A presentation in English is available here.Plus précisément, dans les deux cas, on utilise de la cryptographie asymétrique (ou à clé publique) : pour s'authentifier dans le premier cas, pour se mettre d'accord sur une clé secrète et pouvoir utiliser de la cryptographie symétrique dans le second cas. Le concept de cryptographie à clé publique a été présenté en 1976 par Diffie et Hellman et s'est révélé extraordinairement utile. Une caractéristique remarquable des cryptosystèmes à clé publique est qu'ils s'appuient pour la plupart sur des outils de théorie des nombres. Cela a fait de la cryptographie à clé publique un champ actif et important d'applications de la théorie des nombres et de la géométrie arithmétique.
Le cryptosystème à clé publique le plus connu (et toujours le plus utilisé à ce jour) est RSA, introduit en 1977 par Rivest, Shamir et Adleman. Il utilise l'arithmétique modulaire modulo un entier N de grande taille. Sa sécurité repose sur la difficulté de la factorisation de N. Comme c'est souvent le cas, on cherche un compromis entre l'efficacité (l'arithmétique est plus rapide modulo un entier N plus petit) et la sécurité (un entier N plus grand sera plus difficile à factoriser). Le problème (pour RSA) est qu'il existe des algorithmes "rapides" (qualifiés de "sous-exponentiels") de factorisation. Cela signifie qu'au fil du temps on a besoin d'entiers de plus en plus grands pour garantir la sécurité. Autrement dit le système RSA est de moins en moins performant.
D'autre part, une construction générale permet de construire un cryptosystème à l'aide d'un groupe quelconque. La sécurité repose sur la difficulté problème du logarithme discret (DLP en anglais) sur ce groupe. Cette construction initialement utilisée sur le groupe multiplicatif d'un corps fini, a connu un nouvel essor suite à la suggestion, faite indépendamment, par Koblitz et Miller en 1985 d'utiliser à la place le groupe additif des points d'une courbe elliptique définie sur un corps fini. Cela a donné naissance à la cryptographie à base de courbes elliptiques (ECC en anglais). La sécurité de ce système, dans l'état actuel des connaissances, est bien plus grande que celle de RSA, à taille de clé égales. De plus, pour garantir un même niveau de sécurité, la taille des clés nécessaires à RSA va augmenter bien plus rapidement que pour ECC. Ainsi, si ECC avec des clés de 160 bits équivaut RSA sur des clés de 1024 bits, le passage à 256 bits pour ECC demandera 3072 bits de clé pour RSA.
Enfin, récemment, divers chercheurs ont proposé des cryptosystèmes novateurs et performants, utilisant certaines applications bilinéaires appelées couplages (pairings en anglais), définies à l'aide de courbes elliptiques sur des corps finis. Ces travaux ont notamment permis de résoudre la question relativement ancienne du chiffrage à partir de l'identité.
Ces cryptosystèmes à base de courbes elliptiques commencent à être utilisés dans des applications de la vie réelle et sont en même temps au cœur d'un domaine de recherche très actif et passionnant.
Dans ce cours, nous souhaitons présenter certains aspects d'ECC
et notamment certaines applications cryptographiques récentes des
couplages.
Nous nous intéresserons aux moyens (mathématiques et
informatiques) de réaliser des implantations logicielles et
matérielles efficaces des algorithmes correspondants.
Par conséquent, avant de présenter ces algorithmes, nous
définirons et étudierons les corps finis, les courbes
elliptiques sur les corps finis et l'arithmétique de ces corps
et de ces courbes. Nous essaierons aussi de présenter certaines
attaques contre le DLP sur les corps finis et le groupe des points
d'une courbe elliptique.
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