\documentclass[a4paper,oneside]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[english,francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{ae}
%\usepackage{aeguill}
%\usepackage{graphicx}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,amsthm,graphicx}



\usepackage{multicol}



%\pagestyle{empty}

%---- Dimensions des marges ---
\setlength{\paperwidth}{21cm}
\setlength{\paperheight}{29.7cm}
\setlength{\evensidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
\setlength{\headsep}{0.7cm}
\setlength{\headheight}{1cm}
\setlength{\textheight}{25.5cm}
\setlength{\textwidth}{17.3cm}



%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\intg}{[\![}
\newcommand{\intd}{]\!]}

\newcommand{\Vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}

\newcommand{\Det}{\mathrm{det}}
\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}}
\newcommand{\Id}{\mathrm{Id}}
\newcommand{\et}{\ \mbox{et} \ }
\newcommand{\ou}{\ \mbox{o\`u} \ }

\newcommand{\FF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\CC}{\mathcal{C}}

\renewcommand{\d}{ \; \mathrm{d}}

\newcommand{\di}{\displaystyle}

\DeclareMathOperator{\ch}{\mathrm{ch}}




\newcommand{\classe}[1]{classe $\mathcal{C}^{#1}$} %pour écrire directement classe C^k, en mettant le k entre accolades
\newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |} %pour les valeurs absolues en mettant entre accolade ce que l'on veut


\newcommand{\nlongrightarrow}{\not\hspace{-4pt}\longrightarrow}

%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Universit\'e Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre de printemps 2016-2017}\\
  %  Module
  \noindent {Math IV - PMI - Analyse\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no5} \\
    \textsc{Séries entières} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

%--------- Exercice--------------
%\newcounter{exercice}\setcounter{exercice}{1}
% \newenvironment{exo}[1][]
%{\pagebreak[3]                           \bigskip                           {\noindent  {\bf \underline{Exercice \theexercice.}} #1}                         }{\stepcounter{exercice} \medskip}

% Exercices :
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\be}{\begin{exo}}
\newcommand{\ee}{\end{exo} \bigskip}

\newcommand{\benu}{\begin{enumerate}}
\newcommand{\eenu}{\end{enumerate}}
\newcommand{\beqn}{\begin{eqnarray*}}
\newcommand{\eeqn}{\end{eqnarray*}}






\begin{document}



\baselineskip=0.6cm
\entete











\be \textbf{Rayon de convergence}\\
\noindent D\'eterminer le rayon de convergence des s\'eries enti\`eres
complexes suivantes (pour $z\in\mathbb{C}$):
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
   \item $\displaystyle \sum (-1)^n(n+3)!\ z^n$,
   \item $\displaystyle \sum n^nz^n$,
   \item $\displaystyle \sum\frac{(2n)!}{(n!)^2}z^n$,
   \item $\displaystyle \sum\frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} z^n$,
  %   \item $\displaystyle \sum\frac{e^{-n}}{n}z^{(n^2)}$,
   \item $\displaystyle \sum(1+1/n)^{(n^2)}z^n$,
  % \item $\displaystyle \sum(1+(-1)^n/n)^{(n^2)}z^n$.
   \item $\displaystyle \sum\dfrac{\ln(n)}{\sqrt{n}+5}z^n$, o\`u $n \in \N^*$.
 \end{enumerate}
\end{multicols}
\ee




\be \textbf{Rayon de convergence}\\
\noindent soit $\displaystyle \sum a_nz^n$ une s\'erie enti\`ere de rayon
de convergence $R$. D\'eterminer le rayon de convergence des s\'eries
enti\`eres suivantes:
\begin{enumerate}
   \item $\displaystyle \sum a_nz^{3n}$,
   \item $\displaystyle \sum a_n3^nz^{2n}$,
   \item On suppose désormais $R>0$. Montrer que la série entière $\displaystyle \sum\frac{a_n}{n!}z^{n}$ a un rayon de convergence infini.
\end{enumerate}
\ee



\be \textbf{Rayon de convergence}\\
\noindent D\'eterminer le rayon de convergence des s\'eries enti\`eres
complexes suivantes:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
   \item $\displaystyle \sum (-1)^n\frac{n^n}{n!}z^{4n+1}$,
   \item $\displaystyle \sum\frac{n!}{1.3\dots(2n+1)}z^{2n+3}$.
    \item $\displaystyle \sum(1+(-1)^n/n)^{(n^2)}z^n$.
    \item $\displaystyle \sum z^{n!}$,
     \item $\displaystyle \sum n^nz^{n^2}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\ee




\be \textbf{Rayon de convergence }\\
\noindent D\'eterminer le rayon de convergence, $R$, de
$\displaystyle \sum\sin\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)z^n$, puis
\'etudier sa convergence pour $|z|=R$.
\ee




\be \textbf{Vrai ou Faux}\\
\noindent Les assertions suivantes sont elles vraies ou fausses ? On donnera une démonstration si elles sont vraies ou un contre-exemple si elles sont fausses.
\begin{enumerate}
\item Les s\'eries enti\`eres $\displaystyle \sum a_nz^n$
et $\displaystyle \sum (-1)^na_nz^n$ ont le m\^eme rayon de convergence.
\item Les s\'eries enti\`eres $\displaystyle \sum a_nz^n$
et $\displaystyle \sum (-1)^na_nz^n$ ont le m\^eme domaine de convergence.
\end{enumerate}
\ee


\newpage


\be \textbf{S\'erie enti\`ere, calcul explicite}\\
\noindent
%\begin{enumerate}
 %  \item Calculer le rayon de convergence de la s\'erie enti\`ere
 %  r\'eelle $\displaystyle\sum x^n$.
 %  \item En utilisant  l'expression des sommes partielles
 %  d'une s\'erie g\'eom\'etrique, montrer que pour tout
 %  $ x\in]-1,1[$, $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} x^n=1/(1-x)$.
 %  \item
 Calculer le rayon de convergence des séries entières associées et déterminer la valeur des sommes suivantes pour $x$ dans l'intervalle ouvert de convergence :
 \begin{multicols}{3}
   \begin{enumerate}
  \item $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} nx^n$,
  \item $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} n^2x^n$,
\item $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}$,
\item  $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n}{n+1} x^n$,
\item  $\displaystyle\sum_{n=3}^{+\infty}\frac{n^2}{(n-1)(n-2)}x^n$
\item  $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(3+(-1)^n)^n}x^n$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\ee






%$ $\\$ $\\
%\noindent \textbf{Exercice VII: Rayon de convergence}\\
%\noindent
%\begin{enumerate}
%   \item Calculer le rayon de convergence de la s\'erie enti\`ere
 %  \item Calculer les d\'eriv\'ees successives de $x\mapsto
 %  \mathrm{ch}(x)$, pour $x\in\mathbb{R}$.
%   \item En utilisant Taylor-Lagrange, montrer que pour tout 
 %  $ x\in\mathbb{R}$, $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}
 %   \frac{x^{2n}}{(2n)!}=\mathrm{ch}(x)$.
 %  \item En d\'eduire le rayon de convergence et la somme
 %  de $\displaystyle\sum \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$.
%\end{enumerate}

%\section{\Large D\'eveloppement de fonctions en s\'eries enti\`eres}}



\be
\noindent \textbf{S\'eries enti\`eres et \'equation diff\'erentielle}\\
\noindent D\'eterminer les s\'eries enti\`eres dont la fonction somme est solution de
\begin{equation}
 x^2f''(x)-x(2x^2-1)f'(x)-(2x^2+1)f(x)=0. 
\end{equation}
Préciser le rayon des s\'eries enti\`eres obtenues.
\ee



\be \textbf{S\'erie enti\`ere et \'equation diff\'erentielle}
\noindent On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle
\begin{equation}
  (E) \quad f''(x)-4f(x)=0.
\end{equation}
On cherche $f$ sous la forme de la somme d'une série entière : $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$,
et v\'erifiant les conditions $f(0)=4$ et $f'(0)=0$.\\
Montrer que la seule solution est donnée par $\displaystyle
f(x)=\sum_{p=0}^{+\infty}\frac{4^{p+1}}{(2p)!}x^{2p}$,
et l'exprimer \`a l'aide de fonctions usuelles.
%Recommencer avec les nouvelles conditions $f(0)=0$ et $f'(0)=4$.
\ee






\be \textbf{Attention au rayon!!} \\
Déterminer l'ensemble des fonctions développables en séries entières (au voisinage de $0$) solutions de l'équation différentielle
\begin{eqnarray*} (E) : \quad x^2 y'+ y=x.
\end{eqnarray*}
\ee







\be \textbf{S\'erie enti\`ere et \'equation diff\'erentielle}\\
\noindent On cherche le d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere de
$f : x \longmapsto (1+x)^{\alpha}$, pour $\alpha\in\mathbb{R}$, par la
``m\'ethode de l'\'equation diff\'erentielle''.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est solution de l'\'equation diff\'erentielle
\begin{equation}\label{eq}
\alpha  f(x)- (1+x)f'(x)=0.
\end{equation}
(Auriez-vous pu d\'eterminer vous-m\^eme
cette \'equation diff\'erentielle ?)


\item D\'eterminer les solutions de (\ref{eq}) d\'eveloppables en
s\'eries enti\`eres et préciser le rayon de convergence de la série entière associée.

\item Montrer que si $g$ est solution de l'\'equation (\ref{eq}) sur un
intervalle $I$ contenu dans $]-1;+\infty[$ alors il existe $ C\in\mathbb{R}$ tel que $\forall x\in I$,
$g(x)=C(1+x)^{\alpha}$.
\end{enumerate}
\ee



\newpage


\be  \textbf{Développements en série entière}\\
\noindent D\'evelopper en s\'erie enti\`ere autour de $0$ les fonctions suivantes et d\'eterminer les rayons
de convergence des séries entières obtenues :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $x \longmapsto \displaystyle\frac{1}{x-5}$, 
\item $x \longmapsto \displaystyle\frac{1}{1+9x^2}$,
\item $x \longmapsto \displaystyle\frac{1}{(1+x)^2}$,
\item $x \longmapsto \displaystyle\ln(5-x)$.
\item $x \longmapsto \displaystyle\frac{1}{(2+x)^3}$,
\item $x \longmapsto \displaystyle\frac{1}{\sqrt[5]{32-x}}$,
\item $x \longmapsto \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$,
\item $x \longmapsto \displaystyle\frac{1}{x^2-2x(\cos \alpha)+1}$ pour $\alpha \in ]0,\pi[$ fix\'e,
\item $x \longmapsto \dfrac{1}{(x - 1)^2(x + 2)}$,
\item $x \longmapsto \ln(1+x+x^2)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
%,
%$\displaystyle\mathrm{arcsin}(x)$,
%$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$,
%$\displaystyle\mathrm{argsh}(x)$.
%$\displaystyle\sin(x^2)$,
%$\displaystyle\sin^2(x)$.
\ee




\be \textbf{Développements en série entière en un point différent de $0$}\\
\noindent D\'evelopper en série entière les fonctions suivantes au point donné :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x \longmapsto \ln(x)$ en $1$ puis en $2$,
\item $x \longmapsto \sin(x)$ en $\pi/4$, 
\item $x \longmapsto e^x$ en $x_0 \in \R$,
\item $x \longmapsto \dfrac{1}{1+x}$ en $2$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\ee






\be \textbf{Applications des séries entières}
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f : \R \longrightarrow \R$ définie par $f(x)=\dfrac{e^x-1}{x}$ si $x \neq 0$ et par $f(0)=1$. Montrer que la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\R$.
\item \begin{enumerate}
      \item Montrer que la fonction sinus cardinal définie sur $\R$ par $\mathrm{sinc}(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ pour $x \neq 0$ et ${\mathrm{sinc}(0)=1}$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\R$.
      \item \'Etablir l'égalité :
      \begin{eqnarray*} \int_0^{\pi} \mathrm{sinc}(t) \, \mathrm dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n  \pi^{2n+1}}{(2n+1)! (2n+1)}.
      \end{eqnarray*}
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\ee









\be \textbf{S\'erie de Taylor}\\
\noindent Donner un exemple de fonction d\'efinie sur tout $\mathbb{R}$
mais dont la s\'erie de Taylor ne converge pas sur tout $\mathbb{R}$.
\ee





\be \textbf{S\'erie de Taylor}\\
\noindent Exemple classique (mais un peu lourd) : la s\'erie de Taylor converge, mais {\bf pas vers la fonction !}
On consid\`ere la fonction 
\beqn f : \begin{array}[t]{ccl}   \R & \rightarrow  & \R \\
                                   x & \mapsto &\left\{ \begin{array}{cc} \exp(-1/x^2) & \mbox{ si }x\neq 0,\\
                                                                                     0 & \mbox{ si }x=0.    
                                                       \end{array} \right. \end{array}
\eeqn
\begin{enumerate}
\item Montrer par r\'ecurrence que pour tout $ n\in\mathbb{N}$,
il existe un polyn\^ome $P_n$ tel que pour tout $ x\in\mathbb{R}^*$,
$\displaystyle {f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{x^{3n}}\exp(-1/x^2)}$.
 

\item En d\'eduire que pour tout
$ n\in\mathbb{N}$, $f^{(n)}(0)=0$.
\item En d\'eduire que $f$ n'est pas d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere
en $0$.
\end{enumerate}
\ee





\be(plus difficile) Pour $n\geq 1$, et $x\in \mathbb{R}$, on note
\beqn f_n(x)=e^{-n}\cos(n^2x) \quad \textrm{ puis on pose } \quad  f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} f_n(x) \quad \forall x \in \R.
\eeqn
\benu
\item Montrer que la s\'erie de fonctions qui d\'efinit $f$ converge simplement sur $\mathbb{R}$.
\item Montrer que sa somme $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$, et en particulier que, pour tout $k\geq 1$:
$$ f^{(2k)}(0)=(-1)^k\sum_{n=1}^{+\infty} e^{-n}n^{4k}.$$

En utilisant la formule de Stirling $n! \mathop \sim_{n \to +\infty} \sqrt{2n\pi} \left( \dfrac{n}{e}\right)^n$, montrer que la s\'erie de Taylor de $f$ en $0$ a un rayon de convergence nul.
\eenu
\ee


\textbf{Quelques exercices issus d'anciens examens finaux :}


\be  Montrer que l'\'equation diff\'erentielle $x^2y''+4xy'+(2-x^2)y-1=0$ admet une unique solution d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere et déterminer le rayon de convergence de la série entière obtenue.
\ee



 


\be $\;$
\benu
 \item Pour $w \in \R$, on consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle $(E)$ : $xy''+2y'+w^2xy=0$.
\benu
   \item Montrer qu'il existe une fonction $f$ d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere autour
de $0$ solution de $(E)$ et v\'erifiant la condition $f(0)=1$. Préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue.
   \item Exprimer $f$ \`a l'aide des fonctions usuelles.
   \eenu
N.B.: Pour les questions (a) et(b), il sera conseill\'e de discuter les cas $w = 0$ ou non.

\item Déterminer la nature de la s\'erie numérique de terme g\'en\'eral $u_n=\dfrac{n!}{n^n}$.
\eenu
\ee
 



\be $\;$
\benu 
\item Pour $x>0$ et $n \in \mathbb{N}$, on pose $u_n(x)=\frac{1}{2^{nx}}$.
   \benu
   \item Justifier l'existence et calculer $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} u_n(x)$ pour $x>0$.
   \item Justifier la dérivabilité de $u_n$ pour $n \in \N$. Montrer que la s\'erie de fonctions $\sum u'_n$ converge normalement sur tout intervalle $[a,b]$ o\`u $a,\,b\in \mathbb{R}_+^*$ tels que $0<a<b$.
   \item Calculer alors la somme de cette s\'erie pour $x>0$.
    \eenu
 
\item Trouver le rayon de convergence $R$ des s\'eries enti\`eres $\sum a_nz^n$ où $(a_n)_n$ est donnée par :
  \benu
  \item $a_n=\dfrac{n^3}{3^n}$, $\forall n\geq 0$,

  \item $a_n=\dfrac{\cos(n\theta)}{n}$, $\forall n\geq 1$, avec $\theta \in \mathbb{R}$. \\
  \emph{Indication: on pourra d'abord regarder le cas o\`u $|z|< 1$, puis raisonner par l'absurde
en utilisant la s\'erie d\'eriv\'ee.}
  \eenu
 
\item On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle $(E)$ : $xy''+3y'-4x^3y=0$.
   \benu 
   \item Montrer qu'il existe une unique solution $f$ de $(E)$, d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere autour
de $0$  et telle que $f(0)=1$. 
   \item Exprimer $f$ \`a l'aide des fonctions \'el\'ementaires.
   \eenu
\eenu
\ee

















%$ $\\$ $\\
%\noindent \textbf{Exercice X: Examen Janvier 2010}\\
% \begin{itemize}
% \item[1.]  Quel est le rayon de convergence des s\'eries enti\`eres suivantes de la forme $\displaystyle \sum a_n z^n$ pour
% \begin{itemize}
%\item[a.] $a_n=\dfrac{\ln(n)}{\sqrt{n}+5}$, o\`u $n \in \N^*$ .
%\item[b.] $a_n=\dfrac{n^3}{3^n}$, o\`u $n \in \N$ .



























\end{document}


