\documentclass[a4paper,oneside]{article}
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\usepackage{ae}
%\usepackage{aeguill}
%\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} %pour faire des dessins en pstricks ; nécessite de faire laTex => PS => PDF
\usepackage{color}                               %pour mettre de la couleur
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,amsthm,graphicx}

\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{multicol}


%\pagestyle{empty}

%---- Dimensions des marges ---
\setlength{\paperwidth}{21cm}
\setlength{\paperheight}{29.7cm}
\setlength{\evensidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
\setlength{\headsep}{0.7cm}
\setlength{\headheight}{1cm}
\setlength{\textheight}{25.5cm}
\setlength{\textwidth}{17.3cm}



%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\intg}{[\![}
\newcommand{\intd}{]\!]}

\newcommand{\Vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}

\newcommand{\Det}{\mathrm{det}}
\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}}
\newcommand{\Id}{\mathrm{Id}}
\newcommand{\et}{\ \mbox{et} \ }
\newcommand{\ou}{\ \mbox{o\`u} \ }
\newcommand{\M}{\mathcal{M}}

\newcommand{\FF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\CC}{\mathcal{C}}

\newcommand{\di}{\displaystyle}

\renewcommand{\d}{\, \mathrm d}

\DeclareMathOperator{\ch}{\mathrm{ch}}


%raccourcis
\newcommand{\ev}{espace vectoriel}
\newcommand{\ssi}{si et seulement si}
\newcommand{\CS}{Cauchy-Schwarz}


%Analyse

\newcommand{\classe}[1]{classe $\mathcal{C}^{#1}$} %pour écrire directement classe C^k, en mettant le k entre accolades
\newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |} %pour les valeurs absolues en mettant entre accolade ce que l'on veut



%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Universit\'e Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre de printemps 2016-2017}\\
  %  Module
  \noindent {Math IV - PMI - Analyse\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no2} \\
    \textsc{Espaces vectoriels normés} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

%--------- Exercice--------------
%\newcounter{exercice}\setcounter{exercice}{1}
% \newenvironment{exo}[1][]
%{\pagebreak[3]                           \bigskip                           {\noindent  {\bf \underline{Exercice \theexercice.}} #1}                         }{\stepcounter{exercice} \medskip}

% Exercices :
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\be}{\begin{exo}}
\newcommand{\ee}{\end{exo} \bigskip}

\newcommand{\benu}{\begin{enumerate}}
\newcommand{\eenu}{\end{enumerate}}



\newcommand{\beqn}{\begin{eqnarray*}}
\newcommand{\eeqn}{\end{eqnarray*}}







\begin{document}



\baselineskip=0.6cm
\entete





{\textbf{I. Normes }}




\bigskip





\be Soit $n \in \N^*$.
\benu
\item Pour $u = (x_1, \dots, x_n) \in \R^n$, rappeler l'expression des normes $\|u\|_1$, $\|u\|_2$ et $\|u\|_\infty$.
\item Justifier (sans calcul) que les normes $\| \cdot \|_1$, $\| \cdot \|_2$ et $\| \cdot \|_\infty$ sont équivalentes deux à deux. 
\item Déterminer les constantes $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ optimales (c'est-à-dire les plus petites possibles) telles que pour tout $u\in \R^n$ : 
\[\|u\|_1 \leq \alpha \|u\|_2 \leq \beta \|u\|_\infty \leq \gamma \|u\|_1.\]
\eenu
\ee






\be On consid\`ere les applications suivantes:
\[
  \begin{array}{lllll}
 N_1&:&\R^2&\longrightarrow&\R\\
& & (x_1,x_2)&\longmapsto& |x_1+x_2|+|x_1|
\end{array}, \quad  \ \begin{array}{lllll}
N_2&:&\R^2&\longrightarrow&\R\\
& & (x_1,x_2)&\longmapsto& \max(|x_1+3x_2|,|x_1-x_2|)\end{array}.
\]
\benu
\item V\'erifier que chacune de ces applications d\'efinit une norme.
 \item Tracer la boule unit\'e fermée autour de l'origine par rapport \`a
$N_1,$ et par rapport \`a  $N_2.$
\eenu
\ee






\be On définit l'application $N : \R^2 \longrightarrow \R$ par :
\[\forall u = (x,y) \in \R^2,\; N(u) = \dfrac{1}{2} \max \left(|x + y|, |x - y| \right).\]
\benu
\item 
     \benu
     \item Montrer que l'application $N$ est une norme sur $\R^2$. 
		 \item Dessiner sa boule unité fermée. 
     \eenu
\item Pour $\|\cdot\|$ une norme quelconque sur $\R^2$, on note $S_{\| \cdot \|}\left(0_{\R^2},r \right)$ la sphère unité de $\R^2$ de centre $0_{\R^2}$ et de rayon $r$. 
     \benu
     \item Montrer que pour toute norme $\|\cdot \|$ sur $\R^2$, on a pour tout $u \in \R^2 \setminus \{0_{\R^2}\}$ : 
\[\dfrac{u}{\|u\|} \in S_{\| \cdot \|}\left(0_{\R^2},1 \right).\]
		 \item Soit $\alpha \in \R_+^{\star}$ et $N_1$ et $N_2$ deux normes sur $\R^2$. Montrer que si les sphères $S_{N_1}\left(0_{\R^2},1 \right)$ et $S_{N_2}\left(0_{\R^2},\alpha \right)$ sont égales, alors il existe $k \in \R$, que l'on explicitera, tel que $N_1(u) = kN_2(u)$ pour tout $u \in \R^2$. 
		 \item En justifiant à l'aide du dessin, en déduire qu'il existe $\beta \in \R$, que l'on explicitera, tel que $N(u) = \beta \left(|x| + |y| \right)$ pour tout $u = (x,y) \in \R^2$. \label{deux normes presques égales}
     \eenu		
\item On cherche maintenant à retrouver le résultat précédent par le calcul. 		
     \benu
     \item Montrer que $N(x,y) = N(y,x) = N(-x,y)$ pour tout $(x,y) \in \R^2$.
		 \item En déduire que $N(x,y) = N(|x|,|y|)$ pour tout $(x,y) \in \R^2$. 
		 \item Retrouver ainsi le résultat de la question \ref{deux normes presques égales}.
     \eenu
\eenu
\ee



\newpage




\be Les applications $N$ suivantes sont-elles des normes ? 
\begin{multicols}{2}
\benu
\item $N : C(\R,\R) \longrightarrow \R$, $f \longmapsto \mathop{\sup}\limits_{x \in \R} |f(x)|$. 
\item $N : C([0;1],\R) \longrightarrow \R$, $f \longmapsto \mathop{\sup}\limits_{x \in [0;1]} |f(x)|^2$. 
\item $N : C([0;1],\R) \longrightarrow \R$, $f \longmapsto \mathop{\sup}\limits_{x \in \left[0;\frac{1}{2} \right]} |f(x)|$. 
\item $N : C([0;1], \R) \longrightarrow \R$, $f \longmapsto \mathop{\sup}\limits_{x \in [0;1]} |f(x)|$. 
\item $N : C([0;2\pi],\R) \longrightarrow \R$, $\di{f \longmapsto \int_{0}^{2\pi} \left|f(t) \sin t\right|dt}$. 
\item $N : C_b(\R,\R) \longrightarrow \R$, $f \longmapsto \mathop{\sup}\limits_{x \in \R} |f(x)|$
\item $N : C([0;1],\R) \longrightarrow \R$, $\di{f \longmapsto \left|\int_{0}^{1} f(t)dt \right|}$. 
\item $N : \R^2 \longrightarrow \R$, $(x,y) \longmapsto |x|+2|y|$. 
\item $N : \R^2 \longrightarrow \R$, $(x,y) \longmapsto \left(\sqrt{|x|} + \sqrt{|y|}\right)^2$.
\eenu
\end{multicols}
où $C_b(\R,\R)$ désigne l'espace vectoriel des fonctions continues bornées de $\R$ dans $\R$. 
\ee







\be Pour tout $f \in C([0;1],\R)$, on définit 
\beqn \|f\|_1=\int_{0}^1 |f(t)| \, \mathrm dt, \quad \|f\|_2=\sqrt{\int_0^1 (f(t))^2 \, \mathrm dt}, \quad \textrm{ et } \quad \|f\|_{\infty}=\sup_{t \in [0;1]} |f(t)|.
\eeqn
\benu
\item En adaptant un peu l'exercice précédent, on sait que $\| \, \|_1$ et $\| \, \|_{\infty}$ sont des normes sur $C([0;1],\R)$. Montrer que $\| \, \|_2$ définit aussi une norme sur $C([0;1],\R)$.
\item Montrer que pour tout $f \in C([0;1] ,\R)$, on a $\|f\|_1 \leq \|f\|_2 \leq \|f\|_{\infty}$, mais que ces trois normes ne sont pas équivalentes. 

\emph{Indication : on pourra considérer les fonctions $f_n : x \longmapsto x^n$, pour tout $n \in \N$.}
\eenu
\ee







\be Soit $n \in \N^*$. On définit sur $\M_n(\R)$ l'application $N_{\infty}$ par $N_{\infty}(A)=\di \max_{1 \leq i,j \leq n} \abs{a_{i,j}}$, pour toute matrice $A=(a_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \in \M_n(\R)$.
\benu
\item Montrer que $N_{\infty}$ définit une norme sur $\M_n(\R)$ et que pour tous $A,B \in \M_n(\R)$, $N_{\infty}(AB) \leq n N_{\infty}(A) N_{\infty}(B)$.
\item Soit $N$ une norme quelconque sur $\M_n(\R)$. Montrer qu'il existe $c >0$ tel que :
\beqn \forall A,B \in \M_n(\R), \quad N(AB) \leq c N(A) N(B).
\eeqn
\eenu
\ee










\bigskip







{ \textbf{II. Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé}}






\bigskip







\be
Soient $E$ un espace vectoriel norm\'e et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite convergente de $E$.
Montrer que l'ensemble des $x_n$ est born\'e.
\ee








\be Soient $n \in \N^*$ et $A \in M_{n}(\R)$ une matrice antisymétrique telle que la suite $(A^k)_{k \in \N}$ converge
vers $B$ dans $M_n(\R)$. Montrer que $B$ est la matrice nulle.
\ee










\be Dans le $\R$-espace vectoriel $E = \mathcal{C}\left([0; 1], \R \right)$ des fonctions continues de $[0;1]$ dans $\R$, on considère la suite $(f_n)_{n \in \N^\star}$ d'applications, définies par :
\[\forall x \in [0;1],\; f_n(x) = x^{\sqrt{\frac{n}{n^2 + 1}}}.\]
(avec la convention $0^{x}=0$ pour tout $x>0$). \\
\'Etudier la convergence de la suite $(f_n)_{n \in \N^{\star}}$ vers la fonction constante $f : [0;1] \longrightarrow \R$ définie par $f(x) = 1$, pour les normes $\| \cdot \|_1$, $\| \cdot \|_2$, $\| \cdot \|_{\infty}$. \\ 
\ee








\be On se place dans l'\ev{} $E = \mathcal{C}([0 ; 1],\R)$ et on considère $N$ définie par :
\[N(f) = \int_0^1 e^x|f(x)| dx \text{ pour tout } f \in E.\]
\benu
\item Montrer que $N$ est une norme sur $E$.
\item On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \N^{\star}}$ telle que $f_n(x) = \begin{cases} 
1-nx & \text{ si } x \in \left[ 0 ; \frac{1}{n}  \right] \\ 
0    & \text{ si } x \in \left[ \frac{1}{n} ; 1  \right]
\end{cases}$.
      \benu
      \item Pour un $n \in \N^{\star}$, tracer la courbe de $f_n$. 
      \item Montrer que $(f_n)_{n \in \N^{\star}}$ converge vers la fonction nulle dans $(E,N)$.
      \item Montrer que $(f_n)_{n \in \N^{\star}}$ ne converge pas vers la fonction nulle dans $(E,\|.\|_\infty)$. 
      \item Les normes $N$ et $\|.\|_\infty$ sont-elles équivalentes ? 
      \eenu
\eenu
\ee







\be On note $E=\R[X]$ l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et on considère une suite de réels $(\alpha_n)_{n \in \N}$. On définit deux applications $N$ et $N'$ sur $E$ par :
\beqn \forall P=\sum_{k=0}^n a_k X^k \in E, \quad N(P)=\sum_{k=0}^n \alpha_k \abs{a_k} \quad \textrm{ et } N'(P)=\max_{k \in \llbracket 0;n \rrbracket} \abs{a_k}.
\eeqn
\benu
\item Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur la suite $(\alpha_n)_n$ pour que $N$ définisse une norme sur $E$. On admet que $N'$ définit une norme sur $E$.
\item Dans cette question, on suppose que la suite $(\alpha_n)_n$ est une suite de réels strictement positifs convergeant vers $0$. Pour tout $n \in \N$, on pose $P_n=X^n$. \'Etudier la convergence de la suite $(P_n)_{n \in \N}$ pour $N$.
\item Pour tout $n \in \N$, on pose $Q_n=1+X+\cdots + X^n$. \'Etudier la convergence de la suite $(Q_n)_{n \in \N}$ pour $N'$.
\eenu
\ee







\end{document}