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%\pagestyle{empty}

%---- Dimensions des marges ---
\setlength{\paperwidth}{21cm}
\setlength{\paperheight}{29.7cm}
\setlength{\evensidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
\setlength{\headsep}{0.7cm}
\setlength{\headheight}{1cm}
\setlength{\textheight}{25.5cm}
\setlength{\textwidth}{17.3cm}



%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\intg}{[\![}
\newcommand{\intd}{]\!]}

\newcommand{\Vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}

\newcommand{\Det}{\mathrm{det}}
\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}}
\newcommand{\Id}{\mathrm{Id}}
\newcommand{\et}{\ \mbox{et} \ }
\newcommand{\ou}{\ \mbox{o\`u} \ }

\newcommand{\FF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\CC}{\mathcal{C}}

\renewcommand{\d}{ \; \mathrm{d}}

\newcommand{\di}{\displaystyle}

\DeclareMathOperator{\ch}{\mathrm{ch}}

%Norme triple
\newcommand{\nt}{|\!|\!|}




\newcommand{\classe}[1]{classe $\mathcal{C}^{#1}$} %pour écrire directement classe C^k, en mettant le k entre accolades
\newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |} %pour les valeurs absolues en mettant entre accolade ce que l'on veut


\newcommand{\nlongrightarrow}{\not\hspace{-4pt}\longrightarrow}

%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Universit\'e Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre de printemps 2016-2017}\\
  %  Module
  \noindent {Math IV - PMI - Analyse\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no6} \\
    \textsc{Continuité des fonctions vectorielles} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

%--------- Exercice--------------
%\newcounter{exercice}\setcounter{exercice}{1}
% \newenvironment{exo}[1][]
%{\pagebreak[3]                           \bigskip                           {\noindent  {\bf \underline{Exercice \theexercice.}} #1}                         }{\stepcounter{exercice} \medskip}

% Exercices :
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\be}{\begin{exo}}
\newcommand{\ee}{\end{exo} \bigskip}

\newcommand{\benu}{\begin{enumerate}}
\newcommand{\eenu}{\end{enumerate}}
\newcommand{\beqn}{\begin{eqnarray*}}
\newcommand{\eeqn}{\end{eqnarray*}}








\begin{document}




\baselineskip=0.6cm
\entete











\be Soient $(E, \| \, \|)$ un espace vectoriel normé et $a \in E$ non nul. On considère l'application $f : E \longrightarrow \R$ définie par :
\beqn \forall x \in E, \quad f(x)=\left\{ \begin{array}{cl} \|x-a\| & \textrm{ si } \|x\| \leq \|a\| \\
                                                             0      & \textrm{ si } \|x\| > \|a \|
                                  \end{array} \right.
\eeqn
\benu
\item Montrer que les ensembles $U=\{x \in E \mid \|x \| < \|a\|\}$ et $V=\{x \in E \mid \|x\| > \|a\|\}$ sont deux ouverts de $E$.
\item Montrer que $f$ est continue sur $U$ et $V$.
\item Montrer que $f$ est continue en $a$ et discontinue en $-a$.
\eenu
\ee






\be Soient $(E, \| \, \|)$ un espace vectoriel normé et $A$ une partie de $E$. On considère l'application distance à $A$, $d_A : E \longrightarrow \R$ définie par :
\beqn \forall x \in E, \quad d_A(x)=\inf\{\|x-a\| \mid a \in A\}.
\eeqn
\benu
\item Montrer que $d_A$ est continue.
\item On suppose désormais que $A$ est une partie compacte de $E$. Soit $x \in E$. Montrer qu'il existe $a \in A$ tel  que $d_A(x)=\|x-a\|$.
\eenu
\ee






\be  (Norme d'opérateur)\\
Soit $E$ l'espace vectoriel des applications continues de $[0;1]$ dans $\R$. Pour $f\in E$, on pose $\di{\|f\|=\int_{0}^{1}|f(t)| \d t}$.
\benu
\item Pour $c\in[0;1]$, on définit l'application $\delta_c$ par : 
$\delta_c : \begin{array}[t]{ccc}  E  &  \longrightarrow & \R \\
                                   f  & \longmapsto      & f(c) \end{array}$. \\
Montrer que $\delta_c$ est une forme linéaire sur $E$ mais qu'elle n'est pas continue.

\item Soit $\mu : \begin{array}[t]{ccc}  E & \longrightarrow & E\\
                                f & \longmapsto     & \mu(f) \end{array}$ telle que pour tout $x\in [0;1]$, on ait $\di{\mu(f)(x)=\int_{0}^{x} f(t) \d t}$.
   \benu
   \item Montrer que $\mu$ est bien définie et que $\mu$ est une application linéaire continue de $E$ dans lui-même.
   \item Soit $(f_n)_{n \in \N^*}$ la suite de fonctions définie par $f_n(t) = n(1-t)^{n-1}$ pour tout $t\in [0;1]$ et $n \in \N^*$. Calculer $\|f_n\|$ et $\|\mu(f_n)\|$ et en déduire la norme de $\mu$.
   \eenu
\eenu
\ee





\be On munit $\mathbb R[X]$ de la norme $\|\cdot \|_{\infty}$, définie pour $P(X)=\di \sum_{k=0}^n a_k X^k $ par $\|P\|_{\infty}=\di \max_{0 \leq k \leq n} |a_k|$. Pour $c\in \mathbb R$, on définit la forme linéaire suivante :
\beqn \phi_c :\begin{array}[t]{ccc} (\mathbb R[X],\|\cdot\|)& \longrightarrow &(\mathbb R,|\cdot|) \\
P & \longmapsto & P(c) \end{array}.
\eeqn
Montrer que la forme linéaire $\phi_c$ est continue si et seulement si $c \in ]-1;1[$. Dans ce cas, déterminer la norme de $\phi_c$.
\ee





\be Soit $E$ un espace vectoriel sur lequel toutes les normes sont équivalentes. Soit $\| \, \|$ une norme sur $E$ et $f$ une forme linéaire sur $E$.
\benu
\item Montrer que $x \in E \longmapsto \|x\|+ |f(x)|$ définit une norme sur $E$.
\item En déduire que $f$ est continue. 
\eenu
\ee




\be On fixe \(n\), un entier naturel non nul. Montrer qu'il existe une constante $C > 0$ telle que pour tout $P \in \R_n[X]$, on a :
\[P(-1)^2 + P'(0)^2 + P''(1)^2 \leq C \int_{-1}^{1} P(x)^2 dx.\]
\ee



















\end{document}







