Le problème des grandes puissances et celui des grandes racines.



Résumé


Soit f une fonction de N dans N qui ne soit pas calculable en temps polynomial, et a un élément d'un corps différentiel K de caractéristique nulle. Nous appelons problème des grandes puissances l'ensemble des uples x= (x_1, ..., x_n) de K tels que x_1=a^{f(n)}, et problème des grandes racines l'ensemble des uples x de K tels que x_1^{f(n)}=a. Ce sont deux exemples de problèmes que l'utilisation de la dérivée ne permet pas de résoudre plus rapidement. Nous montrons que le problème des grandes racines n'est pas polynomial au sens des corps différentiels, même si nous autorisons un nombre polynomial de paramètres, et que le problème des grandes puissances n'est pas polynomial au sens des corps différentiels, même au niveau non uniforme. Les démonstrations utilisent la stabilité polynomiale de la théorie des corps de caractéristique nulle, montrée par L. Blum, F. Cucker, M. Shub et S. Smale, ainsi que lemme de réduction qui permet de ramener un polynôme différentiel des variables x à un polynôme des variables x et de leurs dérivées.

Abstract


Let f be a function from N to N that can not be computed in polynomial time, and let a be an element of a differential field K of characteristic 0. The problem of large powers is the set of tuples x= (x_1, ..., x_n) of K so that x_1=a^{f(n)}, and the problem of large roots is the set of tuples x of K so that x_1^{f(n)}=a. These are two examples of problems that the use of derivation does not allow to solve quicker. We show that the problem of high roots is not polynomial for the differential field K, even if we use a polynomial number of parameters, and that the problem of large powers is not polynomial for the differential field K, even for non-uniform complexity. The proofs use the polynomial stability (i.e. the elimination of parameters) of field of characteristic 0, shown by L. Blum, F. Cucker, M. Shub and S. Smale, and the reduction lemma, that transforms a differential polynomial in variables x into a polynomial in variables x and their derivatives.