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%---- Dimensions des marges ---
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%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
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\renewcommand{\d}{\, \mathrm d}

\DeclareMathOperator{\ch}{\mathrm{ch}}

%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Universit\'e Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre de printemps 2016-2017}\\
  %  Module
  \noindent {Math IV - PMI - Analyse\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no1} \\
    \textsc{Révisions sur les séries numériques et les suites de fonctions} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

%--------- Exercice--------------
%\newcounter{exercice}\setcounter{exercice}{1}
% \newenvironment{exo}[1][]
%{\pagebreak[3]                           \bigskip                           {\noindent  {\bf \underline{Exercice \theexercice.}} #1}                         }{\stepcounter{exercice} \medskip}

% Exercices :
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\be}{\begin{exo}}
\newcommand{\ee}{\end{exo} \bigskip}

\newcommand{\benu}{\begin{enumerate}}
\newcommand{\eenu}{\end{enumerate}}









\begin{document}



\baselineskip=0.6cm
\entete



\textbf{I. Séries numériques}


\bigskip



\be Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :
$$\textrm{a). } u_n=\dfrac{n}{n^2+1} \hspace{1.5cm} \textrm{b). } u_n=\dfrac{\ch n}{\ch(2n)} \hspace{1.5cm} \textrm{c). } u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n^2-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}} \hspace{1.5cm} \textrm{d). } u_n=e-\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n.$$
\ee




\be Soient $\di \sum u_n$ et $\di \sum v_n$ deux séries à termes strictement positifs convergentes. Montrer que les séries suivantes sont aussi convergentes :
$$\sum \max(u_n,v_n), \quad \sum \sqrt{u_n v_n} \quad \textrm{ et } \quad \sum \dfrac{u_n v_n}{u_n+v_n}.$$
\ee






\be Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :
$$ \textrm{a). } u_n=\ln \left(1+ \dfrac{(-1)^n}{n+1} \right), \hspace{1.25cm} \textrm{b). } u_n=\cos(\pi \sqrt{n^2+n+1}).$$
\ee



\be On pose pour tout $n \in \N$, $u_n=\dfrac{(-1)^n 8^n}{(2n)!}$.
\benu 
\item Déterminer la nature de la série $\di \sum u_n$.
\item Donner un encadrement du reste d'ordre $n$ de cette série.
\item En déduire que $\di \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n 8^n}{(2n)!}$ est un réel négatif.
\eenu
\ee






\be \'Etudier la nature de la série suivante et calculer sa somme si elle est convergente :
$$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}.$$
\ee



\be Déterminer un équivalent simple de :
\benu
\item $S_n=\di \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^{\alpha}}$ pour $\alpha <1$ donné,
\item $R_n=\di \sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^{\alpha}}$ pour $\alpha >1$ donné.
\eenu
\ee




\be Déterminer en fonction du paramètre $\alpha \in \R$ la nature des séries de termes généraux :
$$\textrm{a). } u_n=e^{-n^{\alpha}}, \hspace{1.5cm} \textrm{b). } u_n=\dfrac{\ln n}{n^{\alpha}}, \hspace{1.5cm} \textrm{c). } u_n=\mathrm{exp}(-(\ln n)^{\alpha}) \hspace{1.5cm} \textrm{d). } u_n=\dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha}+(-1)^n}.$$
\ee





\be Prouver l'existence et calculer la valeur de $\di \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) 3^{-n}$.\\
\emph{Indication : on pourra essayer de faire apparaître un produit de Cauchy.}
\ee






\textbf{II. Suites de fonctions}





\bigskip



\be On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n\in \N}$ définies par $f_n(x) = \dfrac{n}{\sqrt{\pi}} e^{-n^2x^2}$ pour $x\in \R$. 
\benu
\item Etudier la convergence simple de la suite de fonctions $(f_n)_{n\in \N}$.
\item Démontrer que pour tout $a > 0$, la suite de fonctions $(f_n)_{n\in \N}$ converge uniformément sur les intervalles $]- \infty ; -a]$ et $[a ; + \infty[$. 
\item La suite de fonctions $(f_n)_{n\in \N}$ converge-t-elle uniformément sur $]0 ; + \infty[$ ?
\eenu
\ee





\be On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n\in \N}$ définies par $f_n(x) = (x^2 + 1) \dfrac{ne^x + xe^{-x}}{n + x}$ pour $x\in [0 ; 1]$. 
\benu
\item Démontrer que la suite de fonctions $(f_n)_{n\in \N}$ converge uniformément sur $[0 ; 1]$.
\item Calculer $\di{\lim \limits_{n \to + \infty} \int_0^1 f_n(x) \d x}$.
\eenu
\ee






\be Soit $f : [0; 1] \longrightarrow \R$ une application continue. On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \N}$, définies sur $[0; 1]$ par $f_n(x) = \dfrac{f(x)}{1 + n^2x^2}$.
\benu
\item Lorsque $f(x) = x$ pour tout $x \in [0;1]$, la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \N}$ converge-t-elle uniformément sur $[0; 1]$ ?
\item On revient à $f$ quelconque. Montrer que si la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \N}$ converge uniformément sur $[0; 1]$, alors $f(0) = 0$.
\eenu
\ee








\be Calculer la limite de $\di{\int_{0}^{n} \left(1 - \dfrac{x}{n} \right)^n \cos x \d x}$ quand $n \to + \infty$. \\
\emph{On pourra utiliser l'inégalité $\ln(1+u) \leq u$ valable pour tout $u > -1$}.
\ee










\end{document}