Il existe maintenant de nombreux résultats de transcendance et d'indépendance algébrique portant sur les valeurs de fonctions modulaires, hypergéométriques et elliptiques. Jusqu'en 1996, les résultats de transcendance portant sur les fonctions modulaires ou hypergéométriques venaient tous de résultats elliptiques. Avec les travaux de K. Barré-Sirieix, G. Diaz, F. Gramain, et G. Philibert, puis ceux de Y. Nesterenko, d'une part, et les travaux d'Y. André, d'autre part, le courant s'est désormais inversé, et l'on sait obtenir des résultats elliptiques à partir de fonctions modulaires ou hypergéométriques.
Dans la première partie de cet
exposé, nous montrerons, via une astuce
de G. V. Chudnovsky,
déjà
utilisée dans ce contexte par P. Grinspan,
comment l'insertion de fonctions
hypergéométriques
dans la méthode
modulaire développée
par les Stéphanois, permet d'obtenir des
mesures
d'approximation diophantienne de nombres liés
aux fonctions elliptiques.
Dans une seconde partie, nous renverserons le
problème et, à
l'aide de
fonctions modulaires, discuterons quelques exemples de fonctions
hypergéométriques de
Gauss vérifiant des
critères de transcendance et
d'indépendance
algbrique
d'Y. André.