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%   Fondamentaux des Maths 2 -2018 - Feuille de TD2
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\noindent 
Universit\'e Claude Bernard Lyon 1  
\hfill UE Fondamentaux des Math\'ematiques II\\
Semestre d'automne 2017-2018
\bigskip 


\begin{center}
{\Large\bf Feuille 2 : Fonctions $\arcsin, \arccos, \arctan$} 
\end{center}
\bigskip

\def\moun{{-1}}

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-1} 

\begin{enumerate}
\item Montrer que $0<\arccos \frac34<\frac\pi4$
\item Résoudre $\arccos x = 2\arccos\frac34$
\end{enumerate}
	
\vskip0.3cm

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-2} 
Calculer $\arcsin(\sin a)$, $\arccos(\cos a)$, $\arctan (\tan a)$, $\arccos(\sin a)$ pour $a\in\left\{\frac{61\pi}{5}, \frac{76\pi}{5},\frac{83\pi}{5}\right\}$.

\vskip0.3cm

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-3} 
Que vaut $\arccos(\cos x)$ si $x\in[6\pi,7\pi]$ puis si $x\in[25\pi,26\pi]$?

\vskip0.3cm 

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-4} 
Votre calculatrice affirme que l’argument de $z=-3+4i$ est $-\arctan \frac43 +\pi$ ou $\arctan \frac34 +\frac\pi2$. Ces deux valeurs sont-elles cohérentes?

\vskip0.3cm 

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-5} 
L’application $\cos:[2\pi,3\pi]\to[-1,1]$ est-elle bijective ? Si oui, donner une expression de sa fonction réciproque.

\vskip0.3cm

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-6}
On étudie la fonction $f$ définie pour $x\in\R$ par

$$
f(x) = \cos^3 x +\sin^3 x
$$ 

\begin{enumerate}
\item Soit $x\in\R$. Calculer $f(x+\pi)$. Quelle conclusion sur le graphe de $f$ peut-on en tirer ?
\item Etudier le signe de $\sin x -\cos x$ pour $x\in[0,\pi]$. On pourra raisonner géométriquement (sur les courbes des fonctions ou le cercle unité) ou chercher $A$ et $\phi$ tels que $\sin x-\cos x = A\sin(t+\phi)$.
\item Terminer l'étude de $f$.
\end{enumerate}

\vskip0.3cm



\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-7} 
Représenter graphiquement sans l'aide de la calculatrice la fonction $x\mapsto\arcsin(\sin x)$.


\vskip0.3cm



\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-8} 
Simplifier les expressions $\tan(\arcsin x)$, $\cos(\arctan x)$ après avoir donné leur ensemble de définition.

\vskip0.3cm

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-9} 
On pose $f:x\mapsto \arcsin\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'ensemble de définition de $f$ est $\R^-$.
\item Déterminer le ou les points de la courbe d'ordonnée nulle et préciser la tangente en ce ou ces points.
\item Etudier la fonction.
\end{enumerate}


\vskip0.3cm

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-10} 
Simplifier les expressions $\arccos x +\arcsin x$ et $\arccos x + \arccos(-x)$ après avoir donné leur ensemble de définition. On pourra dériver.

\vskip0.3cm

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-11} 
Dans ce qui suit, on dit que $f$ est équivalent à $g$ en $0$ si $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$. Trouver une fonction $g$ de la forme $g(x)=ax+b$ telle que $f$ soit équivalent à $g$ en $0$ dans chaque cas suivant: $f(x)=\arctan x$, $f(x)=\arcsin(x)$, $f(x)=\arccos(x)$.

\vskip0.3cm

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-12} 
Soit $x,y$ des réels tels que $xy\neq 1$. Simplifier $\arctan \frac{x+y}{1-xy}-\arctan x-\arctan y$. On pourra dériver.

\vskip0.3cm

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-13} 
Soit $f$ la fonction définie sur $[\pi/2,\pi[$ par $f(x)=\frac1{\sin x}$. Montrer que $f$ réalise une bijection de $[\pi/2,\pi[$ sur un ensemble à préciser. Déterminer $f^{-1}$ à l'aide de la fonction $\arcsin$.

\vskip0.3cm

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-14} 
On cherche à résoudre l'équation (E): $\arctan 2x +\arctan x = \frac\pi4$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f:x\mapsto \arctan 2x +\arctan x$ réalise une bijection de $\R$ sur un intervalle à préciser. En déduire que l'équation (E) admet une unique solution $\alpha$.
\item Déterminer $\alpha$ en utilisant la formule d'addition de la tangente.
\end{enumerate}

\vskip0.3cm

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-15} 
Résoudre sur $\R$ les équations suivantes:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\arcsin\frac1{1+x^2}+\arccos\frac35=\frac\pi2, & \qquad \arccos \cos x =\arccos\frac14, +\arccos \frac13 \\
\arccos x = 2\arccos(-1), & \qquad \arccos x =\arcsin 2x \\
\arcsin x +\arcsin\sqrt{1-x^2}=\frac\pi2, & \qquad 2\arcsin x = \arcsin(2x\sqrt{1-x^2})
\end{aligned} 
\end{equation*}


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\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-16} 
Soit $f$ la fonction définie par 
$$
f(x) = \arccos(1-2x^2)
$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition de $f$ et préciser en quels points $f$ est continue.
\item Dériver $f$ en prenant soin d'étudier l'ensemble où $f$ est dérivable.
\item Dresser le tableau de variations de $f$ et tracer son graphe.
\item Sur chaque ensemble où $f$ est dérivable, donner une expression plus simple de $f$.
\end{enumerate}

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\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-17} 
Soit $f$ la fonction définie par 
$$
f(x) = \arccos(1-2\cos^4(x))
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est définie et continue sur $\R$.
\item Montrer que $f$ est $2\pi$ périodique. Quelle est la parité de $f$ ? En déduire un intervalle d'étude $I$.
\item Partout où cela ne pose pas de problème, calculer la dérivée de $f$. On l’exprimera sous la forme la plus simple possible.
\item Sur chaque ensemble où $f$ est dérivable, donner une expression plus simple de $f$.
\item Sur quel sous-ensemble de $I$ la fonction $f$ est-elle dérivable ?
Préciser la valeur des limites de $f'(x)$ à droite au point d’abscisse $0$ et à gauche au point d’abscisse $\pi$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Tracer son graphe sur trois périodes.
\end{enumerate}

\end{document}



