CWT: une courte introduction
Quelques équations et animations pour mieux comprendre
Lise Vaudor, ISIG, UMR 5600
Introduction
Comme son nom l’indique, la transformation en ondelettes continue diffère de son homologue discrète en cela qu’elle s’applique à des signaux qu’on considère “continus”. On traite alors le signal comme s’il s’agissait d’une fonction \(f\) du temps ou de la distance (qu’on dénotera \(x\) par la suite).
Ce n’est évidemment une “vue de l’esprit” permettant certains traitements mathématiques, car les données dont on dispose ne sont pas “continues” mais bien discrètes (on dispose de mesures prises à une série d’instants \(x\) ou à une série d’emplacements \(x\))…
Introduction
La transformée en ondelettes continue permet d’offrir ce qu’on appelle une représentation temps-fréquence (ou représentation distance-fréquence, si \(x\) décrit l’espace et non le temps) d’un signal \(f(x)\).
Il s’agit en quelque sorte d’un “compromis” entre la représentation dans le temps (ou l’espace), et la représentation en fréquence (telle que celle que l’on obtient par une transformée de Fourier).
Introduction
Un exemple de signal
Ainsi le signal \(f(x)\) est simplement la somme de :
- signal \(f_1\): une sinusoïde de période \(T_1=50\), et d’amplitude \(A_1=1\), qui débute en \(x=300\)
\[
\forall x \in [0,300[~~f_1(x)=0\\
\forall x \in [300,1000]~~f_1(x)=A_1cos(2\pi\frac{x}{T_1})
\]
- signal \(f_2\): une sinusoïde de période \(T_2=200\) et d’amplitude \(A_2=2\), qui se termine en \(x=800\)
\[
\forall x \in [0,800]~~f_2(x)=A_2*cos(2\pi\frac{x}{T_2})\\
\forall x \in ]800,1000]~~f_2(x)=0
\]
Introduction
Imaginons maintenant que l’on ne sait rien de la manière dont \(f(x)\) a été construite.
La transformée en ondelettes devrait permettre de décrire ce signal à la fois en terme de distance/temps et en terme de fréquence, ainsi:
- en terme de fréquence: elle devrait permettre de décrire le fait que dans ce signal deux fréquences \(f_1=1/50\) et \(f_2=1/200\) sont représentées (pour rappel \(f=1/T\))
- en terme de temps: elle devrait me permettre de décrire le fait que la fréquence \(f_1=1/50\) n’est représentée qu’à partir de \(x=300\), et que la fréquence \(f_2=1/200\) n’est plus représentée à partir de \(x=800\).
Définitions et terminologie
Coefficients d’ondelettes
On note \(s_0\) l’échelle, et \(x_0\) une localisation.
Les coefficients d’ondelettes \(W(s_0,x_0)\) sont le résultat de la transformée en ondelettes, définie de la manière suivante:
\[
W(s_0,x_0)=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi_{s_0,x_0}(x)f(x)dt
\]
Les fonctions d’ondelettes \(\Psi_{s_0,x_0}(x)\) sont définies à partir d’une fonction dite ondelette-mère \(\Psi_0\). Il en existe donc une infinité (autant que de valeurs possibles de \(s_0\) et de \(x_0\)!).
\[
\Psi_{s_0,x_0}(t)=\frac{1}{\sqrt{s_0}}\Psi_0(\frac{x-x_0}{s_0})
\]
NB: Ici par souci de simplicité je ne développerai la transformation en ondelettes d’un signal réel (et non complexe).
Définitions et terminologie
Ondelette-mère de Morlet:
Il existe de nombreuses ondelettes-mères. L’une des plus connues et l’ondelette-mère de Morlet, telle que:
\[
\Psi_0(x)=\pi^{-1/4}e^{-x^2/2}cos(6x)
\]
Voilà à quoi elle ressemble:
Définitions et terminologie
Ondelettes-filles de Morlet:
Les ondelettes-filles (ou ondelettes tout court) de Morlet sont donc une “déclinaison” (par dilatation -fonction de \(s\)- et translation -fonction de \(x\)-) de cette ondelette-mère.
Quelques ondelettes-filles:
