\documentclass[a4paper,oneside]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[english,francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{ae}
%\usepackage{aeguill}
%\usepackage{graphicx}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,amsthm,graphicx}

\usepackage{multicol}


%\pagestyle{empty}

%---- Dimensions des marges ---
\setlength{\paperwidth}{21cm}
\setlength{\paperheight}{29.7cm}
\setlength{\evensidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
\setlength{\headsep}{0.7cm}
\setlength{\headheight}{1cm}
\setlength{\textheight}{25.5cm}
\setlength{\textwidth}{17.3cm}



%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\intg}{[\![}
\newcommand{\intd}{]\!]}

\newcommand{\Vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}

\newcommand{\Det}{\mathrm{det}}
\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}}
\newcommand{\Id}{\mathrm{Id}}
\newcommand{\et}{\ \mbox{et} \ }
\newcommand{\ou}{\ \mbox{o\`u} \ }


\newcommand{\FF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\CC}{\mathcal{C}}

\DeclareMathOperator{\ch}{\mathrm{ch}}

\newcommand{\di}{\displaystyle}

%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Universit\'e Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre de printemps 2016-2017}\\
  %  Module
  \noindent {Math IV - PMI - Analyse\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no9} \\
    \textsc{\'Equations différentielles} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

%--------- Exercice--------------
%\newcounter{exercice}\setcounter{exercice}{1}
% \newenvironment{exo}[1][]
%{\pagebreak[3]                           \bigskip                           {\noindent  {\bf \underline{Exercice \theexercice.}} #1}                         }{\stepcounter{exercice} \medskip}

% Exercices :
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\be}{\begin{exo}}
\newcommand{\ee}{\end{exo} \bigskip}

\newcommand{\benu}{\begin{enumerate}}
\newcommand{\eenu}{\end{enumerate}}

 \begin{document}
\baselineskip=0.6cm
\entete




\be Résoudre l'équation différentielle $xy'' + (x-2) y' - 2y = 0$, d'inconnue $y : I \longrightarrow \R$ deux fois dérivable sur $I$, sur tout intervalle ouvert $I$ de $\R$. On pourra chercher une solution particulière polynomiale et une solution particulière de la forme $x \longmapsto e^{ax}$ avec $a \in \R$.
\ee



\be Résoudre l'équation différentielle suivante : $(E)$ $y''+y=\dfrac{1}{\cos x}$, d'inconnue $y : ]-\pi/2;\pi/2[ \rightarrow \R$, deux fois dérivable. 
\ee



\be On considère l'équation différentielle $(E) \quad xy''-2(x-1)y'+(x-2)y=xe^x$, d'inconnue $y : ]0;+\infty[ \rightarrow \R$ deux fois dérivable. Résoudre $(E)$ par trois méthodes :
\benu
\item à l'aide du changement de fonction inconnue $z=e^{-x}y$,
\item à l'aide du changement de fonction inconnue $u=y'-y$,
\item en cherchant des solutions particulières de l'équation différentielle sans second membre associée à $(E)$ sous la forme $x \longmapsto x^\alpha e^x$, où $\alpha \in \Z$ est une constante à choisir, puis en appliquant la méthode de variation des constantes.
\eenu
\ee




\be Résoudre l'équation différentielle suivante $(E) : (1-x^2)y''-xy'+y=0$, d'inconnue $y : ]-1;1[ \longrightarrow \R$ deux fois dérivable, à l'aide du changement de variable défini par $t=\arcsin(x)$.
\ee




\be Méthode de Lagrange (aussi appelée méthode d'abaissement de l'ordre)

Résoudre l'équation différentielle suivante $(E) : x^2(x+1)y'' -x(x^2+4x+2)y'+(x^2+4x+2)y=0$, d'inconnue $y : ]0;+\infty[ \longrightarrow \R$ deux fois dérivable.
\ee


\be Résoudre l'équation différentielle suivante $(E) : x(x^2-1)y''-2(x^2-1)y'+2xy=0$, d'inconnue $y : ]1;+\infty[ \longrightarrow \R$ deux fois dérivable, sachant qu'il existe une solution polynômiale autre que la fonction nulle.
\ee



\be Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $p,q : I \longrightarrow \R$ deux fonctions continues. On considère deux solutions $u$ et $v$ de l'équation différentielle $(E) : y'' + p(x) y' + q(x)y=0$.
\benu
\item Montrer que le Wronskien de $u$ et $v$ (noté $W$) vérifie une équation différentielle et le calculer en fonction de sa valeur en un point $a$ de $I$.
\item On suppose que $u$ ne s'annule pas sur $I$. Exprimer $W$ à l'aide d'une dérivée. Expliquer comment obtenir $v$ à l'aide de $W$ et $u$.
\item Application : On considère l'équation différentielle $x^2y''-x(2+x)y'+(x+2)y=0$ d'inconnue $y : \R \longrightarrow \R$ deux fois dérivable.
   \benu
   \item Déterminer une solution polynômiale de $(E)$.
   \item \`A l'aide du Wronskien, déterminer une deuxième solution de $(E)$ sur $I_1=]-\infty;0[$ et sur $I_2=]0;+\infty[$.
   \item En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$.
   \eenu
\eenu
\ee






\be Soit $f : \R \longrightarrow \R$ une fonction deux fois dérivable vérifiant $f+f'' \geq 0$. \\
Montrer que pour tout $x \in \R$, $f(x)+f(x+\pi) \geq 0$.

\emph{Indication : faire apparaître une équation différentielle linéaire non homogène du second ordre dont $f$ est solution.}
\ee























\end{document}