Page personnelle de Samuel Le Fourn

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[4] Samuel Le Fourn, Sur la méthode de Runge et les points entiers de certaines variétés modulaires de Siegel, C. R. Ac. Sci. , 2017 [ arXiv | bib| DOI ]
Nous présentons des résultats sur les points entiers de certaines variétés modulaires. Ceux-ci sont basés sur une généralisation de la méthode dite de Runge en dimension supérieure, que nous commençons par expliquer. En particulier, nous obtenons un résultat explicite dans le cas de la variété modulaire de Siegel $A_2(2)$.

[3] Samuel Le Fourn, A ``tubular'' variant of Runge's method in all dimensions, with applications to integral points on Siegel modular varieties, [ arXiv | bib| PdF | Download Sage worksheet ]

Runge's method is a tool to figure out integral points on some curves, effectively in terms of height. This method has been generalised to varieties of any dimension, unfortunately its conditions of application are often too restrictive. In this paper, we provide a further generalisation intended to be more flexible while still effective, and exemplify its applicability by giving finiteness results for integral points on some Siegel modular varieties. As a special case, we obtain a totally explicit finiteness result for integral points on the Siegel modular variety $A_2(2)$.

[2] Samuel Le Fourn, Nonvanishing of central values of ${L}$-functions of newforms in ${S}_2 ({\Gamma}_0 (dp^2))$ twisted by quadratic characters, Canadian Mathematical Bulletin , 2017. [ arXiv | bib| DOI]

We prove that for $d \in \{ 2,3,5,7,13 \}$ and $K$ a quadratic (or rational) field of discriminant $D$ and Dirichlet character $\chi$, if a prime $p$ is large enough compared to $D$, there is a newform $f \in S_2(\Gamma_0(dp^2))$ with sign $(+1)$ with respect to the Atkin-Lehner involution $w_{p^2}$ such that $L(f \otimes \chi,1) \neq 0$. This result is obtained through an estimate of a weighted sum of twists of $L$-functions which generalises a result of Ellenberg. It relies on the approximate functional equation for the $L$-functions $L(f \otimes \chi, \cdot)$ and a Petersson trace formula restricted to Atkin-Lehner eigenspaces. An application of this nonvanishing theorem will be given in terms of existence of rank zero quotients of some twisted jacobians, which generalises a result of Darmon and Merel.

[1] Samuel Le Fourn, Surjectivity of Galois representations associated with quadratic $\Q$-curves, Mathematische Annalen, 2016. [ arXiv | bib DOI]

We prove in this paper an uniform surjectivity result for Galois representations associated with non-CM $\Q$-curves over imaginary quadratic fields, using various tools for the proof, such as Mazur's method, isogeny theorems, Runge's method and analytic estimates of sums of $L$-functions.

Thèse

J'ai effectué ma thèse sous la direction de Pierre Parent (Université de Bordeaux), de 2011 à 2015. Elle s'intitule « Points entiers et rationnels sur des courbes et variétés modulaires de dimension supérieure », et son résumé est ci-dessous, en français et en anglais.

Résumé

Cette thèse porte sur l'étude des points entiers et rationnels de certaines courbes et variétés modulaires. Après une brève introduction décrivant les motivations et le cadre de ce genre d'études ainsi que les résultats principaux de la thèse, le manuscrit se divise en trois parties.

Le premier chapitre s'intéresse aux $\Q$-courbes, et aux morphismes $\operatorname{Gal}(\Qb / \Q) \rightarrow \operatorname{PGL}_2(\Fp)$ qu'on peut leur associer pour tout $p$ premier. Nous montrons que sous de bonnes hypothèses, pour $p$ assez grand par rapport au discriminant du corps de définition de la $\Q$-courbe, ce morphisme est surjectif, ce qui résout un cas particulier du problème d'uniformité de Serre (toujours ouvert en général). Les outils principaux du chapitre sont la méthode de Mazur (basée ici sur des résultats d'Ellenberg), la méthode de Runge et des théorèmes d'isogénie, suivant la structure de preuve de Bilu et Parent.

Le second chapitre consiste en des estimations analytiques de sommes pondérées de valeurs de fonctions $L$ de formes modulaires, dans l'esprit de techniques développées par Duke et Ellenberg. La motivation de départ d'un tel résultat est l'application de la méthode de Mazur dans le premier chapitre.

Le troisième chapitre est consacré à la recherche de généralisations de la méthode de Runge pour des variétés de dimension supérieure. Nous y redémontrons un résultat de Levin inspiré de cette méthode, avant d'en prouver une forme assouplie dite « de Runge tubulaire », plus largement applicable. Dans l'optique de recherche de points entiers de variétés modulaires, nous en donnons enfin un exemple d'utilisation à la réduction d'une surface abélienne en produit de courbes elliptiques.

Mots-clés

Courbes elliptiques, courbes modulaires, représentations galoisiennes, problème d' uniformité de Serre, méthode de Mazur, théorèmes d'isogénie, formule des traces de Petersson, méthode de Runge, variétés modulaires de Siegel, fonctions thêta

Abstract

This thesis concerns the study of integral and rational points on some modular curves and varieties. After a brief introduction which describes the motivation and the setting of this topic as well as the main results of this thesis, the manuscript follows a threefold development.

The first chapter focuses on $\Q$-curves, and on the morphisms $\operatorname{Gal}(\Qb / \Q) \rightarrow \operatorname{PGL}_2(\Fp)$ that we can build with a $\Q$-curve for every prime $p$. We prove that, under good hypotheses, for $p$ large enough with respect to the discriminant of the definition field of the $\Q$-curve, such a morphism is surjective, which solves a particular case of Serre's uniformity problem (still open in general). The main tools of the chapter are Mazur's method (based here on results of Ellenberg), Runge's method, and isogeny theorems, following the strategy of Bilu and Parent.

The second chapter covers analytic estimates of weighted sums of $L$-function values of modular forms, in the fashion of techniques designed by Duke and Ellenberg. The initial goal of such a result is the application of Mazur's method in the first chapter.

The third chapter is devoted to the search for generalisations of Runge's method for higher-dimensional varieties. Here we prove anew a result of Levin inspired by this method, before proving an enhanced version called “tubular Runge”, more generally applicable. In the perspective of studying integral points of modular varieties, we finally give an example of application of this theorem to the reduction of an abelian surface in a product of elliptic curves.

Keywords

Elliptic curves, modular curves, Galois representations, Serre's uniformity problem, Mazur's method, isogeny theorems, Petersson trace formula, Runge's method, Siegel modular varieties, theta functions