 \documentclass[12pt, french]{article}

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\usepackage{mathrsfs} % gives letters like ${\mathscr C}^2$

\usepackage{tikz} %for sketch plots (must disable babel to use this, when domain command is present in a tikzpicture !) Sometimes, putting \shorthandoff{:} in each tikzpicture group is another option

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babel,array,
amssymb,amsmath,amsfonts,latexsym,color}
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%\usepackage[utf8]{inputenc} %useful to type directly diacritic characters

\usepackage{mathptmx}  %sharper look to formulas

\usepackage{framed}  %see DS1 for effect

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%%% \newgeometry{left=3cm,bottom=0.1cm}   example
%%% \restoregeometry

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% for strikethrough text; type \st{texthere}

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\usepackage{version}  %% See p.82 Latex Companion, for including/excluding comments and environments. Uses \includeversion{tag} and \excludeversion{tag} where tag is an environment name.

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%\theoremstyle{change} %to have number first
%\theoremstyle{definition}
%\theorembodyfont{\slshape}
\theorembodyfont{\normalfont}
%\theoremheaderfont{\normalfont\bfseries}

\newtheorem{exer}{ Exercice}[section]
\newcommand{\x}{
\begin{exer}}
\newcommand{\xx}{\end{exer}}

\newtheorem{exerds}{D$\ms$S}[section]  %for ds exers
\newcommand{\xds}{
\begin{exerds}}
\newcommand{\xxds}{\end{exerds}}

\def\dis{\displaystyle}
\def\pr{\,'\ms\!}
\newcommand{\xsp}{x_*\!\!'}

\newcommand{\ges}{\,\geqslant \,}
\newcommand{\les}{\,\leqslant \,}

\def\N{{\mathbb N}}

\def\R{{\mathbb R}}
\newcommand{\ms}{\mspace{1mu}}

\newcommand{\argsinh}{\operatorname{argsinh}}
\newcommand{\argcosh}{\operatorname{argcosh}}
\newcommand{\argtanh}{\operatorname{argtanh}}

\newtheorem{thm}{Th\'eor¬ème}[section]
%[chapter]
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition} %same counter

%Then replace \spnewtheorem by \newtheorem everywhere. (runinhead goes weird)
%Then redefine simply all abrev for theorems, props, etc
%Then have to define sol and proof environments

\newenvironment{sol}[1]{ \medskip\par\noindent {\bf \ref{#1}\;}}
%{\medskip\par}
{\par}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\spnewtheorem{thm}{\nocaption}[theorem]{\sl }
%\newtheorem{thm}[theorem]{\sl }

%\newcommand{\bt}{\begin{thm}{\bf Theorem}\:\:}
%%\newcommand{\bet}{\: $\blacklozenge$\end{theorem}}
%\newcommand{\bet}{\end{thm}}




\newcommand{\bt}{\begin{thm}}
%\newcommand{\bet}{\: $\blacklozenge$\end{theorem}}
\newcommand{\bet}{\end{thm}}

%\spnewtheorem{prop}[theorem]{}{\bf}{\it}
%\newtheorem{prop}[theorem]{}{\bf}{\it}

%\newcommand{\bprop}{\begin{prop}{\bf Proposition}\:}
\newcommand{\bprop}{\begin{prop}}
%\newcommand{\bet}{\: $\blacklozenge$\end{theorem}}
\newcommand{\eprop}{\end{prop}}

%\spnewtheorem{cor}[theorem]{}{\bf}{\it}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}

\newcommand{\bcor}{\begin{cor}}
%\newcommand{\bet}{\: $\blacklozenge$\end{theorem}}
\newcommand{\ecor}{\end{cor}}

%\spnewtheorem{hypo}[theorem]{}{\bf}{\it}
\newtheorem{hypo}[thm]{Hypoth¬èse.}

\newcommand{\bhypo}{\begin{hypo}}
\newcommand{\ehypo}{\end{hypo}}

%\spnewtheorem{deff}[theorem]{}{\bf}{\rm}
\newtheorem{deff}[thm]{D\'efinition}

\newcommand{\bdeff}{\begin{deff}}
\newcommand{\edeff}{\end{deff}}

%\spnewtheorem{eg}[theorem]{}{\bf}{\rm}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\theoremheaderfont{\normalfont\bfseries}
\newtheorem{eg}[thm]{Exemple.}

\def\d{\partial}

\newcommand{\co}{{\textup{co}}}
\def\lg{\Lambda}
\newcommand{\e}{\epsilon}
\def\s{\sigma}
\def\lg{\Lambda}
\def\l{\lambda}
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\def\t{\tilde}
\def\ccd{{\:\scriptscriptstyle{\overset{\bullet}{\rule[0mm]{0mm}{.00mm}}}\:\:}}
\newcommand{\la}{\langle}
\newcommand{\ra}{\rangle}
\newcommand{\inter}{{\textup{int\,}}}

\newcommand{\Eq}{\: = \:}
\newcommand{\gu}[1]{\flqq\:{#1}\:\frqq\:}
\newcommand{\Leq}{\: \leqslant \:}
\newcommand{\Geq}{\: \geqslant  \:}
\newcommand{\sss}{\subsubsection}
\newcommand{\In}{\: \in \:}
 \newcommand{\stc}{\textup{:}\:}% straight colon
 \newcommand{\fa}{~\; \forall \,}


%\thispagestyle{empty}

 
\newenvironment{FHC}{
 \par
\vspace{5mm}
{\Large\bf \color{red}FC}\color{red}$\rightarrow$\quad}{\quad
%{\Large\bf \color{red}$\Box$}  \par
\par\vspace{5mm} }
%\hfill\bf }{\par}

\newenvironment{RQ}{
 \par
%\vspace{5mm}
{\Large\bf \color{red}Rq.}\color{red}\quad}{\quad
%{\Large\bf \color{red}$\Box$}  \par
\par\vspace{5mm} }

%%%%%% IMPORTANT:
%%%%%%
%%%%%%
%%%%%%
%%%%%%
%%%%%%
%%%%%%
%: include or exclude FHC and RQ

\excludeversion{FHC}  %% For excluding the red comments FHC (persona)

\excludeversion{RQ}  %% For excluding the red comments RQ (partly for others, like answers or suggestions or remarks)
%\pagestyle{empty}  % Activate this when RQ is NOT excluded, to void page numbers

%There is also \begin{comment} and \end{comment} that is usable

\begin{document}

\pagestyle{plain}

 \setcounter{page}{1}
 \setcounter{section}{4}


\newgeometry{top= 1.9cm, left=3cm,bottom=2.1cm}   

%\begin{center}
%{\bf \large Fondamentaux de Math II \quad printemps 2018\\ 
%\vspace{3mm}
%Feuille 4}
%\end{center}%\medskip
%\noindent 
Universit\'e Claude Bernard Lyon 1  
\hfill UE Fondamentaux des Math\'ematiques II\\
Semestre de printemps 2017--2018
\bigskip 


\begin{center}
{\Large\bf Feuille 4 :  D\' eveloppements limit\'es} 
\end{center}
\bigskip


\x Par un calcul direct, trouver les trois premiers termes du d\' eveloppement limit\' e en $ 0$  pour chacune des fonctions suivantes:
$$
f(x)= 3+\ln(1+x+x^{\ms2})\ms, 
\quad\displaystyle{g(x)=e^{\,\cos x}},\quad h(x)=\displaystyle{1+\tan x}\ms.
$$
 \xx
 \begin{RQ}
 $f\to 3+x+\frac12\ms x^{\ms2},\quad g\to e(1-\tfrac12 x^{\ms2})\ms,\quad h\to 1+x$
\end{RQ}

 
 \x
 D\' eterminer, par un calcul direct,  les trois premiers termes non nuls du d\'eveloppement limit\' e en $0$  pour la fonction $ x\mapsto \displaystyle{x^{\,2}+\arcsin x}\,.$ Pourquoi peut-on dire, sans calcul, que le prochain terme est nul ? Calculer le prochain terme non nul. (Remarque : on aura une façon plus efficace de faire ce calcul ; voir Exer. 4.9.)
\xx
\begin{RQ}
 $x+x^2+\tfrac16 x^3$ ; prochain est nul car $\arcsin$ est impaire ; prochain terme non nul  $= +\tfrac 3 {40}\, x^{\ms5}$
\end{RQ}



\x Trouver le d\'eveloppement limit\'e d'ordre $3$ en $0$ pour chacune de ces fonctions d'une variable $x$:
$$
\begin{array}{lll}
\text{\bf (a)}\quad\displaystyle{e^{\ms\,2\,x}+x^{\,3}}\quad &\;\; \text{\bf 
(b)}\quad\displaystyle{e^{\ms\,x}\ms\sin\ms x }&\;\;
\text{\bf (c)}\quad\displaystyle{\left(\sin x+x\right)^{17} x^{\,3}+1+3\, x^{\,2}}
%% \quad &\;\; \text{\bf (d)}\quad \displaystyle{\int_0^{\ms x}\arctan t\, dt} 
 \end{array}$$
\xx




%\x 
%Exprimer le polyn\^ome $f(x)= x^{\ms3}-\,x^{\ms2}+7\,x-4$ en somme de puissances de $(x-1)$, par deux m\'ethodes diff\'erentes: par factorisation, et en calculant la s\'erie de Taylor.
%\xx
%\begin{RQ}$3+8(x-1)+2(x-1)^2+(x-1)^3$\end{RQ}




\x\quad 

(a) Calculer les quatre premiers termes du d\' eveloppement limit\' e de la fonction $x\mapsto \sin x\ms$  au point $\pi/4\ms$. 

(b) En d\'eduire les quatre termes suivants. 

(c) Quel est son vingt-deuxi\`eme terme ?
\xx
\begin{RQ} 
%3000; 39.3
cycle de 4 valeurs $\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2, -\sqrt{2}/2, -\sqrt{2}/2\:\implies$
\begin{multline*}
\frac{\sqrt{2}}{2}\Big[ 1+ \frac{x-\pi/4}{1!}- \frac{(x-\pi/4)^2}{2!}-\frac{(x-\pi/4)^3}{3!}+\frac{(x-\pi/4)^4}{4!}\\ +\frac{(x-\pi/4)^5}{5!}-\frac{(x-\pi/4)^6}{6!}-\frac{(x-\pi/4)^7}{7!}\dots\Big]
\end{multline*}
\end{RQ}





\x On s'int\'eresse au DL (d\'eveloppement limit\'e)  d'ordre $3$ en $a=0$
des fonctions $f$ et $g$ d\'efinies par les r\`egles
$$f(x)=\, x^{\,4}+x^{\,3}-x\, ,\:\:\;\: g(x)=\, e^{\,2\ms x}\,.$$
\begin{enumerate}

 \item Trouver le DL  d'ordre $3$ en $a=0$ pour chacune de ces fonctions, en justifiant leur existence.
 \item En d\'eduire les DL  d'ordre $3$ en $a=0$ pour les fonctions $f^{\,2}$,  $fg\ms$, et $f^{\,4}$.
 \item En d\'eduire les DL  d'ordre $3$ en $a=0$ de la  fonction   $g\circ f$.
 \item D\'eterminer le DL d'ordre $3$ en $a=0$ de la  fonction   $f\circ g$ (attention : pi\`ege).
 \end{enumerate}
\xx
\begin{RQ} On utilise les r\'esultats du cours sur les produits et les compos\'es
$x^3-x, 1+2x+2x^2+\frac43 x^3$
\end{RQ}





\x Trouver le DL  d'ordre $4$ en $0$ pour chacune de ces fonctions d'une variable $x$:
$$
\begin{array}{llll}
\text{\bf (a)}\;\;\displaystyle{\ln(1+x)\sin x}\quad &\quad \text{\bf 
(b)}\;\;\displaystyle{\ln(1+\sin x) }\quad&\quad\quad
\text{\bf (c)}\;\;\displaystyle{\sin(\ln(1+x))} 
\quad &\quad \text{\bf 
(d)}\;\;
\dis{\frac{\sin x}{\,1+\ln(1+x)\,}}
 \end{array}$$
\xx



 \x
 D\'eterminer le d\'eveloppement limit\'e  \`a l'ordre $4$ en $0$ de la fonction
 
    $\dis{x\mapsto f(x):=\,\frac{e^{\, x}}{\, \cos x\,}}$, en justifiant son existence.
 \xx
 \begin{RQ}
   $1+x+x^2+\frac23 x^3+ \frac12 x^4+o(x^4)$
 \end{RQ}

\x Trouver le d\'eveloppement limit\'e  d'ordre $3$ en $0$ pour chacune de ces fonctions:
$$
\begin{array}{llll}
\text{\bf (a)}\quad\displaystyle{(1-x)^3}\quad &\qquad \text{\bf 
(b)}\quad\displaystyle{ \frac{e^{\, x}}{\,(1+x)^3\,}}&\qquad
\text{\bf (c)}\quad\displaystyle{\sqrt{-x^{\,2}+3\,x+1\:}}
\quad &\qquad \text{\bf (d)}\quad \displaystyle{\frac{\sqrt{\:1+x^{\,2}\:}}{1-x}} 
 \end{array}$$
\xx
\begin{RQ}
(a) $1-3x+3x^2-x^3+o(x^3)$

(b) $1-2x+\tfrac72 x^2-\tfrac{16}{3}x^3+o(x^3)$

(c) $1+\tfrac32 x- \tfrac{13}{8}x^2+\tfrac{39}{16}x^3+o(x^3)$

(d) $1+x+\tfrac32 x^2+\tfrac32 x^3+o(x^3)$
\end{RQ}

\x\quad 

 (a) Calculer le DL en 0 de la fonction $x\mapsto (1-x)^{-1/2}$ \`a l'ordre 3.

%(a) $1+\tfrac12 x+\tfrac38 x^2+\tfrac{5}{16}x^3+o(x^3)$

(b) En d\'eduire le DL d'ordre 6 en 0 de la fonction  $x\mapsto (1-x^{\ms2})^{-1/2}$.

(c) En d\'eduire le DL d'ordre 7 en 0 de la fonction  $x\mapsto \arcsin x\ms$. Comparer avec le calcul direct de l'Exer. 4.2.
\xx
\begin{RQ}
(a) $1+\tfrac12 x+\tfrac38 x^2+\tfrac{5}{16}x^3+o(x^3)$

(b) $1+\tfrac12 x^2+\tfrac38 x^4+\tfrac{5}{16}x^6+o(x^6)$

(c) $x+ \tfrac16 x^3+\tfrac{3}{40} x^5+\tfrac{5}{112}x^7+o(x^7)$
\end{RQ}



\x
D\'eterminer le d\'eveloppement limit\'e en 0
\`a l'ordre $n$
des fonctions suivantes :

{\bf(a)}\, $\dis{f(x)=\sin(x^{\ms2})\ms,\, n=13}$\;\;
{\bf(b)}\, $\dis{g(x)=\frac{2\ms x}{\,1+x^{\,4}\,}\ms,\, n=12}$\;\;
{\bf(c)}\, $\dis{h(x)=\arctan\left(x^{\,2}\right)\ms,\, n=13}$\;\;\quad
\xx


\x On s'int\'eresse aux DL de certaines fonctions \`a l'origine.

(a) Calculer les DL d'ordre 3 des  fonctions $x\mapsto \ln(x+3)$ et  $x\mapsto \ln(x+2)$.

(b) En d\'eduire le DL d'ordre 3 de la fonction $g(x):= 3\ln(x+3)-2\ln(x+2)$.

(c) Montrer que, lorsque cela a un sens,
$$
g'(x)=\dfrac{x}{\,x^{\ms2}+5\ms x+6\,}.
$$
Utiliser ce r\'esultat, avec la partie (b), pour trouver le DL d'ordre 2 en 0 de la fonction $$x\mapsto f(x):= \dfrac{x}{\,x^{\ms2}+5\ms x+6\,}.$$

(d) Calculer directement le DL d'ordre 2 en 0 de $f$ par la division euclidienne.
\xx










 

 
 \x
On observe que la fonction $f$ d\'efinie par la r\`egle
$
f(x)\: =\:\: \dfrac{e^{\ms\,x}-\cos\ms x -x}{\:\ln\ms( 1+\sin\ms x\ms) -x\:}
$
est de forme ind\'etermin\'ee en 0.

(a) Prouver que $\lim_{x\to 0}f(x)$ existe, et calculer cette limite.

(b) Prouver ensuite, si on appelle encore $f$ le prolongement par continuité de la fonction définie plus haut, la fonction $f$ 
admet un d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre un
 autour de  $0\ms$, et le d\'eterminer. \quad(R\'ep: $-2-x+o(x)$)
 
 (c) Montrer que $f$ est dérivable en $0$, et calculer $f\,'(0)$. \quad(R\'ep: $-1$)
 % Utiliser celui-ci afin de calculer 
% $$
% \lim_{x\:\to\: 0}\; f(x)\,.
% $$
% Comparer cette d\'emarche avec l'utilisation \'eventuelle de la r¬ègle de l'Hospital.
 \begin{RQ}
 \begin{align*}
& \frac{e^x-\cos x - x}{\ln(1+\sin x)-x}:\\
&\frac{1+x+\frac{x^{\,2}}{2}+x^3/6+o(x^{\,3})-\left( 1-\frac{x^{\,2}}{2}+o(x^{\,3})\right)-x}{\ln\left(1+(x-x^3/6+o(x^{\,3}))\right)-x}\Eq \frac{x^{\,2}+x^3/6+o(x^{\,3})}{x-\frac{x^{\,2}}{2}+x^3/6+o(x^{\,3})-x}\\
&\Eq \frac{x^{\,2}\left(1+x/6+o(x)\right)}{x^{\,2}\left(-\frac{1}{2}+x/6+o(x)\right)} \Eq \frac{\left(1+x/6+o(x)\right)}{\left(-\frac{1}{2}+x/6+o(x)\right)}\: = \: -2\:\frac{1+x/6+o(x)}{1-x/3+o(x)}\\
&= -2\:(1+x/6+o(x))\{1+x/3+o(x)\}= -2-x+o(x)
\end{align*}
\end{RQ}
%
\begin{RQ}
NOTE: $o(1)$ veut dire simplement un terme qui tend vers 0 (lorsque $x$ tend vers le $a$ en question). En fait, l'Hospital marche ici, aussi.
\end{RQ}
\xx
 




\x \quad

(a) D\'eterminer le d\'eveloppement limit\'e en 0 et d'ordre $4$ des fonctions suivantes:
$$
\text{\bf (i)}\quad\frac{x}{\,1+x\,}\,\qquad\text{\bf (ii)}\quad
\sin \frac{x}{\,1+x\,}\,\qquad\text{\bf (iii)}\quad
\frac{\sin x}{\, 1+\sin x\,}\,.
$$

(b)
Utiliser ces d\'eveloppements limit\'es afin de calculer
$$
\lim_{\rule{0mm}{2.3mm}x\:\to\: 0} \:\; \frac{1}{\:\sin^{\,4}\ms\!x\:}\left( \sin\frac{x}{\,1+x\,}\,-\,\frac{\sin\ms x}{\:1+\sin\ms x\:}\right).
$$
Aurait-on pu calculer cette limite par la r\`egle de l'Hôpital?\quad(R\'ep: $1/6$)
\begin{RQ}
(i) $x-x^2+x^3-x^4+o(x^4)$

(ii) $x-x^2+\tfrac56 x^3 -\tfrac12 x^4+o(x^4)$

(iii) $x-x^2+\tfrac56 x^3-\tfrac23 x^4+o(x^4)$
\end{RQ}
\xx

\x Il s'av\`ere que la fonction 
$
f(x)\: :=\: \dfrac{\cos x}{\,\sin^{\ms2}\ms\! x\,} - \dfrac{1}{\,x^{\,2}\,}
$
admet une limite lorsque $x$ tend vers 0: la trouver. \quad(R\'ep: $-1/6$)

%Combien de fois faudrait-il invoquer la r¬ègle de l'Hospital si l'on d\'ecidait de l'utiliser pour  faire le calcul?
\xx



\x Il s'agit d'\'etudier le comportement de la fonction 
$$f(x)\Eq \frac{\sin\ms (3\,x)}{\:x\,\tan\ms (2\,x)\:}\;\; \;(x\,\neq\, 0)$$ autour de $0\ms$. Montrer que 
$\dis{
\lim_{\rule{0mm}{2.3mm}x\:\downarrow\:0}\,\: f(x)\Eq +\infty\quad\text{et}\quad \lim_{\rule{0mm}{2.3mm}x\:\uparrow\:0}\,\: f(x)\Eq -\infty\:.}
$
\xx
%(coin 23b)
\begin{RQ}
On trouve $$f/g=
\frac{3x-27x^{\,3}/6+o(x^{\,4})}{2x^{\,2}+8x^{\,4}/3+o(x^{\,5})}\thickapprox 3/(2x),
$$
pas de limite, l'Hospital ne donne rien.
\end{RQ}
 


\x
Soit $f:\R\backslash\{0\}\to\R$ la fonction d\'efinie par
$
f(x) \: =\: (1+x)^{1/x}
$.

(a) Montrer que l'on peut prolonger $f$ par continuité en $0$, et calculer sa limite en $0$.

(b) Lorsque la fonction $f$ est prolong\' ee en $0$ par continuité, montrer que $f$
 admet un d\'eveloppement limit\'e d'ordre 2 dans un voisinage de $0\ms$, et   d\'eterminer  celui-ci.\quad\\ \big(R\'ep: $ e-(e/2)\ms x+(11e/24)\ms x^{\,2}+o(x^{\,2})$\big)
\xx
\begin{RQ} On a $f(0)=e\neq 0$; on calcule
$$
e^{\ln f-1}= 1+ [-h/2+h^2/3+o(h^2)]+ \frac{1}{2}[-h/2+h^2/3+o(h^2)]^2+o([-h/2+h^2/3+o(h^2)]^3)
$$
$$
\implies f(x) = e\left\{ 1-\frac{x}{2}+\frac{11x^{\,2}}{24}+o(x^{\,2})\right\}
$$
\end{RQ}








\subsection*{Exercices suppl\'ementaires 
}


\x
Soit $f$ la fonction d\'efinie pour $x\neq 0$ par
$\dis{
f(x)= \frac{\rule[-1.5mm]{0mm}{2.3mm}[\,\ln\ms (1+x)\ms]^{\,4}}{\rule{0mm}{2.9mm}\:\arctan\ms(x^{\,3}\sin\ms x\ms)\:}}.
$
Calculer $\lim_{\,x\:\to\:0}f(x)$. (R\'ep: 1)
%Comparer ensuite avec l'utilisation de la r¬ègle de l'Hospital.
\xx
\begin{RQ}
\begin{align*}
\frac{[\ln(1+x)]^4}{\arctan(x^{\,3}\sin x)} &=\frac{[x-x^{\,2}/2+o(x^{\,2})]^4}{x^{\,3}\sin x+o(x^{\,3}\sin x)}\\
&= \frac{x^{\,4}[1-x/2+o(x)]^4}{x^{\,3}[x+o(x^{\,2})+o(\sin x)]}\\ &= \frac{1-x/2+o(x)}{1+o(x)}\to 1.
\end{align*}
\end{RQ}


 \x
 D\'eterminer le d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre 6, au voisinage de 0, de la fonction $\dis{f(x)=\arccos \left(x^{\,2}\right)}$. [Indication: \'etudier $f\ms'$]\quad\big(R\'ep: $\pi/2-x^{\,2}-x^{\,6}\ms\!/6+o(x^{\,6})$\big)
 \xx




 

 
\x Soit  $f:\R\backslash\{0\}\to\R$ la fonction d\'efinie par $t\:\, \mapsto\:\,f(t):=  (1-t+t^{\,2})^{1/t}$.

(a) Montrer que $f$ admet une limite en $t=0$. 

(b) Lorsque $f(0)$ est ainsi prolongée par continuité, montrer que $f$ admet un d\'eveloppement limit\'e en 0 d'ordre $2$, et le calculer.\quad

$\big($R\'ep: $e^{-1}[ 1+t/2+19\, t^{\ms2}\ms\!/24\ms]+o(t^2)$\big)
%BB p. 846
\xx


%\newpage








%\vspace{30mm}



\newpage



%\vspace{3mm}
%{\bf D\' eveloppements limit\' es tr\`es souvent rencontr\' es :}
%\vspace{-1mm}
%\begin{align*}
%\sin\ms x &\Eq x-\frac{x^{\,3}}{6} +o(x^{\,4})\Eq x-\frac{\:x^{\,3}}{3!}+\dots +(-1)^{m}\frac{x^{\,2\ms m+1}}{(2\ms m+1)!}+o(x^{\,2\ms m+2})\rule{0mm}{9mm} 
%\\&
%\;\Eq \sum_{k\:=\:0}^m\:\:(-1)^k\:\frac{x^{\,2\ms k+1}}{(2\ms k+1)!} + o(x^{\,2\ms m+2})\rule{0mm}{9mm}\\
%\quad
%\\
%\cos\ms x &\Eq 1  -\frac{\:x^{\,2}}{2} +o(x^{\,3})\Eq 1-\frac{\:x^{\,2}}{2!}+\dots +(-1)^{m}\frac{x^{\,2\ms m}}{(2\ms m)!}+o(x^{\,2\ms m+1})\rule{0mm}{9mm}
%\\&
%\Eq\; \sum_{k\:=\:0}^m\:\:(-1)^k\:\frac{x^{\,2\ms k}}{(2\ms k)!} + o(x^{\,2\ms m+1})\rule{0mm}{9mm}\\
%\quad
%\\
%e^{\ms\,x} &\Eq 1+x+ \frac{\:x^{\,2}}{2} +o(x^{\,2})\Eq 1+x+ \frac{\:x^{\,2}}{2!} +\dots + \frac{\:x^{\,n}}{n!} +o(x^{\,n})
%\\&
%\Eq\; \sum_{k\:=\:0}^n\:\: \frac{\:x^{\,k}}{k!} + o(x^{\,n})\rule{0mm}{9mm}\\
%%\end{align*}
%%
%%\begin{align*}
%\quad
%\\
%\ln\ms(1+x) &\Eq x-\frac{\:x^{\,2}}{2} +\frac{\:x^{\,3}}{3}+o(x^{\,3})
%\Eq x-\frac{\:x^{\,2}}{2} +\frac{\:x^{\,3}}{3}+\cdots +(-1)^{n+1}\frac{x^{\,n}}{n}+o(x^{\,n})\rule{0mm}{9mm}
%\\&
%\Eq\;  \sum_{k=1}^n\:\:(-1)^{k+1}\;\frac{\:x^{\,k}}{k} + o(x^{\,n})\rule{0mm}{9mm}
%\\
%\quad
%\\
%(1+x\ms)^p &= 1+p\ms x + \frac{p(p-1)}{2!}\ms x^{\ms2}+\dots + \frac{p(p-1)\cdots(p-n+1)}{n!}\, x^{\ms n}+o(x^{\ms n})\: 
%(p\in\ms\R\:\text{fix\'e})
%\rule{0mm}{9mm}\\
%&\Eq\; \sum_{k\:=\:0}^n\: \binom{p}{k}\,x^{\ms k}+o(x^{\ms n})\,,\;\:\text{o¬ù}\; \binom{p}{k}\,:=\:  \frac{p(p-1)\cdots(p-k+1)}{k!}\,, \:\:\, \binom{p}{0}\,=\,1\,.
%\rule{0mm}{9mm}
%\end{align*}
%
%\vspace{3mm}
%Trois cas sp\'eciaux de ce dernier DL\,:
%
%\vspace{-11mm}
%\begin{align*}
%{p=-1\ms:}&\quad
%\frac{1}{1+x}\Eq 1-x+x^{\ms2}-x^{\ms3}+\dots+(-1)^n\, x^{\ms n}+o(x^{\ms n})\rule{0mm}{8mm}\\
%{p=-1\ms,\,x\rightarrow -x\ms:}&\quad\frac{1}{1-x}\Eq 1+x+x^{\ms2}+x^{\ms3}+\dots+x^{\ms n}+o(x^{\ms n})\rule{0mm}{8mm}\\
%{p=\tfrac12\ms:}&\quad\sqrt{\,1+x\:} \Eq 1+\frac{1}{2}\,x -\frac{1}{8}\,x^{\ms2}+o(x^{\ms2})\rule{0mm}{8mm}.\\
%%\vspace{-6mm}
%\end{align*}




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