Probabilités et applications à l’algorithmique

TD numéro 8 : séries génératrices

Natacha Portier lundi 25 mars 2002

Question 1 : rappels mathématiques

Qu’est-ce qu’une série entière ? Qu’est-ce que le rayon de convergence ? Que peut-on dire de série sur la frontière du disque ouvert de convergence ? Comment peut-on calculer le rayon de convergence ? Quand et comment calculer la dérivée d’une série entière ? Quel est son rayon de convergence ?

Question 2 : principale définition

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. La fonction génératrice de probabilité de X est la fonction G_{X} définie par G_{X}(z) = E(z^{X}). Calculer G_{X}(1). Quel est le rayon de convergence de G_{X} ? Comment calculer les moments d’ordre 1 et 2 de X s’ils existent ? Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de fonctions génératrices G_{X} et G_{Y}. Calculer la fonction génératrice de X + Y. Quel est son rayon de vonvergence ?

Question 3 : loi géométrique

Calculer la fonction génératrice de la loi géométrique de paramètre p. En déduire sa moyenne et sa variance.

Question 4 : binomiale et Poisson

Question 4,1

Soit X_{1} une v.a. de loi binomiale de paramètres n ≥ 2 et p ∈ [0; 1]. Calculer la fonction génératrice G_{1} de X_{1}. En déduire E(X_{1}) et V ar(X_{1}).

Question 4,2

Soit X_{1} et Y_{1} deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives binomiales B(n, p) et B(m, p). Donner la loi de probabilité de X_{1} + Y_{1}.

Question 4,3

Soit X_{2} une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre λ > 0. Calculer la fonction génératrice G_{2} de X_{2}. En déduire E(X_{2}) et V ar(X_{2}).

Question 4,4

Soit X_{2} et Y_{2} deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives de Poisson P (λ) et P (μ). Donner la loi de probabilité de X_{2} + Y_{2}.

Question 4,5

On suppose que n → ∞ et p → 0 de façon que np → λ. Montrer que pour tout s ∈ R, G_{1}(s) → G_{2}(s).

Question 4,6

Supposons qu’à la sortie d’une usine de fabrication automobile chaque véhicule ait une chance sur 10000 de comporter un pare-brise défectueux, et ceci indépendemment de la fabrication des autres véhicules ; quelle est la probabilité qu’un parc de 10000 voitures comprennent au moins une voiture au pare brise défectueux ?

Question 5 : dés truqués

Question 5,1 On jette deux dés indépendants non pipés. En utilisant les fonctions génératrices, calculer la probabilité pour que la somme des points obtenue soit égale à un entier donné k. Représenter graphiquement (k, P(S=k)) et montrer que c’est sur un triangle.

Question 5,2 Peut-on truquer deux dés indépendemment de façon que la somme des points obtenue en les lançant soit équirépartie ?