\documentclass[12pt,a4paper]{article}

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\def\N{\mathbb{N}}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def\T{\mathbb{T}}
\def\M{\mathbb{M}}

\def\d{\mathrm{d}}
\def\ker{\mathrm{ker}}
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\def\dim{\mathrm{dim}}
\def\noi{\noindent}

\newcommand{\dist}{\mathrm{dist}\,}
\newcommand{\vv}[1]{\overrightarrow{#1}} 
\newcommand{\vXY}[2]{\left(\begin{array}{c}#1\\#2\end{array}\right)}
\newcommand{\vXYZ}[3]{\left(\begin{array}{c}#1\\#2\\#3\end{array}\right)}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\everymath{\displaystyle}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

\begin{document}

\noindent 
Universit\'e Claude Bernard Lyon 1  
\hfill UE Fondamentaux des Math\'ematiques II\\
Semestre de printemps 2017-2018
\bigskip 

\begin{center}
{\Large\bf Correction Feuille 3 : Espaces vectoriels} 
\end{center}
\bigskip

\def\moun{{-1}}


(ça n'a pas été relu, il peut y avoir des erreurs !)\\

\noi
\textbf{Exercice 30}\\
On suppose que $M_n(\R)$ est un $\R$-espace vectoriel.\\
\textbf{1.}
\begin{itemize}
\item[(i)] \textbf{$A_n(\R)$ est un sous-espace vectoriel de $M_n(\R)$}:\\
- On a bien $A_n(\R) \subset M_n(\R)$ par définition, donc montrons que $A_n(\R)$ est un sous-espace vectoriel de $M_n(\R)$.\\
- La matrice nulle vérifie la relation des matrices anti-symétriques, donc est dans $A_n(\R)$.\\
- Soient $A$ et $B$ dans $A_n(\R)$, donc $^tA =-A$ et $^tB= -B$, et soit $\lambda \in \R$. On veut montrer que $\lambda A +B$ vérifie la relation des matrices anti-symétriques:
\begin{eqnarray*}
^t\left( \lambda A +B \right)
&=& \lambda\left( ^tA\right) + ^tB\\
&=&\lambda \left( -A\right) + \left( -B\right) \mbox{ par définition de $A$ et $B$}\\
&=& -\left( \lambda A +B\right)
\end{eqnarray*}
donc $\lambda A+B$ est dans $A_n(\R)$.\\
On déduit de ces trois points que $A_n(\R)$ est un sous-espace vectoriel de $M_n(\R)$.

\item[(ii)] \textbf{$S_n(\R)$ est un sous-espace vectoriel de $M_n(\R)$}:\\
- On a bien $S_n(\R) \subset M_n(\R)$ par définition, donc montrons que $S_n(\R)$ est un sous-espace vectoriel de $M_n(\R)$.\\
- La matrice nulle vérifie la relation des matrices symétriques, donc est dans $S_n(\R)$.\\
- Soient $A$ et $B$ dans $S_n(\R)$, donc $^tA =A$ et $^tB= B$, et soit $\lambda \in \R$. On veut montrer que $\lambda A +B$ vérifie la relation des matrices symétriques:
\begin{eqnarray*}
^t\left( \lambda A +B \right)
&=& \lambda\left( ^tA\right) + ^tB\\
&=&\lambda \left( A\right) + \left( B\right) \mbox{ par définition de $A$ et $B$}\\
&=&  \lambda A +B
\end{eqnarray*}
donc $\lambda A+B$ est dans $S_n(\R)$.\\
On déduit de ces trois points que $S_n(\R)$ est un sous-espace vectoriel de $M_n(\R)$.
\end{itemize}
\textbf{2.} Soit $A\in M_n(\R)$. Montrons que $\frac{A+^tA}{2}$ est une matrice symétrique:
\begin{eqnarray*}
^t\left( \frac{A+^tA}{2}\right) &=& \frac{^t( A+^tA)}{2}\\
&=& \frac{^t A + ^t(^t A)}{2}\\
&=& \frac{^t A + A}{2}
\end{eqnarray*}
d'où $\frac{^t A + A}{2}$ est dans $S_n(\R)$.\\
Montrons que $\frac{A-^tA}{2}$ est une matrice anti-symétrique:
\begin{eqnarray*}
^t\left( \frac{A-^tA}{2}\right) &=& \frac{^t( A-^tA)}{2}\\
&=& \frac{^t A - ^t(^t A)}{2}\\
&=& \frac{^t A - A}{2}\\
&=& -\left( \frac{A-^tA}{2}\right)
\end{eqnarray*}
d'où $\frac{^t A - A}{2}$ est dans $A_n(\R)$.\\
\textbf{3.} Soit $A\in M_n(\R)$. On peut aussi écrire
\begin{eqnarray*}
A &=& A + \frac{1}{2}\left( ^tA - ^tA \right)\\
&=& \frac{1}{2}(2A) + \frac{1}{2}\left( ^tA - ^tA \right)\\
&=& \frac{1}{2}\left( 2A + ^tA - ^tA \right)\\
&=& \frac{1}{2}\Big( (A + ^tA) + (A - ^tA) \Big)\\
&=& \frac{A + ^tA}{2}+  \frac{A - ^tA}{2}
\end{eqnarray*}
donc toute matrice de $M_n(\R)$ peut s'écrire comme somme d'une matrice symétrique et d'une matrice anti-symétrique. D'où $M_n(\R) = A_n(\R) + S_n(\R)$.\\
\textbf{4.} Soit $A$ une matrice dans $A_n(\R)\cap S_n(\R)$, alors $A$ vérifie
\begin{eqnarray*}
\Big( \,^tA= A \mbox{ et } ^tA =-A  \,\Big)
\Rightarrow  A =-A
\end{eqnarray*}
d'où pour tout $(i,j)$ on a $a_{i,j} = - a_{i,j}$, cad $a_{i,j}=0$. Donc $A$ est la matrice nulle. On en déduit que $A_n(\R)$ et $S_n(\R)$ sont en somme directe. De plus, avec la question précédente, on a
\begin{eqnarray*}
A_n(\R) \oplus S_n(\R) = M_n(\R).
\end{eqnarray*}
\textbf{5.} D'après les questions précédentes, on sait que $A$ peut s'écrire
\begin{eqnarray*}
A &=& \frac{A + ^tA}{2} +  \frac{A - ^tA}{2}
\end{eqnarray*}
où $\frac{A + ^tA}{2}$ est une matrice symétrique et $\frac{A - ^tA}{2}$ est une matrice anti-symétrique. On calcule ces matrices:
\begin{eqnarray*}
\frac{A + \,^tA}{2} = \left( 
\begin{array}{cc}
1& 2.5\\2.5 & 4
\end{array}
\right)
\mbox{ et }
\frac{A - \,^tA}{2} = \left( 
\begin{array}{cc}
0& 1\\-1 & 0
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}
La première matrice est bien symétrique, et la deuxième est bien anti-symétrique.


\end{document}