CWT: une courte introduction

Quelques équations et animations pour mieux comprendre

Lise Vaudor, ISIG, UMR 5600

Introduction

Comme son nom l’indique, la transformation en ondelettes continue diffère de son homologue discrète en cela qu’elle s’applique à des signaux qu’on considère “continus”. On traite alors le signal comme s’il s’agissait d’une fonction \(f\) du temps ou de la distance (qu’on dénotera \(x\) par la suite).

Ce n’est évidemment une “vue de l’esprit” permettant certains traitements mathématiques, car les données dont on dispose ne sont pas “continues” mais bien discrètes (on dispose de mesures prises à une série d’instants \(x\) ou à une série d’emplacements \(x\))…

Introduction

La transformée en ondelettes continue permet d’offrir ce qu’on appelle une représentation temps-fréquence (ou représentation distance-fréquence, si \(x\) décrit l’espace et non le temps) d’un signal \(f(x)\).

Il s’agit en quelque sorte d’un “compromis” entre la représentation dans le temps (ou l’espace), et la représentation en fréquence (telle que celle que l’on obtient par une transformée de Fourier).

Introduction

Un exemple de signal

Ainsi le signal \(f(x)\) est simplement la somme de :

\[ \forall x \in [0,300[~~f_1(x)=0\\ \forall x \in [300,1000]~~f_1(x)=A_1cos(2\pi\frac{x}{T_1}) \]

\[ \forall x \in [0,800]~~f_2(x)=A_2*cos(2\pi\frac{x}{T_2})\\ \forall x \in ]800,1000]~~f_2(x)=0 \]

Introduction

Objectif de la transformée en ondelettes

Imaginons maintenant que l’on ne sait rien de la manière dont \(f(x)\) a été construite.

La transformée en ondelettes devrait permettre de décrire ce signal à la fois en terme de distance/temps et en terme de fréquence, ainsi:

Définitions et terminologie

Coefficients d’ondelettes

On note \(s_0\) l’échelle, et \(x_0\) une localisation.

Les coefficients d’ondelettes \(W(s_0,x_0)\) sont le résultat de la transformée en ondelettes, définie de la manière suivante:

\[ W(s_0,x_0)=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi_{s_0,x_0}(x)f(x)dt \]

Les fonctions d’ondelettes \(\Psi_{s_0,x_0}(x)\) sont définies à partir d’une fonction dite ondelette-mère \(\Psi_0\). Il en existe donc une infinité (autant que de valeurs possibles de \(s_0\) et de \(x_0\)!).

\[ \Psi_{s_0,x_0}(t)=\frac{1}{\sqrt{s_0}}\Psi_0(\frac{x-x_0}{s_0}) \]

NB: Ici par souci de simplicité je ne développerai la transformation en ondelettes d’un signal réel (et non complexe).

Définitions et terminologie

Ondelette-mère de Morlet:

Il existe de nombreuses ondelettes-mères. L’une des plus connues et l’ondelette-mère de Morlet, telle que:

\[ \Psi_0(x)=\pi^{-1/4}e^{-x^2/2}cos(6x) \]

Voilà à quoi elle ressemble:

Définitions et terminologie

Ondelettes-filles de Morlet:

Les ondelettes-filles (ou ondelettes tout court) de Morlet sont donc une “déclinaison” (par dilatation -fonction de \(s\)- et translation -fonction de \(x\)-) de cette ondelette-mère.

Quelques ondelettes-filles:

Calcul de la transformée en ondelettes: exemple

Retour sur l’équation

Reprenons maintenant notre équation effrayante du début:

\[ W(s_0,x_0)=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi_{s_0,x_0}(x)f(x)dx \]

Cette équation signifie que l’on peut calculer le coefficient d’ondelette à l’échelle \(s_0\) et à la localisation \(x_0\) de la manière suivante:

Calcul de la transformée en ondelettes: exemple

Calcul d’un coefficient d’ondelette:

Intéressons-nous par exemple au coefficient d’ondelette \(W(s_0=50,x_0=300)\):

Calcul de la transformée en ondelettes: exemple

Calcul des coefficients d’ondelettes pour l’échelle \(s_0=50\)

Faisons maintenant le même calcul en faisant varier la valeur de \(x_0\):

On voit ici que le coefficient d’ondelette (pour une échelle et une localisation donnés) est d’autant plus grand (valeurs positives) que l’ondelette et le signal “se ressemblent”. Il est d’autant plus petit (valeurs négatives) que l’ondelette et le signal sont opposés. Et il est d’autant plus proche de 0 que l’ondelette et le signal n’ont “rien à voir” l’un avec l’autre.

Calcul de la transformée en ondelettes: exemple

Calcul des coefficients d’ondelettes pour l’échelle \(s_0=200\)

Voyons maintenant ce qui se passe à une échelle plus large

Calcul de la transformée en ondelettes: exemple

Calcul des coefficients d’ondelettes pour l’échelle \(s_0=75\)

Et ce qui se passe à une échelle où a priori il ne se passe pas grand chose: