temps-fréquence et ondelettes
John Cage, Concert for Piano and Orchestra (1957-58)
L'analogie avec la notation musicale est communément utilisée pour introduire l'idée de représentation temps-fréquence, chaque note d'un morceau étant en effet associée à une certaine localisation aussi bien temporelle (son instant d'occurrence et sa durée) que fréquentielle (sa hauteur). Tout en conservant cette vision qui associerait le plan temps-fréquence à une sorte de "portée" mathématique, l'analyse en ondelettes ajoute une contrainte supplémentaire dans la description en s'appuyant sur l'argument physique souvent raisonnable selon lequel une note, pour être percue comme telle, doit être tenue d'autant plus longtemps qu'elle est plus grave (comme disait N. Wiener dans I am a Mathematician, "A fast jig on the lowest register of an organ is in fact not so much bad music but no music at all."). Le plan temps-fréquence se trouve alors naturellement associé à une arborescence prenant racine aux basses fréquences.
La transformation de
et l'analyse spectrale, telle qu'elle a été développée en particulier par
, sont des outils incontournables du traitement des signaux harmoniques et/ou stationnaires. Elles reposent cependant sur un concept de fréquence qui est exclusif de toute évolution temporelle, ne permettant pas de donner commodément sens à la notion pourtant intuitive de fréquence instantanée. Cette difficulté est liée de façon fondamentale au fait que les variables de temps et de fréquence sont "canoniquement conjuguées", et leurs représentations associées sujettes à des inégalités de type "incertitude". La reconnaisssance qualitative de ce fait est attachée au nom de
(1925) et à un contexte de mécanique quantique (avec les variables de position et impulsion en lieu et place de celles de temps et fréquence), la forme mathématique précise des inégalités classiques étant due à
(1927) et
dans le cadre de la théorie du signal (1946). Répondant par anticipation au souhait de
("Je cherche en même temps l'éternel et l'éphémère"),
(1948) réconcilièrent temps et fréquence en proposant une définition de fréquence instantanée basée sur la notion de signal analytique, et donc sur l'utilisation de la transformation de
. Cependant, cette approche trouve elle aussi ses limitations dès lors que les signaux analysés sont multi- composantes, une fonction monovaluée ne pouvant rendre compte de l'évolution simultanée de plusieurs trajectoires temps-fréquence. Dans ces situations, il est en fait nécessaire de recourir à une approche vraiment bidimensionnelle, qui soit à même d'offrir une représentation (une "image") d'un signal non stationnaire dans un plan temps-fréquence. Là encore, quoique des approches intuitives et ad hoc aient depuis longtemps été utilisées sur la base de transformations de
(1932) et redécouverte dans le contexte de la théorie du signal par
(l'ondelette-mère) par translations et dilatations. Si la première construction d'une base d'ondelettes remonte à(1911), l'explosion de la théorie moderne (et de ses applications) date des années 80, à la suite des travaux de J. Morlet, A. Grossmann, Y. Meyer, S. Mallat, I. Daubechies, etc.
quelques repères bibliographiques généraux
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