\documentclass[a4paper,oneside]{article}
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%\usepackage{aeguill}
%\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} %pour faire des dessins en pstricks ; nécessite de faire laTex => PS => PDF
\usepackage{color}                               %pour mettre de la couleur
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,amsthm,graphicx}



\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{multicol}


%\pagestyle{empty}

%---- Dimensions des marges ---
\setlength{\paperwidth}{21cm}
\setlength{\paperheight}{29.7cm}
\setlength{\evensidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
\setlength{\headsep}{0.7cm}
\setlength{\headheight}{1cm}
\setlength{\textheight}{25.5cm}
\setlength{\textwidth}{17.3cm}



%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\intg}{[\![}
\newcommand{\intd}{]\!]}

\newcommand{\Vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}

\newcommand{\Det}{\mathrm{det}}
\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}}
\newcommand{\Id}{\mathrm{Id}}
\newcommand{\et}{\ \mbox{et} \ }
\newcommand{\ou}{\ \mbox{o\`u} \ }
\newcommand{\M}{\mathcal{M}}

\newcommand{\FF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\CC}{\mathcal{C}}

\newcommand{\di}{\displaystyle}

\renewcommand{\d}{\, \mathrm d}

\DeclareMathOperator{\ch}{\mathrm{ch}}


%raccourcis
\newcommand{\ev}{espace vectoriel}
\newcommand{\ssi}{si et seulement si}
\newcommand{\CS}{Cauchy-Schwarz}


%Analyse

\newcommand{\classe}[1]{classe $\mathcal{C}^{#1}$} %pour écrire directement classe C^k, en mettant le k entre accolades
\newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |} %pour les valeurs absolues en mettant entre accolade ce que l'on veut

%point pour les fonctions
\newcommand{\ldot}{\,.\,}



%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Universit\'e Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre de printemps 2016-2017}\\
  %  Module
  \noindent {Math IV - PMI - Analyse\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no4} \\
    \textsc{Séries de fonctions} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

%--------- Exercice--------------
%\newcounter{exercice}\setcounter{exercice}{1}
% \newenvironment{exo}[1][]
%{\pagebreak[3]                           \bigskip                           {\noindent  {\bf \underline{Exercice \theexercice.}} #1}                         }{\stepcounter{exercice} \medskip}

% Exercices :
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\be}{\begin{exo}}
\newcommand{\ee}{\end{exo} \bigskip}

\newcommand{\benu}{\begin{enumerate}}
\newcommand{\eenu}{\end{enumerate}}



\newcommand{\beqn}{\begin{eqnarray*}}
\newcommand{\eeqn}{\end{eqnarray*}}








\begin{document}




\baselineskip=0.6cm
\entete










\be \textbf{Convergence simple, normale et uniforme}\\
\noindent  \'Etudier la convergence simple, la convergence normale puis la convergence uniforme de
la s\'erie de fonctions $\di \sum_{n \in \N} f_n$ dans les cas suivants:
\begin{enumerate}
   \item $\displaystyle f_n :x \longmapsto \frac{x^n}{1+x^n}$ sur $[0,+\infty[$,
   puis sur $[0,1[$,
   puis sur $[0,a]$ avec $a\in]0,1[$,
   \item $\displaystyle f_n :x \longmapsto \frac{x^2}{n^3+x^3}$, sur $[0,+\infty[$
   puis sur $[0,a]$ avec $a>0$,
   \item $\displaystyle f_n : x \longmapsto \frac{x}{n^3+x^{3/2}}$ sur $[0,+\infty[$.
\end{enumerate}
\ee




\be \textbf{Convergence simple, uniforme et normale}\\
\noindent Pour tout $n \in \N^*$, on considère la fonction $f_n : \R \longrightarrow \R$ définie pour tout $x \in \R$ par $\displaystyle f_n(x)=\frac{(-1)^nx^2}{x^4+n}$.
\begin{enumerate}
   \item \'Etudier la convergence simple de la s\'erie de fonctions $\di \sum_{n \geq 1} f_n$ sur $\mathbb{R}$.
   \item Montrer que la série de fonctions $\di \sum_{n \geq 1} f_n$ est uniform\'ement convergente
   sur $\mathbb{R}$.
   \item Montrer qu'il n'existe aucune partie de $\mathbb{R}^*$
   sur laquelle elle converge normalement.
\end{enumerate}
\ee






\be \textbf{S\'erie de fonctions et int\'egrale, et d\'eriv\'ee}\\
\noindent  On consid\`ere la s\'erie de fonctions $\displaystyle
\sum_{n\geq 1}f_n$ où pour tout $n \in \N^*$, pour tout $x \in \R$, $\displaystyle f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{n^3}$.
\begin{enumerate}
   \item Montrer que cette s\'erie de fonctions converge simplement sur $\R$.
   \item Montrer que sa somme $\displaystyle f=\sum_{n=1}^{+\infty} f_n$ est une fonction continue sur $\R$.
   \item Montrer que $\displaystyle \int_0^{\pi}f(x)\d x=
   2\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(2n-1)^4}$.
   \item Montrer que $f$ est dérivable sur $\R$, et donner une expression de $f'(x)$ sous forme de série pour tout $x \in \R$.
\end{enumerate}
\ee




\be Pour $x \in \R^+$, on pose (lorsque cela a un sens)
\beqn \varphi(x)=\sum_{n=2}^{+\infty} \left(\dfrac{1}{n-x}-\dfrac{1}{n+x} \right).
\eeqn
\benu
\item Déterminer le domaine de définition de la fonction $\varphi$.
\item Justifier l'existence de l'intégrale suivante et la calculer explicitement :
\beqn I=\int_0^1 \varphi(x) \d x.
\eeqn
\eenu
\ee







\be \textbf{Classe $\mathcal{C}^{\infty}$}\\
\noindent On pose, pour tout $x\in\mathbb{R}^+$, $\displaystyle f(x)=
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{x+n}$. Montrer que $f$ est bien d\'efinie
et qu'elle est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}^+$.
\ee





\be On pose $u_n(x)=\dfrac{2x}{x^2+n^2}$ pour tout $n\in \mathbb{N}^*$ et pour tout $x\in \mathbb{R}$.
\benu
\item \'Etudier la convergence simple de la s\'erie de fonctions $\di \sum u_n$.
\item Sa somme est-elle continue ?
\item \'Etudier le comportement en $+\infty$ de sa somme $S$ définie par $S(x)=\di \sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)$ pour tout $x \in \R$.
\eenu
\ee





\be \textbf{R\`egle d'Abel uniforme}\\
\noindent Soit $I$ un intervalle inclus dans $\R$. Soit $(f_n)_{n \geq 0}$ une suite de fonctions définies sur $I$ telle que pour tout $x \in I$, $f_n(x)=a_n(x) b_n(x)$ avec $(a_n)_{n \geq 0}$ une suite de fonctions réelles, $(b_n)_n$ une suite de fonctions complexes vérifiant
\benu[\hspace{0.5cm} (i).]
\item $\forall x \in I$, la suite $(a_n(x))_{n \geq 0}$ est positive et décroissante,
\item la suite de fonctions $(a_n)_n$ converge uniformément vers la fonction nulle sur $I$,
\item il existe $M>0$ tel que pour tout $n \geq 0$, $\left\| \di \sum_{k=0}^n b_k \right\|_{\infty} \leq M$, \textit{i.e} pour tout $x \in I$, $\left| \di \sum_{k=0}^n b_k(x) \right| \leq M$.
\eenu

\benu
\item Pour tout $n \in \N$, posons $B_n=\di \sum_{k=0}^n b_k(x)$ et $B_{-1}$ la fonction nulle. Pour tout $x \in I$, pour tout $n \in \N$, exprimer $b_n(x)$ en fonction des $B_k$.
\item Soient $n,p \in \N$, $p \geq 1$. Montrer que pour tout $x \in I$, on a $\di \left| \sum_{k=n+1}^{n+p} f_k(x) \right| \leq 2 a_{n+1}(x) M$.
\item En déduire que la série de fonctions $\di \sum f_n$ converge uniformément sur $I$.
\eenu
\ee





\be \textbf{R\`egle d'Abel uniforme (II)}\\
\noindent On consid\`ere la s\'erie de fonctions $\displaystyle
\sum_{n\geq 1}f_n$ où pour tout $n \in \N^*$, $\displaystyle f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{n+x}$
pour tout $x\in[\pi,\pi/2]$.
\begin{enumerate}
   \item En utilisant la r\`egle d'Abel uniforme, montrer que
   $\displaystyle \sum_{n\geq 1}f_n$ converge uniform\'ement sur
   $[\pi,\pi/2]$.
   \item Montrer que $\displaystyle \sum_{n\geq 1}f_n$ ne converge
   pas normalement sur $[\pi,\pi/2]$.
\end{enumerate}
\ee







\be On consid\`ere la s\'erie de fonctions $\di \sum f_n$ où
\beqn \forall n \in \N, \quad \forall t \in \R, \quad f_n(t)=\dfrac{(-1)^n e^{-nt}}{n+1}. 
\eeqn
\benu
\item
   \benu
   \item  Montrer que la s\'erie de fonctions $\di \sum f_n$ converge simplement sur $E_s=[0,+\infty[$.
   \item  Montrer que la s\'erie de fonctions $\di \sum f_n$ converge absolument sur  $E_a=]0,+\infty[$.
   \item Montrer que la s\'erie $\di \sum f_n$ converge uniform\'ement sur $E_s$.
   \item La s\'erie converge-t-elle normalement sur $E_s$? Et sur $E_a$? Justifier.
   \eenu
\item Soit $S$ la fonction somme de la s\'erie de fonctions $\di \sum f_n$. Montrer que lorsque $t$ tend vers $+ \infty$, $S(t)$ tend vers  $1$.
\item Soit $A$ une partie non vide de $\R$. Trouver une condition n\'ecessaire et suffisante sur $\displaystyle \inf(A)$ pour que la s\'erie de fonctions $\di \sum f_n$ converge normalement sur $A$. 
\eenu
\ee



\newpage



\be Soit $\alpha \in  \mathbb{R}$. On consid\`ere pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ la fonction
\beqn f_n : \begin{array}[t]{ccc} \mathbb{R^+} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
                                   x           & \longmapsto     & n^{\alpha}xe^{-nx^2/2}
            \end{array}
\eeqn
\benu
\item Montrer que la suite de fonctions $(f_n)_{n\in \mathbb{N^*}}$ converge simplement sur $\mathbb{R^+}$ vers
la fonction nulle.
\item La convergence est-elle uniforme sur $ \mathbb{R^+}$? On discutera suivant les valeurs de $\alpha$.
\item Montrer que pour tout $ h > 0$, $(f_n)_{n\in \mathbb{N^*}}$ converge uniform\'ement sur $ [h;+\infty[$
vers la fonction nulle.
\item On se place maintenant dans le cas particulier o\`u $ \alpha = 1$ et on consid\`ere maintenant la
s\'erie de fonctions de terme g\'en\'eral $f_n$.
   \benu
   \item  Montrer qu'elle converge simplement sur $\mathbb{R}^+$ et que sa somme $S :
[0, +\infty[\rightarrow\mathbb{R}$ est continue sur $ ]0;+\infty[$.
   \item Calculer, pour $x \geq 0$ et $m \in \mathbb{N}^*$, $ S_m(x) =
\di \sum_{n=1}^{m}f_n(x)$, puis expliciter
$S(x)$ pour $ x \geq 0$.
   \item La fonction $ S$ est-elle continue en $0$?
   \eenu
\eenu
\ee






\be Pour $x$ réel, on pose 
\beqn f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} e^{-x \sqrt{n}}.
\eeqn
\benu
\item Déterminer le domaine de définition de $f$, noté $D_f$.
\item \'Etudier la continuité de $f$ sur $D_f$.
\item Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante.
\item \'Etudier la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Déterminer un équivalent simple de $f(x)$ quand $x \to 0^+$.
\eenu
\ee
















\end{document}
