
Soit $\alpha>0$,

1) $\forall f\in C_{0}\left(S\right)$, $U_{\alpha}f\in\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$
et $\left(\alpha-\mathscr{L}\right)U_{\alpha}f=f$

2) Si $f\in\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$ alors $U_{\alpha}\left(\left(\alpha-\mathscr{L}\right)f\right)=f$

3) $\mathrm{Im}U_{\alpha}=\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$ et
les applications $U_{\alpha}$ et $\left(\alpha-\mathscr{L}\right)$
sont inverses l'une de l'autre.

4) $\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$ est dense dans $C_{0}\left(S\right)$\end{prop}
\begin{proof}
1) On a
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{s}\left(P_{s}U_{\alpha}f-U_{\alpha}f\right) & = & \frac{1}{s}\left(\int_{0}^{+\infty}e^{-\alpha t}P_{t+s}fdt-\int_{0}^{+\infty}e^{-\alpha t}P_{t}fdt\right)\\
 & = & \frac{1}{s}\left(\int_{s}^{+\infty}\left(e^{\alpha s}-1\right)e^{-\alpha t}P_{t}fdt-\int_{0}^{s}e^{-\alpha t}P_{t}fdt\right)\\
 & \underset{s\to0}{\longrightarrow} & \int_{0}^{+\infty}\alpha e^{-\alpha t}P_{t}fdt-f=\alpha U_{\alpha}f-f
\end{eqnarray*}
donc $U_{\alpha}f\in\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$ et $\mathscr{L}\left(U_{\alpha}f\right)=\alpha U_{\alpha}f-f$,
$\left(\alpha-\mathscr{L}\right)\left(U_{\alpha}f\right)=f$.

2) Si $f\in\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$, on a vu que $P_{t}f=f+{\displaystyle \int_{0}^{t}P_{s}\mathscr{L}fds}$
\begin{eqnarray*}
U_{\alpha}f & = & \int e^{-\alpha t}P_{t}fdt\\
\alpha U_{\alpha}f-f & = & \alpha\int e^{-\alpha t}\int_{0}^{t}P_{s}\mathscr{L}fdsdt\\
 & = & \int P_{s}\mathscr{L}f\int_{s}^{+\infty}\alpha e^{-\alpha t}dtds\\
 & = & \int P_{s}\mathscr{L}fe^{-\alpha s}ds\\
 & = & U_{\alpha}\left(\mathscr{L}f\right)
\end{eqnarray*}
donc $U_{\alpha}\left(\left(\alpha-\mathscr{L}\right)f\right)=f$.

3) provient immédiatement de 2) et 3)

4) En particulier, $\mathrm{Im}U_{\alpha}$ ne dépend pas de $\alpha$.
Pour voir que $\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$ est dense, il
suffit de voir que ${\displaystyle \bigcup_{\alpha>0}\mathrm{Im}\left(U_{\alpha}\right)}$est
dense. On a vu $\alpha U_{\alpha}f\underset{\alpha\to+\infty}{\longrightarrow}f$
donc c'est bon !.\end{proof}
\begin{cor}
Un semi-groupe de Feller est déterminé par son générateur infinitésimal
(ce qui inclut l'information sur le domaine !)\end{cor}
\begin{proof}
Soit $f\in C_{0}\left(S\right)$ positive. On veut montrer qu'on peut
calculer $P_{t}f$ en utilisant seulement l'information sur $\mathscr{L}$.
On vient de voir que pour tout $\alpha>0$, $U_{\alpha}f=\left(\alpha-\mathscr{L}\right)^{-1}f$
i.e. $U_{\alpha}f$ est l'unique élément de $\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$
tel que $\left(\alpha-\mathscr{L}\right)U_{\alpha}f=f$
\[
U_{\alpha}f\left(x\right)=\int e^{-\alpha t}P_{t}f\left(x\right)dt
\]
On peut donc retrouver la transformée de Laplace de $t\mapsto P_{t}f\left(x\right)$.
Cela caractérise $P_{t}f\left(x\right)$ car $t\mapsto P_{t}f(\left(x\right)$
est continue.\end{proof}
\begin{example}
Le mouvement brownien.

1) $P_{t}f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int e^{-\frac{\left(y-x\right)^{2}}{2t}}f\left(y\right)dy$

2) $U_{\alpha}f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\alpha}}\int\mathrm{exp}\left(-\sqrt{2\alpha}\left|y-x\right|\right)f\left(y\right)dy$
et $\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)=\left\{ f\in C^{2}\left(\mathbb{R}\right)\mid f,f"\in C_{0}\left(\mathbb{R}\right)\right\} $
et pou $f\in\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$, on a $\mathscr{L}f=\frac{1}{2}f"$
(en dimension quelconque, $\mathscr{L}f=\frac{1}{2}\Delta f$)\end{example}
\begin{rem*}
Il est en général difficile de déterminer $\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$
explicitement. La plupart du temps, on a simplement besoin de comprendre
$\mathscr{L}$ sur un sous-domaine assez grand.\end{rem*}
\begin{thm}
Soit $f,g\in C_{0}\left(S\right)$. Les conditions suivantes sont
équivalentes :

1) $f\in\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$ et $\mathscr{L}f=g$

2) $f\left(X_{t}\right)-{\displaystyle \int_{0}^{t}g\left(X_{s}\right)ds}$
est une martingale sous $\mathbb{P}_{x}$.\end{thm}
\begin{proof}
1)$\implies$2) Soit $M_{t}=f\left(X_{t}\right)-{\displaystyle \int_{0}^{t}\mathscr{L}f\left(X_{s}\right)ds}$.
Alors, comme $f\in C_{0}\left(S\right)$, $M_{t}\in L^{1}$ pour tout
$t$
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}_{x}\left[\int_{0}^{t+s}\mathscr{L}f\left(X_{u}\right)du\mid\mathcal{F}_{t}\right] & = & \int_{0}^{t}\mathscr{L}f\left(X_{u}\right)du+\mathbb{E}_{x}\left[\int_{t}^{t+s}\mathscr{L}f\left(X_{u}\right)du\mid\mathcal{F}_{t}\right]\\
 & = & \int_{0}^{t}\mathscr{L}f\left(X_{u}\right)du+\int_{t}^{t+s}\mathbb{E}_{x}\left[\mathscr{L}f\left(X_{u}\right)\mid\mathcal{F}_{t}\right]du\\
 & = & \int_{0}^{t}\mathscr{L}f\left(X_{u}\right)du+\int_{0}^{s}P_{u}\mathscr{L}f\left(X_{t}\right)du
\end{eqnarray*}
\[
\mathbb{E}_{x}\left[M_{t+s}\mid\mathcal{F}_{t}\right]=P_{s}f\left(X_{t}\right)-\int_{0}^{t}\mathscr{L}f\left(X_{u}\right)du-\int_{0}^{s}P_{u}\mathscr{L}f\left(X_{t}\right)du
\]
$P_{s}f-f=\int_{0}^{s}P_{u}\mathscr{L}fdu$ par Kolmogorov donc $\mathbb{E}\left[M_{t+s}\mid\mathcal{F}_{t}\right]=f\left(X_{t}\right)-{\displaystyle \int_{0}^{t}\mathscr{L}f\left(X_{u}\right)du=M_{t}}$.

2)$\implies$1) $\mathbb{E}_{x}\left[f\left(X_{t}\right)-{\displaystyle \int_{0}^{t}g\left(X_{s}\right)ds}\right]=f\left(x\right)$
\[
P_{t}f\left(x\right)-\int_{0}^{t}P_{s}g\left(x\right)ds=f\left(x\right)
\]
\[
\frac{P_{t}f-f}{t}=\frac{1}{t}\int_{0}^{t}P_{s}gds\underset{t\to0}{\longrightarrow}g
\]
donc $f\in\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$ et $\mathscr{L}f=g$.\end{proof}
\begin{example}
Pour le mouvement brownien $\left(B_{t}\right)_{t}$. On a :$f\left(B_{t}\right)-\frac{1}{2}{\displaystyle \int_{0}^{t}f"\left(B_{s}\right)ds}$
est une martingale (assez proche de la formule d'Itô). La martingale
est $\int f'\left(B_{s}\right)dB_{s}$.
\end{example}

\subsection{Mesures invariantes}
\begin{defn}
Soit $\mu$ une mesure de probabilité sur $S$. On définit
\[
P_{\mu}\left(A\right)=\int\mathbb{P}_{x}\left(A\right)d\mu\left(x\right)
\]
où $A$ est un ensemble mesurable. On a bien que $\mathbb{P}_{\mu}\left(X_{0}\in B\right)=\mu\left(B\right)$.
Dans ce cas, $\mathbb{P}_{x}=\mathbb{P}_{\delta_{x}}$.
\end{defn}
Loi de $X_{t}$ sous $\mathbb{P}_{\mu}$ : $\mathbb{E}_{\mu}\left[f\left(X_{t}\right)\right]=\int P_{t}f\left(x\right)d\mu\left(x\right)=\int f\left(x\right)d\left(P_{t}^{*}\mu\right)\left(x\right)$.
Plus proprement, $A\mapsto\mathbb{P}_{\mu}\left(X_{t}\in A\right)$
est une mesure de probabilité (c'est la loi de $\left(X_{t}\right)_{t}$
sous $\mathbb{P}_{\mu}$) on la note $P_{t}^{*}\mu$.
\begin{defn}
On dit que $\mu$ est une mesure invariante (ou stationnaire) si pour
tout $t\geq0$, $P_{t}^{*}\mu=\mu$ i.e. $X_{t}\overset{\mbox{loi}}{=}X_{0}$
sous $\mathbb{P}_{\mu}$.\end{defn}
\begin{prop}
Si $\mu$ est une mesure de probabilité sur $S$ telle que $P_{t}^{*}\mu\to\nu$
(au sens $\mathbb{E}_{P_{t}^{*}\mu}\left[f\right]\underset{t\to\infty}{\longrightarrow}\mathbb{E}_{\nu}\left[f\right]$
pour tout $f\in C_{0}\left(S\right)$) alors $\nu$ est une mesure
invariante.\end{prop}
\begin{proof}
Il suffit de vérifier que pour tout $s\geq0$ et pour tout $f\in C_{0}\left(S\right)$,
$\int P_{s}fd\nu=\int fd\nu$
\begin{eqnarray*}
\left|\int P_{s}fd\nu-\int fd\nu\right| & \leq & \left|\int P_{s}fd\nu-\int P_{s+t}fd\mu\right|+\left|\int P_{s+t}fd\mu-\int fd\nu\right|\\
 & \leq & \left|\int P_{s}fd\nu-\int P_{t}\left(P_{s}f\right)d\mu\right|+\left|\int P_{s+t}fd\mu-\int fd\nu\right|\\
 &  & \underset{t\to+\infty}{\longrightarrow}0
\end{eqnarray*}
\end{proof}
\begin{prop}
Si $S$ est compact, alors il existe une mesure invariante.\end{prop}
\begin{proof}
Soit $\mu$ une mesure arbitraire. Soit $\mu_{n}=\frac{1}{n}{\displaystyle \int_{0}^{n}P_{s}^{*}\mu ds}$.
$\left(\mu_{n}\right)_{n}$ est une suite de mesures de probabilité
sur $S$ compact. Par le théorème de Prokorov, on peut en extraire
une sous-suite $\left(\mu_{n_{k}}\right)_{k}$ convergente vers une
limite $\nu$. Pour vérifier que $\nu$ est invariante, il suffit
de voir $\forall f\in C_{0}\left(S\right),\;\forall t\geq0$, $\int P_{t}fd\nu=\int fd\nu$.
\begin{eqnarray*}
\int P_{t}fd\mu_{n_{k}} & = & \frac{1}{n_{k}}\int_{0}^{n_{k}}\int P_{t+s}fd\mu ds\\
 & = & \frac{1}{n_{k}}\int_{t}^{n_{k}+t}\int P_{s}fd\mu ds
\end{eqnarray*}
\[
\int P_{t}fd\mu_{n_{k}}-\int fd\mu_{n_{k}}=\frac{1}{n_{k}}\left(-\int_{0}^{t}\int P_{s}fd\mu ds+\int_{n_{k}}^{n_{k}+t}\int P_{s}fd\mu ds\right)\underset{k\to\infty}{\longrightarrow}0
\]
\end{proof}
\begin{lem}
Pour tout $f\in C_{0}\left(S\right)$ et $t>0$,
\[
\underset{n\to+\infty}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{Id}-\frac{t}{n}\mathscr{L}\right)^{-n}f=P_{t}f
\]
\end{lem}
\begin{rem*}
$P_{t}=P_{\frac{t}{n}}\ldots P_{\frac{t}{n}}\simeq\left(1+\frac{t}{n}\mathscr{L}\right)^{n}$\end{rem*}
\begin{proof}
$\left(\mathrm{Id}-\frac{t}{n}\mathscr{L}\right)^{-1}:C_{0}\left(S\right)\to\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$
donc $\left(\mathrm{Id}-\frac{t}{n}\mathscr{L}\right)^{-n}f$ est
bien définie.
\begin{eqnarray*}
\left(\mathrm{Id}-\frac{1}{\alpha}\mathscr{L}\right)^{-1} & = & \alpha U_{\alpha}f\\
 & = & \int_{0}^{+\infty}\alpha e^{-\alpha t}P_{t}f.dt\\
 & = & \mathbb{E}\left[P_{\frac{\mathscr{E}_{1}}{\alpha}}f\right]
\end{eqnarray*}
où $\mathscr{E}_{1}\sim\mathrm{Exp}\left(1\right)$
\begin{eqnarray*}
\left(\mathrm{Id}-\frac{1}{\alpha}\mathscr{L}\right)^{-n}f & = & \mathbb{E}\left[P_{\frac{\mathscr{E}_{n}}{\alpha}}\mathbb{E}\left[P_{\frac{\mathscr{E}_{n-1}}{\alpha}}\ldots\mathbb{E}\left[P_{\frac{\mathscr{E}_{1}}{\alpha}}f\right]\right]\right]\\
 & = & \mathbb{E}\left[P_{\frac{\mathscr{E}_{n}+\ldots+\mathscr{E}_{1}}{\alpha}}f\right]
\end{eqnarray*}
où $\mathscr{E}_{1},\ldots,\mathscr{E}_{n}\overset{\mbox{i.i.d.}}{\sim}\mathrm{Exp}\left(1\right)$.
\[
\left(\mathrm{Id}-\frac{t}{m}\mathscr{L}\right)^{-m}f=\mathbb{E}\left[P_{t\cdot\frac{\mathscr{E}_{n}+\ldots+\mathscr{E}_{1}}{n}}f\right]
\]
Pour $f\in\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$ :
\[
\left\Vert P_{t}f-P_{s}f\right\Vert \leq\left\Vert \mathscr{L}f\right\Vert \left|t-s\right|
\]
\[
\left\Vert \left(\mathrm{Id}-\frac{t}{m}\mathscr{L}\right)^{-n}f-P_{t}f\right\Vert \leq t\left\Vert \mathscr{L}f\right\Vert \mathbb{E}\left[\left|\frac{\mathscr{E}_{n}+\ldots+\mathscr{E}_{1}}{n}-1\right|\right]\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0
\]
ce qui prouve le lemme pour tout $f\in\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$car
les opérateurs sont des contractions et $\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$
est dense.\end{proof}
\begin{thm}
$\mu$ est une mesure invariante si et seulement si, pour tout $f\in\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$,
$\int\mathscr{L}f.d\mu=0$.\end{thm}
\begin{proof}
``$\implies$'' On suppose $\int\frac{P_{t}f-f}{t}.d\mu=0$. Si
$f\in\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$, on a bien $\int\mathscr{L}f.d\mu=0$
en faisant tendre $t$ vers $ $0.

``$\Longleftarrow$'' On veut voir que pour tout $f\in C_{0}\left(S\right)$
et $t>0$ 
\[
\int P_{t}f.d\mu=\int f.d\mu
\]
Si $\left(\mathrm{Id}-\frac{1}{\alpha}\mathscr{L}\right)^{-1}f=0$
alors $g\in\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$et $f=g-\frac{1}{\alpha}\mathscr{L}g$
et donc $\int f.d\mu=\int g.d\mu$.
\[
\int f.d\mu=\int\left(\mathrm{Id}-\frac{1}{\alpha}\mathscr{L}\right)^{-1}f.d\mu
\]
En itérant : pour tout $n\in\mathbb{N}$,
\[
\int f.d\mu=\int\left(\mathrm{Id}-\frac{1}{n}\mathscr{L}\right)^{-n}f.d\mu\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\int P_{t}fd\mu
\]
et on a le résultat.\end{proof}
\begin{rem}
\label{remarque}On est en général intéressé par la détermination
de l'ensemble $\mathcal{I}$ des mesures invariantes d'un processus.
Cet ensemble est convexe. Il suffit donc de déterminer les points
extrémaux de cet ensemble convexe. C'est lié à la notion d'ergodicité.
Une mesure n'est pas extrémale si elle s'écrit $\mu=p\nu_{1}+\left(1-p\right)\nu_{0}$
avec $p\in]0,1[$ et $\nu_{0}\neq\nu_{1}$.\end{rem}
\begin{defn}
Une mesure de probabilité invariante $\mu$ est ergodique si pour
tout $f$ continue bornée,
\[
\frac{1}{t}\int_{0}^{t}f\left(X_{s}\right)ds\underset{t\to\infty}{\longrightarrow}\int fd\mu,\quad\mathbb{P}_{\mu}-\mbox{p.s}
\]
c'est à dire
\begin{equation}
\frac{1}{t}\int_{0}^{t}f\left(X_{s}\right)ds\underset{t\to\infty}{\longrightarrow}\int fd\mu,\quad\mathbb{P}_{x}-\mbox{p.s}\label{eq:ergodicite}
\end{equation}
$d\mu\left(x\right)-\mbox{p.s.}$.\end{defn}
\begin{rem}
Deux mesures invariantes ergodiques sont mutuellement singulières
: si $\mu_{1},\mu_{2}$ sont ergodiques avec $\mu_{1}\neq\mu_{2}$
alors il existe $A$ mesurable telle que $\mu_{1}\left(A\right)=1$
et $\mu_{2}\left(A\right)=2$.\end{rem}
\begin{prop}
Une mesure invariante ergodique est extrémale (c.f. Remarque \ref{remarque}
pour la définition).\end{prop}
\begin{proof}
Supposons que $\mu=p\nu_{1}+\left(1-p\right)\nu_{0}$ avec $\mu$
invariante ergodique, $p\in]0,1[$ et $\nu_{0},\nu_{1}$ invariantes.
On a $\nu_{1}\ll\mu$ donc (\ref{eq:ergodicite}) est vrai $d\nu_{1}\left(x\right)-\mbox{p.s.}$
donc
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{t}\int_{0}^{t}\underbrace{\mathbb{E}\left[f\left(X_{s}\right)\right]}ds & \underset{t\to\infty}{\longrightarrow} & \int fd\mu\\
=\int fd\nu_{1}\;\quad
\end{eqnarray*}
car $\nu_{1}$ est invariante. Donc $\int fd\nu_{1}=\int fd\mu$ pour
toute fonction continue bornée. Donc $\nu_{1}=\mu=\nu_{0}$.
\end{proof}

\subsection{Formule de Feynman-Kac}

On a vu que $u\left(t,\cdot\right)=P_{t}f$ est solution de l'équation
\[
\begin{cases}
\partial_{t}u=\mathscr{L}u\\
u\left(0,\cdot\right)=f
\end{cases}
\]
et $\mathscr{L}=\frac{1}{2}\Delta$ pour le brownien.
\[
u\left(t,x\right)=\mathbb{E}_{x}\left[f\left(B_{t}\right)\right]=\mathbb{E}_{0}\left[f\left(x\vdash B_{t}\right)\right]
\]
 La formule de Feynman-Kac donne une représentation probabiliste d'une
équation ``avec potentiel''
\begin{thm}
Formule de Feynman-Kac. Soit $f\in\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$
et $h\in C_{0}\left(S\right)$. La fonction 
\[
u\left(t,x\right)=\mathbb{E}_{x}\left[f\left(X_{t}\right)\mathrm{exp}\left(\int_{0}^{t}h\left(X_{s}\right)ds\right)\right]
\]
est solution de l'équation
\[
\begin{cases}
\partial_{t}u=\left(\mathscr{L}+h\right)u\\
u\left(0,\cdot\right)=f
\end{cases}
\]
\end{thm}
\begin{proof}
La condition initiale est claire. Posons $I\left(s,t\right)=\int_{s}^{t}h\left(X_{u}\right)du$
pour simplifier la notation.
\begin{align*}
u\left(t+\varepsilon\right)-u\left(t,x\right) & =\mathbb{E}_{x}\left[\left(f\left(X_{t+\varepsilon}\right)-f\left(X_{t}\right)\right)e^{I\left(0,t\right)}\left(e^{I\left(t,t+\varepsilon\right)}-1\right)\right.+ & :=A\\
 & \left(f\left(X_{t+\varepsilon}\right)-f\left(X_{t}\right)\right)e^{I\left(0,t\right)}+ & :=B\\
 & \left.f\left(X_{t}\right)e^{I\left(0,t\right)}\left(e^{I\left(t,t+\varepsilon\right)}-1\right)\right] & :=C
\end{align*}
$\mathbb{E}_{x}\left[\left|A\right|\right]\leq\mathbb{E}_{x}\left[\left|f\left(X_{t+\varepsilon}\right)-f\left(X_{t}\right)\right|\right]e^{t\left\Vert h\right\Vert }\left(e^{\varepsilon\left\Vert h\right\Vert }-1\right)=o\left(\varepsilon\right)$
pourvu que $\left|f\left(X_{t+\varepsilon}\right)-f\left(X_{t}\right)\right|$
tende vers 0
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}_{x}\left[\left|f\left(X_{t+\varepsilon}\right)-f\left(X_{t}\right)\right|\right]^{2} & \leq & \mathbb{E}_{x}\left[\left(f\left(X_{t+\varepsilon}\right)-f\left(X_{t}\right)\right)^{2}\right]\\
 & \leq & \mathbb{E}_{x}\left[f^{2}\left(X_{t+\varepsilon}\right)-2f\left(X_{t+\varepsilon}\right)f\left(X_{t}\right)+f^{2}\left(X_{t}\right)\right]\\
 & = & P_{t+\varepsilon}\left(f^{2}\right)-2P_{t}\left(fP_{\varepsilon}f\right)+P_{t}\left(f^{2}\right)\\
 & = & P_{t}\left[P_{\varepsilon}\left(f^{2}\right)-2fP_{\varepsilon}f+f^{2}\right]\\
 & \underset{\varepsilon\to0}{\longrightarrow} & 0,\;\mbox{uniformément en t et en espace}
\end{eqnarray*}
$\mathbb{E}_{x}\left[B\right]=\mathbb{E}_{x}\left[\left(P_{\varepsilon}f\left(X_{t}\right)-f\left(X_{t}\right)\right)e^{I\left(0,t\right)}\right]$
par Markov. Donc
\[
\frac{u\left(t+\varepsilon,x\right)-u\left(t,x\right)}{\varepsilon}\underset{\varepsilon\to0}{\longrightarrow}\mathbb{E}_{x}\left[\mathscr{L}f\left(X_{t}\right)e^{I\left(0,t\right)}\right]+\mathbb{E}_{x}\left[f\left(X_{t}\right)e^{I\left(0,t\right)}h\left(X_{t}\right)\right]
\]
 uniformément en $t$ et en $x$. Donc $u\left(t,x\right)=\int_{0}^{t}\ldots$
et $u\left(\cdot,x\right)$ est $C^{1}$.
\begin{eqnarray*}
u\left(t+\varepsilon,x\right) & = & \mathbb{E}_{x}\left[e^{I\left(0,\varepsilon\right)}f\left(X_{t+\varepsilon}\right)e^{I\left(\varepsilon,t+\varepsilon\right)}\right]\\
 & \overset{\mbox{Markov}}{=} & \mathbb{E}_{x}\left[e^{I\left(0,\varepsilon\right)}u\left(t,X_{\varepsilon}\right)\right]
\end{eqnarray*}
$\frac{1}{\varepsilon}\left(u\left(t+\varepsilon,x\right)-u\left(t,x\right)\right)=\frac{1}{\varepsilon}\mathbb{E}_{x}\left[\left(e^{I\left(0,\varepsilon\right)}-1\right)u\left(t,X_{\varepsilon}\right)\right]+\frac{1}{\varepsilon}\left(P_{\varepsilon}u\left(t,x\right)-u\left(t,x\right)\right)$.
Or,
\[
\frac{1}{\varepsilon}\mathbb{E}_{x}\left[\left(e^{I\left(0,\varepsilon\right)}-1\right)u\left(t,X_{\varepsilon}\right)\right]\underset{\varepsilon\to0}{\longrightarrow}h\left(x\right)u\left(t,x\right)
\]
et la limite de $\frac{1}{\varepsilon}\left(u\left(t+\varepsilon,x\right)-u\left(t,x\right)\right)$
existe donc la limite de $\frac{1}{\varepsilon}\left(P_{\varepsilon}u\left(t,x\right)-u\left(t,x\right)\right)$
existe aussi. On a donc $u\left(t,\cdot\right)\in\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$
et on a
\[
\mathscr{L}u\left(t,\cdot\right)=\partial_{t}u-hu
\]
Quand est ce qu'un opérateur linéaire est le générateur infinitésimal
d'un processus stochastique ?\end{proof}
\begin{prop}
Soit $f\in\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$ et $g\in C_{0}\left(S\right)$,
$\lambda\geq0$. Si $\left(\mathrm{Id}-\lambda\mathscr{L}\right)f=g$,
alors $\mathrm{inf}\; f\geq\mathrm{inf\; g}$.\end{prop}
\begin{proof}
$g_{t}=f-\lambda\frac{P_{t}f-f}{t}=\left(\mathrm{Id}+\frac{\lambda}{t}\right)f-\frac{\lambda}{t}P_{t}f\underset{t\to0}{\longrightarrow}g$
par définition.

$\left(\mathrm{Id}+\frac{\lambda}{t}\right)\mathrm{inf}\; f\geq\mathrm{inf}\; g_{t}+\frac{\lambda}{t}\mathrm{inf}\; P_{t}f$.
On a $P_{t}f\geq\mathrm{inf}\; f$.
\[
\left(\mathrm{Id}+\frac{\lambda}{t}\right)\mathrm{inf}\; f\geq\mathrm{inf}\; g_{t}+\frac{\lambda}{t}\mathrm{inf}\; f
\]
d'où $\mathrm{inf}\; f\geq\mathrm{inf\; g}$.
\end{proof}
La propriété du haut est le principe du maximum. $\Delta$ satisfaire
cette propriété : disons que $\mathrm{inf}\; f<0$ et soit $x$ tel
que $f\left(x\right)=\mathrm{inf}\; f$. Il faut que $\Delta f\left(x\right)\geq0$.
Si $\left(\mathrm{Id}-\lambda\Delta\right)f=g$, on a $g\left(x\right)=f\left(x\right)-\lambda\Delta f\left(x\right)\leq f\left(x\right)=\mathrm{inf}\; f$
et donc $\mathrm{inf}\; g\le\mathrm{inf}\; g$.

Ainsi, si l'on veut qu'un opérateur linéaire soit le générateur infinitésimal
d'un processus stochastique, il faut qu'il vérifie le principe du
maximum.
\begin{example*}
L'opérateur $D^{3}:f\mapsto f'''$ sur $\mathbb{R}$ n'est pas un
générateur infinitésimal.
\end{example*}

\subsection{Exemples de processus de Markov}


\subsubsection{Un exemple formel}
\begin{example}
Soit $\beta>0$ et $V:\mathbb{R}^{d}\to\mathbb{R}$ tel que $\int e^{-\lambda V}<\infty$
pour tout $\lambda>0$. On verra plus tard comment donner un sens
à
\[
dX_{t}=\frac{dB_{t}}{\beta}-\nabla V\left(X_{t}\right)dt
\]
Une façon détournée de définir $\left(X_{t}\right)$ est de dire que
$Z_{t}=X_{t}-\frac{1}{\beta}\beta_{t}$ est bien définie par l'équation
:
\[
dZ_{t}=-\nabla V\left(Z_{t}+\frac{1}{\beta}B_{t}\right)dt
\]
et poser $X_{t}=Z_{t}+\frac{1}{\beta}B_{t}$. On verra que $\mathscr{L}f\left(x\right)=\frac{1}{2\beta}\Delta f\left(x\right)-\nabla V\left(x\right)\cdot\nabla f\left(x\right)$.
Si $\beta=+\infty$, $X_{t}\simeq x-t\nabla V\left(x\right)+o\left(t\right)$,
$f\left(X_{t}\right)\simeq f\left(x\right)-t\nabla V\left(x\right)\cdot\nabla f\left(x\right)+o\left(t\right)$.

On cherche une mesure invariante à densité $g$. On veut vérifier
que pour tout $f\in\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$, $\int\mathscr{L}f\left(x\right)g\left(x\right)dx=0$
c'est à dire $\int\mathscr{L}fg=0\Leftrightarrow\int f\mathscr{L}^{*}g=0$.
Or,
\[
\mathscr{L}^{*}f=\frac{1}{2\beta}\Delta f+\nabla\left(f\nabla V\right)
\]
En effet, $\int\nabla V\nabla fg=\int\left(\nabla f\right)\cdot\left(g\nabla V\right)=-\int f\nabla\left(g\nabla V\right)$.
Il faut et il suffit que $\mathscr{L}^{*}g=0$. On montre que ça équivaut
à $g=\mathrm{exp}\left(-2\beta V\right)$. Alors, $\nabla g=-2\beta\nabla V.g$
et $\mathscr{L}^{*}g=\frac{1}{2\beta}\nabla\left(-2\beta g\nabla V\right)+\nabla\left(g\nabla V\right)$.
\end{example}

\subsubsection{Modèle d'Ising dynamique}
\begin{example}
Soit $G=\left(V,E\right)$ un graphe fini ($V$ est l'ensemble des
sommets, $E$ l'ensemble des arrêtes). On veut une dynamique sur $\left\{ -1,1\right\} ^{V}$
telle que la mesure invariante soit 
\[
\mu\left(\sigma\right)=\frac{1}{Z}\mathrm{exp}\left(\beta H\left(\sigma\right)\right)
\]
où $Z={\displaystyle \sum_{\sigma\in\left\{ -1,1\right\} ^{V}}\mathrm{exp}\left(\beta H\left(\sigma\right)\right)}$
avec $H\left(\sigma\right)={\displaystyle \sum_{i\sim j}\sigma_{i}\sigma_{j}}$
avec $i\sim j$ si $i$ et $j$ sont deux sommets adjacents. Pour
$\sigma\in\left\{ -1,1\right\} ^{V}$, soit $\sigma^{(i)}\in\left\{ -1,1\right\} ^{V}$
défini par
\[
\sigma_{k}^{(i)}=\begin{cases}
\sigma_{k} & \mbox{si }k\neq i\\
-\sigma_{i} & \mbox{si }k=i
\end{cases}
\]
Un exemple important de dynamique est avec taux de transition de $\sigma$
à $\sigma^{(i)}$ donné par $C\left(\sigma,\sigma^{(i)}\right)=\mathrm{exp}\left(\frac{\beta}{2}\left(H\left(\sigma^{(i)}\right)-H\left(\sigma\right)\right)\right)$.
On observe que 
\[
\mu\left(\sigma\right).C\left(\sigma,\sigma^{(i)}\right)=\mu\left(\sigma^{(i)}\right).C\left(\sigma^{(i)},\sigma\right)
\]
En particulier, $\mu$ est invariante. On peut aussi vérifier que
si $\mathscr{L}f\left(\sigma\right)={\displaystyle \sum_{i}C\left(\sigma,\sigma^{(i)}\right)\left(f\left(\sigma^{(i)}\right)-f\left(\sigma\right)\right)}$
alors on a bien $\int\mathscr{L}fd\mu=0$. On peut construire cette
dynamique sur $\mathbb{Z}^{d}$ par exemple en utilisant une variation
de l'approche ``construction graphique''. On peut montrer :

pour $d=1$ : l'unicité de le mesure invariante

pour $d\geq2$ : il existe $\beta_{C}\in]0,+\infty[$ tel que $\beta<\beta_{C}\implies$
unicité de la mesure et $\beta>\beta_{C}\implies$ pas d'unicité.
\end{example}

\subsection{Construction et étude du processus de contact}


\subsubsection{Quelques rappels sur les processus de Poisson}

Soit $\lambda>0$. Si $X_{n}\sim\mathrm{Bin}\left(n,\frac{\lambda}{n}\right)$
pour $n$ assez grand, alors $\mathbb{P}\left(X_{n}=k\right)=\left(\begin{array}{c}
n\\
k
\end{array}\right)\left(\frac{\lambda}{n}\right)^{k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}$. 

On définit la loi de Poisson de paramètre $\lambda$ (notée $\mathrm{Poi}\left(\lambda\right)$)
par ${\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}}\delta_{k}$. 

Si $X\sim\mathrm{Poi}\left(\lambda\right)$ et $Y\sim\mathrm{Poi}\left(\mu\right)$
sont indépendantes alors $X+Y\sim\mathrm{Poi}\left(\lambda+\mu\right)$. 

Une façon directe de construire la processus de Poisson : on se donne
$\left(T_{i}\right)_{i\in\mathbb{N}}\overset{\mbox{iid}}{\sim}\mathrm{Exp}\left(\lambda\right)$
et on pose $N\left(t\right)=\mathrm{card}\left\{ k\mid{\displaystyle \sum_{i=1}^{k}T_{k}\leq t}\right\} $
le processus de Poisson. $N\left(t\right)\sim\mathrm{Poi}\left(\lambda t\right)$. 

Soit $\mathcal{P}=\left\{ {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}}T_{k}\mid n\geq1\right\} $.
On peut montrer que pour toute partie $A$ mesurable, si on pose $N\left(A\right)=\mathrm{card}\left(P\cap A\right)$
alors $N\left(A\right)\sim\mathrm{Poi}\left(\lambda.\lambda_{1}\left(A\right)\right)$
avec $\lambda_{1}$ la mesure de Lebesgue. $\mathcal{P}$ est le processus
ponctuel d'intensité $\lambda$.

$A\cap B=\emptyset\implies$$N\left(A\right)$ et $N(B)$ sont indépendantes. 

Soit $\mathcal{P}\left(t\right)=\left\{ s-t,\; s\in\mathcal{P},\; s\geq t\right\} $.
Alors, $\mathcal{P}\left(t\right)\overset{\mbox{(loi)}}{=}\mathcal{P}$. 


\subsubsection{Construction graphique}

On va construire le processus de contact sur $\mathbb{Z}$. on peut
généraliser à tout graphe de degré localement fini (c'est à dire chaque
sommet a un nombre fini de voisin) et à une classe de processus plus
grande, à valeurs dans des espaces produits $S^{V}$, $S$ et $V$
sont dénombrables. Le processus de contact est un modèle de propagation
d'épidémie dans une population : soit $\left(\xi_{t}\right)_{t\geq0}$
à valeurs dans $\left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{Z}}$. Les points de
$\mathbb{Z}$ sont les individus, ils sont en contact s'ils sont reliés
par une arrête. $\xi_{t}\left(x\right)=0\Leftrightarrow$ l'individu
$x$ est sain au temps $t$, $\xi_{t}\left(x\right)=1\Leftrightarrow$
l'individu $x$ est malade au temps $t$.

Un individu malade guérit avec un taux qu'on normalise égal à 1. un
individu sain devient malade avec taux $\lambda.\mathrm{card}\left\{ y\mid x\sim y\mbox{ et }\xi_{t}\left(y\right)=1\right\} $.
Pour $\xi\in\left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{Z}}$, on définit $\xi^{0\to x}\in\left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{Z}}$
tel que $\xi^{0\to x}\left(z\right)=\begin{cases}
\xi\left(z\right) & \mbox{si }z\neq x\\
0 & \mbox{si }z=x
\end{cases}$ et $\xi^{1\to x}\left(z\right)=\begin{cases}
\xi\left(z\right) & \mbox{si }z\neq x\\
1 & \mbox{si }z=x
\end{cases}$. Formellement, on veut un processus stochastique dont le générateur
infinitésimal est donné par
\begin{eqnarray*}
\mathscr{L}f\left(\xi\right) & = & \sum_{x}\mathds{1}_{\left\{ \xi\left(x\right)=1\right\} }\left(f\left(\xi^{0\to x}\right)-f\left(\xi\right)\right)+\sum_{x}\lambda\mathds{1}_{\left\{ \xi\left(x+1\right)=1\right\} }\left(f\left(\xi^{1\to x}\right)-f\left(\xi\right)\right)+\\
 &  & \sum_{x}\lambda\mathds{1}_{\left\{ \xi\left(x-1\right)=1\right\} }\left(f\left(\xi^{1\to x}\right)-f\left(\xi\right)\right)
\end{eqnarray*}


On pourrait définir la processus en partant de ce générateur mais
on va le construire différemment. On se donne $\left(\mathcal{P}_{x},\mathcal{P}_{x+},\mathcal{P}_{x-}\right)_{x\in\mathbb{Z}}$
des processus ponctuels indépendants, $\left(\mathcal{P}_{x}\right)$
d'intensité 1 et $\left(\mathcal{P}_{x+}\right),\left(\mathcal{P}_{x-}\right)$
d'intensité $\lambda$. Pour $\left(x,s\right),\left(y,t\right)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{R}_{+}$,
on dit qu'il y a un chemin actif de $\left(x,s\right)$ à $\left(y,t\right)$
et on note $\left(x,s\right)\to\left(y,t\right)$ si il existe $\left(x,s\right)=\left(x_{0},t_{0}\right),\ldots,\left(x_{n},t_{n}\right)=\left(y,t\right)$
tel que

a. $t_{0}<t_{1}<\ldots<t_{n}$

b. pour tout $k$, $\left|x_{k+1}-x_{k}\right|=1$

c. $t_{k}\in\mathcal{P}_{x_{k}}\left(x_{k+1}-x_{k}\right)$

d. pour tout $s$, $t_{k}<s<t_{k+1}\implies s\notin P_{x_{k}}$

Le processus de contact partant de $\mathds{1}_{A}$ où $A\subset\mathbb{Z}$
est défini par :
\[
\xi_{t}^{A}=\left\{ y\in\mathbb{Z}\mid\;\exists x\in A,\;\left(x,0\right)\to\left(y,t\right)\right\} 
\]
Notons $\mathbb{P}$ la loi des processus ponctuels. On a défini le
processus pour toute configuration initiale de manière couplée. En
particulier, on a immédiatement : $A\subset B\implies\xi_{t}^{A}\subset\xi_{t}^{B}$.

Renversement du temps : soit $\hat{\xi_{s}}^{t,A}=\left\{ y\in\mathbb{Z}\mid\exists x\in A,\;\left(y,t-s\right)\to\left(x,t\right)\right\} $
pour $0\leq s\leq t$. Alors $\left(\hat{\xi_{s}}^{t,A}\right)_{0\leq s\leq t}$
a même loi que $\left(\xi_{t}^{A}\right)_{0\leq s\leq t}$.
\begin{lem}
$\mathbb{P}$-presque sûrement, pour tout $y\in\mathbb{Z}$, il existe
$R\left(y,t\right)$ tel que $\left|x-y\right|>R\left(y,t\right)$
$\implies$ il n'existe pas de chemin actif entre $(x,0)$ et $\left(y,t\right)$\end{lem}
\begin{proof}
Pour avoir $\left(x-n,0\right)\to\left(x,0\right)$ il fat avoir des
``flèches'' $0<t_{n}<\ldots<t_{1}<t$ tels que $t_{k}\in\mathcal{P}_{x-k,+}$.
Presque sûrement, il existe $K_{-}$ tel que $\mathcal{P}_{x-K_{-},+}\cap\left[0,t\right]$
est vide. De même, il existe $K_{+}$ tel que $\mathcal{P}_{x+K_{+},-}\cap\left[0,t\right]$
est vide. On prend donc $R\left(y,t\right)=\mathrm{max}\left(K_{+},K_{-}\right)$.\end{proof}
\begin{lem}
\label{lem:lemlemlem}Pour tout $\varepsilon>0$, $\exists N$ tel
que $ $$A_{\mid[-N,N]}=B_{\mid[-N,N]}$$\implies$$\mathbb{P}\left(\xi_{t\mid\left[-N_{0},N_{0}\right]}^{A}\neq\xi_{t\mid\left[-N_{0},N_{0}\right]}^{B}\right)\leq\varepsilon$.\end{lem}
\begin{proof}
Il suffit de voir que pour $N$ assez grand, $\mathbb{P}\left(R\left(-N_{0},t\right)\geq N-N_{0}\right)\leq\frac{\varepsilon}{2}$
et $\mathbb{P}\left(R\left(N_{0},t\right)\geq N-N_{0}\right)\leq\frac{\varepsilon}{2}$.
C'est clair car $R\left(N_{0},t\right)<\infty$presque sûrement.\end{proof}
\begin{thm}
Le processus ainsi défini est un processus de Feller.\end{thm}
\begin{proof}
On vérifie la propriété de Markov faible puis celle de Feller. Pour
tout $t\geq0$, on pose $\xi_{t+s}^{s,A}=\left\{ y\in\mathbb{Z}\mid\exists x\in A,\;\left(x,s\right)\to\left(y,t+s\right)\right\} $.
Alors, $\left(\xi_{t+s}^{s,A}\right)_{t\geq0}$ a la même loi que
$\left(\xi_{t}^{A}\right)_{t\geq0}$. Pour tout $s,t\geq0$, $\xi_{t+s}^{A}=\xi_{t+s}^{s,\xi_{s}^{A}}$,
(i.e. si $\left(x,0\right)\to\left(y,t+s\right)$ alors il existe
$z\in\xi_{s}^{A}$ tel que $\left(x,0\right)\to\left(z,s\right)\to\left(y,t+s\right)$).
Conditionnellement à $\mathcal{F}_{s}$, la loi de $\xi_{t+s}^{s,\xi_{s}^{A}}$
est celle du processus ponctuel au temps $t$ partant de $\xi_{s}^{A}$.
Autrement dit, pour tout $F$ mesurable bornée,
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[F\left(\left(\xi_{t+s}^{A}\right)_{t\geq0}\right)\mid\mathcal{F}_{s}\right] & = & \mathbb{E}\left[F\left(\xi_{t+s}^{s,\xi_{s}^{A}}\right)\mid\mathcal{F}_{s}\right]\\
 & = & \mathbb{E}_{\xi_{s}^{A}}\left[F\left(\left(\xi_{t}\right)_{t\geq0}\right)\right]
\end{eqnarray*}
Il reste à vérifier la propriété de Feller : 

Soit $f\in C_{0}\left(S\right)$ (i.e. une fonction continue sur l'espace
compact). On veut vérifier que $\begin{array}{cccc}
f_{t}: & \left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{Z}} & \to & \mathbb{R}\\
 & A & \mapsto & \mathbb{E}\left[f\left(\xi_{t}^{A}\right)\right]
\end{array}$ est une fonction continue. Il s'agit de montrer que pour tout $\varepsilon>0$,
il existe $N$ tel que $A_{\mid[-N,N]}=B_{\mid[-N,N]}$$\implies$$\left|f_{t}\left(A\right)-f_{t}\left(B\right)\right|\leq\varepsilon$.
Comme $f$ est continue, il existe $N_{0}$ tel que $A_{\mid[-N_{0},N_{0}]}=B_{\mid[-N_{0},N_{0}]}$$\implies$$\left|f_{t}\left(A\right)-f_{t}\left(B\right)\right|\leq\varepsilon$.

Ainsi on obtient la propriété de Feller :
\begin{eqnarray*}
\left|f_{t}\left(A\right)-f_{t}\left(B\right)\right| & \leq & \mathbb{E}\left[\left|f\left(\xi_{t}^{A}\right)-f\left(\xi_{t}^{B}\right)\right|\right]\\
 & \leq & \mathbb{E}\left[\left|f\left(\xi_{t}^{A}\right)-f\left(\xi_{t}^{B}\right)\right|\mathds{1}_{\left\{ \xi_{t\mid\left[-N_{0},N_{0}\right]}^{A}=\xi_{t\mid\left[-N_{0},N_{0}\right]}^{B}\right\} }\right]+\\
 &  & \mathbb{E}\left[\left|f\left(\xi_{t}^{A}\right)-f\left(\xi_{t}^{B}\right)\right|\mathds{1}_{\left\{ \xi_{t\mid\left[-N_{0},N_{0}\right]}^{A}\neq\xi_{t\mid\left[-N_{0},N_{0}\right]}^{B}\right\} }\right]\\
 & \leq & \varepsilon+2\left\Vert f\right\Vert \varepsilon
\end{eqnarray*}
par continuité de $f$ et par le lemme \ref{lem:lemlemlemin}.
\end{proof}

\section{Variation quadratique}

But : définir ${\displaystyle \int_{0}^{t}H_{S}dB_{S}}$ avec $B$
le cours d'une action et $H$ la quantité d'actions possédées.

Problème : le brownien n'est pas à variation finie. On va étudier
la variation quadratique d'une martingale continue générale.


\subsection{Processus à variation finie}


\subsubsection{Fonction à variation finie}
\begin{defn}
Une fonction continue $a:\mathbb{R}_{+}\to\mathbb{R}$ telle que $a\left(0\right)=0$
est à variation continue si pour tout $t>0$,
\[
F\left(t\right):=\mathrm{sup}\left\{ \sum_{k=0}^{n-1}\left|a\left(t_{k+1}\right)-a\left(t_{k}\right)\right|,n\in\mathbb{N},\;0\leq t_{0}<\ldots<t_{n}\leq t\right\} 
\]
 est finie.\end{defn}
\begin{prop}
i) La fonction $t\mapsto F\left(t\right)$ est croissante et continue
: il existe une mesure $\left|\mu\right|$ finie sur les compacts
telle que $\left|\mu\right|\left(\left[0,t\right]\right)=F\left(t\right)$.

ii) $\forall s\leq t$, $\left|a\left(s\right)-a\left(t\right)\right|\leq F\left(t\right)-F\left(s\right)$

iii) $t\mapsto\frac{F\left(t+a\left(t\right)\right)}{2}$ et $t\mapsto\frac{F\left(t\right)-a\left(t\right)}{2}$
sont croissantes et continues. Il existe $\mu_{+},\mu_{-}$ mesures
finies sur les compacts elles que $\mu_{+}\left(\left[0,t\right]\right)=\frac{F\left(t\right)+a\left(t\right)}{2}$,
$\mu_{-}\left(\left[0,t\right]\right)=\frac{F\left(t\right)-a\left(t\right)}{2}$.
On a alors :
\[
\left|\mu\right|=\mu_{+}+\mu_{-}
\]
\begin{eqnarray*}
a\left(t\right) & = & \mu_{+}\left(\left[0,t\right]\right)-\mu_{-}\left(\left[O,t\right]\right)\\
 & = & \mu\left(\left[0,t\right]\right)
\end{eqnarray*}
où $\mu$ est la mesure signée $\mu=\mu_{+}-\mu_{-}$.
\end{prop}
$ $
\begin{prop}
Soit $f:\mathbb{R}_{+}\to\mathbb{R}$ continue, $t\geq0$ et $0=t_{0}^{(n)}<t_{1}^{(n)}<\ldots<t_{n}^{(n)}=t$
une suite de subdivisions dont le pas tend vers 0. On a 
\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{t}f\left(s\right)da\left(s\right) & := & \int_{0}^{t}f\left(s\right)d\mu\left(s\right)\\
 & = & \underset{n\to\infty}{\mathrm{lim}}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(t_{k}^{(n)}\right)\left(a\left(t_{k+1}^{(n)}\right)-a\left(t_{k}^{(n)}\right)\right)
\end{eqnarray*}
\end{prop}
\begin{proof}
Soit $f_{n}$ telle que $f_{n}\left(s\right)=f\left(t_{k}^{(n)}\right)$
si $t_{k}^{(n)}<s\leq t_{k+1}^{(n)}$ . Alors, la somme s'écrit
\[
\int f_{n}\left(s\right)d\mu\left(s\right)=\sum_{k=0}^{n-1}f\left(t_{k}^{(n)}\right)\left(a\left(t_{k+1}^{(n)}\right)-a\left(t_{k}^{(n)}\right)\right)
\]
 $f_{n}\left(s\right)\to f\left(s\right)$ pour tout $s$ et $f_{n}$
est bornée par $\underset{0\leq s\leq t}{\mathrm{sup}}\left|f\left(s\right)\right|$
donc on obtient le résultat par convergence dominée.
\end{proof}
Notation : pour toute $f$ mesurable positive, on note
\[
\int f\left(s\right)\left|da\left(s\right)\right|:=\int f\left(s\right)d\left|\mu\right|\left(s\right)
\]

\begin{prop}
Pour tout $f$ mesurable bornée,
\[
\left|\int_{0}^{t}f\left(s\right)da\left(s\right)\right|\leq\int_{0}^{t}\left|f\left(s\right)\right|\left|da\left(s\right)\right|
\]

\end{prop}

\subsubsection{Processus à variation finie}

Soit $\left(\mathcal{F}_{t}\right)_{t}$ une filtration continue à
droite.
\begin{defn}
Un processus $\left(X_{t}\right)_{t}$ est dit progressif si pour
tout $t\geq0$, l'application $\begin{array}{ccc}
\Omega\times\left[0,t\right] & \to & \mathbb{R}\\
\left(\omega,s\right) & \mapsto & X_{s}\left(\omega\right)
\end{array}$ est $\mathcal{F}_{t}\otimes\mathcal{B}\left(\left[0,t\right]\right)$-mesurable.\end{defn}
\begin{prop}
Si $\left(X_{t}\right)$ est continu à droite ou continu à gauche
et adapté, alors il est progressif.
\end{prop}
On note $Prog=\left\{ A\in\Omega\times\mathbb{R}_{+}:\left(\mathds{1}_{A}\left(\omega,t\right)\right)_{t\geq0}\mbox{ est un processus progressif}\right\} $.
\begin{defn}
Un processus à variation finie est un processus adapté et sont toutes
les trajectoires sont à variation finie (continues, partant de 0).\end{defn}
\begin{prop}
Soit $A$ un processus à variation finie et $H$ un processus progressif.
Soit $H\cdot A$ le processus défini par 
\[
\left(H\cdot A\right)_{t}=\int_{0}^{t}H_{s}dA_{s}
\]
bien défini si pour tout $t\geq0$,
\[
\int_{0}^{t}\left|H_{S}\right|\left|dA_{s}\right|<+\infty
\]
Le processus $H\cdot A$ est à variation finie.\end{prop}
\begin{proof}
Chaque trajectoire est à variation finie :
\[
\left(H\cdot A\right)_{t}-\left(H\cdot A\right)_{s}=\int_{s}^{t}H_{s}dA_{s}
\]
\[
\implies\left|\left(H\cdot A\right)_{t}-\left(H\cdot A\right)_{s}\right|\leq\int_{s}^{t}\left|H_{s}\right|\left|dA_{s}\right|
\]
Il reste à vérifier que le processus est adapté. On veut vérifier
que si $h:\Omega\times\left[0,t\right]\to\mathbb{R}$ est $\mathcal{F}_{t}\otimes\mathcal{B}\left(\left[0,t\right]\right)$-mesurable
bornée, alors $\int_{0}^{t}h\left(\omega,s\right)dA_{s}$ est $\mathcal{F}_{t}$-mesurable.
Si $h\left(\omega,s\right)=\mathds{1}_{]u,v]}\left(s\right)\mathds{1}_{B}\left(\omega\right)$
avec $]u,v]\subset\left[0,t\right]$ et $B\in\mathcal{F}_{t}$, alors
\[
\int_{0}^{t}h\left(\omega,s\right)dA_{s}=\mathds{1}_{B}\left(\omega\right)\left(A\left(v\right)-A\left(u\right)\right)
\]
 est $\mathcal{F}_{t}$-mesurable. Par le lemme des classes monotones
$h=\mathds{1}_{\Gamma}$ est mesurable si $\Gamma\in\mathcal{F}_{t}\otimes\mathcal{B}\left(\left[0,t\right]\right)$.
Puis, on conclue si $h$ est mesurable bornée en l'écrivant comme
limite ponctuelle de fonctions étagées.
\end{proof}

\subsection{Martingale locale}
\begin{example*}
Brownien $B$ en dimension 3 : $f:x\mapsto\frac{1}{\left|x\right|}$
est harmonique, $\Delta f=0$ . On a envie de dire
\[
f\left(B_{t}\right)-f\left(B_{0}\right)=\int_{0}^{t}\frac{\Delta}{2}f\left(X_{S}\right)ds+\mbox{Martingale}
\]
\[
f\left(B_{t}\right)=\mbox{Martingale}
\]
C'est faux ! $\mathbb{E}\left[f\left(B_{t}\right)\right]\underset{t\to\infty}{\longrightarrow}0$
\[
\frac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{3}{2}}}\int\frac{1}{\left|x\right|}\mathrm{exp}\left(-\frac{\left|x-3\right|^{2}}{2t}\right)dt\underset{t\to\infty}{\longrightarrow}0
\]

\end{example*}
Notation : Si $T$ est un temps d'arrêt, on note $X^{T}$ le processus
$t\mapsto X_{t\wedge T}$.
\begin{defn}
Un processus adapté à trajectoires continues $\left(M_{t}\right)_{t\geq0}$
tel que $M_{0}=0$ est une martingale locale s'il existe une suite
croissante d temps d'arrêts $\left(T_{n}\right)$ telle que $T_{n}\to+\infty$
presque sûrement telle que pour tout $n$, $M^{T_{n}}$ est une martingale
uniformément intégrable. Si $M_{0}\neq0$ ont dit que $M$ est une
martingale locale si $M-M_{0}$ est une martingale locale. Dans tous
les cas, on dit qu'une telle suite de temps d'arrêts réduit la martingale
locale.\end{defn}
\begin{rem*}
On n'a pas forcément $M_{t}\in L^{1}$\end{rem*}
\begin{prop}
a. Une martingale est une martingale locale

b. On pourrait changer la définition et \uline{demander simplement
$\left(M^{T_{n}}\right)_{n}$ martingale}.

c. Si $T$ temps d'arrêt et $M$ martingale locale, alors $M^{T}$
est une martingale locale.

d. Si $S_{n}$ réduit $M$ et $T_{n}$ est une suite de temps d'arrêt
telle que $T_{n}\nearrow+\infty$ presque sûrement, alors $T_{n}\wedge S_{n}$
réduit $M$.

e. L'ensemble des martingales locales et un espace vectoriel.\end{prop}
\begin{proof}
a. prendre $T_{n}=n$

b. En effet, il suffit de considérer $T_{n}\wedge n$\end{proof}
\begin{prop}
1) Une martingale locale positive telle que $M_{0}\in L^{1}$ est
une surmartingale.

2) Si $\left(M_{t}\right)_{t\geq0}$ est une martingale locale telle
que $\left|M_{t}\right|\leq Z$ pour tout $t\geq0$ où $Z\in L^{1}$,
alors $M$ est une martingale uniformément intégrable.

3) Si $M$ est une martingale locale telle que $M_{0}=0$ alors la
suite $T_{n}=\mathrm{inf}\left\{ t\geq0,\;\left|M_{t}\right|\geq n\right\} $
réduit $M$.\end{prop}
\begin{proof}
1) On a $M_{t}=M_{0}+N_{t}$ où $N$ est une martingale locale issue
de 0. Soit $\left(T_{n}\right)$ qui réduit $N$. On a :
\[
\mathbb{E}\left[N_{t\wedge T_{n}}\mid\mathcal{F}_{s}\right]=N_{s\wedge T_{n}}
\]
\[
\mathbb{E}\left[M_{t\wedge T_{n}}\mid\mathcal{F}_{s}\right]=M_{s\wedge T_{n}}
\]
\begin{equation}
\mathbb{E}\left[M_{t}\mid\mathcal{F}_{s}\right]\leq M_{s}\label{eq:oui}
\end{equation}
par Fatou ($M\geq0$). En particulier, $\mathbb{E}\left[M_{t}\right]\leq\mathbb{E}\left[M_{0}\right]<\infty$.
$M_{t}\in L^{1}$ et (\ref{eq:oui}) dit que $M$ est une surmartingale.

2) On a de même
\[
\mathbb{E}\left[N_{t\wedge T_{n}}\mid\mathcal{F}_{s}\right]=N_{s\wedge T_{n}}
\]
Par le théorème de convergence dominée,
\[
\mathbb{E}\left[M_{t}\mid\mathcal{F}_{s}\right]=M_{s}
\]


3) $M^{T_{n}}$ martingale locale bornée donc (vraie) martingale.
\end{proof}
Rappel : si $M$ est une martingale dans $L^{2}$,
\[
\mathbb{E}\left[\left(M_{t}-M_{s}\right)^{2}\right]=\mathbb{E}\left[\left(M_{t}-M_{u}\right)^{2}\right]+\mathbb{E}\left[\left(M_{u}-M_{s}\right)^{2}\right]
\]
si $s\leq u\leq t$.
\begin{thm}
Si $M$ est une martingale locale telle que $M_{0}=0$ à variation
finie, alors $M=0$.\end{thm}
\begin{proof}
Soit $T_{n}=\mathrm{inf}\left\{ t\geq0,\;\int_{0}^{t}\left|sM_{s}\right|\geq n\right\} $,
$T_{n}$ temps d'arrêt. $N:=M^{T_{n}}$ martingale locale issue de
0.
\[
N\left(t\right)\leq\int_{0}^{T_{n}}\left|dM_{s}\right|\leq n
\]
 donc $N$ est une martingale bornée. On a
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[N_{t}^{2}\right] & = & \mathbb{E}\left[\sum_{k=0}^{p-1}\left(N_{t_{k+1}}-N_{t_{k}}\right)^{2}\right]\\
 & = & \sum_{k=0}^{p-1}\mathbb{E}\left[\left(N_{t_{k+1}}-N_{t_{k}}\right)^{2}\right]\\
 & \leq & \mathbb{E}\left[\underset{k}{\mathrm{sup}}\left|N_{t_{k+1}}-N_{t_{k}}\right|\sum_{k=0}^{p-1}\left|N_{t_{k+1}}-N_{t_{k}}\right|\right]
\end{eqnarray*}
Or, ${\displaystyle \sum_{k=0}^{p-1}\left|N_{t_{k+1}}-N_{t_{k}}\right|\leq\int_{0}^{t}\left|dN_{s}\right|\leq\int_{0}^{T_{n}}\left|dM_{s}\right|\leq n}$
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[N_{t}^{2}\right] & \leq & n.\mathbb{E}\left[\underset{k}{\mathrm{sup}}\left|N_{t_{k+1}}-N_{t_{k}}\right|\right]
\end{eqnarray*}
 et $\underset{k}{\mathrm{sup}}\left|N_{t_{k+1}}-N_{t_{k}}\right|$
est bornée car $N$ est bornée ainsi,
\[
\mathbb{E}\left[N_{t}^{2}\right]\to0\mbox{ ps}
\]
quand le pas de la subdivision tend vers 0. Donc $\mathbb{E}\left[N_{t}^{2}\right]=0$.
$N=0$ presque sûrement par continuité.
\end{proof}

\subsection{Variation quadratique d'une martingale locale}
\begin{thm}
Soit $M$ une martingale locale. Il existe un unique processus $\left(\langle M,M\rangle_{t}\right)_{t\geq0}$
croissant partant de 0 tel que $M_{t}^{2}-\langle M,M\rangle_{t}$
est une martingale locale. De plus, si $0=t_{0}^{(n)}<\ldots<t_{n}^{(n)}=t$
est une suite de partitions emboîtées de $\left[0,t\right]$ dont
le pas tend vers 0 alors
\[
\langle M,M\rangle_{t}=\underset{n\to\infty}{\mathrm{lim}}\sum_{k=0}^{n-1}\left(M_{t_{k+1}^{(n)}}-M_{t_{k}^{(n)}}\right)^{2}
\]
en probabilité. Le processus $\langle M,M\rangle$ est indépendant
de la suite de partition. Il est appelé variation quadratique de $M$.\end{thm}
\begin{rem*}
1) Si $M_{t}=M_{0}+N_{t}$ alors $\langle M,M\rangle_{t}=\langle N,N\rangle_{t}$

2) Pour le mouvement brownien $B$, on a $\langle B,B\rangle_{t}=t$.
En effet,
\[
\sum_{k=0}^{n-1}\left(B_{t_{k+1}^{(n)}}-B_{t_{k}^{(n)}}\right)^{2}-\left(t_{k+1}^{(n)}-t_{k}^{(n)}\right)\overset{(\mathbb{P})}{\longrightarrow}0
\]
En fait, la convergence a lieu dans $L^{2}$ et 
\begin{eqnarray*}
\mathrm{Var}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\left(B_{t_{k+1}^{(n)}}-B_{t_{k}^{(n)}}\right)^{2}-\left(t_{k+1}^{(n)}-t_{k}^{(n)}\right)\right) & = & \sum_{k=0}^{n-1}\mathrm{Var}\left(\left(B_{t_{k+1}^{(n)}}-B_{t_{k}^{(n)}}\right)^{2}\right)\\
 & = & c\sum_{k=0}^{n-1}\left(t_{k+1}^{(n)}-t_{k}^{(n)}\right)^{2}\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0
\end{eqnarray*}


3) L'hypothèse ``emboîtés'' n'est pas nécessaire.

4) La variation quadratique est continue.\end{rem*}
\begin{proof}
Unicité : Soient $A$ et $A'$ des variations quadratiques
\[
A-A'=\left(M^{2}-A'\right)-\left(M^{2}-A\right)
\]
$A-A'$ est à variation finie et $\left(M^{2}-A'\right)-\left(M^{2}-A\right)$
est une martingale locale donc $A=A'$.

Existence : 

Etape 1. On montre qu'on peut supposer $M_{0}=0$. Posons $M_{t}=M_{0}+N_{t}$.
$M_{t}^{2}-\langle N,N\rangle_{t}$ est une martingale locale :
\[
M_{t}^{2}-\langle N,N\rangle_{t}=M_{0}^{2}+2M_{0}N_{t}+N_{t}^{2}-\langle N,N\rangle_{t}
\]
$N_{t}^{2}-\langle N,N\rangle_{t}$ est une martingale locale. Il
reste à vérifier que $2M_{0}N_{t}$ est une martingale locale.

Soit $T_{n}$ qui réduit $N$ et 
\[
\tilde{T}_{n}=\begin{cases}
0 & \mbox{si }\left|M_{0}\right|\geq n\\
T_{n} & \mbox{sinon}
\end{cases}
\]
$\tilde{T}_{n}$ est un temps d'arrêt et réduit $N$.
\[
\mathbb{E}\left[N_{t\wedge\tilde{T}_{n}}\mid\mathcal{F}_{s}\right]=N_{s\wedge\tilde{T_{n}}}
\]
$M_{0}N_{t\wedge\tilde{T_{n}}}\in L^{1}$ et $\mathbb{E}\left[M_{0}N_{t\wedge\tilde{T_{n}}}\mid\mathcal{F}_{s}\right]=M_{0}N_{s\wedge\tilde{T_{n}}}$
donc $\left(M_{0}N_{t}\right)_{t\geq0}$ est une martingale locale.

Etape 2. On montre qu'on peut supposer $M$ bornée par une constante.
Si $M$ pas borné (mais $M_{0}=0$), on pose
\[
T_{n}=\mathrm{inf}\left\{ t\ge0,\;\left|M_{t}\right|\geq n\right\} 
\]
$M^{T_{n}}$ est une martingale bornée. Sot $A^{(n)}$ sa variation
quadratique. Par la partie unicité de la preuve, on a $A_{t\wedge T_{n}}^{(n+1)}=A_{t}^{(n)}$.
$T_{n}\nearrow+\infty$ presque sûrement donc on peut définir $A_{t}=\underset{n\to\infty}{\mathrm{lim}}A_{t}^{(n)}$
est processus croissant partant de 0. Par construction,$M_{t\wedge T_{n}}-A_{t\wedge T_{n}}$
est une martingale locale.

Etape 3. Il reste à montrer le théorème en supposant $M_{0}=0$ et
$\left|M_{t}\right|\leq K$ pour tout $t$. Soit $\pi=\left\{ 0=t_{0}<t_{1}<\ldots\right\} $
partition de $\mathbb{R}_{+}$. La pas de $\text{\ensuremath{\pi}}$
est $\left|\pi\right|=\mathrm{sup}\left|t_{k+1}-t_{k}\right|$. Pour
$t\in[t_{k},t_{k+1}[$,
\[
A_{\pi}\left(t\right)=\sum_{j=1}^{k}\left(M_{t_{j}}-M_{t_{j-1}}\right)^{2}+\left(M_{t}-M_{t_{k}}\right)^{2}
\]
Vérifions que $M_{t}^{2}-A_{\pi}\left(t\right)$ est une martingale
(l'appartenance à $L^{1}$ est OK). Soit $s<t$, soit $k,l$ tels
que $t_{k}\leq s<t_{k+1}$, $t_{l}\leq t<t_{l+1}$ . Alors,
\[
A_{\pi}\left(t\right)-A_{\pi}\left(s\right)=\sum_{j=k+1}^{l}\left(M_{t_{j}}-M_{t_{j-1}}\right)^{2}+\left(M_{t}-M_{t_{l}}\right)^{2}-\left(M_{s}-M_{t_{k}}\right)^{2}
\]
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[A_{\pi}\left(t\right)-A_{\pi}\left(s\right)\mid\mathcal{F}_{s}\right] & = & \mathbb{E}\left[\left(M_{t}-M_{s}\right)^{2}\mid\mathcal{F}_{s}\right]\\
 & = & \mathbb{E}\left[M_{t}^{2}-M_{s}^{2}\mid\mathcal{F}_{s}\right]
\end{eqnarray*}
\[
\mathbb{E}\left[M_{t}^{2}-A_{\pi}\left(t\right)\mid\mathcal{F}_{s}\right]=M_{s}^{2}-A_{\pi}\left(s\right)
\]
Problème : $A_{\pi}$ n'est pas croissant ! Prendre la limité $\left|\pi\right|\to0$.
L'enjeu essentiel est d'estimer $\mathbb{E}\left[\left(A_{\pi}\left(t\right)-A_{\pi'}\left(t\right)\right)^{2}\right]$
quand $\pi\subset\pi'$ avec $t\in\pi$. $\pi'=\left\{ 0=s_{0}<s_{1}<s_{2}<\ldots\right\} $.
$\xi_{i}=M_{s_{i}}-M_{s_{i-1}}$ est borné par $2K$. $M_{t_{1}}-M_{t_{0}}=\xi_{1}+\ldots+\xi_{k_{1}}$,
$M_{t_{2}}-M_{t_{1}}=\xi_{k_{1}+1}+\ldots+\xi_{k_{2}}$. Si $i_{1}\leq i_{2}\leq\ldots\leq i_{k-1}\leq i_{k}$
alors
\[
\mathbb{E}\left[\xi_{i_{1}}\ldots\xi_{i_{l}}\right]=\mathbb{E}\left[\xi_{i_{1}}\ldots\xi_{i_{k-1}}\mathbb{E}\left[\xi_{i_{l}}\mid\mathcal{F}_{s_{l}}\right]\right]
\]
Pour $t=t_{m}=s_{k_{m}}$,
\begin{eqnarray*}
A_{\pi}\left(t\right)-A_{\pi'}\left(t\right) & = & \sum_{i=1}^{m}\left(\xi_{k_{i-1}+1}+\ldots+\xi_{k_{i}}\right)^{2}-\sum_{j=1}^{k_{m}}\xi_{j}^{2}\\
 & = & 2\sum_{i=1}^{m}T_{i}
\end{eqnarray*}
où $T_{l}={\displaystyle \sum_{k_{l-1}<i<j\leq k_{l}}\xi_{i}\xi_{j}}$.
$\mathbb{E}\left[T_{l}T_{l'}\right]=0$ si $l\neq l'$. Donc
\[
\mathbb{E}\left[\left(A_{\pi}(t)-A_{\pi}\left(t\right)\right)^{2}\right]=4\sum_{i=1}^{m}\mathbb{E}\left[T_{i}^{2}\right]
\]
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[T_{l}^{2}\right] & = & \sum_{k_{l-1}<i,i'<j\leq k_{l}}\mathbb{E}\left[\xi_{i}\xi_{i'}\xi_{j}^{2}\right]\\
 & = & \sum_{j=k_{l-1}+1}^{k_{l}}\mathbb{E}\left[\left(M_{s_{j-1}}-M_{s_{k_{l-1}}}\right)^{2}\xi_{j}^{2}\right]
\end{eqnarray*}
Posons $\delta_{t}\left(\varepsilon\right)=\underset{0\leq u<v\leq t,\; v\leq u+\varepsilon}{\mathrm{sup}}\left|M_{u}-M_{v}\right|$
\begin{eqnarray*}
\sum_{l=1}^{m}\mathbb{E}\left[T_{l}^{2}\right] & \leq & \mathbb{E}\left[\delta_{t}\left(\left|\pi\right|\right)^{2}\sum_{j=1}^{k_{m}}\xi_{j}^{2}\right]\\
 & \leq & \mathbb{E}\left[\delta_{t}\left(\left|\pi\right|\right)^{4}\right]^{\frac{1}{2}}\mathbb{E}\left[\left(\sum_{j=1}^{k_{m}}\xi_{j}^{2}\right)\right]^{\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}
Il reste à voir que ${\displaystyle \mathbb{E}\left[\left(\sum_{j=1}^{k_{m}}\xi_{j}^{2}\right)^{2}\right]}$
est bornée uniformément en $\pi,\pi'$
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\left(\sum_{j=1}^{k_{m}}\xi_{j}^{2}\right)^{2}\right] & = & \sum_{j=1}^{k_{m}}\mathbb{E}\left[\xi_{j}^{4}\right]+2\sum_{i=1}^{k_{m}}\mathbb{E}\left[\xi_{i}^{2}\sum_{j=i+1}^{k_{m}}\xi_{j}^{2}\right]\\
 & = & \sum_{j=1}^{k_{m}}\mathbb{E}\left[\xi_{j}^{4}\right]+2\sum_{i=1}^{k_{m}}\mathbb{E}\left[\xi_{i}^{2}\left(M_{s_{k_{m}}}-M_{s_{i}}\right)^{2}\right]\\
 & \leq & \left(2K\right)^{2}\sum_{j=1}^{k_{m}}\mathbb{E}\left[\xi_{j}^{2}\right]+2\left(2K\right)^{2}\sum_{i=1}^{k_{m}}\mathbb{E}\left[\xi_{i}^{2}\right]\\
 & \leq & 12K^{2}\mathbb{E}\left[\left(\sum_{j=1}^{k_{m}}\xi_{j}\right)^{2}\right]\leq48K^{4}
\end{eqnarray*}
donc
\[
\mathbb{E}\left[\left(A_{\pi}\left(t\right)-A_{\pi'}\left(t\right)\right)^{2}\right]\leq28K^{2}\mathbb{E}\left[\delta_{t}\left(\left|\pi\right|\right)^{4}\right]^{\frac{1}{2}}
\]
$\delta_{t}\left(\left|\pi\right|\right)^{4}$ est bornée par $2K$
donc $28K^{2}\mathbb{E}\left[\delta_{t}\left(\left|\pi\right|\right)^{4}\right]^{\frac{1}{2}}\underset{\left|\pi\right|\to0}{\longrightarrow}0$
presque sûrement.

$A_{\pi}-A_{\pi'}$ est une martingale car $A_{\pi}-A_{\pi'}=\left(M^{2}-A_{\pi'}\right)-\left(M^{2}-A_{\pi}\right)$.
Par Doob,
\[
\mathbb{E}\left[\underset{0\leq s\leq t}{\mathrm{sup}}\left(A_{\pi}\left(s\right)-A_{\pi'}\left(s\right)\right)^{2}\right]\leq112K^{2}\mathbb{E}\left[\delta_{t}\left(\left|\pi\right|\right)^{4}\right]^{\frac{1}{2}}
\]
On peut trouver une suite de parties emboîtées $\left(\pi_{n}\right)$
telle que
\[
\sum_{n}\mathbb{E}\left[\underset{0\leq s\leq t}{\mathrm{sup}}\left|A_{\pi_{n+1}}\left(s\right)-A_{\pi_{n}}\left(s\right)\right|\right]<+\infty
\]
 Presque sûrement, on peut définir $A\left(s\right)=\underset{n\to\infty}{\mathrm{lim}}A_{\pi_{n}}\left(s\right)$
$s<t$ limite uniforme de fonctions continues donc continue. $A_{\pi}$est
croissante sur $\pi_{n}$ donc $A$ est croissante sur $\pi_{n}$
pour tout $n$. Par continuité, $A$ est croissante.

(Exercice pour la prochaine fois) Vérifier que pour tout $\left(\pi_{n}\right)_{n}$
suite de partitions emboîtées, $A_{\pi_{n}}\overset{(\mathbb{P})}{\to}A$.\end{proof}
\begin{rem*}
On a montré :

1) $\mathbb{E}\left[\underset{0\leq s\leq t}{\mathrm{sup}}\left(A_{\pi}\left(s\right)-A\left(s\right)\right)^{2}\right]\leq112K^{2}\mathbb{E}\left[\delta_{t}\left(\left|\pi\right|\right)^{4}\right]^{\frac{1}{2}}$

2) Si $T$ est un temps d'arrêt, alors
\[
\langle M^{T},M^{T}\rangle_{t}=\langle M,M\rangle_{t\wedge T}
\]
En effet, $\left(M_{t\wedge T}^{2}-\langle M,M\rangle_{t\wedge T}\right)_{t\ge0}$
est une martingale locale.

3) On note $\langle M,M\rangle_{\infty}=\mathrm{lim}\langle M,M\rangle_{t}\in\left[0,+\infty\right]$\end{rem*}
\begin{thm}
Soit $M$ une martingale lolcale avec $M_{0}=0$,

1) Il y a équivalence entre

a. $M$ est une martingale bornée dans $L^{2}$

b. $\mathbb{E}\left[\langle M,M\rangle_{\infty}\right]<+\infty$

Si ces conditions sont satisfaites, alors $\left(M_{t}^{2}-\langle M,M\rangle_{t}\right)_{t\geq0}$
est une martingale uniformément intégrable. En particulier,
\[
\mathbb{E}\left[M_{\infty}^{2}\right]=\mathbb{E}\left[\langle M,M\rangle_{\infty}\right]
\]


2) Il y a équivalence entre

a. $M$ est une martingale telle que pour tout $t$, $M_{t}\in L^{2}$

b. $\mathbb{E}\left[\langle M,M\rangle_{t}\right]<+\infty$

Dans ce cas, $\left(M_{t}^{2}-\langle M,M\rangle_{t}\right)_{t\geq0}$
est une vraie martingale.\end{thm}
\begin{rem*}
Dans a. l'hypothèse ``vraie martingale'' est nécessaire. Contre-exemple
: brownien en dim 3.\end{rem*}
\begin{proof}
``a$\implies$b'' Doob (pour les vraies martingales) :
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\underset{0\leq s\leq t}{\mathrm{sup}}\left|M_{s}\right|^{2}\right] & \leq & 4\mathbb{E}\left[M_{t}^{2}\right]\\
 & \leq & C<+\infty
\end{eqnarray*}
Soit $\left(T_{n}\right)_{n}$ qui réduit $M^{2}-\langle M,M\rangle$.
\[
\mathbb{E}\left[M_{t\wedge T_{n}}^{2}-\langle M,M\rangle_{t\wedge T_{n}}\right]=0
\]
\[
\mathbb{E}\left[\langle M,M\rangle_{t\wedge T_{n}}\right]\leq\mathbb{E}\left[\underset{0\leq s\le t}{\mathrm{sup}}M_{s}^{2}\right]\leq C<+\infty
\]
\[
\mathbb{E}\left[\langle M,M\rangle_{\infty}\right]\leq C<+\infty
\]
par Fatou.

``b$\implies$a'' Soit $T_{n}$ qui réduit $M_{t}^{2}-\langle M,M\rangle_{t}$.
Posons $S_{n}=T_{n}\wedge\mathrm{inf}\left\{ t\geq0,\;\left|M_{t}\right|\geq n\right\} $.
$M^{S_{n}}$ est une martingale bornée.
\[
\mathbb{E}\left[M_{t\wedge S_{n}}^{2}\right]=\mathbb{E}\left[\langle M,M\rangle_{t\wedge S_{n}}\right]\leq\mathbb{E}\left[\langle M,M\rangle_{\infty}\right]<+\infty
\]
Par Fatou, $\mathbb{E}\left[M_{t}^{2}\right]\leq\mathbb{E}\left[\langle M,M\rangle_{\infty}\right]$.
$\left(M_{t\wedge S_{n}}\right)_{n}$ est une martingale bornée dans
$L^{2}$ donc uniformément bornée et converge presque sûrement dans
$L^{1}$.
\[
\mathbb{E}\left[M_{t\wedge S_{n}}\mid\mathcal{F}_{s}\right]=M_{s\wedge S_{n}}
\]
\[
\mathbb{E}\left[M_{t}\mid\mathcal{F}_{s}\right]=M_{s}
\]
 donc $M$ est une martingale. Il reste à voir que $M^{2}-\langle M,M\rangle$
est une martingale uniformément bornée.
\[
\mathbb{E}\left[M^{2}-\langle M,M\rangle\right]\leq\underset{s\geq0}{\mathrm{sup}}M_{s}^{2}+\langle M,M\rangle_{\infty}
\]
$\underset{s\geq0}{\mathrm{sup}}M_{s}^{2}$ est intégrable par Doob.
Ainsi $M^{2}-\langle M,M\rangle$ est une martingale uniformément
bornée.

2) Il suffit d'appliquer le résultat 1) à $\left(M_{t\wedge t_{0}}\right)_{t\geq0}$
pour $t_{0}$ fixé.\end{proof}
\begin{cor}
Si $M$ est une martingale locale qui part de 0 telle que $\langle M,M\rangle=0$,
alors $M=0$.\end{cor}
\begin{proof}
On a $M^{2}$ vraie martingale : $\mathbb{E}\left[M_{t}^{2}\right]=\mathbb{E}\left[M_{0}^{2}\right]=0$.\end{proof}
\begin{defn}
Soient $M,N$ deux martingales locales. On appelle covariation de
$M$ et $N$ le processus $\langle M,N\rangle:=\frac{1}{2}\left(\langle M+N,M+N\rangle-\langle M,M\rangle-\langle N,N\rangle\right)$.\end{defn}
\begin{prop}
1) $\langle M,N\rangle$ est l'unique processus à variation finie
tel que $MN-\langle M,N\rangle$ tel que $MN-\langle M,N\rangle$
est une martingale locale.

2) L'application $M,N\mapsto\langle M,N\rangle$ est bilinéaire.

3) Si $0=t_{0}^{(n)}<\ldots<t_{n}^{(n)}=t$ est une suite de subdivisions
dont le pas tend vers 0, alors $\langle M,N\rangle_{t}=\underset{n\to+\infty}{\mathrm{lim}}{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\left(M_{t_{k+1}^{(n)}}-M_{t_{k}^{(n)}}\right)\left(N_{t_{k+1}^{(n)}}-N_{t_{k}^{(n)}}\right)}$.

4) Si $T$ est un temps d'arrêt, on a $\langle M^{T},N^{T}\rangle_{t}=\langle M^{T},N\rangle_{t}=\langle M,N\rangle_{t\wedge T}$.

5) Si $M,N$ sont des martingales bornées dans $L^{2}$, alors $MN-\langle M,N\rangle$
est une martingale uniformément intégrable. De plus, $\langle M,N\rangle_{t}\underset{\mbox{ps}}{\longrightarrow}\langle M,N\rangle_{\infty}$
intégrable et tel que
\[
\mathbb{E}\left[M_{\infty}N_{\infty}\right]-\mathbb{E}\left[\langle M,N\rangle_{\infty}\right]=\mathbb{E}\left[M_{0}N_{0}\right]
\]
\end{prop}
\begin{proof}
1) découle des propriétés de la variation quadratique déjà vues. On
montre l'unicité comme précédemment.

2) OK par définition.

3) OK par même propriété pour $\langle M,M\rangle$

4) Conséquence de 3)

5) On écrit $MN=\frac{1}{2}\left(\left(M+N\right)^{2}-M^{2}-N^{2}\right)$
et on applique les résultats précédents.\end{proof}
\begin{cor}
Si $B$ et $B'$ sont deux browniens indépendants, alors $\langle B,B'\rangle=0$.\end{cor}
\begin{proof}
Soit $Z=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(B+B'\right)$. C'est un mouvement
brownien. 
\begin{eqnarray*}
\langle Z,Z\rangle_{t} & = & t=\frac{1}{2}\langle B+B',B+B'\rangle\\
 & = & =\frac{1}{2}\left(\langle B,B\rangle_{t}+\langle B',B'\rangle_{t}\right)+\langle B,B'\rangle_{t}
\end{eqnarray*}
donc $\langle B,B'\rangle=0$.\end{proof}
\begin{prop}
\label{prop:Ind=0000E9galit=0000E9-de-Kunita-Watanabe}Inégalité de
Kunita-Watanabe (équivalent de Cauchy-Schwarz)

Soient $M,N$ deux martingales locales et $H,K$ deux processus mesurables.
Alors,
\[
\left(\int_{0}^{t}\left|H_{s}\right|\left|K_{s}\right|\left|d\langle M,N\rangle_{s}\right|\right)^{2}\leq\left(\int_{0}^{t}H_{s}^{2}d\langle M,M\rangle_{s}\right)\left(\int_{0}^{t}K_{s}^{2}d\langle N,N\rangle_{s}\right)
\]
\end{prop}
\begin{proof}
Posons $\langle M,N\rangle_{s}^{t}=\langle M,N\rangle_{t}-\langle M,N\rangle_{s}$
pour $s\leq t$. Presque sûrement, 
\begin{eqnarray*}
\left|\langle M,N\rangle_{s}^{t}\right|^{2} & = & \mathrm{lim}\left(\sum\left(M_{t_{k+1}}-M_{t_{k}}\right)\left(N_{t_{k+1}}-N_{t_{k}}\right)\right)\\
 & \leq & \langle M,M\rangle_{s}^{t}\langle N,N\rangle_{s}^{t}
\end{eqnarray*}
Donc
\begin{eqnarray*}
\int_{s}^{t}\left|d\langle M,N\rangle_{s}\right| & = & \mathrm{lim}\sum\left|\langle M,N\rangle_{t_{k}}^{t_{k+1}}\right|\\
 & \leq & \mathrm{limsup}\sum\left|\langle M,M\rangle_{t_{k}}^{t_{k+1}}\right|^{\frac{1}{2}}\left|\langle N,N\rangle_{t_{k}}^{t_{k+1}}\right|^{\frac{1}{2}}\\
 & \leq & \mathrm{limsup}\left(\sum\langle M,M\rangle_{t_{k}}^{t_{k+1}}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum\langle N,N\rangle_{t_{k}}^{t_{k+1}}\right)^{\frac{1}{2}}\\
 & = & \left(\int_{s}^{t}d\langle M,M\rangle_{s}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{s}^{t}d\langle N,N\rangle_{s}\right)^{\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}
donc $\left(\int_{A}\left|d\langle M,N\rangle_{s}\right|\right)^{2}\leq\left(\int_{A}d\langle M,M\rangle_{s}\right)\left(\int_{A}d\langle N,N\rangle_{s}\right)$
est vraie pour tout $A$ mesurable par un argument de classe monotone.
Si $H=\sum\lambda_{i}\mathds{1}_{A_{i}}$ et $K=\sum\mu_{i}\mathds{1}_{A_{i}}$
sont étagées positives, alors
\begin{eqnarray*}
\int H_{s}K_{s}\left|d\langle M,N\rangle_{s}\right| & = & \sum\lambda_{i}\mu_{i}\int_{A_{i}}\left|d\langle M,N\rangle_{s}\right|\\
 & \leq & \sum\lambda_{i}\mu_{i}\left(\int_{A_{i}}d\langle M,M\rangle_{s}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{A_{i}}d\langle N,N\rangle_{s}\right)^{\frac{1}{2}}\\
 & \overset{\mbox{Cauchy-Schwarz}}{\leq} & \left(\int H_{s}^{2}d\langle M,M\rangle_{s}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int K_{s}^{2}d\langle N,N\rangle_{s}\right)^{\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}
Pour conclure, on écrit $H,K$ comme limites croissantes de fonctions
étagées positives et on utilise le théorème de convergence monotone.
\end{proof}

\subsection{Semi-martingales continues}
\begin{defn}
On dit que $X$ est une semi-martingale continue si $X$ s'écrit $X=M+A$
avec $M$ martingale locale et $A$ à variation finie (la décomposition
étant unique). 

Si $X=M+A$ et $Y=N+B$ avec $M,N$ martingales locales et $A,B$
à variation finie, on pose $\langle X,Y\rangle=\langle M,N\rangle$.\end{defn}
\begin{prop}
Soit $0=t_{0}^{(n)}<\ldots<t_{n}^{(n)}=t$ une suite de subdivisions
dont le pas tend vers 0 et soit $X,Y$ deux semi-martingales. On a
:
\[
\langle X,Y\rangle=\underset{n\to\infty}{\mathrm{lim}}\sum_{k=0}^{n-1}\left(X_{t_{k+1}^{(n)}}-X_{t_{k}^{(n)}}\right)\left(Y_{t_{k+1}^{(n)}}-Y_{t_{k}^{(n)}}\right)
\]
\end{prop}
\begin{proof}
Pour simplifier l'écriture, on suppose $X=Y$. On écrit $X=M+A$ avec
$A$ à variation finie et $M$martingale locale.
\[
\sum\left(X_{t_{k+1}}-X_{t_{k}}\right)^{2}=\sum\left(M_{t_{k+1}}-M_{t_{k}}\right)^{2}+\sum\left(A_{t_{k+1}}-A_{t_{k}}\right)^{2}+2\sum\left(M_{t_{k+1}}-M_{t_{k}}\right)\left(A_{t_{k+1}}-A_{t_{k}}\right)
\]
Or, $\sum\left(M_{t_{k+1}}-M_{t_{k}}\right)^{2}\overset{\mathbb{P}}{\longrightarrow}\langle M,M\rangle_{t}=\langle X,X\rangle_{t}$.
On veut voir $\sum\left(A_{t_{k+1}}-A_{t_{k}}\right)^{2}\to0$.
\begin{eqnarray*}
\sum\left(A_{t_{k+1}^{(n)}}-A_{t_{k}^{(n)}}\right)^{2} & \leq & \underbrace{\mathrm{sup}\left|A_{t_{k+1}^{(n)}}-A_{t_{k}^{(n)}}\right|}\int_{0}^{t}\left|dA_{s}\right|\\
 &  & \quad\;\to0\mbox{ ps}
\end{eqnarray*}
par continuité des trajectoires. Donc on a convergence en probabilité
vers 0. De même,
\[
\sum\left|M_{t_{k+1}^{(n)}}-M_{t_{k}^{(n)}}\right|\left|A_{t_{k+1}^{(n)}}-A_{t_{k}^{(n)}}\right|\leq\mathrm{sup}_{k}\left|M_{t_{k+1}^{(n)}}-M_{t_{k}^{(n)}}\right|\int_{0}^{t}\left|dA_{s}\right|\overset{\mathbb{P}}{\longrightarrow}0
\]
 
\end{proof}

\section{Intégrale stochastique}


\subsection{Construction de l'intégrale stochastique}
\begin{defn}
Soit $\mathbb{H}$ l'espace des martingales $M$ continues bornées
dans $L^{2}$ (pour tout $M\in\mathbb{H}$, $\underset{t}{\mathrm{sup}}\mathbb{E}\left[M_{t}^{2}\right]<\infty$)
telles que $M_{0}=0$. On a vu que $M,N\in\mathbb{H}\implies\mathbb{E}\left[\left|\langle M,N\rangle_{\infty}\right|\right]<\infty$.
On définit la forme bilinéaire symétrique
\[
\left(M,N\right)_{\mathbb{H}}=\mathbb{E}\left[\langle M,N\rangle_{\infty}\right]=\mathbb{E}\left[M_{\infty}N_{\infty}\right]
\]
On a vu que $\left(M,M\right)_{\mathbb{H}}\geq0$ avec égalité si
et seulement si $M=0$. On note $\left\Vert M\right\Vert _{\mathbb{H}}=\left(M,M\right)_{\mathbb{H}}^{2}$.\end{defn}
\begin{prop}
L'espace $\left(\mathbb{H},\left(\cdot,\cdot\right)_{\mathbb{H}}\right)$
est un espace de Hilbert.\end{prop}
\begin{proof}
Il est clair que $\mathbb{H}$ est un espace vectoriel et que $\left(\cdot,\cdot\right)_{\mathbb{H}}$
est un produit scalaire. Il faut vérifier que $\mathbb{H}$ est complet
pour $\left\Vert \cdot\right\Vert _{\mathbb{H}}$. Soit $\left(M^{(n)}\right)$
une suite de Cauchy dans $\mathbb{H}$. C'est équivalent à dire que
$\left(M_{\infty}^{(n)}\right)$ est de Cauchy dans $L^{2}$, donc
$M_{\infty}^{(n)}$ converge dans $L^{2}$ vers $M_{\infty}\in L^{2}$.
Par l'inégalité de Doob,
\[
\mathbb{E}\left[\underset{t\geq0}{\mathrm{sup}}\left|M_{t}^{(m)}-M_{t}^{(n)}\right|^{2}\right]\leq4\mathbb{E}\left[\left(M_{\infty}^{(m)}-M_{\infty}^{(n)}\right)^{2}\right]\underset{m,n\to\infty}{\longrightarrow}0
\]
On peut extraire une sous-suite telle que
\[
\mathbb{E}\left[\sum_{k=0}^{+\infty}\underset{t>0}{\mathrm{sup}}\left|M_{t}^{(n_{k+1})}-M_{t}^{(n_{k})}\right|\right]<+\infty
\]
Presque sûrement,
\[
\sum_{k=0}^{+\infty}\underset{t\geq0}{\mathrm{sup}}\left|M_{t}^{(n_{k+1})}-M_{t}^{(n_{k})}\right|<+\infty
\]
Donc $M^{(n_{k})}$ converge uniformément sur $\mathbb{R}_{+}$ vers
une limite, notée $M$. $M$ est donc continue comme limite uniforme
de fonctions continues. $M_{t}^{(n_{k})}\underset{k\to\infty}{\longrightarrow}M_{t}$
dans $L^{2}$. En particulier, $M_{t}\in L^{2}$ et $M_{t}^{(n_{k})}=\mathbb{E}\left[M_{s}^{(n_{k})}\mid\mathcal{F}_{t}\right]$
pour $t\leq s$ et $M_{t}=\mathbb{E}\left[M_{s}\mid\mathcal{F}_{t}\right]$
donc $M$ est une martingale et $M_{t}=\mathbb{E}\left[M_{\infty}\mid\mathcal{F}_{t}\right]$.
Par Doob,
\[
\mathbb{E}\left[\underset{t\geq0}{\mathrm{sup}}\left|M_{t}^{2}\right|\right]\leq4\mathbb{E}\left[M_{\infty}^{2}\right]
\]
 donc $\left(M_{t}\right)$ est uniformément bornée dans $L^{2}$
et on a bien
\[
\left\Vert M^{(n)}-M\right\Vert _{\mathbb{H}}^{2}=\mathbb{E}\left[\left(M_{\infty}^{(n)}-M_{\infty}\right)^{2}\right]\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0
\]
\end{proof}
\begin{defn}
Pour $M\in\mathbb{H}$, on pose 
\[
L^{2}\left(M\right):=L^{2}\left(\Omega\times\mathbb{R}_{+},Prog,d\mathbb{P}\otimes d\langle M,M\rangle\right)
\]
$L^{2}\left(M\right)$ est l'espace des processus progressifs tels
que $\mathbb{E}\left[\int_{0}^{+\infty}H_{s}^{2}d\langle M,M\rangle_{s}\right]<+\infty$.
C'est un espace de Hilbert pour le produit scalaire
\[
\left(H,K\right)_{L^{2}\left(M\right)}=\mathbb{E}\left[\int_{0}^{+\infty}H_{s}K_{s}d\langle M,M\rangle_{s}\right]
\]

\end{defn}
$ $
\begin{defn}
On note $\mathscr{E}$ le sous-espace de $L^{2}\left(M\right)$ formée
des processus de la forme $H_{s}\left(\omega\right)={\displaystyle \sum_{k=0}^{p-1}H^{(k)}(\omega)\mathds{1}_{]t_{k},t_{k+1}]}(s)}$
où $0<t_{0}<\ldots<t_{p}$ et $H^{(k)}$ est $\mathcal{F}_{t_{k}}$-mesurable
et borné pour tout $k$.\end{defn}
\begin{prop}
Pour tout $M\in\mathbb{H}$, l'espace $\mathscr{E}$ est dense dans
$L^{2}\left(M\right)$.\end{prop}
\begin{proof}
Il suffit de montrer que $\mathscr{E}^{\perp}=\left\{ 0\right\} $.
Soit $K\in\mathscr{E}^{\perp}$. On pose 
\[
X_{t}:=\int_{0}^{t}K_{u}d\langle M,M\rangle_{u}
\]
On vérifie que $\left(X_{t}\right)_{t}\subset L^{1}$.
\[
\mathbb{E}\left[\left|X_{t}\right|\right]\overset{\mbox{CS}}{\leq}\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}K_{u}^{2}d\langle M,M\rangle_{u}\right]^{\frac{1}{2}}\times\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}d\langle M,M\rangle_{u}\right]^{\frac{1}{2}}<+\infty
\]
Donc $X_{t}\in L^{1}$. Soit $0\leq s<t$ et soit $F$ une variable
aléatoire $\mathcal{F}_{s}$-mesurable bornée et soit $H_{s}\left(\omega\right):=F\left(\omega\right)\mathds{1}_{]s,t]}\left(u\right)$.
On a $\left(H,K\right)_{L^{2}\left(M\right)}=0$ ie $\mathbb{E}\left[F\int_{s}^{t}K_{u}d\langle M,M\rangle_{u}\right]=0$
d'où $\mathbb{E}\left[F\left(X_{t}-X_{s}\right)\right]=0$ pour tout
$F$ $\mathcal{F}_{s}$-mesurable bornée et $\mathbb{E}\left[F\left(X_{t}-X_{s}\right)\right]=0$
et $\mathbb{E}\left[X_{t}\mid\mathcal{F}_{s}\right]=X_{S}$ : $\left(X_{t}\right)_{t}$
est une martingale à variation finie car $\int_{0}^{t}\left|K_{u}\right|d\langle M,M\rangle_{u}<+\infty$.
Donc $X=0$ ie pour tout $t$,
\[
\int_{0}^{t}K_{u}d\langle M,M\rangle_{u}=0
\]
 d'où $K=0$ dans $L^{2}\left(M\right)$.\end{proof}
\begin{thm}
\label{thm:intsto}Soit $M\in\mathbb{H}$. Pour tout $H\in\mathscr{E}$
de la forme 
\[
H_{s}\left(\omega\right)=\sum_{k=0}^{p-1}H^{(k)}\left(\omega\right)\mathds{1}_{]t_{k},t_{k+1}]}\left(s\right)
\]
(comme précédemment), on définit le processus $H\cdot M$ par
\[
\left(H\cdot M\right)_{t}=\sum_{k=0}^{p-1}H^{(k)}\left(M_{t_{k+1}\wedge t}-M_{t_{k}\wedge t}\right)
\]


1) L'application $H\mapsto H\cdot M$ s'étend en une isométrie de
$L^{2}\left(M\right)$ dans $\mathbb{H}$.

2) Le processus $H\cdot M$ est caractérisé par :
\[
\forall N\in\mathbb{H},\quad\langle H\cdot M,N\rangle=H\cdot\langle M,N\rangle=\int H_{s}d\langle M,N\rangle_{s}
\]


3) Si $T$ est un temps d'arrêt, alors $\left(\mathds{1}_{\left[0,T\right]}H\right)\cdot M=\left(H\cdot M\right)^{T}=H\cdot\left(M^{T}\right)$. \end{thm}
\begin{defn}
On note $\left(H\cdot M\right)_{t}=\int_{0}^{t}H_{s}dM_{s}$ l'intégrale
stochastique.\end{defn}
\begin{proof}
1) $H\cdot M$ est bien une martingale, bornée dans $L^{2}$, continue
: $H\cdot M\in\mathbb{H}$. $H\mapsto H\cdot M$ est linéaire. Il
reste à voir la propriété d'isométrie, ie
\[
\left\Vert H\cdot M\right\Vert _{\mathbb{H}}=\left\Vert H\right\Vert _{L^{2}\left(M\right)}
\]


$\langle H\cdot M,H\cdot M\rangle_{t}={\displaystyle \sum_{k=0}^{p-1}\left(H^{(k)}\right)^{2}\left(\langle M,M\rangle_{t\wedge t_{k+1}}-\langle M,M\rangle_{t\wedge t_{k}}\right)}$.
\begin{eqnarray*}
\left\Vert H\cdot M\right\Vert _{\mathbb{H}}^{2} & = & \mathbb{E}\left[\langle H\cdot M,H\cdot M\rangle_{\infty}\right]\\
 & = & \mathbb{E}\left[\sum_{k=0}^{p-1}\left(H^{(k)}\right)^{2}\left(\langle M,M\rangle_{t_{k+1}}-\langle M,M\rangle_{t_{k}}\right)\right]\\
 & = & \mathbb{E}\left[\int H_{s}^{2}d\langle M,M\rangle_{s}\right]
\end{eqnarray*}
car $s\mapsto\langle M,M\rangle_{s}$ est continue. Donc
\begin{eqnarray*}
\left\Vert H\cdot M\right\Vert _{\mathbb{H}}^{2} & = & \left\Vert H\right\Vert _{L^{2}\left(M\right)^{2}}^{2}
\end{eqnarray*}
L'espace d'arrivée $\mathbb{H}$ est complet et $\mathscr{E}$ est
dense dans $L^{2}\left(M\right)$ donc on peut étendre l'isométrie
$H\mapsto H\cdot M$ à tout $L^{2}\left(M\right)$.

2) On vérifie que c'est vrai pour les processus élémentaires. On prend
$H$ de la forme habituelle. On a :
\begin{eqnarray*}
\langle H\cdot M,N\rangle_{t} & = & \sum_{k=0}^{p-1}H^{(k)}\left(\langle M,N\rangle_{t\wedge t_{k+1}}-\langle M,N\rangle_{t\wedge t_{k}}\right)\\
 & = & \int_{0}^{t}H_{s}d\langle M,N\rangle_{s}
\end{eqnarray*}
et $s\mapsto\langle M,N\rangle_{s}$ continue donc $\langle H\cdot M,M\rangle_{t}=\left(H\cdot\langle M,N\rangle\right)_{t}$.
Pour voir que le propriété reste vraie pour tout $H\in L^{2}\left(M\right)$,
on observe que $X\mapsto\langle X,N\rangle_{t}$ est continue de $\mathbb{H}$
dans $L^{1}$. En effet, par l'inégalité de Kunita-Watanabe \ref{prop:Ind=0000E9galit=0000E9-de-Kunita-Watanabe},
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\left|\langle X,N\rangle_{t}\right|\right] & \leq & \mathbb{E}\left[\langle X,X\rangle_{t}\right]^{\frac{1}{2}}\mathbb{E}\left[\langle N,N\rangle_{t}\right]^{\frac{1}{2}}\\
 & \leq & \left\Vert X\right\Vert _{\mathbb{H}}\left\Vert N\right\Vert _{\mathbb{H}}
\end{eqnarray*}
Si $H^{(n)}\in\mathscr{E}$ est tel que $H^{(n)}\to H$ dans $L^{2}\left(M\right)$
alors $H^{(n)}\cdot M\to H\cdot M$ dans $\mathbb{H}$ et donc $\langle H^{(n)}\cdot M,N\rangle_{t}\to\langle H\cdot M,N\rangle_{t}$
dans $L^{1}$.
\begin{eqnarray*}
\langle H\cdot M,N\rangle & = & \underset{n\to+\infty}{\mathrm{lim}}\langle H^{(n)}\cdot M,N\rangle\\
 & = & \underset{n\to+\infty}{\mathrm{lim}}H^{(n)}\cdot\langle M,N\rangle\\
 & = & H\cdot\langle M,N\rangle
\end{eqnarray*}
Il reste à vérifier $H\cdot\langle M,N\rangle=\mathrm{lim}H^{(n)}\langle M,N\rangle$.
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\left|\int_{0}^{t}\left(H^{(n)}-H\right)d\langle M,N\rangle_{s}\right|\right] & \leq & \mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}\left(H^{(n)}-H\right)^{2}d\langle M,M\rangle_{s}\right]^{\frac{1}{2}}\mathbb{E}\left[\langle N,N\rangle_{t}\right]^{\frac{1}{2}}\\
 & \leq & \left\Vert H^{(n)}-H\right\Vert _{L^{2}\left(M\right)}\left\Vert N\right\Vert _{\mathbb{H}}
\end{eqnarray*}
Voyons que si $X\in\mathbb{H}$ est tel que pour tout $N\in\mathbb{H}$,
$\langle X,N\rangle=H\cdot\langle M,N\rangle$ alors $X=H\cdot M$.
Dans ce cas, on a
\[
\langle X-H\cdot M,N\rangle,\quad\forall N\in\mathbb{H}
\]
 On peut prendre $N=X-H\cdot M$ et on obtient $\left\Vert X-H\cdot M\right\Vert _{\mathbb{H}}=0$
d'où $X=H\cdot M$.

3) Soit $T$ un temps d'arrêt. Pour tout $N\in\mathbb{H}$, 
\begin{eqnarray*}
\langle\left(H\cdot M\right)^{T},N\rangle_{t} & = & \langle H\cdot M,N\rangle_{t\wedge T}\\
 & = & \left(H\cdot\langle M,N\rangle\right)_{t\wedge T}\\
 & = & \left(H\mathds{1}_{\left[0,T\right]}\cdot\langle M,N\rangle\right)_{t}
\end{eqnarray*}
Donc $\left(H\cdot M\right)^{T}=\left(H\mathds{1}_{\left[0,T\right]}\right)\cdot M$.
De la même façon, 
\begin{eqnarray*}
\langle H\cdot M^{T},N\rangle & = & \left(H\cdot\langle M^{T},N\rangle\right)_{t}\\
 & = & H\cdot\left(\langle M,N\rangle^{T}\right)\\
 & = & H\mathds{1}_{\left[0,T\right]}\cdot\langle M,N\rangle
\end{eqnarray*}
Donc $H\cdot\left(M^{t}\right)=\left(H\mathds{1}_{\left[0,T\right]}\right)\cdot M$.\end{proof}
\begin{rem*}
On peut utiliser la propriété \ref{thm:intsto} 2) pour définir l'intégrale
stochastique en utilisant le théorème de Riesz. On peut réécrire cette
propriété sous la forme
\[
\left\langle \int_{0}^{\cdot}H_{s}dM_{s},N\right\rangle _{t}=\int_{0}^{t}H_{s}d\langle M,N\rangle_{s}
\]
\end{rem*}
\begin{prop}
Associativité. Soit $M\in\mathbb{H}$. Si $K\in L^{2}\left(M\right)$
et $H\in L^{2}\left(K\cdot M\right)$. Alors, $HK\in L^{2}\left(M\right)$
et $HK\cdot M=H\cdot\left(K\cdot M\right)$.\end{prop}
\begin{proof}
D'après la propriété caractéristique \ref{thm:intsto} 2), on a
\begin{eqnarray*}
\langle K\cdot M,K\cdot M\rangle & = & K\cdot\langle M,K\cdot M\rangle\\
 & = & K\cdot\left(K\cdot\langle M,M\rangle\right)\\
 & = & K^{2}\cdot\langle M,M\rangle
\end{eqnarray*}
Donc ${\displaystyle \int_{0}^{+\infty}H_{s}^{2}K_{s}^{2}d\langle M,M\rangle_{s}=\int_{0}^{+\infty}H_{s}^{2}d\langle K\cdot M,K\cdot M\rangle_{s}}$.
Comme $H\in L^{2}\left(K\cdot M\right)$, on a bien $HK\in L^{2}\left(M\right)$.
Soit $N\in\mathbb{H}$. On a
\begin{eqnarray*}
\langle\left(HK\right)\cdot M,N\rangle & = & \left(HK\right)\cdot\langle M,N\rangle\\
 & = & H\cdot\left(K\cdot\langle M,N\rangle\right)
\end{eqnarray*}
par associativité de l'intégrale contre les processus à variation
finie).
\begin{eqnarray*}
\langle\left(HK\right)\cdot M,N\rangle & = & H\cdot\langle K\cdot M,N\rangle
\end{eqnarray*}
ce qui montre $\left(HK\right)\cdot M=H\cdot\left(K\cdot M\right)$.
\end{proof}
De manière informelle,
\[
\int_{0}^{t}H_{s}d\left(\int_{0}^{\cdot}K_{u}dM_{u}\right)_{s}=\int_{0}^{t}H_{s}K_{s}dM_{s}
\]
On a aussi
\begin{eqnarray*}
\left\langle \int_{0}^{\cdot}H_{s}dM_{s},\int_{0}^{\cdot}K_{s}dN_{s}\right\rangle _{t} & = & \int_{0}^{t}H_{s}d\left(\left\langle M,\int_{0}^{\cdot}K_{u}dN_{u}\right\rangle \right)_{s}\\
 & = & \int_{0}^{t}H_{s}d\left(\int_{0}^{\cdot}K_{u}d\langle M,N\rangle_{u}\right)_{s}\\
 & = & \int_{0}^{t}H_{s}K_{s}d\langle M,N\rangle_{s}
\end{eqnarray*}
 Pour tout $M,N\in\mathbb{H}$ et $H\in L^{2}\left(M\right),$ $N\in L^{2}\left(N\right)$,
\[
\left\langle \int_{0}^{\cdot}H_{s}dM_{s},\int_{0}^{\cdot}K_{s}dN_{s}\right\rangle _{t}=\int_{0}^{t}H_{s}K_{s}d\langle M,N\rangle_{s}
\]
Comme $H\cdot M$ est une martingale bornée dans $L^{2}$ : $\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}H_{s}dM_{s}\right]=0$.
Si $s\leq t$,
\[
\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}H_{u}dM_{u}\mid\mathcal{F}_{s}\right]=\int_{0}^{s}H_{u}dM_{u}
\]
\[
\mathbb{E}\left[\left(\int_{0}^{t}H_{u}dM_{u}\right)^{2}\right]=\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}H_{s}^{2}d\langle M,M\rangle_{s}\right]
\]
et plus généralement,
\[
\mathbb{E}\left[\left(\int_{0}^{t}H_{s}dM_{s}\right)\left(\int_{0}^{t}K_{s}dN_{s}\right)\right]=\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}H_{s}K_{s}d\langle M,N\rangle_{s}\right]
\]



\subsubsection*{Extension de l'intégrale stochastique}

Soit $M$ une martingale locale issue de 0. On note $L_{\mathrm{loc}}^{2}\left(M\right)$
l'espace des processus progressifs $H$ tels que, presque sûrement,
$\forall t\ge0$, $\int_{0}^{t}H_{s}^{2}d\langle M,M\rangle_{s}<+\infty$.
On note $L^{2}\left(M\right)$ l'espace des processus tels que $\mathbb{E}\left[\int_{0}^{+\infty}H_{s}^{2}d\langle M,M\rangle_{s}\right]<+\infty$.
\begin{thm}
Soit $M$ martingale locale issue de 0. pour tout $H\in L_{\mathrm{loc}}^{2}\left(M\right)$,
il existe une unique martingale locale $H\cdot M$ tel que, pour tout
$N$ martingale locale,
\[
\langle H\cdot M,N\rangle=H\cdot\langle M,N\rangle
\]
Si $T$ est un temps d'arrêt, on a :
\[
\left(\mathds{1}_{\left[0,T\right]}H\right)\cdot M=\left(H\cdot M\right)^{T}=H\cdot\left(M^{T}\right)
\]
Si $K\in L_{\mathrm{loc}}^{2}\left(M\right)$ et $L\in L_{\mathrm{loc}}^{2}\left(K\cdot M\right),$
alors $HK\in L_{\mathrm{loc}}^{2}\left(M\right)$ et 
\[
\left(HK\right)\cdot M=H\cdot\left(K\cdot M\right)
\]
Si $M\in\mathbb{H}$, alors $H\cdot M$ coïncide avec la définition
précédente.\end{thm}
\begin{proof}
Soit $T_{n}=\mathrm{inf}\left\{ t\geq0,\;{\displaystyle \int_{0}^{t}\left(1+H_{s}^{2}\right)d\langle M,M\rangle_{s}}\geq n\right\} \leq\mathrm{inf}\left\{ t\geq0,\;\int_{0}^{t}H_{s}^{2}d\langle M,M\rangle_{s}\geq n\mbox{ ou }\langle M,M\rangle_{t}\geq n\right\} $.
Presque sûrement, $T_{n}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}+\infty$
, temps d'arrêt.
\[
\langle M^{T_{n}},M^{T_{n}}\rangle=\langle M,M\rangle_{t\wedge T_{n}}\leq n
\]
donc $M^{T_{n}}\in\mathbb{H}$.
\[
\int_{0}^{+\infty}H_{s}^{2}d\langle M^{T_{n}},M^{T_{n}}\rangle_{s}=\int_{0}^{T_{n}}H_{s}^{2}\langle M,M\rangle_{s}\leq n
\]
donc $H\in L^{2}\left(M^{T_{n}}\right)$. L'intégrale stochastique
$H\cdot M^{T_{n}}$ est bien définie. Si $m>n$,
\[
\left(H\cdot M^{T_{m}}\right)^{T_{n}}=H\cdot\left(M^{T_{m}\wedge T_{n}}\right)=H\cdot\left(M^{T_{n}}\right)
\]
Donc il existe un unique processus $H\cdot M$ tel que $\left(H\cdot M\right)^{T_{n}}=H\cdot\left(M^{T_{n}}\right)$.
On sait que $\left(H\cdot M\right)^{T_{n}}$ est une martingale uniformément
intégrable et $T_{n}\nearrow+\infty$ donc $H\cdot M$ est une martingale
locale. Soit $N$ une martingale locale, qu'on suppose issue de 0
sans perte de généralité. Soit $T_{n}'=\mathrm{inf}\left\{ t\geq0\mid\left|N_{t}\right|\geq n\right\} $
et on définit $S_{n}=T_{n}\wedge T_{n}'$.
\begin{eqnarray*}
\langle H\cdot M,N\rangle^{S_{n}} & = & \langle\left(H\cdot M\right)^{T_{n}},N^{S_{n}}\rangle\\
 & = & \langle H\cdot\left(M^{T_{n}}\right),N^{S_{n}}\rangle\\
 &  & \;\;\in\mathbb{H}\;\,\in\mathbb{H}\\
 & = & H\cdot\langle M^{T_{n}},N^{S_{n}}\rangle
\end{eqnarray*}
par la propriété caractéristique \ref{thm:intsto} 2), d'où
\begin{eqnarray*}
\langle H\cdot M,N\rangle^{S_{n}} & = & H\cdot\langle M^{T_{n}},N^{S_{n}}\rangle\\
 & = & H\cdot\langle M,N\rangle^{S_{n}}\\
 & = & \left(H\cdot\langle M,N\rangle\right)^{S_{n}}
\end{eqnarray*}
On a bien vérifié $\langle H\cdot M,N\rangle=H\cdot\langle M,N\rangle$
car $S_{n}\to+\infty$ presque sûrement. De même on montre que si
$n\in\mathbb{H}$, $\langle\left(H\cdot M\right)^{T_{n}},N\rangle=H\cdot\langle M^{T_{n}},N\rangle$
caractérise $\left(H\cdot M\right)^{T_{n}}$pour tout $n$. 

Les autres propriétés se démontrent de même par localisation.\end{proof}
\begin{rem*}
Par la propriété caractéristique \ref{thm:intsto} 2),
\[
\langle H\cdot M,H\cdot M\rangle=H\cdot\langle M,H\cdot M\rangle=H^{2}\cdot\langle M,M\rangle
\]
Si $\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}H_{s}^{2}d\langle M,M\rangle_{s}\right]<+\infty$
alors $\left(H\cdot M\right)^{t}$ est une martingale uniformément
intégrable et $\left(\left(H\cdot M\right)^{t}\right)^{2}-\langle H\cdot M,H\cdot M\rangle$
aussi. En particulier, on a alors bien
\[
\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}H_{s}dM_{s}\right]=0
\]
et
\[
\mathbb{E}\left[\left(\int_{0}^{t}H_{s}dM_{s}\right)^{2}\right]=\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}H_{s}^{2}d\langle M,M\rangle_{s}\right]
\]
L'égalité n'est pas vraie en générale mais on a toujours :
\[
\mathbb{E}\left[\left(\int_{0}^{t}H_{s}dM_{s}\right)^{2}\right]\leq\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}H_{s}^{2}d\langle M,M\rangle_{s}\right]
\]

\end{rem*}
On peut finalement définir l'intégrale par rapport à une semi-martingale.
On dit qu'un processus progressif $H$ est localement borné si, presque
sûrement, pour tout $t\geq0$, $\underset{0\leq s\leq t}{\mathrm{sup}}\left|H_{s}\right|<+\infty$.
En particulier, tout processus adapté et continu est localement borné.
Si $H$ est localement borné et $A$ est à variation finie, alors
${\displaystyle \int_{0}^{t}H_{s}\left|dA_{s}\right|}<+\infty$ et
si $M$ est une martingale locale, on a aussi 
\[
\int_{0}^{t}H_{s}^{2}d\langle M,M\rangle_{s}<+\infty
\]
ie $H\in L_{\mathrm{loc}}^{2}\left(M\right)$.
\begin{defn}
Soit $X=M+A$ une semi-martingale où $M$ est une martingale locale
et $A$ à variation finie. Pour tout processus $H$ localement borné,
on pose :
\[
H\cdot X=H\cdot M+H\cdot A
\]
\[
\left(H\cdot X\right)_{t}=\int_{0}^{t}H_{s}dX_{s}
\]
\end{defn}
\begin{prop}
1) $\left(HK\right)\cdot X=H\left(K\cdot X\right)$

2) Pour tout $T$ temps d'arrêt, $\left(\mathds{1}_{\left[0,T\right]}H\right)\cdot X=H\cdot\left(X^{T}\right)=\left(H\cdot X\right)^{T}$

3) Si $X$ est une martingale locale (resp. à variation finie) alors
$H\cdot X$ est une martingale locale (resp. à variation finie).

4) Si $H_{s}={\displaystyle \sum_{k=0}^{p-1}H^{(k)}\mathds{1}_{\left\{ t_{k}<s\leq t_{k+1}\right\} }}$
avec $H^{(k)}$ $\mathcal{F}_{t_{k}}$-mesurable (pas nécessairement
borné) alors
\[
\left(H\cdot X\right)_{t}=\sum_{k=0}^{p-1}H^{(k)}\left(X_{t\wedge t_{k+1}}-X_{t\wedge t_{k}}\right)
\]
\end{prop}
\begin{proof}
1),2),3) découlent des propriétés vues précédemment.

4) n'est pas immédiat car on a enlevé l'hypothèse $H^{(k)}$ bornés.
on peut supposer $X=M$ martingale locale issue de 0, on peut supposer
que $M$ est bornée par localisation.

Soit $T_{n}=\mathrm{inf}\left\{ t\geq0,\;\left|H_{t}\right|\geq n\right\} =\mathrm{inf}\left\{ t_{k},\;\left|H^{(k)}\right|\geq n\right\} $.
Presque sûrement, $T_{n}\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}+\infty$
et 
\[
H_{s}\mathds{1}_{\left[0,T_{n}\right]}=\sum_{k=0}^{p-1}H^{(k,n)}\mathds{1}_{\left\{ t_{k}<s\leq t_{k+1}\right\} }
\]
et
\[
H^{(k,n)}=H^{(k)}\mathds{1}_{\left\{ T_{n}<t_{k}\right\} }\leq n
\]
donc $H\mathds{1}_{\left[0,T_{n}\right]}$ est un processus élémentaire.
On a
\begin{eqnarray*}
\left(H\cdot M\right)_{t\wedge T_{n}} & = & \left(\left(H\mathds{1}_{\left[0,T_{n}\right]}\right)\cdot M\right)_{t}\\
 & = & \sum_{k=0}^{p-1}H^{(k,n)}\mathds{1}_{\left\{ t_{k}<s\leq t_{k+1}\right\} }
\end{eqnarray*}
 et on conclut en faisant tendre $n$ vers $+\infty$.\end{proof}
\begin{prop}
Soit $X$ une semi-martingale et $H$ adapté continu. Soit $0=t_{0}^{(n)}<\ldots t_{n}^{(n)}=t$
subdivision dont le pas tend vers 0. On a
\[
\int_{0}^{t}H_{s}dX_{s}=\underset{n\to\infty}{\mathrm{lim}}\sum_{k=0}^{n-1}H_{t_{k}^{(n)}}\left(X_{t_{k+1}^{(n)}}-X_{t_{k}^{(n)}}\right)
\]
au sens de la convergence en probabilité.\end{prop}
\begin{proof}
$X=M+A$. La partie faisant intervenir $A$ est OK. Soit
\[
H_{s}^{(n)}=\begin{cases}
H_{t_{k}^{(n)}} & \mbox{si }t_{k}^{(n)}<s\le t_{k+1}^{(n)}\\
0 & \mbox{si }s=0\mbox{ ou }s\geq t
\end{cases}
\]
Soit $T_{p}=\mathrm{inf}\left\{ s\geq0,\;\left|H_{s}\right|+\langle M,M\rangle_{s}\geq p\right\} $.
$H$, $H^{(n)}$ et $\langle M,M\rangle$ sont bornés sur $\left[0,T_{p}\right]$.
On a :
\[
\mathbb{E}\left[\left(\left(H^{(n)}\cdot M^{T_{p}}\right)_{t}-\left(H\cdot M^{T_{p}}\right)_{t}\right)^{2}\right]\leq\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t\wedge T_{p}}\left(H_{s}^{(n)}-H_{s}\right)^{2}d\langle M,M\rangle_{s}\right]
\]
Or, $H_{s}^{(n)}-H_{s}\to0$ presque sûrement donc $\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t\wedge T_{p}}\left(H_{s}^{(n)}-H_{s}\right)^{2}d\langle M,M\rangle_{s}\right]\to0$
par le théorème de convergence dominée. Donc $\underset{n\to\infty}{\mathrm{lim}}\left(H^{(n)}\cdot\left(M^{T_{p}}\right)\right)_{t}=\left(H\cdot M^{T_{p}}\right)_{t}$
dans $L^{2}$.
\[
\left(H^{(n)}\cdot M\right)_{t\wedge T_{p}}\overset{L^{2}}{\longrightarrow}\left(H\cdot M\right)_{t\wedge T_{p}}
\]
De plus, $\mathbb{P}\left(T_{p}>t\right)\underset{p\to\infty}{\longrightarrow}1$.
Donc $\left(H^{(n)}\cdot M\right)_{t}\overset{\left(\mathbb{P}\right)}{\longrightarrow}\left(H\cdot M\right)_{t}$.\end{proof}
\begin{rem*}
Le résultat n'est pas vrai si on remplace $H_{t_{k}}$ par $H_{t_{k+1}}$.
Pour le voir, on peut prendre $H=X$ :
\[
\sum X_{t_{k+1}}\left(X_{t_{k+1}}-X_{t_{k}}\right)=\sum X_{t_{k}}\left(X_{t_{k+1}}-X_{t_{k}}\right)+\sum\left(X_{t_{k+1}}-X_{t_{k}}\right)^{2}
\]
donc
\[
\mathrm{lim}\sum X_{t_{k+1}}\left(X_{t_{k+1}}-X_{t_{k}}\right)\overset{(\mathbb{P})}{=}\int_{0}^{t}X_{s}dX_{s}+\langle X,X\rangle_{t}
\]
\[
X_{t}^{2}-X_{0}^{2}=2\int_{0}^{t}X_{s}dX_{s}+\langle X,X\rangle_{t}
\]
(cas particulier de la formule d'Itô).
\end{rem*}

\subsection{Formule d'Itô}

La formule d'Itô est un équivalent du théorème fondamental de l'analyse
pour l'intégrale stochastique. On peut aussi l'interpréter comme une
sorte de formule de Taylor pour le calcul stochastique.
\begin{thm}
Formule d'Itô.\label{thm:Formule-d'It=0000F4.}

1) Soit $X$ une semi-martingale et $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ de
classe $C^{2}$. Alors,
\[
f\left(X_{t}\right)=f\left(X_{0}\right)+\int_{0}^{t}f'\left(X_{s}\right)dX_{s}+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}f"\left(X_{s}\right)d\langle X,X\rangle_{s}
\]


2) Plus généralement, si $X^{(1)},\ldots,X^{(p)}$ sont des semi-martingales
et $F:\mathbb{R}^{p}\to\mathbb{R}$ est $C^{2}$, alors
\begin{eqnarray*}
F\left(X_{t}^{(1)},\ldots,X_{t}^{(p)}\right) & = & F\left(X_{0}^{(1)},\ldots,X_{t}^{(p)}\right)+\sum_{i=1}^{p}\int_{0}^{t}\frac{\partial F}{\partial x_{i}}\left(X_{s}^{(1)},\ldots,X_{s}^{(p)}\right)dX_{s}^{(i)}\\
 &  & +\frac{1}{2}\sum_{1\leq i,j\leq p}\int_{0}^{t}\frac{\partial^{2}F}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\left(X_{s}^{(1)},\ldots,X_{s}^{(p)}\right)d\langle X^{(i)},X^{(j)}\rangle_{s}
\end{eqnarray*}
\end{thm}
\begin{rem*}
En particulier, $f\left(X_{t}\right)$ est une semi-martingale et
la formule d'Itô donne la décomposition.\end{rem*}
\begin{proof}
On traite d'abord 1). Soit $0=t_{0}^{(n)}<\ldots<t_{n}^{(n)}=t$ une
suite de subdivision dont le pas tend vers 0.
\[
f\left(X_{t}\right)-f\left(X_{0}\right)=\sum_{k=0}^{n-1}f\left(X_{t_{k+1}^{(n)}}\right)-f\left(X_{t_{k}^{(n)}}\right)
\]
Par la formule de Taylor-Lagrange,
\[
f\left(X_{t_{k+1}^{(n)}}\right)-f\left(X_{t_{k}^{(n)}}\right)=f'\left(X_{t_{k}^{(n)}}\right)\left(X_{t_{k+1}^{(n)}}-X_{t_{k}^{(n)}}\right)+\frac{1}{2}f"_{n,k}\left(X_{t_{k+1}^{(n)}}-X_{t_{k}^{(n)}}\right)^{2}
\]
où $f"_{n,k}=f"\left(z_{n,k}\right)$ pour un $z_{n,k}$ entre $X_{t_{k}^{(n)}}$
et $X_{t_{k+1}^{(n)}}$. On a bien :
\[
\sum_{k=0}^{n-1}f'\left(X_{t_{k}^{(n)}}\right)\left(X_{t_{k+1}^{(n)}}-X_{t_{k}^{(n)}}\right)\overset{\left(\mathbb{P}\right)}{\longrightarrow}\int_{0}^{t}f'\left(X_{s}\right)dX_{s}
\]
Il reste à voir :
\[
\sum_{k=0}^{n-1}f"_{n,k}\left(X_{t_{k+1}^{(n)}}-X_{t_{k}^{(n)}}\right)^{2}\overset{\left(\mathbb{P}\right)}{\longrightarrow}\int_{0}^{t}f"\left(X_{s}\right)d\langle X,X\rangle_{s}
\]
Définissons pour $m\leq n$,
\[
I_{m,n}:=\sum_{k=0}^{m-1}f"_{m,k}\sum_{l:t_{k}^{(m)}\leq t_{l}^{(n)}<t_{k+1}^{(m)}}\left(X_{t_{l+1}^{(n)}}-X_{t_{l}^{(n)}}\right)^{2}
\]
On a :
\[
I_{m,n}\overset{\left(\mathbb{P}\right)}{\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}}\int_{0}^{t}h_{m}\left(s\right)d\langle X,X\rangle_{s}\underset{m\to\infty}{\overset{\left(\mathbb{P}\right)}{\longrightarrow}}\int_{0}^{t}f"\left(X_{s}\right)d\langle X,X\rangle_{s}
\]
où $h_{m}\left(s\right)=f"_{m,k}$ si $t_{k}^{(m)}\leq s<t_{k+1}^{(m)}$.
En effet, presque sûrement, on a $h_{m}\left(s\right)\to f"\left(X_{s}\right)$
uniformément sur $\left[0,t\right]$ car presque sûrement, $\mathrm{sup}\left|X_{s}\right|<+\infty$.
On souhaite justifier que 
\begin{equation}
\forall\varepsilon>0,\,\exists n_{0}\in\mathbb{N}\,:\, n_{0}\leq m\leq n\implies\mathbb{P}\left(\left|I_{m,n}-I_{n,n}\right|\geq\varepsilon\right)\leq\varepsilon\label{eq:123}
\end{equation}
Voyons déjà que (\ref{eq:123}) suffit pour conclure.

Pour tout $m\geq m_{1}$, $\mathbb{P}\left(\left|\int_{0}^{t}h_{m}\left(s\right)d\langle X,X\rangle_{x}-\int_{0}^{t}f"\left(X_{s}\right)d\langle X,X\rangle_{s}\right|\geq\varepsilon\right)\leq\varepsilon$
et on a
\[
\left|I_{n,n}-\int_{0}^{t}f"\left(X_{s}\right)dX_{s}\right|\leq\left|I_{n,n}-I_{m,n}\right|+\left|I_{m,n}-\int_{0}^{t}h_{m}\left(s\right)d\langle X,X\rangle_{s}\right|+\left|\int_{0}^{t}h_{m}\left(s\right)d\langle X,X\rangle_{s}-\int_{0}^{t}f"\left(X_{s}\right)d\langle X,X\rangle_{s}\right|
\]
 Reste à montrer (\ref{eq:123}) :
\begin{eqnarray*}
\sum_{l=0}^{n-1}f"_{n,k}\left(X_{t_{l+1}^{(n)}}-X_{t_{l}^{(n)}}\right)^{2}-\sum_{k=0}^{m-1}f"_{m,k}\sum_{l:t_{k}^{(m)}\leq t_{l}^{(n)}<t_{k+1}^{(m)}}\left(X_{t_{l+1}^{(n)}}-X_{t_{l}^{(n)}}\right)^{2}\\
\leq\underbrace{\underset{k<m}{\mathrm{sup}}\underset{l:t_{k}^{(m)}\leq t_{l}^{(n)}<t_{k+1}^{(m)}}{\mathrm{sup}}\left|f"_{m,k}-f"_{n,k}\right|}\cdot\underbrace{\sum_{l=0}^{n-1}\left(X_{t_{l+1}^{(n)}}-X_{t_{l}^{(n)}}\right)^{2}}\\
\overset{\mbox{ps}}{\longrightarrow}0\quad\;\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\underset{n\to\infty}{\overset{\left(\mathbb{P}\right)}{\longrightarrow}}\langle X,X\rangle_{t}\;\,
\end{eqnarray*}


2) On procède de même en utilisant une version de Taylor-Lagrange
en multidimensionnel.\end{proof}
\begin{rem}
\label{Ito-generalise}Si on sait par exemple que, presque sûrement,
$X_{t}\in U$ pour tout $t$ où $U$ est un ouvert de $\mathbb{R}$
fixé, alors il suffit dans la formule d'Itô de supposer que $F$ est
$C^{2}$ sur $U$. Pour le voir, on prend $\left(K_{n}\right)_{n}$
une suite de compacts croissante telle que ${\displaystyle \bigcup_{n}K_{n}=U}$,
on construit $F_{n}$ qui est $C^{2}$ sur l'espace complet et qui
coïncide avec $F$ sur $K_{n}$. Par exemple, si $X_{t}>0$ pour tout
$t\geq0$, alors :
\[
\mathrm{log}\left(X_{t}\right)=\mathrm{log}\left(X_{0}\right)+\int_{0}^{t}\frac{1}{X_{s}}dX_{s}-\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\frac{1}{X_{s}^{2}}d\langle X,X\rangle_{s}
\]

\end{rem}

\subsection{Quelques applications de la formule d'Itô}
\begin{example}
$F\left(x,y\right)=xy$ on a l'intégration par parties stochastique
:
\begin{eqnarray*}
X_{t}Y_{t}-X_{0}Y_{0} & = & \int_{0}^{t}X_{s}dY_{s}+\int_{0}^{t}Y_{s}dX_{s}+\frac{1}{2}\cdot2\int_{0}^{t}d\langle X,Y\rangle_{s}\\
 & = & \int_{0}^{t}X_{s}dY_{s}+\int_{0}^{t}Y_{s}dX_{s}+\langle X,Y\rangle_{t}
\end{eqnarray*}
Si $X=M$ est une martingale locale,
\[
M_{t}^{2}-\langle M,M\rangle_{t}=M_{0}^{2}+2\int_{0}^{t}M_{s}dM_{s}
\]


2) $tB_{t}=\int_{0}^{t}B_{s}ds+\int_{0}^{t}sdB_{s}$. $\int_{0}^{t}B_{s}ds$
est à variation finie, $\int_{0}^{t}sdB_{s}$ est une martingale.

3) $f\left(B_{t}\right)=f\left(B_{0}\right)+\int_{0}^{t}f'\left(B_{s}\right)dB_{S}+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}f"\left(B_{s}\right)ds$

4) Soit $F:\mathbb{R}_{t}\times\mathbb{R}_{x}\to\mathbb{R}$ est $C^{2}$,
\[
F\left(t,B_{t}\right)=F\left(0,B_{0}\right)+\int_{0}^{t}\frac{\partial F}{\partial x}\left(s,B_{s}\right)dB_{s}+\int_{0}^{t}\left(\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}\right)\left(s,B_{s}\right)ds
\]
Si $B$ est un brownien multidimensionnel :
\[
F\left(t,B_{t}\right)=F\left(0,B_{0}\right)+\sum_{i=1}^{d}\int_{0}^{t}\frac{\partial F}{\partial x_{i}}\left(s,B_{s}\right)dB_{s}^{(i)}+\int_{0}^{t}\left(\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{1}{2}\Delta F\right)\left(s,B_{s}\right)ds
\]
En particulier, si $F$ est de classe $C^{2}$ et $\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{1}{2}\Delta F$
vaut 0 sur $\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}^{d}$, alors $F\left(t,B_{t}\right)$
est une martingale locale.\end{example}
\begin{prop}
Martingale exponentielle. Soit $M$une martingale locale. On pose
:
\[
\mathscr{E}\left(\lambda M\right)_{t}=\mathrm{exp}\left(\lambda M_{t}-\frac{\lambda^{2}}{2}\langle M,M\rangle_{t}\right)
\]
où $\lambda\in\mathbb{C}$. Le processus $\mathscr{E}\left(\lambda M\right)$
est une martingale locale et de plus,
\[
\mathscr{E}\left(\lambda M\right)_{t}=e^{\lambda M_{0}}+\lambda\int_{0}^{t}\mathscr{E}\left(\lambda M\right)_{s}dM_{s}
\]
\end{prop}
\begin{rem*}
Cela signifie ``$\mathscr{E}\left(\lambda M\right)$ est solution
de $dX_{t}=\lambda X_{t}dM_{t}$''\end{rem*}
\begin{proof}
Soit $F\left(x,r\right)$ de classe $C^{2}$,
\[
F\left(M_{t},\langle M,M\rangle_{t}\right)=F\left(M_{0},0\right)+\int_{0}^{t}\frac{\partial F}{\partial x}\left(M_{s},\langle M,M\rangle_{s}\right)dM_{s}+\int_{0}^{t}\left(\frac{\partial F}{\partial f}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}\right)\left(M_{s},\langle M,M\rangle_{s}\right)d\langle M,M\rangle_{s}
\]
donc $\left(F\left(M_{t},\langle M,M\rangle_{t}\right)\right)_{t}$
est une martingale locale dès que $\frac{\partial F}{\partial r}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}=0$.
Cela est bien vérifié pour $F\left(x,r\right)=\mathrm{exp}\left(\lambda x-\frac{\lambda^{2}}{2}r\right)$
et on a bien la formule annoncée.\end{proof}
\begin{thm}
Caractérisation de Paul Lévy du mouvement Brownien.

Soit $X=\left(X^{(1)},\ldots,X^{(d)}\right)$ un processus adapté
et continu. Il y a équivalence entre :

1) $\left(X_{t}\right)_{t\geq0}$ est une $\mathcal{F}_{t}$-mouvement
brownien standard.

2) $X^{(1)},\ldots,X^{(d)}$ sont des martingales locales issues de
0 et $\langle X^{(i)},X^{(j)}\rangle_{t}=t\delta_{ij}$.\end{thm}
\begin{proof}
``1) $\implies$ 2)'' OK

``2) $\implies$ 1)'' Soit $\xi\in\mathbb{R}^{d}$ : $\xi.X_{t}$
est une martingale locale et
\[
\langle\xi.X,X.\xi\rangle_{t}=\sum_{i,j}\xi_{i}\xi_{j}\langle X^{(i)},X^{(j)}\rangle_{t}=\left|\xi\right|^{2}t
\]
$\mathrm{exp}\left(i\xi.X_{t}+\frac{\left|\xi\right|^{2}}{2}t\right)$
est une martingale locale bornée sur $\left[0,t\right]$ pour tout
$t$ donc c'est une martingale :
\[
\mathbb{E}\left[\mathrm{exp}\left(i\xi.X_{t}+\frac{\left|\xi\right|^{2}}{2}t\right)\mid\mathcal{F}_{s}\right]=\mathrm{exp}\left(i\xi.X_{s}+\frac{\left|\xi\right|^{2}}{2}s\right)
\]
Autrement dit :
\[
\mathbb{E}\left[\mathrm{exp}\left(i\xi.\left(X_{t}-X_{s}\right)\right)\mid\mathcal{F}_{s}\right]=\mathrm{exp}\left(-\frac{\left|\xi\right|^{2}}{2}\left(t-s\right)\right)
\]
On a que $\left(X_{t}-X_{s}\right)\sim\mathcal{N}\left(0,-s\right)$
et est indépendant de $\mathcal{F}_{s}$. En effet, soit $A\in\mathcal{F}_{s}$
tel que $\mathbb{P}\left(A\right)>0$ :
\[
\mathbb{E}\left[\mathrm{exp}\left(i\xi\left(X_{t}-X_{s}\right)\right)\mid A\right]=\mathrm{exp}\left(-\frac{\left|\xi\right|^{2}}{2}\left(t-s\right)\right)
\]
Sous $\mathbb{P}\left(\cdot\mid A\right)$, $\left(X_{t}-X_{s}\right)\sim\mathcal{N}\left(0,t-s\right)$
donc $\mathbb{E}\left[f\left(X_{t}-X_{s}\right)\mid A\right]=\mathbb{E}\left[f\left(X_{t}-X_{s}\right)\right]$.
$\mathbb{E}\left[\mathds{1}_{A}f\left(X_{t}-X_{s}\right)\right]=\mathbb{P}\left(A\right)\mathbb{E}\left[f\left(X_{t}-X_{s}\right)\right]$.
On a bien $\left(X_{t}-X_{s}\right)$ indépendant de $\mathcal{F}_{s}$
ie c'est un processus continu.\end{proof}
\begin{rem*}
Dans la preuve précédente $x.y$ représente le produit scalaire usuel
de $x$ et $y$ dans $\mathbb{R}^{d}$.\end{rem*}
\begin{thm}
Inégalité de Burkholder-Davis-Gundy\label{thm:Burkholder-Davis-Gundy}.

Soit $M$ une martingale locale issue de 0 et soit $M_{t}^{*}:=\underset{s\leq t}{\mathrm{sup}}\left|M_{s}\right|$.
Soit $p>0$. Il existe $c_{p}$ et $C_{p}$ indépendantes de $M$
telles que
\[
c_{p}\mathbb{E}\left[\langle M,M\rangle_{\infty}^{\frac{p}{2}}\right]\leq\mathbb{E}\left[\left|M_{t}^{*}\right|^{p}\right]\leq C_{p}\mathbb{E}\left[\langle M,M\rangle_{\infty}^{\frac{p}{2}}\right]
\]
\end{thm}
\begin{rem*}
On peut remplacer ``$\infty$'' par n'importe quel temps d'arrêt
$T$.\end{rem*}
\begin{proof}
(partielle) On montre d'abord la 1ère inégalité pour $p\geq2$. on
peut supposer $M$ bornée. Sinon, on pose $T_{n}=\inf\left\{ t\geq0,\;\left|M_{t}\right|\geq n\right\} $
appliquer le résultat à $M^{T_{n}}$ et passer à la limite grâce au
théorème de convergence monotone. On applique la formule d'Itô : 
\[
\left|M_{t}\right|^{p}=\int p\left|M_{s}\right|^{p-1}dM_{s}\mathrm{signe}\left(M_{s}\right)dM_{s}+\frac{1}{2}p\left(p-1\right)\int_{0}^{t}\left|M_{s}\right|^{p-2}d\langle M,M\rangle_{s}
\]
$M$ est bornée donc $M\in\mathbb{H}$ et ${\displaystyle \int_{0}^{\cdot}p\left|M_{s}\right|^{p-1}\mathrm{signe}\left(M_{s}\right)dM_{s}}$
est une martingale. Donc
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\left|M_{t}\right|^{p}\right] & = & 0+\frac{p\left(p-1\right)}{2}\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}\left|M_{s}\right|^{p-2}d\langle M,M\rangle_{s}\right]\\
 & \leq & \frac{p\left(p-1\right)}{2}\mathbb{E}\left[\left(M_{t}^{*}\right)^{p-2}\langle M,M\rangle_{t}\right]\\
 & \overset{\mbox{Hölder}}{\leq} & \frac{p\left(p-1\right)}{2}\mathbb{E}\left[\left|M_{t}^{*}\right|^{p}\right]^{1-\frac{p}{2}}\mathbb{E}\left[\langle M,M\rangle_{t}^{\frac{p}{2}}\right]^{\frac{2}{p}}
\end{eqnarray*}
Par Doob : 
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\left|M_{t}^{*}\right|^{p}\right] & \leq & C_{p}\mathbb{E}\left[\left|M_{t}\right|^{p}\right]\\
 & \leq & C_{p}'\mathbb{E}\left[\left|M_{t}^{*}\right|^{p}\right]^{1-\frac{p}{2}}\mathbb{E}\left[\langle M,M\rangle_{t}^{\frac{p}{2}}\right]^{\frac{2}{p}}
\end{eqnarray*}
On a bien le résultat annoncé.

Montrons l'inégalité inverse pour $p\geq4$. Par la formule d'It\textasciicircum{}p,
\[
M_{t}^{2}=2\int_{0}^{t}M_{s}dM_{s}+\langle M,M\rangle_{t}
\]
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\langle M,M\rangle_{t}^{\frac{p}{2}}\right] & \leq & C_{p}\left(\mathbb{E}\left[\left|M_{t}\right|^{p}\right]+\underbrace{\mathbb{E}\left[\left|\int_{0}^{t}M_{s}dM_{s}\right|^{\frac{p}{2}}\right]}\right)\\
 &  & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\leq\tilde{C_{p}\mathbb{E}\left[\left|\int_{0}^{t}M_{s}^{2}d\langle M,M\rangle_{s}\right|^{\frac{p}{4}}\right]}\\
 & \leq & C_{p}\left(\mathbb{E}\left[\left|M_{t}^{*}\right|^{p}\right]+\mathbb{E}\left[\left|M_{t}^{*}\right|^{\frac{p}{2}}\langle M,M\rangle_{t}^{\frac{p}{4}}\right]\right)\\
 & \overset{\mbox{CS}}{\leq} & C_{p}\left(\mathbb{E}\left[\left|M_{t}^{*}\right|^{p}\right]+\mathbb{E}\left[\left|M_{t}^{*}\right|^{p}\right]^{\frac{1}{2}}\mathbb{E}\left[\langle M,M\rangle_{t}^{\frac{p}{2}}\right]^{\frac{1}{2}}\right)
\end{eqnarray*}
Or $x^{2}\leq C_{p}\left(y^{2}+xy\right)\implies\exists C,\; x\leq C.y$.\end{proof}
\begin{thm}
Girsanov\label{thm:Girsanov}. Soit $L$ une martingale locale issue
de 0 et 
\[
\mathscr{E}\left(L\right)=\mathrm{exp}\left(L-\frac{1}{2}\langle L,L\rangle\right)
\]
On suppose que $\mathscr{E}\left(L\right)$ est une martingale uniformément
intégrable ($\implies$$\mathbb{E}\left[\mathscr{E}\left(L\right)_{\infty}\right]=1$).
On pose,
\[
d\mathbb{Q}=\mathscr{E}\left(L\right)_{\infty}d\mathbb{P}
\]
Si $M$ est une $\mathbb{P}$-martingale locale alors $M-\langle M,L\rangle$
est une $\mathbb{Q}$- martingale locale.\end{thm}
\begin{proof}
On note $\mathscr{E}=\mathscr{E}\left(L\right)$ et $\mathbb{F}$
l'espérance par rapport à $\mathbb{Q}$.

Première étape : si $X$ est un processus adapté continu et $T$ un
temps d'arrêt tel que $\left(X\mathscr{E}\right)^{T}$ est une $\mathbb{P}$-martingale,
alors $X^{T}$ est une $\mathbb{Q}$-martingale.

a. 
\begin{eqnarray*}
\mathbb{F}\left[\left|X_{t\wedge T}\right|\right] & = & \mathbb{E}\left[\left|X_{t\wedge T}\right|\mathscr{E}_{\infty}\right]\\
 & = & \mathbb{E}\left[\left|X_{t\wedge T}\right|\mathscr{E}_{t\wedge T}\right]\\
 & = & \mathbb{E}\left[\left|\left(X\mathscr{E}\right)_{t\wedge T}\right|\right]<+\infty
\end{eqnarray*}


b. Soit $A\in\mathcal{F}_{s}$ et $s<t$, On a
\[
\mathbb{F}\left[\mathds{1}_{A\cap\left\{ T\leq s\right\} }X_{t\wedge T}\right]=\mathbb{F}\left[\mathds{1}_{A\cap\left\{ T\leq s\right\} }X_{s\wedge T}\right]
\]
De plus,
\begin{eqnarray*}
\mathbb{F}\left[\mathds{1}_{A\cap\left\{ T>s\right\} }X_{t\wedge T}\right] & = & \mathbb{E}\left[\mathds{1}_{A\cap\left\{ T>s\right\} }X_{t\wedge T}\mathscr{E}_{\infty}\right]\\
 & = & \mathbb{E}\left[\mathds{1}_{A\cap\left\{ T>s\right\} }X_{t\wedge T}\mathscr{E}_{t\wedge T}\right]\\
 & = & \mathbb{E}\left[\mathds{1}_{A\cap\left\{ T>s\right\} }X_{s\wedge T}\mathscr{E}_{t\wedge T}\right]\\
 & = & \mathbb{E}\left[\mathds{1}_{A\cap\left\{ T>s\right\} }X_{s\wedge T}\mathscr{E}_{\infty}\right]\\
 & = & \mathbb{F}\left[\mathds{1}_{A\cap\left\{ T>s\right\} }X_{s\wedge T}\right]
\end{eqnarray*}
En résumé, $\mathbb{F}\left[\mathds{1}_{A}X_{t\wedge T}\right]=\mathbb{F}\left[\mathds{1}_{A}X_{s\wedge T}\right]$
pour tout $A\in\mathcal{F}_{S}$ donc on a bien 
\[
\mathbb{F}\left[X_{t\wedge T}\mid\mathcal{F}_{s}\right]=X_{s\wedge T}
\]


Etape 2 : Soit $M$ une $\mathbb{P}$-martingale locale et soit $\tilde{M}=M-\langle M,L\rangle$.
On veut vérifier que $\tilde{M}\mathscr{E}$ est une $\mathbb{P}$-martingale
locale (cf étape 1). Par la formule d'Itô,
\[
\tilde{M}_{t}\mathscr{E}_{t}=\tilde{M}_{0}\mathscr{E}_{0}+\int\tilde{M}_{s}d\mathscr{E}_{s}+\int_{0}^{t}\mathscr{E}_{s}dM_{s}-\int_{0}^{t}\mathscr{E}_{s}d\langle M,L\rangle_{s}+\langle M,\mathscr{E}\rangle_{t}
\]
On veut que $\int_{0}^{t}\mathscr{E}_{s}d\langle M,L\rangle_{s}-\langle M,\mathscr{E}\rangle_{t}=0$
! On va vérifier que $\langle M,N\rangle=\mathscr{E}^{-1}\cdot\langle M,\mathscr{E}\rangle$.

Etape 3 : $L_{t}=\int_{0}^{t}\mathscr{E}_{s}^{-1}d\text{\ensuremath{\mathscr{E}}}_{s}$.
En effet, $\mathscr{E}_{t}>0$pour tout $t$ et continu donc on peut
appliquer la formule d'Itô ``généralisée'' évoquée dans la remarque
\ref{Ito-generalise} :
\begin{eqnarray*}
\mathrm{log}\left(\mathscr{E}_{t}\right) & = & \mathrm{log}\left(\mathscr{E}_{0}\right)+\int_{0}^{t}\frac{d\mathscr{E}_{s}}{\mathscr{E}_{s}}-\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\frac{d\langle\mathscr{E},\mathscr{E}\rangle_{s}}{\mathscr{E}_{s}^{2}}\\
 & = & 0+L_{t}-\frac{1}{2}\langle L,L\rangle_{t}
\end{eqnarray*}
Par égalité des parties ``martingales locales'', on a bien
\[
L_{t}=\int_{0}^{t}\frac{d\mathscr{E}_{s}}{\mathscr{E}_{s}}
\]
donc $L=\mathscr{E}^{-1}\cdot\mathscr{E}$ et $\langle M,\mathscr{E}^{-1}\cdot\mathscr{E}\rangle=\mathscr{E}^{-1}\cdot\langle M,\mathscr{E}\rangle$.\end{proof}
\begin{rem*}
Pour utiliser le théorème, il faut pouvoir vérifier que $\mathscr{E}\left(L\right)$
est une martingale uniformément intégrable. $\mathscr{E}\left(L\right)$
martingale locale $\geq0$ donc surmartingale $\geq0$ sont converge
vers $\mathscr{E}\left(L\right)_{\infty}$. Par le lemme de Fatou
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\mathscr{E}\left(L\right)_{\infty}\mid\mathcal{F}_{t}\right] & \leq & \mathscr{E}\left(L\right)_{t}
\end{eqnarray*}
Si $\mathbb{E}\left[\mathscr{E}\left(L\right)_{\infty}\right]=1=\mathbb{E}\left[\mathscr{E}\left(L\right)_{0}\right]=\mathbb{E}\left[\mathscr{E}\left(L\right)_{t}\right]$.
Alors, on a $\mathbb{E}\left[\mathscr{E}\left(L\right)_{\infty}\mid\mathcal{F}_{t}\right]=\mathscr{E}\left(L\right)_{t}$
et donc $\left(\mathscr{E}\left(L\right)_{t}\right)$ est une martingale
uniformément intégrable. En résumé, il suffit de vérifier que $\mathbb{E}\left[\mathscr{E}\left(L\right)_{\infty}\right]=1$
pour assurer que $\mathscr{E}\left(L\right)$ est une martingale uniformément
intégrable.\end{rem*}
\begin{prop}
\label{prop:chaineinclusion}Soit $L$ une martingale locale issue
de 0. Considérons les propriétés :

i) $\mathbb{E}\left[\mathrm{exp}\left(\frac{1}{2}\langle L,L\rangle_{\infty}\right)\right]<+\infty$

ii) $L$ est une martingale uniformément intégrable et $\mathbb{E}\left[\mathrm{exp}\left(\frac{1}{2}L_{\infty}\right)\right]<+\infty$

iii) $\mathscr{E}\left(L\right)$ est une martingale uniformément
intégrable.

On a 1)$\implies$2)$\implies$3)\end{prop}
\begin{proof}
``1)$\implies$2)'' On a $\mathbb{E}\left[\langle L,L\rangle_{\infty}\right]<\infty$
donc $L$ est une martingale bornée dans $L^{2}$ donc uniformément
intégrable. $\mathrm{exp}\left(\frac{1}{2}L_{\infty}\right)=\mathscr{E}\left(L\right)_{\infty}^{\frac{1}{2}}\mathrm{exp}\left(\frac{1}{2}\langle L,L\rangle_{\infty}\right)^{\frac{1}{2}}$
par Cauchy-Schwarz.
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\mathrm{exp}\left(\frac{1}{2}L_{\infty}\right)\right] & \leq & \mathbb{E}\left[\mathscr{E}\left(L\right)_{\infty}\right]^{\frac{1}{2}}\mathbb{E}\left[\mathrm{exp}\left(\frac{1}{2}\langle L,L\rangle_{\infty}\right)\right]\\
 & \leq & \mathbb{E}\left[\mathrm{exp}\left(\frac{1}{2}\langle L,L\rangle_{\infty}\right)\right]\\
 & < & +\infty
\end{eqnarray*}


``2)$\implies$3)'' On suppose que $L$ est une martingale uniformément
intégrable donc pour tout temps d'arrêt, $L_{T}=\mathbb{E}\left[L_{\infty}\mid\mathcal{F}_{T}\right]$.
Par Jensen,
\begin{eqnarray*}
\mathrm{exp}\left(\frac{1}{2}L_{T}\right) & \leq & \mathbb{E}\left[\mathrm{exp}\left(\frac{1}{2}L_{\infty}\right)\mid\mathcal{F}_{T}\right]
\end{eqnarray*}
$\mathbb{E}\left[\mathrm{exp}\left(\frac{1}{2}L_{\infty}\right)\right]<+\infty$
donc $\left\{ \mathrm{exp}\left(\frac{1}{2}L_{T}\right),\; T\mbox{ temps d'arrêt}\right\} $
est uniformément intégrable. Soit $0<a<1$ et $Z_{t}^{(a)}=\mathrm{exp}\left(\frac{a}{1+a}L_{t}\right)$.
\begin{eqnarray*}
\mathscr{E}\left(aL\right)_{t} & = & \mathscr{E}\left(L\right)_{t}^{a^{2}}\mathrm{exp}\left(\left(a-a^{2}\right)L_{t}\right)\\
 & = & \mathscr{E}\left(L\right)_{t}^{a^{2}}\left(Z_{t}^{(a)}\right)^{1-a^{2}}
\end{eqnarray*}
On veut montrer que $\mathscr{E}\left(aL\right)$ est une martingale
uniformément intégrable. il suffit de voir que $\left\{ \mathscr{E}\left(aL\right)_{T},\; T\mbox{ temps d'arrêt}\right\} $
est uniformément intégrable ($\mathbb{E}\left[\mathscr{E}\left(aL\right)_{T_{n}\wedge t}\mid\mathcal{F}_{s}\right]=\mathscr{E}\left(aL\right)_{T_{n}\wedge s}$).
Soit $A$ un ensemble mesurable. Par Hölder,
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\mathds{1}_{A}\mathscr{E}\left(aL\right)_{T}\right] & \leq & \mathbb{E}\left[\mathscr{E}\left(L\right)_{T}\right]^{a^{2}}\mathbb{E}\left[\mathds{1}_{A}Z_{t}^{(a)}\right]^{1-a^{2}}\\
 & \leq & \mathbb{E}\left[\mathds{1}_{A}Z_{t}^{(a)}\right]^{1-a^{2}}
\end{eqnarray*}
Pour justifier $\left\{ \mathscr{E}\left(aL\right)_{T},\; T\mbox{ temps d'arrêt}\right\} $
est uniformément intégrable, il suffit de voir que $\left\{ Z_{T}^{(a)},\; T\mbox{ temps d'arrêt}\right\} $
est uniformément intégrable. C'est vrai car $\frac{1}{1+a}\leq\frac{1}{2}$
et $\left\{ \mathrm{exp}\left(\frac{1}{2}L_{T}\right),\; T\mbox{ temps d'arrêt}\right\} $
est uniformément intégrable. Donc on a bien que $\mathscr{E}\left(aL\right)$
est une martingale uniformément intégrable. On a :
\begin{eqnarray*}
1 & = & \mathbb{E}\left[\mathscr{E}\left(aL\right)_{\infty}\right]\\
 & \overset{\mbox{Hölder}}{\leq} & \underbrace{\mathbb{E}\left[\mathscr{E}\left(L\right)_{\infty}\right]^{a^{2}}}\cdot\underbrace{\mathbb{E}\left[\mathrm{exp}\left(\frac{a}{1+a}L_{\infty}\right)\right]^{1-a^{2}}}\\
 &  & \underset{a\to1}{\longrightarrow}\mathbb{E}\left[\mathscr{E}\left(L\right)_{\infty}\right]\quad\quad\underset{a\to1}{\longrightarrow1}
\end{eqnarray*}
On a bien $\mathbb{E}\left[\mathscr{E}\left(L\right)_{\infty}\right]=1$.\end{proof}
\begin{cor}
Soit $b:\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ et telle que
$\int\underset{x}{\mathrm{sup}}\left|b\left(t,x\right)\right|^{2}dt<+\infty$.
Soit $B$ un mouvement brownien et $L_{t}=\int_{0}^{t}b\left(s,B_{s}\right)dB_{s}$.
\[
\mathscr{E}\left(L\right)_{t}=\mathrm{exp}\left(\int_{0}^{t}b\left(s,B_{s}\right)dB_{s}-\frac{1}{2}\int_{0}^{t}b^{2}\left(s,B_{s}\right)ds\right)
\]
$\left(\mathscr{E}\left(L\right)_{t}\right)_{t}$ est une martingale
uniformément intégrable. Soit $d\mathbb{Q}=\mathscr{E}\left(L\right)_{\infty}d\mathbb{P}$.
Alors, 
\begin{eqnarray*}
\beta_{t} & = & B_{t}-\langle B,L\rangle_{t}\\
 & = & B_{t}-\int_{0}^{t}b\left(s,B_{s}\right)ds
\end{eqnarray*}
est une $\mathbb{Q}$-martingale locale. De plus, 
\begin{eqnarray*}
\langle\beta,\beta\rangle_{t}-\langle B,B\rangle_{t} & = & t
\end{eqnarray*}
donc $\beta$ est un $\mathbb{Q}$-mouvement brownien.\end{cor}
\begin{proof}
Provient de la Proposition \ref{prop:chaineinclusion} et du Théorème
de Girsanov \ref{thm:Girsanov}.
\end{proof}
On peut reformuler ce résultat en disant que sous $\mathbb{Q}$, il
existe un brownien $\beta$ tel que le processus $X=B$ ($X$ n'est
pas un brownien sous $\mathbb{Q}$) satisfait $X_{t}=\beta_{t}+\int_{0}^{t}b\left(s,X_{s}\right)ds$,
soit ``$dX_{t}=d\beta_{t}+b\left(t,X_{t}\right)dt$''. On a donc
résolu une équation différentielle stochastique.

Si $b$ ne dépend pas de $x$ : $b\left(t,x\right)=g\left(t\right)$
avec $\int_{0}^{+\infty}g^{2}\left(t\right)dt<\infty$. Posons $h\left(t\right)=\int_{0}^{t}g\left(s\right)ds$.
$h\in H^{1}$. Sous $d\mathbb{Q}=\mathrm{exp}\left(\int_{0}^{\infty}g\left(s\right)dB_{s}-\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}g^{2}\left(s\right)ds\right)d\mathbb{P}$,
le processus $\beta_{t}=B_{t}-h\left(t\right)$ est un mouvement brownien
sous $\mathbb{Q}$. Autrement, dit, si $\Phi$ est une fonction mesurable
positive sur $C\left(\mathbb{R}_{+},\mathbb{R}\right)$, alors 
\begin{eqnarray*}
\mathbb{F}\left(\Phi\left(\left(B_{t}\right)_{t\geq0}\right)\right) & = & \mathbb{F}\left[\Phi\left(\beta+h\right)\right]\\
\Leftrightarrow\mathbb{E}\left[\phi\left(B\right)\right]\mathrm{exp}\left(\int_{0}^{+\infty}g\left(s\right)dB_{S}-\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}g^{2}\left(s\right)ds\right) & = & \mathbb{E}\left[\Phi\left(B+h\right)\right]
\end{eqnarray*}
Pour $h$ de la forme choisie, on a donc que la loi de $B+h$ est
absolument continue par rapport à la loi de $B$ avec une densité
explicite. En fait, cette propriété d'absolue continuité implique
aussi que $h$ est de la forme donnée (cf. Théorème de Cameron-Martin).

Conséquence : Loi du temps d'atteinte d'une droite par le brownien.

Soit $B$ un brownien, $a>0$ et $T_{a}=\mathrm{inf}\left\{ t\ge0,\; B_{t}=a\right\} $.
Soit $c\in\mathbb{R}$ et $S_{a}=\mathrm{inf}\left\{ t\geq0,\; B_{t}=a-ct\right\} $.
La loi de $T_{a}$ a pour densité $\frac{a}{\sqrt{2\pi s^{3}}}\mathrm{exp}\left(-\frac{a^{2}}{2s}\right)\mathds{1}_{\left\{ s\geq0\right\} }$.
Soit $\Phi\left(w\right)\mathds{1}_{\left\{ \underset{\left[0,t\right]}{\mathrm{max}}w\ge a\right\} }$
et $h\left(s\right)=\int_{0}^{s}c\mathds{1}_{\left\{ u\leq t\right\} }du=:\int_{0}^{s}g\left(u\right)du$.
On a bien $\int_{0}^{+\infty}g^{2}\left(u\right)du<\infty$.
\begin{eqnarray*}
\mathbb{P}\left(S_{a}\leq t\right) & = & \mathbb{E}\left[\Phi\left(B+h\right)\right]\\
 & = & \mathbb{E}\left[\Phi\left(B\right)\mathrm{exp}\left(\int_{0}^{+\infty}g\left(s\right)dB_{s}-\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}g^{2}\left(s\right)ds\right)\right]\\
 & = & \mathbb{E}\left[\underbrace{\mathds{1}_{\left\{ T_{a}\leq t\right\} }}\quad\underbrace{\mathrm{exp}\left(cB_{t}-\frac{1}{2}c^{2}t\right)}\right]\\
 &  & \quad\quad\mathcal{F}_{T_{a}}\mbox{-mesurable}\quad\mbox{martingale}\\
 & = & \mathbb{E}\left[\mathds{1}_{\left\{ T_{a}\leq t\right\} }\mathrm{exp}\left(cB_{T_{a}\wedge t}-\frac{c^{2}}{2}\left(T_{a}\wedge t\right)\right)\right]\\
 & = & \mathbb{E}\left[\mathds{1}_{\left\{ T_{a}\leq t\right\} }\mathrm{exp}\left(ac-\frac{c^{2}}{2}T_{a}\right)\right]\\
 & = & \int_{0}^{t}\frac{a}{\sqrt{2\pi s^{3}}}\mathrm{exp}\left(-\frac{a^{2}}{2s}+ac-\frac{c^{2}}{2}s\right)ds\\
 & = & \int_{0}^{t}\underbrace{\frac{a}{\sqrt{2\pi s^{3}}}\mathrm{exp}\left(-\frac{1}{2s}\left(a-cs\right)^{2}\right)}ds\\
 &  & \quad\quad\mbox{densité de la loi de }S_{a}
\end{eqnarray*}



\section{Equations différentielles stochastiques}

On cherche à donner un sens à l'équation différentielle $y'=f\left(y\right)+\mbox{bruit}$
où le ``bruit'' est induit par une méconnaissance de certains phénomènes
microscopiques ou l'absence de données microscopiques qui rend la
modélisation ``simplifiée'' $y'=f\left(y\right)$ d'un système physique
insatisfaisante.
\begin{defn}
Soient $\sigma,b=\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ continue
et $B$ un mouvement brownien. On dit que le processus continu adapté
$X$ est solution de l'équation différentielle stochastique
\[
\begin{cases}
dX_{t} & =\sigma\left(t,X_{t}\right)dB_{t}+b\left(t,X_{t}\right)dt\\
X_{0} & =x
\end{cases}
\]
si, pour tout $t\ge0$, $X_{t}=x+{\displaystyle \int_{0}^{t}\sigma\left(s,X_{s}\right)dB_{s}+\int_{0}^{t}b\left(s,X_{s}\right)ds}$.
\end{defn}
On appelle ``dérive'' de l'EDS la $b\left(t,X_{t}\right)$.
\begin{example}
Un processus dont la fluctuations et la dérive est proportionnelle
à la taille : soit $\sigma_{0},b_{0}\in\mathbb{R}$,
\[
\begin{cases}
dX_{t} & =\sigma_{0}X_{t}dB_{t}+b_{0}X_{t}dt\\
X_{0} & =x>0
\end{cases}
\]


Si $\sigma_{0}=0$, $X_{t}=x.\mathrm{exp}\left(b_{0}t\right)$.

Si $b_{0}=0$, $X_{t}=x.\mathrm{exp}\left(\sigma_{0}B_{t}-\frac{\sigma_{0}^{2}}{2}t\right)$

On peut espérer que $X_{t}=x.\mathrm{exp}\left(\sigma_{0}B_{t}+\left(b_{0}-\frac{\sigma_{0}^{2}}{2}t\right)\right)$.
Dans ce cas, la formule d'Itô donne :
\begin{eqnarray*}
X_{t} & = & x+\int_{0}^{t}\sigma_{0}X_{s}dB_{s}+\int_{0}^{t}\left(b_{0}-\frac{\sigma_{0}^{2}}{2}\right)X_{s}ds+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\sigma_{0}^{2}X_{s}ds\\
 & = & x+\int_{0}^{t}\sigma_{0}X_{s}dB_{s}+\int_{0}^{t}b_{0}X_{s}ds
\end{eqnarray*}
donc $\left(x.\mathrm{exp}\left(\sigma_{0}B_{t}+\left(b_{0}-\frac{\sigma_{0}^{2}}{2}t\right)\right)\right)_{t}$
est bien une solution de l'EDS.

$\left(X_{t}e^{-b_{0}t}\right)_{t}$ est une vraie martingale donc
$\mathbb{E}\left[X_{t}e^{-t_{0}t}\right]=x$ soit $\mathbb{E}\left[X_{t}\right]=xe^{b_{0}t}$.

Si $\sigma_{0}^{2}>b_{0}$, comme $\frac{B_{t}}{t}\underset{t\to\infty}{\overset{\mbox{ps}}{\longrightarrow}}0$,
on a $X_{t}\underset{t\to\infty}{\overset{\mbox{ps}}{\longrightarrow}}0$.
\end{example}
$ $
\begin{example}
Processus de Ornstein-Uhlenbeck. On étudie l'EDS
\[
\begin{cases}
dX_{t} & =dB_{t}-X_{t}dt\\
X_{0} & =x
\end{cases}
\]
On sait que la solution de L'EDO $dY_{t}=-Y_{t}dt$ est $Y_{t}=Y_{0}e^{-t}$.
On veut faire une sorte de méthode de variation de la constante :
on pose $Z_{t}=e^{t}X_{t}$. Alors, par la formule d'Itô :
\begin{eqnarray*}
dZ_{t} & = & e^{t}dX_{t}+e^{t}X_{t}dt\\
 & = & e^{t}\left(dB_{t}-X_{t}dt\right)+e^{t}X_{t}dt\\
 & = & e^{t}dB_{t}\\
Z_{t} & = & x+\int_{0}^{t}e^{s}dB_{s}\\
X_{t} & = & e^{t}x+\underbrace{\int_{0}^{t}e^{-\left(t-s\right)}dB_{s}}\\
 &  & \sim\mathcal{N}\left(0,\frac{1}{2}\left(1-e^{-2t}\right)\right)
\end{eqnarray*}
donc $\mathbb{E}\left[f\left(X_{t}\right)\right]={\displaystyle \int}f\left(e^{-t}x+\sqrt{\frac{1}{2}\left(1-e^{-2t}\right)}y\right)\cdot\frac{e^{-\frac{y^{2}}{2}}}{\sqrt{2\pi}}$.
$\left(X_{t}\right)_{t}$ est appelé le processus de Ornstein-Uhlenbeck.\end{example}
\begin{lem}
Lemme de Gronwall. Soit $T>0$ et soit $g$ positive mesurable, bornée
sur $\left[0,T\right]$ telle qu'il existe $a\geq0$ et $b\geq0$
tels que pour tout $t\leq T$, 
\begin{eqnarray*}
g\left(t\right) & \leq & a+b\int_{0}^{t}g\left(s\right)ds
\end{eqnarray*}
Alors, pour tout $t\leq T$,
\begin{eqnarray*}
g\left(t\right) & \leq & a.\mathrm{exp}\left(bt\right)
\end{eqnarray*}
\end{lem}
\begin{proof}
On a
\begin{eqnarray*}
g\left(t\right) & \leq & a+b\int_{0}^{t}g\left(s\right)ds\\
 & \leq & a+b\int_{0}^{t}\left(a+b\int_{0}^{s_{1}}g\left(s_{2}\right)ds_{2}\right)ds_{1}\\
 & \leq & a+abt+b^{2}\int_{0}^{t}ds_{1}\int_{0}^{s_{1}}ds_{2}\left(a+b\int_{0}^{s_{2}}g\left(s_{3}\right)ds_{3}\right)\\
 & \vdots\\
 & \le & a+a\left(bt\right)+a\frac{\left(bt\right)^{2}}{2}+\ldots+a\frac{\left(bt\right)^{n}}{n!}+b^{n}\int_{0}^{t}ds_{1}\ldots\int_{0}^{s_{n}}ds_{n+1}g\left(s_{n+1}\right)\\
 & \leq & a+a\left(bt\right)+a\frac{\left(bt\right)^{2}}{2}+\ldots+a\frac{\left(bt\right)^{n}}{n!}+\left\Vert g\right\Vert _{\infty}b^{n}\frac{t^{n+1}}{\left(n+1\right)!}
\end{eqnarray*}
On passe à la limite :
\begin{eqnarray*}
g\left(t\right) & \leq & a.\mathrm{exp}\left(bt\right)+0
\end{eqnarray*}
\end{proof}
\begin{rem*}
1) $\left\Vert g\right\Vert _{\infty}$ n'apparaît pas dans la conclusion.

2) $g\left(t\right)\leq\int_{0}^{t}g\left(s\right)ds\implies g=0$.

3) Par contre, $g\left(t\right)\leq\int_{0}^{t}g^{\alpha}\left(s\right)ds$
pour $\alpha<1$ n'implique pas $g=0$. Le lemme est donc, en un certain
sens, optimal.\end{rem*}
\begin{thm}
Soit $B$ un mouvement brownien. Soient $\sigma,b:\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
continues et lipschitziennes en la seconde variable, i.e. il existe
$K$ tel que pour tout $\forall t,x,y$, 
\begin{eqnarray*}
\left|\sigma\left(t,y\right)-\sigma\left(t,x\right)\right| & \leq & K\left|x-y\right|
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\left|b\left(t,x\right)-b\left(t,y\right)\right| & \leq & K\left|x-y\right|
\end{eqnarray*}
Alors, il existe un et un seul processus continu adapté solution de
l'EDS
\[
\begin{cases}
dX_{t} & =\sigma\left(t,X_{t}\right)dB_{t}+b\left(t,X_{t}\right)dt\\
X_{0} & =x
\end{cases}.
\]
\end{thm}
\begin{proof}
Unicité. Soient $X,X'$ deux solutions de l'EDS. Soit $\tau=\mathrm{min}\left\{ \mathrm{inf}\left\{ t\geq0,\;\left|X_{t}\right|\geq n\right\} ,\mathrm{inf}\left\{ t\geq0,\;\left|X'_{t}\right|\geq n\right\} \right\} $.
Alors,
\begin{eqnarray*}
X_{t\wedge\tau} & = & x+\int_{0}^{t\wedge\tau}\sigma\left(s,X_{s}\right)dB_{s}+\int_{0}^{t\wedge\tau}b\left(s,X_{s}\right)ds
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
X_{t\wedge\tau}-X'_{t\wedge\tau} & = & \int_{0}^{t\wedge\tau}\left(\sigma\left(s,X_{s}\right)-\sigma\left(s,X'_{s}\right)\right)dB_{s}+\int_{0}^{t\wedge\tau}\left(b\left(s,X_{s}\right)-b\left(s,X'_{s}\right)\right)ds
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\left|X_{t\wedge\tau}-X'_{t\wedge\tau}\right|^{2}\right] & \leq & 2\mathbb{E}\left[\left(\int_{0}^{t\wedge\tau}\left(\sigma\left(s,X_{s}\right)-\sigma\left(s,X'_{s}\right)\right)dB_{s}\right)^{2}\right]+2\mathbb{E}\left[\left(\int_{0}^{t\wedge\tau}\left(b\left(s,X_{s}\right)-b\left(s,X'_{s}\right)\right)ds\right)^{2}\right]\\
 & \overset{\mbox{Itô}}{\leq} & 2\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t\wedge\tau}\left(\sigma\left(s,X_{s}\right)-\sigma\left(s,X'_{s}\right)\right)^{2}d\langle B,B\rangle_{s}\right]+2\mathbb{E}\left[\left(\int_{0}^{t\wedge\tau}\left(b\left(s,X_{s}\right)-b\left(s,X'_{s}\right)\right)ds\right)^{2}\right]\\
 & \leq & 2\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t\wedge\tau}\left(\sigma\left(s,X_{s}\right)-\sigma\left(s,X'_{s}\right)\right)^{2}d\langle B,B\rangle_{s}\right]+2\left(t\wedge\tau\right)\mathbb{E}\left[\frac{1}{t\wedge\tau}\left(\int_{0}^{t\wedge\tau}\left(b\left(s,X_{s}\right)-b\left(s,X'_{s}\right)\right)ds\right)^{2}\right]\\
 & \leq & 2\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t\wedge\tau}\left(\sigma\left(s,X_{s}\right)-\sigma\left(s,X'_{s}\right)\right)^{2}d\langle B,B\rangle_{s}\right]+2t.\mathbb{E}\left[\frac{1}{t\wedge\tau}\left(\int_{0}^{t\wedge\tau}\left(b\left(s,X_{s}\right)-b\left(s,X'_{s}\right)\right)ds\right)^{2}\right]\\
 & \overset{\mbox{Jensen}}{\leq} & 2\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t\wedge\tau}\left(\sigma\left(s,X_{s}\right)-\sigma\left(s,X'_{s}\right)\right)^{2}d\langle B,B\rangle_{s}\right]+2t.\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t\wedge\tau}\left(b\left(s,X_{s}\right)-b\left(s,X'_{s}\right)\right)^{2}ds\right]\\
 & \overset{\mbox{Lipschitz}}{\leq} & 2K^{2}.\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t\wedge\tau}\left|X_{s}-X'_{s}\right|^{2}ds\right]+2tK^{2}.\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t\wedge\tau}\left|X_{s}-X'_{s}\right|^{2}ds\right]\\
 & \leq & 2K^{2}.\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}\left|X_{s\wedge\tau}-X'_{s\wedge\tau}\right|^{2}ds\right]+2tK^{2}.\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}\left|X_{s\wedge\tau}-X'_{s\wedge\tau}\right|^{2}ds\right]\\
 & \leq & 2K^{2}\left(1+t\right)\int_{0}^{t}\left|X_{s\wedge\tau}-X'_{s\wedge\tau}\right|^{2}ds
\end{eqnarray*}
donc $\left|X_{t\wedge\tau}-X'_{t\wedge\tau}\right|^{2}=0$ pour tout
$ $$t$. On fait tendre $n\to+\infty$ et on obtient $X_{t}=X'_{t}$
pour tout $t$.

Existence : On utilise la méthode d'itérations de Picard. On construit
par récurrence la suite $\left(X^{n}\right)_{n}$ : $X_{t}^{0}=x$
et $X_{t}^{n+1}=x+\int_{0}^{t}\sigma\left(s,X_{s}^{n}\right)dB_{s}+\int_{0}^{t}b\left(s,X_{s}^{n}\right)ds$.
Par récurrence on montre que pour tout $n$, $X^{n}$ est continu
est adapté. On construit une solution sur $\left[0,T\right]$. Voyons
d'abord qu'il existe $C_{n}$ tel que 
\begin{eqnarray*}
\underset{t\leq T}{\mathrm{sup}}\mathbb{E}\left[\left(X_{t}^{n}\right)^{2}\right] & \leq & C_{n}
\end{eqnarray*}
Pour $n=0$, c'est clair. Il existe $C$ tel que pour tout $t\leq T$
et pour tout $x$,
\begin{eqnarray*}
\left|\sigma^{^{2}}\left(t,x\right)\right| & \leq & C\left(1+\left|x\right|^{2}\right)\\
\left|b^{^{2}}\left(t,x\right)\right| & \leq & C\left(1+\left|x\right|^{2}\right)
\end{eqnarray*}
car $t\mapsto\sigma\left(t,0\right)$ est continue donc bornée sur
$\left[0,T\right]$ blabla...
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\left(X_{t}^{n+1}\right)^{2}\right] & \leq & 3\left|x\right|^{2}+3\mathbb{E}\left[\left(\int_{0}^{t}\sigma\left(s,X_{s}^{n}\right)dB_{s}\right)^{2}\right]+3\mathbb{E}\left[\left(\int_{0}^{t}b\left(s,X_{s}^{n}\right)ds\right)^{2}\right]\\
 & \leq & 3\left|x\right|^{2}+3\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}\sigma^{2}\left(s,X_{s}^{n}\right)ds\right]+3T\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}b^{2}\left(s,X_{s}^{n}\right)ds\right]\\
 & \leq & 3\left|x\right|^{2}+3TC\left(1+C_{n}\right)+3T^{2}C\left(1+C_{n}\right)=:C_{n+1}
\end{eqnarray*}
Donc pour tout $n$, ${\displaystyle \int_{0}^{t}\sigma\left(s,X_{s}^{n}\right)dB_{s}}$
est une martingale. Posons $g_{n}\left(t\right)=\mathbb{E}\left[\underset{s\leq t}{\mathrm{sup}}\left|X_{s}^{n}-X_{s}^{n-1}\right|^{2}\right]$.
Alors,
\begin{eqnarray*}
X_{t}^{n+1}-X_{t}^{n} & = & \int_{0}^{t}\left(\sigma\left(s,X_{s}^{n}\right)-\sigma\left(s,X_{s}^{n-1}\right)\right)dB_{s}+\int_{0}^{t}\left(b\left(s,X_{s}^{n}\right)-b\left(s,X_{s}^{n-1}\right)\right)ds
\end{eqnarray*}
donc
\begin{eqnarray*}
g_{n+1}\left(t\right) & \leq & 2\mathbb{E}\left[\underset{\delta\leq t}{\mathrm{sup}}\left(\int_{0}^{\delta}\left(\sigma\left(s,X_{s}^{n}\right)-\sigma\left(s,X_{s}^{n-1}\right)\right)dB_{s}\right)^{2}\right]+2\mathbb{E}\left[\underset{\delta\leq t}{\mathrm{sup}}\left(\int_{0}^{\delta}\left(b\left(s,X_{s}^{n}\right)-b\left(s,X_{s}^{n-1}\right)\right)ds\right)^{2}\right]\\
 & \overset{\mbox{Doob}}{\le} & 8\mathbb{E}\left[\left(\int_{0}^{t}\left(\sigma\left(s,X_{s}^{n}\right)-\sigma\left(s,X_{s}^{n-1}\right)\right)dB_{s}\right)^{2}\right]+2\mathbb{E}\left[\underset{\delta\leq t}{\mathrm{sup}}\left(\int_{0}^{\delta}\left(b\left(s,X_{s}^{n}\right)-b\left(s,X_{s}^{n-1}\right)\right)ds\right)^{2}\right]\\
 & \leq & 8\mathbb{E}\left[\left(\int_{0}^{t}\left(\sigma\left(s,X_{s}^{n}\right)-\sigma\left(s,X_{s}^{n-1}\right)\right)dB_{s}\right)^{2}\right]+2\mathbb{E}\left[\underset{\delta\leq t}{\mathrm{sup}}\delta\left(\frac{1}{\delta}\int_{0}^{\delta}\left(b\left(s,X_{s}^{n}\right)-b\left(s,X_{s}^{n-1}\right)\right)ds\right)^{2}\right]\\
 & \leq & 8\mathbb{E}\left[\left(\int_{0}^{t}\left(\sigma\left(s,X_{s}^{n}\right)-\sigma\left(s,X_{s}^{n-1}\right)\right)dB_{s}\right)^{2}\right]+2t\mathbb{E}\left[\underset{\delta\leq t}{\mathrm{sup}}\left(\frac{1}{\delta}\int_{0}^{\delta}\left(b\left(s,X_{s}^{n}\right)-b\left(s,X_{s}^{n-1}\right)\right)ds\right)^{2}\right]\\
 & \overset{\mbox{Jensen}}{\leq} & 8\mathbb{E}\left[\left(\int_{0}^{t}\left(\sigma\left(s,X_{s}^{n}\right)-\sigma\left(s,X_{s}^{n-1}\right)\right)dB_{s}\right)^{2}\right]+2t\mathbb{E}\left[\underset{\delta\leq t}{\mathrm{sup}}\left(\int_{0}^{\delta}\left(b\left(s,X_{s}^{n}\right)-b\left(s,X_{s}^{n-1}\right)\right)^{2}ds\right)\right]\\
 & \overset{\mbox{Lipschitz}}{\leq} & 8K^{2}\int_{0}^{t}g_{n}\left(s\right)ds+2tK^{2}\mathbb{E}\left[\underset{\delta\leq t}{\mathrm{sup}}\int_{0}^{\delta}\left|X_{s}^{n}-X_{s}^{n-1}\right|^{2}ds\right]\\
 & \leq & 8K^{2}\int_{0}^{t}g_{n}\left(s\right)ds+2tK^{2}\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}\left|X_{s}^{n}-X_{s}^{n-1}\right|^{2}ds\right]\\
 & \overset{\mbox{Fubini}}{\leq} & 8K^{2}\int_{0}^{t}g_{n}\left(s\right)ds+2tK^{2}\int_{0}^{t}\mathbb{E}\left[\left|X_{s}^{n}-X_{s}^{n-1}\right|^{2}ds\right]\\
 & \leq & 8K^{2}\int_{0}^{t}g_{n}\left(s\right)ds+2tK^{2}\int_{0}^{t}g_{n}\left(s\right)ds\\
 & \leq & 2K^{2}\left(4+t\right)\int_{0}^{t}g_{n}\left(s\right)ds\\
 & \leq & C_{T}\int_{0}^{t}g_{n}\left(s\right)ds
\end{eqnarray*}
On vérifie que $\underset{t\leq T}{\mathrm{sup}}g_{1}\left(t\right)\leq\tilde{C}$.
On peut alors montrer par récurrence que $g_{n}\left(t\right)\leq\tilde{C}\frac{\left(C_{T}t\right)^{n}}{\left(n-1\right)!}$.
En particulier, ${\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}g_{n}\left(T\right)^{\frac{1}{2}}<+\infty}$,
soit ${\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\underset{s\leq T}{\mathrm{sup}}\left|X_{s}^{n}-X_{s}^{n-1}\right|<+\infty}$
presque sûrement. Donc, presque sûrement, la suite $\left(X_{s}^{n},\, s\in\left[0,T\right]\right)_{n}$
converge uniformément. Notons $X$ la limite. $X$ est continu et
adapté.
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\underset{s\leq T}{\mathrm{sup}}\left|X_{s}^{n}-X_{s}\right|^{2}\right]^{\frac{1}{2}} & \leq & \sum_{k=n}^{+\infty}g_{k}\left(T\right)^{\frac{1}{2}}\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0
\end{eqnarray*}
On a
\begin{eqnarray*}
X_{t}^{n+1} & = & x+\int_{0}^{t}\sigma\left(s,X_{s}^{n}\right)dB_{s}+\int_{0}^{t}b\left(s,X_{s}^{n}\right)ds
\end{eqnarray*}
Or, $\int_{0}^{t}\sigma\left(s,X_{s}^{n}\right)dB_{s}\underset{n\to\infty}{\overset{L^{2}}{\longrightarrow}}\int_{0}^{t}\sigma\left(s,X_{s}\right)dB_{s}$,
$\int_{0}^{t}b\left(s,X_{s}^{n}\right)dB_{s}\underset{n\to\infty}{\overset{L^{2}}{\longrightarrow}}\int_{0}^{t}b\left(s,X_{s}\right)dB_{s}$.
Ainsi, pour tout $t$, on a bien
\[
\begin{cases}
dX_{t} & =\sigma\left(t,X_{t}\right)dB_{t}+b\left(t,X_{t}\right)dt\\
X_{0} & =x
\end{cases}\mbox{ presque sûrement}.
\]

\end{proof}
Si $B$ et $B'$ sont deux browniens (éventuellement sur des espaces
de probabilité différents) et si $X$ et $X'$ sont solutions des
EDS respectives
\[
\begin{cases}
dX_{t} & =\sigma\left(t,X_{t}\right)dB_{t}+b\left(t,X_{t}\right)dt\\
X_{0} & =x
\end{cases}\mbox{ et }\begin{cases}
dX'_{t} & =\sigma\left(t,X'_{t}\right)dB'_{t}+b\left(t,X'_{t}\right)dt\\
X'_{0} & =x
\end{cases}
\]
Sous les hypothèses du théorème précédent, le couple $\left(X,B\right)$
a la même loi que le couple $\left(X',B'\right)$. $X$ est une fonction
mesurable de $B$ ! De même $X^{n}$ et $X'^{n}$ (construits comme
dans la preuve précédente) ont la même loi pour tout $n$. Si on note
$\left(X_{t}^{x}\right)_{t\geq0}$ la solution partant de $x$, il
n'est pas évident que $x\mapsto\left(X_{t}^{x}\right)_{t}$ est continue.
\begin{thm}
Soient $\sigma,b$ continues, lipschitziennes par rapport à la seconde
variable. Alors, il existe $F_{x}:C\left(\mathbb{R}_{+},\mathbb{R}\right)\to C\left(\mathbb{R}_{+},\mathbb{R}\right)$
mesurable telle que

i) $w\mapsto\left(F_{x}\left(w\right)\right)_{t}$ est $\mathcal{F}_{t}$-mesurable

ii) Pour tout $w\in C\left(\mathbb{R}_{+},\mathbb{R}\right)$, l'application
$x\mapsto F_{x}\left(w\right)$ est continue.

iii) Si $B$ est un brownien, la solution de l'EDS
\[
\begin{cases}
dX_{t} & =\sigma\left(t,X_{t}\right)dB_{t}+b\left(t,X_{t}\right)dt\\
X_{0} & =x
\end{cases}
\]
est donnée par $X=F_{x}\left(B\right)$. 

De plus, si $U$ est une variable aléatoire $\mathcal{F}_{0}$-mesurable
alors la solution avec condition initiale $X_{0}=U$ est donnée par
$X=F_{U}\left(B\right)$.\end{thm}
\begin{prop}
Soient $\sigma,b$ continues, lipschitziennes par rapport à la seconde
variable et $\left(X_{t}^{x}\right)_{t}$ solution de l'EDS
\[
\begin{cases}
dX_{t} & =\sigma\left(t,X_{t}\right)dB_{t}+b\left(t,X_{t}\right)dt\\
X_{0} & =x
\end{cases}
\]
Alors, pour tout $T>0$, pour tout $p\geq1$, il existe $C$ tel que
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\underset{t\leq T}{\mathrm{sup}}\left|X_{t}^{x}-X_{t}^{y}\right|^{p}\right] & \leq & C\left|x-y\right|^{p}\\
\mathbb{E}\left[\underset{t\leq T}{\mathrm{sup}}\left|X_{t}^{x}\right|^{p}\right] & \leq & C\left|x\right|^{p}
\end{eqnarray*}
\end{prop}
\begin{proof}
Soit $T_{n}=\mathrm{min}\left(\mathrm{inf}\left\{ t\geq0,\;\left|X_{t}^{x}\right|\geq n\right\} ,\mathrm{inf}\left\{ t\geq0,\;\left|X_{t}^{y}\right|\geq n\right\} \right)$.
Soit $p\geq2$.
\begin{align*}
\mathbb{E}\left[\underset{s\leq T}{\mathrm{sup}}\left|X_{s\wedge T_{n}}^{x}-X_{s\wedge T_{n}}^{y}\right|^{p}\right] & \leq & C_{p} & \left(\left|x-y\right|^{p}+\mathbb{E}\left[\underset{s\leq t}{\mathrm{sup}}\left|\int_{0}^{s\wedge T_{n}}\left(\sigma\left(u,X_{u}^{x}\right)-\sigma\left(u,X_{u}^{y}\right)\right)dB_{u}\right|^{p}\right]\right.\\
 &  &  & \left.+\mathbb{E}\left[\underset{s\leq t}{\mathrm{sup}}\left|\int_{0}^{s\wedge T_{n}}\left(b\left(u,X_{u}^{x}\right)-b\left(u,X_{u}^{y}\right)\right)du\right|^{p}\right]\right)\\
 & \overset{\mbox{BDG}}{\text{\ensuremath{\leq}}} & \tilde{C_{p}} & \left(\left|x-y\right|^{p}+\mathbb{E}\left[\underset{s\leq t}{\mathrm{sup}}\left|\int_{0}^{t\wedge T_{n}}\left(\sigma\left(u,X_{u}^{x}\right)-\sigma\left(u,X_{u}^{y}\right)\right)^{2}du\right|^{\frac{p}{2}}\right]\right.\\
 &  &  & \left.+\mathbb{E}\left[\underset{s\leq t}{\mathrm{sup}}\left|\int_{0}^{s\wedge T_{n}}\left(b\left(u,X_{u}^{x}\right)-b\left(u,X_{u}^{y}\right)\right)du\right|^{p}\right]\right)\\
 & \overset{\mbox{Jensen}}{\leq} & \overline{C_{p}} & \left(\left|x-y\right|^{p}+\mathbb{E}\left[\underset{s\leq t}{\mathrm{sup}}\left|\int_{0}^{t\wedge T_{n}}\left(\sigma\left(u,X_{u}^{x}\right)-\sigma\left(u,X_{u}^{y}\right)\right)^{2}du\right|^{\frac{p}{2}}\right]\right.\\
 &  &  & \left.+\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t\wedge T_{n}}\left|\left(b\left(u,X_{u}^{x}\right)-b\left(u,X_{u}^{y}\right)\right)\right|^{p}du\right]\right)\\
 & \leq & \hat{C_{p}} & \left(\left|x-y\right|^{p}+\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t\wedge T_{n}}\left|X_{u}^{x}-X_{u}^{y}\right|^{p}du\right]\right)\\
 & \leq & \hat{C_{p}} & \left(\left|x-y\right|^{p}+\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}\left|X_{u\wedge T_{n}}^{x}-X_{u\wedge T_{n}}^{y}\right|^{p}du\right]\right)\\
 & \overset{\mbox{Fubini}}{\le} & \hat{C_{p}} & \left(\left|x-y\right|^{p}+\int_{0}^{t}\mathbb{E}\left[\left|X_{u\wedge T_{n}}^{x}-X_{u\wedge T_{n}}^{y}\right|^{p}du\right]\right)\\
 & \leq & \hat{C_{p}} & \left(\left|x-y\right|^{p}+\int_{0}^{t}\mathbb{E}\left[\underset{s\leq T}{\mathrm{sup}}\left|X_{s\wedge T_{n}}^{x}-X_{s\wedge T_{n}}^{y}\right|^{p}\right]du\right)
\end{align*}
Ainsi, d'après le lemme de Gronwall, il existe $C\left(T,p,K\right)$telle
que $\mathbb{E}\left[\underset{s\leq T}{\mathrm{sup}}\left|X_{s\wedge T_{n}}^{x}-X_{s\wedge T_{n}}^{y}\right|^{p}\right]\leq C\left|x-y\right|^{p}$.
On obtient le résultat annoncé en passant à la limite $n\to\infty$.
Pour montrer $\mathbb{E}\left[\underset{t\leq T}{\mathrm{sup}}\left|X_{t}^{x}\right|^{p}\right]\leq C\left|x\right|^{p}$,
on procède de la même manière. 
\end{proof}
Attention ! Le dernier résultat n'est pas une conséquence du premier
avec $y=0$ !
\begin{defn}
On dit que $\tilde{X}$ est une modification de $X$ si pour tout
$t$, $\mathbb{P}\left(X_{t}=\tilde{X}_{t}\right)=1$.
\end{defn}
$ $
\begin{defn}
On dit qu'une fonction est $\alpha$-Hölder si et seulement si il
existe $C$ telle que pour tout $x,y$ , $\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\leq C\left|x-y\right|^{\alpha}$.\end{defn}
\begin{thm}
Critère de continuité de Kolmogorov. Soit $I\subset\mathbb{R}$ intervalle
borné et $X=\left(X_{t}\right)_{t\in I}$ une famille de de variable
aléatoire à valeurs dans un espace métrique $\left(E,d\right)$ complet.
S'il existe $q$, $\varepsilon$, $C>0$ telles que, pour tout $s,t\in I$,
$\mathbb{E}\left[d\left(X_{s},X_{t}\right)^{q}\right]\leq C\left|t-s\right|^{1+\varepsilon}$,
alors il existe une modification $\tilde{X}$ de $X$ telle que $\tilde{X}$
est presque sûrement $\alpha$-Hölder pour tout $\alpha<\frac{\varepsilon}{q}$.
En particulier, $\tilde{X}$ est continu.\end{thm}
\begin{proof}
Mettons que $I=\left[0,1\right]$ pour simplifier la notation et $D=\left\{ \mbox{dyadiques}\right\} $.
\begin{eqnarray*}
\mathbb{P}\left(d\left(X_{s},X_{t}\right)\geq a\right) & \overset{\mbox{Tchebytchev}}{\le} & \frac{C}{a^{q}}\left|t-s\right|^{1+\varepsilon}
\end{eqnarray*}
Si on prend $\alpha<\frac{\varepsilon}{q}$,
\begin{eqnarray*}
\mathbb{P}\left(d\left(X_{\frac{i}{2^{n}}},X_{\frac{i+1}{2^{n}}}\right)\geq2^{-n\alpha}\right) & \le & C2^{n\alpha q}2^{-n\left(1+\varepsilon\right)}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=0}^{2^{n}-1}\left\{ d\left(X_{\frac{i}{2^{n}}},X_{\frac{i+1}{2^{n}}}\right)\geq2^{-n\alpha}\right\} \right) & \leq & C^{-n\left(\varepsilon-\alpha q\right)}
\end{eqnarray*}
On a bien $\varepsilon-\alpha q>0$. Par le lemme de Borel-Cantelli,
presque sûrement, il existe $n_{0}$ tel que pour tout $n\geq n_{0}$,
on a$ $ $d\left(X_{\frac{i}{2^{n}}},X_{\frac{i+1}{2^{n}}}\right)\le2^{-n\alpha}$
pour tout $i<2^{n}$. Si on pose $K:=\underset{n}{\mathrm{sup}}\underset{i<2^{n}}{\mathrm{sup}}\frac{d\left(X_{\frac{i}{2^{n}}},X_{\frac{i+1}{2^{n}}}\right)}{2^{-n\alpha}}$.
On a $K<+\infty$ presque sûrement et pour tout $n$, pour tout $i<2^{n}$,
$d\left(X_{\frac{i}{2^{n}}},X_{\frac{i+1}{2^{n}}}\right)\leq K2^{-n\alpha}$.
Par le lemme \ref{lem:lemlemlemin}, on a pour tout $s,t\in D$,
\begin{eqnarray*}
d\left(X_{s},X_{t}\right) & \leq & \tilde{K}\left|t-s\right|^{\alpha}
\end{eqnarray*}
avec $\tilde{K}<+\infty$ presque sûrement. En particulier, $X$ est
uniformément continu sur $d$. $E$ est complet donc on peut étendre
$X$ par continuité de manière unique. On pose $\tilde{X}$ cette
extension. Alors,

$\tilde{X}$ est $\alpha$-Hölder

$\tilde{X}$ est une modification de $X$. En effet, pour tout $t\in D$,
$\tilde{X}_{t}=X_{t}$ et on a $\mathbb{E}\left[d\left(X_{s},X_{t}\right)^{q}\right]\underset{s\to t,\, s\in D}{\longrightarrow}0$.
$\tilde{X_{s}}=X_{s}\underset{s\to t,\, s\in D}{\overset{(\mathbb{P})}{\longrightarrow}}X_{t}$
et $\tilde{X}_{s}$ est continu donc $\tilde{X}_{s}\underset{s\to t,\, s\in D}{\overset{\mbox{ps}}{\longrightarrow}}\tilde{X}_{t}$
donc $X_{t}=\tilde{X}_{t}$ presque sûrement.\end{proof}
\begin{lem}
\label{lem:lemlemlemin}Si $f$ est telle que pour tout $n$ et pour
tout $i<2^{n}$,
\[
d\left(f\left(\frac{i}{2^{n}}\right),f\left(\frac{i+1}{2^{n}}\right)\right)\leq K2^{-n\alpha}
\]
Alors, pour tout $s,t\in D=\left\{ \mbox{dyadiques}\right\} $, $d\left(f\left(s\right),f\left(t\right)\right)\leq CK\left|t-s\right|^{\alpha}$.\end{lem}
\begin{rem*}
On a montré
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\underset{s\leq t}{\mathrm{sup}}\left|X_{s}^{x}-X_{s}^{y}\right|^{p}\right] & \leq & C\left|x-y\right|^{p}
\end{eqnarray*}
On veut utiliser le critère de continuité de Kolomogorov. On munit
$C\left(\mathbb{R}_{+},\mathbb{R}\right)$ de la topologie de la convergence
uniforme sur tout compact :
\begin{eqnarray*}
d\left(w,w'\right) & = & \sum\alpha_{k}\left(\underset{s\leq k}{\mathrm{sup}}\left|w\left(s\right)-w'\left(s\right)\right|\wedge1\right)
\end{eqnarray*}
avec $\alpha_{k}>0$ et $\sum\alpha_{k}<+\infty$.
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[d\left(X^{x},X^{y}\right)^{p}\right] & \overset{\mbox{Jensen }}{\leq} & \left(\sum\alpha_{k}\right)^{p-1}\sum\alpha_{k}\mathbb{E}\left[\underset{s\leq k}{\mathrm{sup}}\left|X_{s}^{x}-X_{s}^{y}\right|^{p}\right]\\
 & \le & C\left|x-y\right|^{p}
\end{eqnarray*}
pourvu qu'on choisisse $\alpha_{k}\searrow0$ assez vite. Le théorème
d'extension de Kolmogorov assure qu'il existe $\tilde{X}=\left(\tilde{X}_{t}^{x}\right)_{x\in\mathbb{R},t\geq0}$
modification de $X$ pour tout $x$ et tel que $x\mapsto\tilde{X}^{x}$
est $\alpha$-Hölder pour tout $\alpha<1-\frac{1}{p}$.\end{rem*}
\begin{thm}
Supposons $\sigma\left(t,x\right)=\sigma\left(x\right)$ et $b\left(t,x\right)=b\left(x\right)$
lipschitziennes et $\left(X_{t}^{x}\right)_{t}$ solution de l'EDS
\[
\begin{cases}
dX_{t} & =\sigma\left(t,X_{t}\right)dB_{t}+b\left(t,X_{t}\right)dt\\
X_{0} & =x
\end{cases}
\]
Alors, $\left(X_{t}^{x}\right)_{t}$ est un processus de Markov dont
le semi-groupe d'évolution est donné par $P_{t}f\left(x\right)=\mathbb{E}\left[f\left(X_{t}^{x}\right)\right]$.\end{thm}
\begin{proof}
Soit $f$ mesurable bornée sur $\mathbb{R}^{d}$. On veut voir que
$\mathbb{E}\left[f\left(X_{t+s}\right)\mid\mathcal{F}_{s}\right]=Pf\left(X_{s}\right)$.
\begin{eqnarray*}
X_{t+s} & = & X_{s}+\int_{s}^{t+s}\sigma\left(X_{u}\right)dB_{u}+\int_{s}^{t+s}b\left(X_{u}\right)du
\end{eqnarray*}
On pose $X'_{u}=X_{s+u}$, $\mathcal{F}'_{u}=\mathcal{F}_{s+u}$ et
$B'_{u}=B_{s+u}-B_{s}$ (mouvement brownien). $X'$ et $B'$ sont
$\left(\mathcal{F}'_{u}\right)_{u\geq0}$-adaptés et
\begin{eqnarray*}
X'_{t} & = & X_{s}+\int_{0}^{t}\sigma\left(X'_{u}\right)dB'_{u}+\int_{0}^{t}b\left(X'_{u}\right)du
\end{eqnarray*}
$X'$ est donc solution de l'EDS
\[
\begin{cases}
dX'_{t} & =\sigma\left(X'_{t}\right)dB'_{t}+b\left(X'_{t}\right)dt\\
X'_{0} & =X_{s}\mbox{ (\ensuremath{\mathcal{F}_{0}}-mesurable)}
\end{cases}
\]
Donc $X'=F_{X_{s}}\left(B'\right)$.
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[f\left(X_{t+s}\right)\mid\mathcal{F}_{s}\right] & = & \mathbb{E}\left[f\left(X_{t}\right)\mid\mathcal{F}_{s}\right]\\
 & = & \mathbb{E}\left[f\left(F_{X_{s}}\left(B'\right)_{t}\right)\mid\mathcal{F}_{s}\right]\\
 & = & \int f\left(F_{X_{s}}\left(w\right)_{t}\right)d\mbox{Wiener}\left(w\right)\\
 & = & P_{t}f\left(X_{s}\right)
\end{eqnarray*}
donc 
\begin{eqnarray*}
P_{t+s}f\left(x\right) & = & \mathbb{E}\left[f\left(X_{t+s}^{x}\right)\right]\\
 & = & \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[f\left(X_{t+s}^{x}\right)\right]\mid\mathcal{F}_{s}\right]\\
 & = & \mathbb{E}\left[P_{t}f\left(X_{s}^{x}\right)\right]=P_{s}P_{t}f\left(x\right)
\end{eqnarray*}
\end{proof}
\begin{thm}
Sous le mêmes conditions, le processus est de Feller. De plus, son
générateur infinitésimal $\mathscr{L}$ satisfait : $C_{c}^{2}\left(\mathbb{R}\right)\subset\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$
et pour $f\in C_{c}^{2}\left(\mathbb{R}\right)$,
\begin{eqnarray*}
\mathscr{L}f\left(x\right) & = & \frac{1}{2}\sigma^{2}\left(x\right)f"\left(x\right)+b\left(x\right)f'\left(x\right)
\end{eqnarray*}
\end{thm}
\begin{proof}
On suppose $\sigma,b$ bornés pour simplifier. Si $f\in C_{0}\left(\mathbb{R}\right)$,
on doit voir $P_{t}f\in C_{0}\left(\mathbb{R}\right)$. La continuité
est OK car $x\mapsto F_{x}\left(w\right)$ est continue. Il faut aussi
voir que $\left|P_{t}f\left(x\right)\right|\underset{\left|x\right|\to+\infty}{\text{\ensuremath{\longrightarrow}}}0$
\begin{eqnarray*}
X_{t}^{x} & = & x+\int_{0}^{t}\sigma\left(X_{s}^{x}\right)dB_{s}+\int_{0}^{t}b\left(X_{s}^{x}\right)ds
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}\left[\left(X_{t}^{x}-x\right)^{2}\right] & \leq & C\left(t+t^{2}\right)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
P_{t}f\left(x\right) & = & \mathbb{E}\left[f\left(X_{t}^{2}\right)\right]
\end{eqnarray*}
On combine cette estimée avec $f\underset{\infty}{\to}0$ et c'est
bon.

A-t-on $P_{t}f\left(x\right)\underset{t\to}{\longrightarrow}f\left(x\right)$
? Oui car $X^{x}$ continu en $t=0$. $X$ est don un processus de
Feller.

Reste à identifier le générateur : Par la formule d'Itô, pour $f\in C_{c}^{2}\left(\mathbb{R}\right)$,
\begin{eqnarray*}
f\left(X_{t}^{x}\right) & = & f\left(X_{0}^{x}\right)+\int_{0}^{t}f'\left(X_{s}\right)dX_{s}+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}f"\left(X_{s}\right)d\langle X,X\rangle_{s}\\
 & = & f\left(x\right)+\int_{0}^{t}f'\left(X_{s}\right)\sigma\left(X_{s}\right)dB_{s}+\int_{0}^{t}\left(\frac{1}{2}\sigma^{2}f"+f'b\right)\left(X_{s}\right)ds
\end{eqnarray*}
 Rappel : si $f\left(X_{t}\right)-\int_{0}^{t}g\left(X_{s}\right)ds$
est une martingale avec $f,g\in C_{0}\left(\mathbb{R}\right)$ alors
$f\in\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$ et $\mathscr{L}f=g$.
\end{proof}
Conséquences :

Propriété de Markov forte

Pour $u\left(t,x\right)=\mathbb{E}\left[f\left(X_{t}^{x}\right)\right]$
on a vu que $\partial_{t}u=\mathscr{L}u$ pour tout $f\in\mathcal{D}\left(\mathscr{L}\right)$.

\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}
Pour finir, un exemple où on a unicité en loi de la solution d'une
EDS mais pas unicité presque sûrement :
\begin{example}
Soit $\sigma\left(x\right)=\begin{cases}
1 & \mbox{si }x\geq0\\
-1 & \mbox{si }x<0
\end{cases}$ et $W$ un brownien. Alors $B_{t}={\displaystyle \int_{0}^{t}\sigma\left(W_{s}\right)dW_{s}}$
définit un mouvement brownien car $\langle B,B\rangle_{t}=t$. Alors
$W_{t}=\int_{0}^{t}\sigma\left(W_{s}\right)dB_{s}$ et $-W_{t}=\int_{0}^{t}\sigma\left(-W_{s}\right)dB_{s}$.\end{example}
\begin{thebibliography}{1}
\bibitem{key-1}Durrett. Probability theory and examples.

\bibitem{key-6}Revuz, Yor. Continuous martingales and brownian motions.

\bibitem{key-3}Kanatsaz, Shieve. Brownian motions and stochastic
calculus.

\bibitem{key-4}Le Gall. Mouvements browniens, martingales et calcul
stochastiques.\end{thebibliography}

\end{document}
