Probabilités et applications à l’algorithmique

TD numéro 10 : processus de branchement : Galton-Watson

Natacha Portier lundi 22 avril 2002

Question 1 : chaîne de Markov homogène avec bruit blanc

Soit {Z_{n}}_{n≥1} une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées à valeurs dans un espace arbitraire F. Soit E un ensemble dénombrable et f : E × F → E une fonction. Soit X_{0} une variable aléatoire à valeur dans E indépendante des {Z_{n}}_{n≥1}. Montrer que la relation de récurrence suivante définit une chaine de Markov homogène :

X_{n+1} = f(X_{n}, Z_{n+1})

Question 2 : somme aléatoire de variables aléatoires i.i.d.

Soit {Y_{n}}_{n≥1} une suite de variables aléatoires i.i.d. à valeurs entières et dont la fonction génératrice est g_{Y}. Soit T une variable aléatoire à valeurs entières indépendante des {Y_{n}}_{n≥1} et de fonction génératrice g_{T}. Calculer la fonction génératrice de :

X = ∑_{n=1}^{T} Y_{n}

En déduire l’espérance de X en fonction de celles de T et des Y_{n}.

Question 3 : Graphe d’une fonction génératrice

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. Soit g : [0; 1] → R un fonction définie par g(x) = E[x^{X}].

Question 3,1

Montrer que g est croissante et convexe. Montrer en outre que si P (X = 0) < 1 alors g est strictement croissante et si P (X ≤ 1) < 1 alors g est strictement convexe.

Question 3,2

Supposons P (X ≤ 1) < 1. Montrer que si E[X] ≤ 1 alors l’équation g(x) = x a pour unique solution 1 dans [0; 1]. Montrer que si E[X] > 1 alors l’équation a deux solutions dans [0; 1] : x = 1 et x = x_{0} ∈]0; 1[.

Question 4,1 : cas général

Soit {Z_{n}^{(j)}}_{n≥1,j≥1} une suite de variables aléatoires i.i.d. à valeurs entières de foncttion génératrice g. Soit Z_{n} = (Z_{n}^{(1)}, Z_{n}^{(2)}, …) et X_{n} les variables définies par X_{0} = 1 et la relation de récurrence suivante :

X_{n+1} = ∑_{k=1}^{X_{n}} Z_{n+1}^{k}

Calculer la fonction génératrice du nombre X_{n} d’individus de la génération n et discuter de la probabilité d’extinction.

Question 4,2 : pourquoi la loi vient de changer

On suppose le nombre d’enfants mâles par homme dans la population française donné par la fonction génératrice suivante : g_{Z}(x) = 0, 3 + 0, 5x + 0, 18x^{2} + 0, 02x^{3} Quelle est la probabilité d’extinction d’un nom de famille issu d’un ancêtre commun ?