\documentclass[a4paper,oneside]{article}
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\usepackage[english,francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{ae}
%\usepackage{aeguill}
%\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} %pour faire des dessins en pstricks ; nécessite de faire laTex => PS => PDF
\usepackage{color}                               %pour mettre de la couleur
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,amsthm,graphicx}

\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{multicol}


%\pagestyle{empty}

%---- Dimensions des marges ---
\setlength{\paperwidth}{21cm}
\setlength{\paperheight}{29.7cm}
\setlength{\evensidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
\setlength{\headsep}{0.7cm}
\setlength{\headheight}{1cm}
\setlength{\textheight}{25.5cm}
\setlength{\textwidth}{17.3cm}



%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\intg}{[\![}
\newcommand{\intd}{]\!]}

\newcommand{\Vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}

\newcommand{\Det}{\mathrm{det}}
\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}}
\newcommand{\Id}{\mathrm{Id}}
\newcommand{\et}{\ \mbox{et} \ }
\newcommand{\ou}{\ \mbox{o\`u} \ }
\newcommand{\M}{\mathcal{M}}

\newcommand{\FF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\CC}{\mathcal{C}}

\newcommand{\di}{\displaystyle}

\renewcommand{\d}{\, \mathrm d}

\DeclareMathOperator{\ch}{\mathrm{ch}}


%raccourcis
\newcommand{\ev}{espace vectoriel}
\newcommand{\ssi}{si, et seulement si,}
\newcommand{\CS}{Cauchy-Schwarz}


%Analyse

\newcommand{\classe}[1]{classe $\mathcal{C}^{#1}$} %pour écrire directement classe C^k, en mettant le k entre accolades
\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|} %pour les valeurs absolues en mettant entre accolade ce que l'on veut

%point pour les fonctions
\newcommand{\ldot}{\,.\,}



%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Universit\'e Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre de printemps 2016-2017}\\
  %  Module
  \noindent {Math IV - PMI - Analyse\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no3} \\
    \textsc{Topologie des espaces vectoriels normés} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

%--------- Exercice--------------
%\newcounter{exercice}\setcounter{exercice}{1}
% \newenvironment{exo}[1][]
%{\pagebreak[3]                           \bigskip                           {\noindent  {\bf \underline{Exercice \theexercice.}} #1}                         }{\stepcounter{exercice} \medskip}

% Exercices :
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\be}{\begin{exo}}
\newcommand{\ee}{\end{exo} \bigskip}

\newcommand{\benu}{\begin{enumerate}}
\newcommand{\eenu}{\end{enumerate}}



\newcommand{\beqn}{\begin{eqnarray*}}
\newcommand{\eeqn}{\end{eqnarray*}}










\begin{document}





\baselineskip=0.6cm
\entete





{\textbf{I. Ouverts et fermés }}




\bigskip




\be Les parties suivantes de $\R^n$ sont-elles ouvertes ? fermées ? 
\begin{multicols}{2}
\benu
\item $]a;b]$ et $[a;+\infty[$ pour $a$ et $b$ réels tels que $a < b$,
\item $A=\{(x,y) \in \R^2 \mid 0 < \abs{x-1} < 1\}$,
\item $B=\{(x,y,z) \in \R^3 \mid 0 \leq x \leq z \}$,
\item $C=\{(x,y) \in \R^2 \mid \abs{x} < 1 \textrm{ et } \abs{y} \leq 2\}$,
\item $D=\{(x,y) \in \R^2 \mid x \in \Q \textrm{ et } y \in \Q\}$, 
\item $E=\{(x_1,\dots, x_p) \in \R^p \mid x_1^2 + \cdots + x_p^2 \leq 5\}$ où $p \in \N^*$.
\eenu
\end{multicols}
\ee






\be Soit $E$ un espace vectoriel norm\'e. On fixe $x_0\in E$ et
on d\'efinit
\[
\begin{array}{lllll}
t &:&E&\longmapsto & E\\
 & &u&\longrightarrow & x_0+u
\end{array}
\]
\benu
\item Montrer que si $U \subset E$ est une partie ouverte, alors $t(U)$
est aussi une partie ouverte de $E$.
\item Montrer que si $F\subset E$ est une partie ferm\'ee, alors $t(F)$
est aussi une partie ferm\'ee de $E$.
\eenu
\ee







\be Démontrer que $\Z$ est une partie fermée de $\R$ :
\benu
\item en observant que son complémentaire est ouvert,
\item par la caractérisation séquentielle des parties fermées.
%\item en tant qu'image réciproque d'un fermé par une application continue.
\eenu
\ee







\be On considère l'espace vectoriel $E=\mathcal{C}([0;1]; \R)$ muni de la norme $\| \ldot \|_{\infty}$. 
\benu
\item Montrer que $F=\{f \in E \mid \forall x \in [0;1], f(x) \geq 0\}$ est un fermé de $E$.
\item Montrer que $U=\{f \in E \mid \forall x \in [0;1], f(x) >0\}$ est un ouvert de $E$.
\eenu
\ee





\be Notons $E$ le $\R$-espace vectoriel des suites réelles bornées. On munit $E$ de la norme $\| \ldot \|_{\infty}$ définie par :
\beqn \forall u=(u_n)_{n\in\N} \in E, \quad \|u\|_{\infty}=\sup_{n \in \N} \abs{u_n}.
\eeqn
Déterminer si les sous-ensembles de $E$ suivants sont fermés ou non :
\benu
\item $A$ l'ensemble des suites croissantes de $E$,
\item $B$ l'ensemble des suites réelles convergeant vers $0$,
\item $C$ l'ensemble des suites réelles nulles à partir d'un certain rang.
\eenu
\ee




\bigskip

{\textbf{II. Intérieur, adhérence et densité}}



\bigskip








\be Soit $E$ un espace vectoriel normé. Démontrer que l'intérieur d'une boule fermée est la boule ouverte de même rayon.
\ee




\be Soit $(E, \| \; \|)$ un espace vectoriel normé. Pour une partie $X$ de $E$, on note $\overset{\circ}{X}$ l'intérieur de $X$ et $\overline{X}$ l'adhérence de $X$. Soient $A$, $B$ deux parties de $E$.
\benu
\item On suppose que $A \subset B$. Montrer que $\overset{\circ}{A} \subset \overset{\circ}{B}$ et $\overline{A} \subset \overline{B}$.
\item Comparer les ensembles $\overset{\circ}{(A \cap B)}$ et $\overset{\circ}{A} \cap \overset{\circ}{B}$, puis les ensembles $\overset{\circ}{(A \cup B)}$ et $\overset{\circ}{A} \cup \overset{\circ}{B}$.
\item Comparer les ensembles $\overline{ A \cap B}$ et $\overline{A} \cap \overline{B}$, puis les ensembles $\overline{A \cap B}$ et $\overline{A} \cap \overline{B}$.
\eenu
\ee




\be D\'eterminer l'int\'erieur, l'adhérence et la frontière des ensembles suivants. D\'eterminer \'egalement s'ils sont ouverts, ferm\'es, ni ouverts ni ferm\'es.
\benu
\item[] $A=\{(x,y,z)\in \R^3 \mid 0<x^2+y^2+z^2\leq 1\}$,
\item[] $B=\{(\hbox{$\frac{1}{n}$},\hbox{$\frac{1}{m}$})\in \R^2 \mid
n,m \in \N^*\}$,
%\item[] $C=\{(x,y)\in \R^2 \mid y \geq x^2 \hbox{ et } y \leq 1-x^2\}$.
\eenu
\ee







\be On considère l'espace vectoriel $E=\mathcal{C}([0;1];\R)$ et on note $F=\{f \in E \mid f(0)=0\}$.
\benu
\item Montrer que $F$ est un fermé de $E$ pour la norme $\| \ldot \|_\infty$.
\item Le but de cette question est de montrer que $F$ n'est pas un fermé de $E$ pour la norme $\| \ldot \|_{1}$ mais qu'il est dense dans $(E, \| \ldot \|_{1})$.
   \benu
   \item Soit $g \in E$. Pour tout $n \in \N^*$, on définit la fonction $f_n : [0;1] \longrightarrow \R$ par  
   \beqn \forall t \in \left[0;\dfrac{1}{n} \right], f_n(t)=ntg\left(\dfrac{1}{n} \right) \quad \textrm{ et } \quad \forall t \in \left]\dfrac{1}{n};1 \right], \quad f_n(t)=g(t).
   \eeqn 
   Montrer que $f_n \in F$ pour tout $n \in \N^*$.
   
   \item Montrer que la suite $(f_n)_{n \in \N^*}$ converge vers $g$ pour $\| \ldot \|_1$.
   \item Conclure.
   \eenu
\eenu
\ee







\be Soit $E$ un espace vectoriel normé et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.
\benu
\item Montrer que $\overline{F}$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
\item Montrer que si $\overset{\circ}{F} \neq \emptyset$, alors $F=E$. En déduire les sous-espaces vectoriels de $E$ qui sont ouverts.
\item On considère un hyperplan $H$ de $E$ c'est-à-dire le noyau d'une forme linéaire non nulle. Il existe alors $a \in E \backslash H$ tel que $E= H \oplus \Vect(a)$. Montrer que $H$ est soit fermé, soit dense dans $E$.
\eenu
\ee






\newpage


{\textbf{III. Compacts }}




\bigskip







\be Déterminer si les ensembles suivants de $\R^2$ sont, ou ne sont pas, compacts :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $A=\{(x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^4=1\}$,
\item $B=\{(x,y)\in \R^2 \mid x^2+y^5 = 2\}$,
\item $C=\{(x,y) \in \R^2 \mid x^2+xy+y^2 \leq 1 \}$,
\item $D=\{(x,y) \in \R^2 \mid x^2+8xy+y^2 \leq 1\}$,
\item $E= \{(x,y) \in \R^2 \mid y^2=x(1-2x)\}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\ee






\be On considère $E=\mathcal{C}([0;2\pi];\C)$ muni de la norme $\| \ldot \|_2$. Pour tout $n \in \N$, on définit l'application $f_n : [0;2\pi] \longrightarrow \C$ par $f_n(x)= e^{inx}$ pour tout $x \in [0;2\pi]$.
\benu
\item Pour tous $p,n \in \N$, calculer explicitement $\|f_n-f_p\|_2$.
\item En déduire que la boule unité fermée $\overline{B}(0_E,1)$ de $E$ n'est pas compacte.
\eenu
\ee




\be
Soit $E$ un espace vectoriel norm\'e. Soient $A$ et $B$ des parties de $E$. On d\'efinit
$A+B=\{a+b \ | \ (a,b) \in A\times B\}$.
\benu
\item
Montrer que si $A$ est compact et $B$ ferm\'e dans $E$ alors $A+B$ est ferm\'e dans $E$.
\item
Montrer que si $A$ et $B$ sont compactes alors $A+B$ l'est aussi.
\item
Soient $A=\R\times \{0\}$ et $B=\{(x,y) \in \R^2 \ | \ xy=1\}$.
Montrer que $A$ et $B$ sont des ferm\'es de $\R^2$ mais que $A+B$ n'en est pas un.
\eenu
\ee






\be Soit $(E, \| \ldot\|)$ un espace vectoriel normé et $X \subset E$ une partie compacte. Montrer que toute partie fermée de $E$ incluse dans $X$ est elle-même compacte.
\ee



\end{document}
