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%\pagestyle{empty}

%---- Dimensions des marges ---
\setlength{\paperwidth}{21cm}
\setlength{\paperheight}{29.7cm}
\setlength{\evensidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
\setlength{\headsep}{0.7cm}
\setlength{\headheight}{1cm}
\setlength{\textheight}{25.5cm}
\setlength{\textwidth}{17.3cm}



%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\intg}{[\![}
\newcommand{\intd}{]\!]}

\newcommand{\Vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\M}{\mathcal{M}}

\newcommand{\Det}{\mathrm{det}}
\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}}
\newcommand{\Id}{\mathrm{Id}}
\newcommand{\et}{\ \mbox{et} \ }
\newcommand{\ou}{\ \mbox{o\`u} \ }

\newcommand{\FF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\CC}{\mathcal{C}}

\renewcommand{\d}{ \; \mathrm{d}}

\newcommand{\di}{\displaystyle}

\DeclareMathOperator{\ch}{\mathrm{ch}}

%Norme triple
\newcommand{\nt}{|\!|\!|}




\newcommand{\classe}[1]{classe $\mathcal{C}^{#1}$} %pour écrire directement classe C^k, en mettant le k entre accolades
\newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |} %pour les valeurs absolues en mettant entre accolade ce que l'on veut


\newcommand{\nlongrightarrow}{\not\hspace{-4pt}\longrightarrow}

%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Universit\'e Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre de printemps 2016-2017}\\
  %  Module
  \noindent {Math IV - PMI - Analyse\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no7} \\
    \textsc{Calcul différentiel} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

%--------- Exercice--------------
%\newcounter{exercice}\setcounter{exercice}{1}
% \newenvironment{exo}[1][]
%{\pagebreak[3]                           \bigskip                           {\noindent  {\bf \underline{Exercice \theexercice.}} #1}                         }{\stepcounter{exercice} \medskip}

% Exercices :
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\be}{\begin{exo}}
\newcommand{\ee}{\end{exo} \bigskip}

\newcommand{\benu}{\begin{enumerate}}
\newcommand{\eenu}{\end{enumerate}}
\newcommand{\beqn}{\begin{eqnarray*}}
\newcommand{\eeqn}{\end{eqnarray*}}





\begin{document}



\baselineskip=0.6cm
\entete





\be On considère l'application $f : \M_n(\R) \longrightarrow \M_n(\R)$ définie par $f(M)=M^2$. Montrer que $f$ est différentiable sur $\M_n(\R)$ et déterminer sa différentielle en tout $M \in \M_n(\R)$.
\ee






\be Pour les fonctions suivantes, déterminer les points $a$ en lesquels la fonction est différentiable et déterminer sa différentielle en un tel point :
\benu
\item $f_1 : \R^* \longrightarrow \R$ définie par $f_1(x)=\dfrac{1}{x}$,
\item $f_2 : \C^* \longrightarrow \C$ définie par $f_2(z)=\dfrac{1}{z}$,
\item $f_3 : \C \longrightarrow \C$ définie par $f_3(z)=\mathrm{Re}(z)$.
%\item $f_3 : \C \longrightarrow \C$ définie par $f_3(z)=\mathrm{Re}(z)$ avec $\C$ considéré comme $\C$-espace vectoriel.
\eenu
(avec $\C$ considéré comme $\R$-espace vectoriel)
\ee





\be Soient $E,F,G$ trois espaces vectoriels réels de dimensions finies. On considère une application $\varphi : {E \times F \longrightarrow G}$ bilinéaire. Soit $\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_n)$ (resp. $\mathcal{B}'=(f_1,\dots,f_p)$) une base de $E$ (resp. $F$). On sait que l'on peut munir respectivement $E$ et $F$ des normes $\| \; \|_E$ et $\| \;\|_F$ définies par 
\beqn \forall x= \sum_{i=1}^n x_i e_i \in E,  y=\sum_{j=1}^p y_j f_j \in F, \quad \|x\|_E=\max_{i\in \llbracket 1;n \rrbracket} \abs{x_i} \textrm{ et } \|y\|_F=\max_{j \in \llbracket 1;p \rrbracket} \abs{y_j}.
\eeqn
\benu
\item Munissons $E \times F$ de la norme produit associée aux deux normes précédentes, notée $\| \; \|$. Montrer qu'il existe $C \in \R^+$ tel que :
\beqn \forall (x,y) \in E \times F, \quad \|\varphi(x,y)\|_G \leq C \|(x,y)\|^2.
\eeqn

\item Montrer que $\varphi$ est différentiable en tout point $(x,y) \in E \times F$ et que 
\beqn \d \varphi(x,y) : \begin{array}[t]{ccc} E \times F & \longrightarrow & G \\
                                           (h,k)      & \longmapsto     & \varphi(x,k) + \varphi(h,y).
                        \end{array}
\eeqn
\eenu
\ee








\be Soit $f:\R^2\rightarrow \R$ la fonction d\'efinie par
\[f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}\mbox{ \ pour $(x,y)\not=(0,0)$}\quad\mbox{et}\quad
f(0,0)=0.\] 
Montrer que $f$ admet des d\'eriv\'ees directionnelles
selon tout vecteur en $(0,0)$ mais n'y est pas
diff\'erentiable.
\ee











\be Soit $f:\R^2\rightarrow \R$ la fonction d\'efinie par
\[f(x,y)=\dfrac{x^2y-y^3}{x^2+y^2}\mbox{ \ pour $(x,y)\not=(0,0)$}\quad\mbox{et}\quad
f(0,0)=0.\] 
\benu
\item Justifier l'existence et calculer les d\'eriv\'ees partielles $\displaystyle{\dfrac{\partial f}{\partial x}}$ et $\displaystyle{\dfrac{\partial f}{\partial y}}$ en $(0,0)$.
\item L'application est-elle diff\'erentiable en $(0,0)$\ ?
\eenu
\ee




\newpage





\be Soient $E,F$ deux $\R$-espaces vectoriels normés et $f: E \longrightarrow F$ une fonction différentiable. Dans les cas suivants trouver le nombre de lignes et de colonnes de la matrice jacobienne de $f$ en un point, puis \`a l'aide des entr\'ees de la matrice jacobienne d\'ecrire la diff\'erentielle de $f$ en un point donné :
\begin{enumerate}
\item $f$ est une fonction r\'eelle d'une variable r\'eelle ($E = F = \R$),
\item $f$ est une fonction vectorielle d'une variable r\'eelle ($E =  \R, \ F = \R^p$),
\item $f$ est une fonction numerique (r\'eelle) d'une variable vectorielle ($E = \R^n, F = \R$),
Quel est le lien avec le gradient de $f$ dans ce cas l\`a ?
\item $f$ est une fonction vectorielle d'une variable vectorielle ($E = \R^n, \ F = \R^p.$)
\end{enumerate}
\ee






\be On considère l'application $f : \R^2 \longrightarrow \R$ définie par :
\[f(x,y) = \left\{\begin{array}{lll}
\left(x^2 + y^2 \right) \sin \left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right) & \text{ si } & (x,y) \neq (0,0) \\
0                                                                      & \text{ si } & (x,y) = (0,0)
\end{array}\right.\]
\benu
\item Montrer que $f$ est différentiable en $(0,0)$. 
\item Montrer que $f$ n'est pas de \classe{1} en $(0,0)$. 
\eenu
\ee





\be Notons $\mathcal{B}_c=(E_{1,1}, E_{1,2},E_{2,1},E_{2,2})$ la base canonique de $\M_2(\R)$, où $E_{i,j}$ désignent les matrices élémentaires. On considère l'application 
\beqn \det :\begin{array}[t]{ccc} \M_2(\R) & \longrightarrow & \R \\
                                  A        & \longmapsto     & \det(A)
            \end{array}
\eeqn
\benu
\item Montrer que $f$ admet des dérivées partielles premières dans la base $\mathcal{B}_c$ et les calculer.
\item Justifier que $\det$ est de \classe{1} sur $\M_2(\R)$ et déterminer sa différentielle en toute matrice $A \in \M_2(\R)$.
\eenu
\ee




\be Soit $f : \R^2 \longrightarrow \R$ la fonction définie par :
\[f(x,y) = \left\{\begin{array}{lll}
x^2 \sin \left(\dfrac{y}{x} \right) & \text{ si } & x \neq 0 \\
0                                   & \text{ si } & x = 0
\end{array}\right.\]
\benu
\item Montrer que l'application $f$ est continue sur $\R^2$.
\item Montrer que $f$ possède des dérivées partielles premières en tout point de $\R^2$.
\item Déterminer les points de $\R^2$ où les dérivées partielles premières de $f$ sont continues.
\item Justifier que $f$ est différentiable sur $\R^2$ et écrire la différentielle de $f$ en tout point de $\R^2$. 
\eenu
\ee






\be \rm\
\benu
\item Si $(x,y)  \mapsto f(x,y)$ est diff\'erentiable de $\R^2 $ dans $\R$, déterminer la dérivée de  $u :x \longmapsto f(x,-x)$ et la différentielle en tout point de $g : (x,y) \longmapsto f(y,x).$
    \item
    Soient $E \et F$ deux $\R$-espaces norm\'es, $U$ un ouvert de $E,$ et $f: E \to F$ diff\'erentiable. Pour $a \in U \et v \in E$ d\'eriver la fonction compos\'ee $t \mapsto f(a + tv)$ en $t = 0.$
\eenu
\ee







\be Soient $f : \R \longrightarrow \R$ et $g : \R^2 \longrightarrow \R$ deux fonctions différentiables. Montrer que l'application
\beqn h : \begin{array}[t]{ccc} \R^2 & \longrightarrow & \R \\
                                (x,y) & \longmapsto & f(x+g(x,y))
          \end{array}
\eeqn
est différentiable et calculer sa différentielle en chaque point de $\R^2$.
\ee






\be On considère la fonction $f : \R^2 \longrightarrow \R$ définie par : 
\[f(x,y) = \int_{0}^{e^{xy}} \sin\left(t^2 \right) dt.\]
En considérant $f$ comme la composée de deux applications, montrer que $f$ est de \classe{1} sur $\R^2$, puis écrire sa matrice jacobienne en tout point de $\R^2$.
\ee





\be Soient $E,F$ deux $\R$-espaces vectoriels normés de dimensions finies , $f : E \longrightarrow F$ et $\lambda : E \longrightarrow \R$ différentiables. En la considérant comme la composée de deux applications, montrer que l'application produit $\lambda f$ est aussi différentiable et déterminer sa différentielle en tout point de $E$.
\ee










\be Soit $U$ un ouvert de $\R^n$ et $f : U \longrightarrow \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $U$ à valeurs non nulles. Montrer que l'application inverse $\dfrac{1}{f}$ est aussi de classe $\mathcal{C}^1$ et donner sa différentielle en tout point de $u$.
\ee 


















\end{document}



