Page mathématique de Sébastien Martineau


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Présentation de mon thème de recherche



Une pierre poreuse plongée dans un seau d'eau est-elle trempée en profondeur ? La théorie de la percolation se propose de répondre à cette question, ainsi qu'à nombre d'autres questions de propagation (qu'il s'agisse de maladie, de rumeur ou de feu de forêt). Pour résoudre le problème de la pierre, le probabiliste mesure par pesée la porosité \(p\) de cette dernière, c'est-à-dire sa proportion de trous. Il conçoit ensuite un modèle probabiliste de pierre aléatoire de porosité \(p\). Pour ce faire, il utilise une pièce biaisée qui renvoie pile avec probabilité \(p\). Il découpe une pierre (non-poreuse) imaginaire en une multitude de petits blocs et, pour chaque bloc, il tire à pile ou face pour savoir s'il jette ce bloc (pile) ou s'il le conserve dans la pierre (face). Si la réponse du modèle probabiliste de porosité \(p\) est presque toujours la même, il n'est pas aberrant de partir du principe que la pierre réelle se rangera du côté de la majorité. Or, on a de la chance, c'est exactement ce qu'il se produit : à \(p\) fixé, la réponse à la question initiale est quasiment toujours la même. En revanche, cette réponse déterministe dépend de \(p\). Si \(p\) est plus petit qu'une certaine valeur critique, l'infiltration n'a pas lieu, si \(p\) excède cette valeur, elle a lieu.

Mathématiquement, on part d'un graphe (\(\mathbb{Z}^3\) dans le cas de la pierre) et d'un paramètre \(p\) entre 0 et 1. Chaque arête est conservée avec probabilité \(p\) et éliminée sinon, et ce indépendamment les unes des autres. On cherche alors à savoir s'il existe une composante connexe infinie dans ce graphe.

J'étudie ce processus pour un groupe de type fini quelconque au lieu de \(\mathbb{Z}^3\). Je cherche à comprendre comment la valeur critique dépend du graphe étudié et ce qu'on peut dire des composantes connexes infinies qui apparaissent. De façon plus générale, je m'intéresse à la mécanique statistique, la théorie ergodique et la géométrie des graphes/groupes.

Enseignement



De septembre à décembre 2019, j'assure le cours-TD-TP de bases de théorie des probabilités et de statistique (M1).
Pour les étudiants absents à la séance du 5 décembre, le contenu de la séance est le suivant (la séance ayant eu lieu, je peux dire exactement ce qu'on a fait). En ce qui concerne le cours, il s'agit de lire les sections 8.1 et 8.2 du polycopié de Jean Bertoin, jusqu'à la définition de la moyenne empirique page 73. Côté exercices, il s'agit de chercher les exercices 1 à 4 de la feuille de TD6 (des coquilles ont été corrigées par rapport à la version de 10h30). Le corrigé associé à cette séance se trouve ici : 1, 2, 3, 4, 5, 6. Plus précisément, n'ont été corrigés en séance que les trois premiers exercices du TD 6, ainsi que l'exercice 4 du TD 5.
Les documents relatifs à cet enseignement seront disponibles ici-même.
Pour les étudiants absents à la séance du 10 décembre, on a défini et implémenté en Python le test du chi-deux. Pour ce faire, on a vu la définition de la loi du chi-deux (début de la section 8.3.a du poly de Jean Bertoin) puis la dernière proposition de ce même polycopié (fin de la section 8.3.c). Ensuite, on a formulé et expliquer le test du chi-deux (son objectif, sa pertinence) : cela sera prochainement expliqué dans un document mis en ligne ici-même.
Le polycopié synthétique du cours se trouve ici.
Ce polycopié synthétique couvre le programme du partiel (chapitres 1 et 2).
(Un polycopié détaillé qui ne couvre que le tout début du cours est disponible ici.)
Les premières feuilles de TD sont disponibles ici (feuille 1, feuille 2, feuille 3, feuille 4, feuille 5, feuille 6).
Certaines corrections d'exercices de TD sont disponibles ici (feuille 1, feuille 2, feuille 4).

Le cours du jeudi 3 octobre 10:45-12:45 aura lieu à la place le mardi premier octobre, même heure, en salle 14-15 108.

Les TP ont lieu une semaine sur deux, le mardi, de 10h45 à 12h45.
La salle de TP est la 16-26 401.
Les trois premières séances sont les mardis 24/09, 08/10 et 22/10.
Il y aura en tout six séances.

Les feuilles de TP est disponibles ici (feuille 1, feuille 2, feuille 3).
Ici se trouvent des corrections aisément lisibles, au format html (feuille 1, feuille 3).
Ici se trouvent des corrections interactives lisibles avec Jupyter Notebook (feuille 1, feuille 3).


Entre 2011 et 2015, j'ai été moniteur puis agrégé-préparateur au département de mathématiques de l'ENS Lyon.

J'ai professé durant les automnes 2011 à 2014 le cours de probabilités destiné aux agrégatifs non-spécialisés en probabilités. Vous trouverez ici le polycopié de cours (qui n'aborde malheureusement pas tous les points vus en amphi), les feuilles d'exercices et derrière ce lien matière à approfondissement. Voici également un tableau récapitulatif sur les lois usuelles.

Au premier semestre 2012, j'ai encadré avec François Le Maître un groupe de lecture niveau L3 sur le livre Groups, graphs and trees de John Meier.

En automne 2012, j'ai assuré avec Emmanuel Jacob les TD du cours d'introduction aux probabilités professé aux L3 par Grégory Miermont. Vous trouverez ici quelques éléments de correction.

Durant le premier semestre de l'année 2014, j'ai assuré avec Emmanuel Jacob et Vincent Tassion les TD du cours d'intégration et probabilités de Grégory Miermont à destination des L3.

Au cours des premiers semestres des années 2014 et 2015, j'ai assuré les TD du cours de mouvement brownien et processus stochastiques d'Emmanuel Jacob (Master 1).

J'ai encadré un certain nombre de leçons d'agrégation. Pour la leçon sur la combinatoire, j'ai rédigé des notes que voici.

En janvier 2014, j'ai co-encadré une partie de la semaine ski agrég. On a notamment parlé de connexes dénombrables.

Au premier semestre 2015, j'ai professé le cours alterdisciplinaire de mathématiques. Ce cours de L3 destiné aux non-matheux s'intitulait Aperçus de mathématiques.

Enfin, durant l'année académique 2014-2015, j'ai assuré avec Emmanuel Jacob les cours, TP et oraux blancs destinés aux agrégatifs en option A.

Bonus




Vous trouverez ici quelques énigmes destinées aux étudiants de mathématiques en fin de licence.

Voici un document sur les notions d'ouvert et de voisinage. On y définit les notions de voisinage et d'ouvert dans cet ordre-ci (naturel), à l'inverse de l'approche la plus répandue.

Voici quelques exercices tapés jadis, tandis que je co-encadrais le stage olympique de Grésillon 2008.

Avec trois amis, je finalise actuellement un projet poétique intitulé Le Voyage. Si vous voulez en savoir plus, vous pouvez me contacter.

Enfin, quelques vers de Malherbe s'appliquant bien à Gromov :

Moy de qui la fortune est si proche des cieux
Que je voy sous moy toutes choses,
Et tout ce que je voy n'est qu'un point à mes yeux.