Présentation
La méthode
variationnelle pour la recherche des orbites périodiques a
été inaugurée par Poincaré, Birkhoff et Morse. Pendant longtemps,
elle a surtout concerné les géodesiques fermées, la fonctionnelle
associée (en dimension infinie) ayant des points critiques d'indice
fini et pouvant alors être étudiée par des méthodes inspirées du
cas de la dimension finie (théorie de Morse). De nombreux résultats
ont été obtenus, mais il reste encore beaucoup de questions ouvertes,
certaines depuis fort longtemps. Plus récemment (fin des annees
1970), on a pu aborder le cas ou l'indice peut être infini pour
étudier les orbites périodiques des systèmes hamiltoniens généraux
: l'indice de Morse devient alors l'indice de Maslov, et les questions
liées a ces orbites périodiques jouent un rôle central dans le
développement actuel de la topologie symplectique.
Références
- K.C. Chang, Infinite Dimensional Morse Theory and
Multiple Solution Problems, Birkhäuser, 1993
- A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge
University Press, 2001
- W. Klingenberg, Riemannian geometry, Walter de
Gruyter, 1995
- W. Klingenberg, Lectures on closed geodesics,
Springer, 1978
- D. McDuff, D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology,
Oxford University Press, 1998
- J. Milnor, Morse theory,
Princeton University Press, 1963
Notes
Horaire
- jeudi 13h30 - 15h30, Salle A2
- vendredi 08h00 - 10h00, Petite Salle (à côté de la
Salle Passerelle)
Calendrier du cours
| 16 janvier
: |
Éléments de
topologie algébrique 1 : homotopie et homologie
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| 17
janvier : |
Éléments de
topologie algébrique 2 : cohomologie
Exercices
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| 6 février : |
Théorie locale du
point critique 1 : lemme de Morse-Gromoll-Meyer
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| 7
février : |
Théorie locale du
point critique 2 : indices de Morse et homologie locale
Théorie globale du point critique 1 : lemmes de déformation
Exercises
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| 13 février : |
Théorie globale du
point critique 2 : inegalités de Morse, lemme de min-max
|
| 14
février : |
Théorie globale du
point critique 3 : théorème de Lusternik-Schnirelmann
Exercises
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| 20
février : |
Formulation du
problème des géodésiques fermées
Cadre fonctionnel 1 : espace de lacets
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| 21
février : |
Cadre fonctionnel 2
: fonction action
Exercises
|
| 27
février : |
Théorème de
Lyusternik–Fet
Théorème de Bangert-Hingston 1
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| 28
février : |
Théorème de
Bangert-Hingston 2
Indice de Morse de l'action lagrangienne
Exercises
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| 13 mars : |
Formules de Bott
pour l'indice des geodesiques iterées
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| 14
mars : |
Théorème de
Gromoll-Meyer
Exercises
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20
mars :
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Examen, 13h30 - 16h30, Salle A2
Solutions
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10
avril :
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Introduction à la
géométrie symplectique
Difféomorphismes hamiltoniens
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15
avril :
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Fonctions
génératrices de sous-variétés lagrangiennes
Preuve de Chaperon du théorème de Conley-Zehnder
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