%
%   Fondamentaux des Maths 2 -2018 - Feuille de TD1 
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\noindent 
Universit\'e Claude Bernard Lyon 1  
\hfill UE Fondamentaux des Math\'ematiques II\\
Semestre de printemps 2017-2018
\bigskip 


\begin{center}
{\Large\bf Feuille 7 : Repr\'esentations maticielles des applications lin\'eaires} 
\end{center}
\bigskip

\def\moun{{-1}}

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-1} \begin{enumerate}
\item Soient $A\in \mathcal{M}_{2\times 2}(\R)$ et $f:\mathcal{M}_{2\times1}(\R)\to \mathcal{M}_{2\times1}(\R)$ une application d\'efinie  par $f(v)=Av$, $\forall v\in \mathcal{M}_{2\times1}(\R)$. 
Montrer que $f$ est une application lin\'eaire.
\item Soit $A={\left(\begin{array}{cc}
           1 & 1\\
           2 & 1
         \end{array} \right)}$. Donner une expression explicite de $f(v)$ pour chaque $v ={\left(\begin{array}{c}
          x\\
          y
         \end{array} \right)} \in  \mathcal{M}_{2\times1}(\R).$   
\end{enumerate}


\textbf{Solution: }\begin{enumerate}
\item $f(\left(\begin{array}{c}
          0\\
          0
         \end{array} \right))=A\left(\begin{array}{c}
          0\\
          0
         \end{array} \right) =\left(\begin{array}{c}
          0\\
          0
         \end{array} \right)$ et $\forall v_1, v_2\in \mathcal{M}_{2\times1}(\R)$ et $\lambda \in \R,  f(\lambda v_1+v_2)=A(\lambda v_1+v_2)=\lambda Av_1+Av_2=\lambda f(v_1)+f(v_2).$ 
         \item  $f(v)={\left(\begin{array}{cc}
           1 & 1\\
           2 & 1
         \end{array} \right)}\left(\begin{array}{c}
          x\\
          y\end{array} \right)=\left(\begin{array}{c}
          x+y\\
          2x+y\end{array} \right).$
         \end{enumerate}
         
\vspace{0.5cm}

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-2} Trouver les matrices des applications lin\'eaires suivantes dans les bases canonique des espaces vectoriels correspondants.
 \begin{enumerate}
\item $f_1:\R^2\to \R^2$ d\'efinie par  $f(x,y)=(2x+3y, -x+y).$

\textbf{Solution:} $f_1(e_1)=2e_1-e_2, f(e_2)=3e_1+e_2 $ et donc $M_\mathcal{C}(f_1)={\left(\begin{array}{cc}
           2 & 3\\
           -1 & 1
         \end{array} \right)}$.
\item $f_2:\R^2\to \R^3$ d\'efinie par $f(x,y)=(y, -x+y, 2x-y).$

\textbf{Solution: } Soit $(e_1,e_2)$ la base canonique pour $\R^2$ et $(e'_1,e'_2,e'_3)$ la base canonique pour $\in \R^3$. \\
On a $f_2(e_1)=-e'_2+2e'_3, f_2(e_2)=e'_1+e'_2-e'_3 $ et donc $M_{\mathcal{C},\mathcal{C'}}(f)={\left(\begin{array}{cc}
           0 & 1\\
           -1 & 1\\
           2& -1
         \end{array} \right)}$.

\item $f_3:\R^3\to \R^2$ d\'efinie par  $f(x,y,z)=(x+4y+z, -x+y+z).$

\textbf{Solution: } Soit $(e_1,e_2)$ une base pour $\R^2$ et $(e'_1,e'_2,e'_3)$ une base pour $\in \R^3$. \\
On a $f_3(e'_1)=e_1-e_2,  f_3(e'_2)=4e_1+e_2, f_3(e_3)=e_1+e_2,$ et donc $M_{\mathcal{C},\mathcal{C'}}(f)={\left(\begin{array}{ccc}
           -1 & 4& 1 \\
           -1 & 1& 1
         \end{array} \right)}$.
\end{enumerate}



\vspace{0.5cm}

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-3} Soit  $f:\R^3\to \R^3$ l'application lin\'eaire d\'efinie par $f(x,y,z)=(2x-y+z, -x-y, 5x-y)$.
 \begin{enumerate}
\item Montrer que  $\mathcal{B}=((1,2,0),(0,1,-1),(0,1,1))$ est une base pour $\R^3$.

\textbf{Solution: }  $\det {\left(\begin{array}{ccc}
           1 & 0& 0 \\
           2 & 1& 1\\
            0 & -1& 1
         \end{array} \right)}=2 \neq 0.$ Donc la famille est une base.
         
\item Trouver la matrice de $f$ dans la base canonique.

\textbf{Solution: } Soit $(e_1,e_2, e_3)$ la base canonique pour $\R^3$. \\
On a $f(e_1)=2e_1-e_2+5e_3,  f(e_2)=-e_1-e_2-e_3, f(e_3)=e_1$ et donc $M_{\mathcal{C}}(f)={\left(\begin{array}{ccc}
           2& -1& 1 \\
           -1 & -1& 0\\
             5& -1& 0
         \end{array} \right)}$.
\item Trouver la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}$.

\textbf{Solution: } Soit $v_1=(1,2,0),v_2=(0,1,-1), e_3=(0,1,1)).$ 
On a $f(v_1)=(0,-3,-3)=-3v_3  f(v_2)=(-2,-1,-1)=-2v_1+2v_2+v_3, f(v_3)=(0,-1,-1)=-v_3$ et donc $M_{\mathcal{B}}(f)={\left(\begin{array}{ccc}
           0& -2& 0 \\
           0 & 2& 0\\
             -3& 1& -1
         \end{array} \right)}$.
         
\item Trouver la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}$ pour l'espace de d\'epart et la base canonique pour l'espace de arriv\'ee.

\textbf{Solution: } 
On a $f(v_1)=(0,-3,-3)=-3e_2-3e_3,  f(v_2)=(-2,-1,-1)=-2e_1-e_2-v_3, f(v_3)=(0,-1,-1)=-e_2-e_3$ et donc $M_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(f)={\left(\begin{array}{ccc}
           0& -2& 0 \\
           -3 & -1& -1\\
             -3& -1& -1
         \end{array} \right)}$.


\item Trouver la matrice de $f$ dans la base canonique pour l'espace de d\'epart et la base $\mathcal{B}$ pour l'espace de arriv\'ee.

\textbf{Solution: } $\forall (x,y,z)\in \R^3,\, \\(x,y,z)=c_1(1,2,0)+c_2(0,1,-1)+c_3(0,1,1)\Rightarrow c_1=x, c_2=\frac{y-2x-z}{2}, c_3=\frac{y-2x+z}{2}.$ On a, $f(e_1)=(2,-1,5)=2v_1-5v_2, \,f(e_2)=(-1,-1,-1)=-v_1+v_2,\, f(e_3)=(1,0,0)=v_1-v_2-v_3.$ Donc, $M_{\mathcal{C},\mathcal{B}}(f)={\left(\begin{array}{ccc}
           2& -1& 1 \\
           5 & 1& -1\\
             0& 0& -1
         \end{array} \right)}$.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-4} Soient $\mathcal{C}=(e_1, e_2, e_3)$ la base canonique de $\R^3$. On consid\`ere $h:\R^3\to \R^3$ l'application lin\'eaire d\'efinie par $h(e_1)=2e_1+e_2-e_3$,  $h(e_2)=e_1+e_2-e_3$, $h(e_3)=e_1-2e_3$.
 \begin{enumerate}
\item Trouver la matrice $M$ de $f$ dans la base $\mathcal{C}$.

\textbf{Solution: } 
 $M_{\mathcal{C}}(h)=M={\left(\begin{array}{ccc}
           2& 1& 1 \\
           1 & 1& 0\\
            -1& -1& -2
         \end{array} \right)}$.


\item Quel est le rang de $M$?

\textbf{Solution: }  $\det M=-2\neq 0$ donc, $M$ est de rang maximale $=3$.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-5}  Soit $f:\R^4\to \R^3$ l'application lin\'eaire dont la matrice dans les bases canoniques de $\R^4$ et $\R^3$ est 
$A={\left(\begin{array}{cccc}
           1 & 2&1&3\\
           1 & 1&2&1\\
           1&-2&5&-5
         \end{array} \right)}.$
         \begin{enumerate}
\item  D\'eterminer une base pour le noyau de $f$.
\item D\'eterminer une base de l'image de $f$. Quel est le rang de $A$?
\end{enumerate}


\textbf{Solution: }  Exo 1 de la fiche Printemps 2017.
\vspace{0.5cm}


\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-6}  Soient $E$ un espace vectoriel et $\mathcal{B}=(u, v)$ et $\mathcal{B'}=(u',v',w')$ deux familles libres dans $E$.
On consid\`ere  l'application lin\'eaire $f:\textup{Vect}(u,v)\to \textup{Vect}(u',v',w')$  d\'efinie par $f(u)=u'+2v'$ et $f(v)=w'$.
\begin{enumerate}
\item  Trouver la matrice de $f$ dans les bases  $\mathcal{B}$ et  $\mathcal{B'}$ pour $\textup{Vect}(u,v)$ et $\textup{Vect}(u',v',w')$ respectivement.
\textbf{Solution: } Puisque $f(u)=u'+2v'$ et $f(v)=w'$,  $M_{\mathcal{B}, \mathcal{B'}}(f)={\left(\begin{array}{cc}
           1& 0 \\
            2& 0\\
            0& 1
         \end{array} \right)}$.
         
\item Trouver la dimension du noyau et de l'image de $f$.

\textbf{Solution: }  
Le rang de $M$=2=dimension de l'image. Et donc le th\'eor\`em du rang on a $\dim \ker+rang=2 \rightarrow \dim \ker=0.$

Au bien,
$\forall a=c_1u+c_2v \in \textup{Vect}(u,v): f(a)=c_1f(u)+c_2f(v)=c_1(u'+2v')+c_2w'=c_1u'+2c_1v'+c_3 w'.$ Donc $\ker (f)=\{a=c_1u+c_2v \in \textup{Vect}(u,v): f(a)=c_1u'+2c_1v'+c_3 w'=0\}$. Puisque $(u', v', w')$ est une base derni\`ere \'equation nous donne $c_1=c_2=0$ et donc $a=0$. Conclusion $\ker (f)=\{0\}\Rightarrow \dim \ker(f)=0\Rightarrow$ dimension de l'image $=2$, par le th\'eor\`em du rang.  
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}



\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-7}  Soient $\mathcal{C}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\R^3$ et
$f:\R^3\to \R^3$ l'application lin\'eaire d\'efinie par $f(e_1)=2e_1+e_2-e_3,$ $f(e_2)=e_2-e_3$, $f(e_3)=-e_1+4e_3$. On consid\`ere
 $v_1=2e_1-e_2$, $v_2=-e_1+e_3$, $v_3=2e_1-2e_2+e_3$ trois vecteurs dans $\R^3$.
 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $\mathcal{B}=(v_1,v_2,v_3)$ est une base pour $\R^3$. 

\textbf{Solution: }  
$\det {\left(\begin{array}{ccc}
           2& -1&2 \\
            -1& 0&-2\\
            0& 1&1
         \end{array} \right)}\neq 0.$ Donc, $\mathcal{B}$ est une famille libre de trois vecteurs alors est une base pour $\R^3$.


\item Trouver la matrice $A$ de $f$ dans la base $\mathcal{C}$ et puis trouver la matrice $B$ de $f$ dans la base $\mathcal{B}.$  
Quelle identit\'e v\'erifient les matrices A et B ? 

\textbf{Solution: }  
$M_{\mathcal{C}}(f)={\left(\begin{array}{ccc}
           2& 0& 1 \\
           1 & 1& 0\\
            -1& -1& 4
         \end{array} \right)}$. Puisque $(x,y,z)=c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3\Rightarrow c_1=2x+3y+2z, c_2=x+2y+2z, c_3=-x-2y-z$ on a $f(v_1)=(4,3,-3)=12v_1+4v_2-7v_3, f(v_2)=(-3,-1,5)=v_1+5v_2, f(v_3)=(3,0,4)=14v_1+11v_2-7v_3$ et donc $M_{\mathcal{B}}(f)={\left(\begin{array}{ccc}
           12& 1& 14 \\
           4 & 5& 11\\
            -7& 0& -7
         \end{array} \right)}$.

Soit $P={\left(\begin{array}{ccc}
           2& -1& 2 \\
           1 & 0& -2\\
            0& 1& 1
         \end{array} \right)}$ On a $P^{-1}M_{\mathcal{C}}(f)P=M_{\mathcal{B}}(f)$.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}



\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-8} Soit $\mathcal{C}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\R^3.$
Soit $g$ l'endomorphisme de $\R^3$ dont la matrice dans la base canonique est $A={\left(\begin{array}{ccc}
           1 & 4&4\\
           -1 & -3&-3\\
           0&2&3
         \end{array} \right)}.$\\
         Soient $u=e_1-e_2+e_3$, $v=2e_1-e_2+e_3$, $w=2e_1-2e_2+e_3$ trois vecteurs de $\R^3.$
   \begin{enumerate}
   \item Montrer que $\mathcal{B}=(u,v,w)$ est une base de $\R^3$.  
   \item D\'eterminer la matrice de passage $P$ de $\mathcal{C}$ \`a $\mathcal{B}.$ Calculer $P^{-1}.$
   \item   D\'eterminer la matrice $R$ de $g$ dans la base $\mathcal{B}.$
   \item  (a) Calculer $P^{-1}AP$ en fonction de $R$.\\ (b) Calculer $R^4$  et en d\'eduire les valeurs de $A^{4n}.$
   \end{enumerate}
   
   \textbf{Solution: }  Exo 3 de la fiche Printemps 2017.
\vspace{0.5cm}



\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-9} Soit $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\R^3$ et $g$ l'endomorphisme de $\R^3$ d\'efinie par  $g(e_1)=-3e_1+2e_2-4e_3$, $g(e_2)=e_1-e_2+2e_3$, $g(e_3)=4e_1-2e_2+5e_3$
   \begin{enumerate}
   \item D\'eterminer la matrice de $g$ dans la base canonique.
   \item  Montrer que $E=\{v\in \R^3: g(v)=v\}$  est un sous-espace vectoriel de $\R^3$. Montrer que la dimension de $E$ est 1 et donner un vecteur non nul a de $E$.
   \item Montrer que  $F=\{v=(v_1,v_2,v_3)\in \R^3: -2v_1+2v_2+3v_3=0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\R^3$. Donner une base $\mathcal{B}=(b,c)$ de $F$.
   \item Montrer que $(a,b, g(b))$ est une base de $\R^3.$
   \end{enumerate}

\textbf{Solution: }  Exo 9 de la fiche Printemps 2017.


\vspace{0.5cm}



\underline{\bf Exercice 1-10}  Soit  $E\subset C^\infty(\R)$ l'espace vectoriel des fonctions qui satisfont $y''+y=0$.
\begin{enumerate}
   \item Montrer que $\alpha=\cos x \in E$ et $\beta=\sin x \in E$.
 
 \textbf{Solution: }  $(\cos x)''+\cos x=0$ donc $\cos x\in E$. 
  Et $(\sin x)''+\sin x=0$ donc $\sin x\in E$. 
   \item Montrer que $\mathcal{B}=(\alpha,\beta)$ est une base pour $E$, sachant que $\dim E=2$.
    
     \textbf{Solution: }  Supposons que $\exists c\neq 0\in \R$ tel que $\cos x=c \sin x; \forall x\in \R$. pour $x=0$ on obtient $1=0$. Contradiction donc $\cos x$ n'est pas colin\'eaire \`a $\sin x$.  Donc $(\alpha,\beta)$ est une famille libre. Puisque $\dim E=2$ $(\alpha,\beta)$  est une base.
  
   \item  On consid\`ere  $g:\R^2\to E$ d\'efinie par $\forall v=(a,b)\in \R^2,\,\, g(v)=a\cos x +b\sin x$.
Trouver la matrice de $g$ dans la base canonique de $\R^2$ et la base $\mathcal{B}=(\alpha,\beta)$ de $E$.

\textbf{Solution: }  
   $M_{\mathcal{C},\mathcal{B}}={\left(\begin{array}{cc}
           1 & 0\\
           0&1
         \end{array} \right)}.$

   \item Montrer que $g$ est une bijection.
    
    \textbf{Solution: }  rang$(M_{\mathcal{C},\mathcal{B}}(g))=2=\dim E$ et par le th\'eor\`em du rang $\dim \ker =0$ donc $g$ est une surjection et injection et donc une bijection.

      \end{enumerate}
\vspace{0.5cm}




\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-11}  Soit  $u:\R_3[X]\to\R^2$ d\'efinie par $u(P)=(P(-1),P(1))$.
   \begin{enumerate}
   \item Montrer que $u$ est une application lin\'eaire.
   \item Trouver la matrice de $u$ dans les bases canoniques $(1, X, X^2, X^3)$ et $(e_1,e_2)$ de $\R_3[X]$ et $\R^2$ respectivement. 
   \item D\'eterminer le noyau et l'image de $u$.
   \end{enumerate}
   
   \textbf{Solution: }  Exo 14, partie I de la fiche Printemps 2017 et pour la matrice $u(1)=(1,1), u(X)=(-1,1), u(X^2)=(1,1), u(X^3)=(-1,1)$ Donc, $M(u)={\left(\begin{array}{cccc}
           1& -1& 1&-1 \\
           1 & 1& 1&1\\
            \end{array} \right)}$.
   
   \vspace{0.5cm}





\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-12}  Soit  $h:\R_2[X]\to \R_3[X]$ d\'efinie par $h(P)=\int_1^X 2P(t)dt$.
   \begin{enumerate}
   \item Montrer que $h$ est une application lin\'eaire.
   
   \textbf{Solution: }  $h(\textbf{0})=\textbf{0}$ et $\forall \lambda \in \R$ et $P_1, P_2\in \R_2[X],$ $h(\lambda P_1+P_2)= \int_1^X 2(\lambda P_1+P_2)(t)dt=\lambda h(P_1)+h(P_2).$
   
   \item Montrer que $\mathcal{B}=(1,2+X,4X+X^2)$ est une base pour $\R_2[X]$.
  
   \textbf{Solution: }  $c_11+c_2(2+X)+c_3(4X+X^2)=\textbf{0}\Rightarrow c_1=c_2=c_3=0$ donc $\mathcal{B}$ contient trois vecteur est libre et donc une base pour  $\R_2[X]$.


   \item Trouver la matrice de $h$ la base $\mathcal{B}$ pour l'espace de d\'epart  et la base canonique $\mathcal{C}=(1,X,X^2, X^3)$ pour l'espace d'arriv\'ee.    
  
     \textbf{Solution: }  $h(1)=2(X-1)$, $h(2+X)=4X+X^2-5$, $h(4X+X^2)=4X^2+\frac{2X^3}{3}-\frac{14}{3}. $ Donc,  $M_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(h)={\left(\begin{array}{ccc}
           -2& -5& -\frac{14}{3} \\
           2& 4& 0\\
            0&1&4\\
            0&0&\frac{2}{3}
            \end{array} \right)}$.

     
    
  
   \end{enumerate}
   \vspace{0.5cm}


\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-13}  Soit $f:\R_2[X]\to \R_2[X]$ d\'efinie par $f(P)=P-(X-2)P'.$
\begin{enumerate}
   \item Montrer que $f$ est une application lin\'eaire.
   \item  Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\R_2[X]$.
   \item D\'eterminer le noyau  et l'image de $f$.
   \item D\'eterminer la matrice de $f$ dans la base canonique $\mathcal{C}=(1,X,X^2)$ de $\R_2[X].$
   \item Montrer que $\mathcal{B}=(1,X-2,(X-2)^2)$ est une base de $\R_2[X].$
   \item D\'eterminer la matrice de passage de $P$ de $\mathcal{C}$ \`a $\mathcal{B}$. Calculer $P^{-1}.$
   \item Quelle est la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}$.
 \end{enumerate}


\textbf{Solution: }  Exo 9 de la fiche Printemps 2017.
\vspace{0.5cm}





\end{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-9}  Soient  $\alpha=\cos x$, $\beta=\sin x$ deux vecteurs dans l'espace vectoriel des fonctions continue sur $\R$ et $E=\textup{Vect}(\alpha,\beta)$. On consid\`ere  $g:\R^2\to E$ d\'efinie par $\forall v=(a,b)\in \R^2,\,\, g(v)=a\cos x +b\sin x$
   \begin{enumerate}
   \item Montrer que $g$ est une application lin\'eaire.
  
   \textbf{Solution: }  $g(0,0)=0cox+0sinx=0$ et $\forall v_1=(a_1,b_1),v_2=(a_2, b_2)\in R^2, \lambda \in \R, g(\lambda v_1+v_2)=(\lambda a_1+a_2)\cos x+(\lambda b_1+b_2)\sin x=\lambda g(v_1)+g(v_2).$
   
   \item Montrer que $\mathcal{B}=(\alpha,\beta)$ est une famille libre.
   Supposons que $\exists c\neq 0\in \R$ tel que $\cos x=c \sin x; \forall x\in \R$. pour $x=0$ on obtient $1=0$. Contradiction donc $\cos x$ n'est pas colin\'eaire \`a $\sin x$.  Donc $(\alpha,\beta)$ est une famille libre.
   
   \item Trouver la matrice de $g$ dans la base canonique de $\R^2$ et la base $\mathcal{B}=(\alpha,\beta)$ de $E$.
   
   \textbf{Solution: }  
   $M_{\mathcal{C},\mathcal{B}}={\left(\begin{array}{cc}
           1 & 0\\
           0&1
         \end{array} \right)}.$

   
   \item Montrer que $g$ est une bijection. 
    
    \textbf{Solution: }  rang$(M_{\mathcal{C},\mathcal{B}}(g))=2=\dim E$ et par le th\'eor\`em du rang $\dim \ker =0$ donc $g$ est une surjection et injection et donc une bijection.
      \end{enumerate}
\vspace{0.5cm}




\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-10}  Soit  $h:\R_2[X]\to \R_2[X]$ d\'efinie par $h(P)=2P'+P$.
   \begin{enumerate}
   \item Montrer que $h$ est une application lin\'eaire.
       \textbf{Solution: } $h(\textbf{0})=\textbf{0}$ et $\forall P_1,P_2\in R_2[X] et \lambda \in \R, h(\lambda P_1+ P_2)=2(\lambda P_1+ P_2)'+(\lambda P_1+ P_2)=\lambda (2P'_1+P_1)+(2P'_2+P_2)=\lambda h(P_1)+h(P_2).$ Donc  $h$ est lin\'eaire.
   
   \item Montrer que $\mathcal{B}=(1,2+X,4X+X^2)$ est une base pour $\R_2[X]$.

\textbf{Solution: }  $c_11+c_2(2+X)+c_3(4X+X^2)=\textbf{0}\Rightarrow c_1=c_2=c_3=0$ donc $\mathcal{B}$ contient trois vecteur est libre et donc une base pour  $\R_2[X]$.

   \item Trouver la matrice de $h$ dans la base canonique $\mathcal{C}=(1,X,X^2)$ pour l'espace de d\'epart  et la base $\mathcal{B}$ pour l'espace de d'arriv\'ee.    
   
 \textbf{Solution: } On a $ h(e_1)=v_1, h(e_2)=v_2, h(v_3)=4v_1-2v_2+v_3$, donc $M_{\mathcal{C},\mathcal{B}}(h)={\left(\begin{array}{ccc}
           1 & 0&4\\
           0&1&-2\\
           0&0&1
         \end{array} \right)}.$
 
   \end{enumerate}
   \vspace{0.5cm}




