\documentclass[a4paper,oneside]{article}
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%\pagestyle{empty}

%---- Dimensions des marges ---
\setlength{\paperwidth}{21cm}
\setlength{\paperheight}{29.7cm}
\setlength{\evensidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
\setlength{\headsep}{0.7cm}
\setlength{\headheight}{1cm}
\setlength{\textheight}{25.5cm}
\setlength{\textwidth}{17.3cm}



%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\intg}{[\![}
\newcommand{\intd}{]\!]}

\newcommand{\Vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\M}{\mathcal{M}}

\newcommand{\Det}{\mathrm{det}}
\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}}
\newcommand{\Id}{\mathrm{Id}}
\newcommand{\et}{\ \mbox{et} \ }
\newcommand{\ou}{\ \mbox{o\`u} \ }

\newcommand{\FF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\CC}{\mathcal{C}}

\renewcommand{\d}{ \; \mathrm{d}}

\newcommand{\di}{\displaystyle}

\DeclareMathOperator{\ch}{\mathrm{ch}}

%Norme triple
\newcommand{\nt}{|\!|\!|}




\newcommand{\classe}[1]{classe $\mathcal{C}^{#1}$} %pour écrire directement classe C^k, en mettant le k entre accolades
\newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |} %pour les valeurs absolues en mettant entre accolade ce que l'on veut


\newcommand{\nlongrightarrow}{\not\hspace{-4pt}\longrightarrow}

%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Universit\'e Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre de printemps 2016-2017}\\
  %  Module
  \noindent {Math IV - PMI - Analyse\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no8} \\
    \textsc{Extrema} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

%--------- Exercice--------------
%\newcounter{exercice}\setcounter{exercice}{1}
% \newenvironment{exo}[1][]
%{\pagebreak[3]                           \bigskip                           {\noindent  {\bf \underline{Exercice \theexercice.}} #1}                         }{\stepcounter{exercice} \medskip}

% Exercices :
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\be}{\begin{exo}}
\newcommand{\ee}{\end{exo} \bigskip}

\newcommand{\benu}{\begin{enumerate}}
\newcommand{\eenu}{\end{enumerate}}
\newcommand{\beqn}{\begin{eqnarray*}}
\newcommand{\eeqn}{\end{eqnarray*}}










\begin{document}



\baselineskip=0.6cm
\entete










\be
On consid\`ere la fonction $f: \R^2 \to \R$ d\'efinie par $f(x,y) = e^{x^2 + xy + y^2}$. Justifier l'existence et d\'eterminer le développement de Taylor à l'ordre $2$ de $f$ au voisinage du point $(0,0)$.
\ee







\be
On d\'efinit~$f\colon\R^2\to\R$ par $f(x,y)=x^3+xy^2-2x^2+2$.
\begin{enumerate}
 \item V\'erifier que si~$D$ est une droite passant par~$(0,0)$, la restriction de~$f$ \`a~$D$ poss\`ede un maximum local \`a l'origine.
 \item Déterminer si $(0,0)$ est un point de maximum local de $f$.
\end{enumerate}
\ee








\be
Soit $f\colon\R^2\to\R$ l'application d\'efinie par
$f(x,y)=2x^2+2y^2+x^2y^2-x^4-y^4$ pour tout $(x,y)\in \R^2$.
\begin{enumerate}
\item
D\'eterminer les extrema locaux de~$f$.
\item A l'aide des coordonn\'ees polaires, v\'erifier que $f(x,y)\le 2r^2-\frac{r^4}{4}$, o\`u $r^2=x^2+y^2$.
En d\'eduire que $f(x,y)\le 4$.
\item Trouver le maximum global de~$f$ et les points o\`u il est atteint.
\item Y a t-il un minimum global~?
\end{enumerate}
\ee








\be On considère la fonction $f : \R^2 \longrightarrow \R$ définie par $f(x,y) = \left(x^2 + y^2 \right)y + x^2 + 9y^2$. 
\benu
\item Déterminer les points critiques de $f$ et déterminer leur nature.
\item Sur $\R^2$, la fonction $f$ admet-elle des extrema globaux ? On pourra utiliser $f(0,t)$.
\item On définit les ensembles $D = \left\{(x,y)\in \R^2 \mid x^2 + y^2 \leqslant 1 \right\}$ et $C = \left\{(x,y) \in \R^2 \mid x^2 + y^2 = 1 \right\}$. 
     \benu
     \item Justifier que $f$ possède sur $D$ des extrema globaux.
     \item Sur le cercle $C$, déterminer les valeurs minimales et maximales prises par $f$.
     \item En déduire les valeurs minimales et maximales prises par $f$ sur le disque $D$. \\
     \eenu
\eenu
\ee




\be
D\'eterminer les bornes de la fonction~$g\colon\R^2\to\R$ d\'efinie par
\[ g(x,y)=3xy-3x^2-y^3\]
sur le compact~$K=[-1,1]\times[-1,1]$.
\ee





\newpage





\be Pour tout $m \in \R$, on définit la fonction $f : \R^3 \longrightarrow \R$ par $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 + 2mxy + y^4 - 2x^2y^2$. 
\benu
\item Vérifier que $O(0,0,0)$ est un point critique de $f$.
\item \'Etudier, suivant les valeurs du réel $m$, si $O$ est un extremum local de $f$. 
\eenu
\ee










\be Soit $ABC$ un triangle. Déterminer le point $M$ qui minimise la distance $AM^2 + BM^2 + CM^2$. 
\ee







\be Soit $f : \R^2 \longrightarrow \R$ définie par $f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2} - y^2 - 1$. \'Etudier les extrema relatifs de $f$ sur $\R^2$. 
\ee











\be On considère la fonction $f : \R^2 \longrightarrow \R$ définie par $f(x,y) = e^{x - y} + xy^2$, puis $S$ la surface d'équation $z = f(x,y)$. Déterminer une équation du plan tangent $P$ à $S$ au point $(1,1,2)$, puis la position relative de $S$ et de $P$ au voisinage de $(1,1,2)$.
\ee











\end{document}



