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%   Fondamentaux des Maths 2 -2018 - Feuille de TD1 
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\noindent 
Universit\'e Claude Bernard Lyon 1  
\hfill UE Fondamentaux des Math\'ematiques II\\
Semestre de printemps 2017-2018
\bigskip 


\begin{center}
{\Large\bf Feuille 7 : Repr\'esentations maticielles des applications lin\'eaires} 
\end{center}
\bigskip

\def\moun{{-1}}

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-1} \begin{enumerate}
\item Soient $A\in \mathcal{M}_{2\times 2}(\R)$ et $f:\mathcal{M}_{2\times1}(\R)\to \mathcal{M}_{2\times1}(\R)$ une application d\'efinie  par $f(v)=Av$, $\forall v\in \mathcal{M}_{2\times1}(\R)$. 
Montrer que $f$ est une application lin\'eaire.
\item Soit $A={\left(\begin{array}{cc}
           1 & 1\\
           2 & 1
         \end{array} \right)}$. Donner une expression explicite de $f(v)$ pour chaque $v ={\left(\begin{array}{c}
          x\\
          y
         \end{array} \right)} \in  \mathcal{M}_{2\times1}(\R).$   
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-2} Trouver les matrices des applications lin\'eaires suivantes dans les bases canonique des espaces vectoriels correspondants.
 \begin{enumerate}
\item $f_1:\R^2\to \R^2$ d\'efinie par  $f(x,y)=(2x+3y, -x+y).$
\item $f_2:\R^2\to \R^3$ d\'efinie par $f(x,y)=(y, -x+y, 2x-y).$
\item $f_3:\R^3\to \R^2$ d\'efinie par  $f(x,y,z)=(x+4y+z, -x+y+z).$
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-3} Soit  $f:\R^3\to \R^3$ l'application lin\'eaire d\'efinie par $f(x,y,z)=(2x-y+z, -x-y, 5x-y)$.
 \begin{enumerate}
\item Montrer que  $\mathcal{B}=((1,2,0),(0,1,-1),(0,1,1))$ est une base pour $\R^3$.
\item Trouver la matrice de $f$ dans la base canonique.
\item Trouver la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}$.
\item Trouver la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}$ pour l'espace de d\'epart et la base canonique pour l'espace de arriv\'ee.
\item Trouver la matrice de $f$ dans la base canonique pour l'espace de d\'epart et la base $\mathcal{B}$ pour l'espace de arriv\'ee.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-4} Soient $\mathcal{C}=(e_1, e_2, e_3)$ la base canonique de $\R^3$. On consid\`ere $h:\R^3\to \R^3$ l'application lin\'eaire d\'efinie par $h(e_1)=2e_1+e_2-e_3$,  $h(e_2)=e_1+e_2-e_3$, $h(e_3)=e_1-2e_3$.
 \begin{enumerate}
\item Trouver la matrice $M$ de $f$ dans la base $\mathcal{C}$.
\item Quel est le rang de $M$?
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-5}  Soit $f:\R^4\to \R^3$ l'application lin\'eaire dont la matrice dans les bases canoniques de $\R^4$ et $\R^3$ est 
$A={\left(\begin{array}{cccc}
           1 & 2&1&3\\
           1 & 1&2&1\\
           1&-2&5&-5
         \end{array} \right)}.$
         \begin{enumerate}
\item  D\'eterminer une base pour le noyau de $f$.
\item D\'eterminer une base de l'image de $f$. Quel est le rang de $A$?
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}


\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-6}  Soient $E$ un espace vectoriel et $\mathcal{B}=(u, v)$ et $\mathcal{B'}=(u',v',w')$ deux familles libres dans $E$.
On consid\`ere  l'application lin\'eaire $f:\textup{Vect}(u,v)\to \textup{Vect}(u',v',w')$  d\'efinie par $f(u)=u'+2v'$ et $f(v)=w'$.
\begin{enumerate}
\item  Trouver la matrice de $f$ dans les bases  $\mathcal{B}$ et  $\mathcal{B'}$  pour $\textup{Vect}(u,v)$ et $\textup{Vect}(u',v',w')$ respectivement.
\item Trouver la dimension du noyau et de l'image de $f$.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}



\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-7}  Soient $\mathcal{C}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\R^3$ et
$f:\R^3\to \R^3$ l'application lin\'eaire d\'efinie par $f(e_1)=2e_1+e_2-e_3,$ $f(e_2)=e_2-e_3$, $f(e_3)=-e_1+4e_3$. On consid\`ere
 $v_1=2e_1-e_2$, $v_2=-e_1+e_3$, $v_3=2e_1-2e_2+e_3$ trois vecteurs dans $\R^3$.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $\mathcal{B}=(v_1,v_2,v_3)$ est une base pour $\R^3$. 
\item Trouver la matrice $A$ de $f$ dans la base $\mathcal{C}$ et puis trouver la matrice $B$ de $f$ dans la base $\mathcal{B}.$  
Quelle identit\'e v\'erifient les matrices A et B ? 
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}



\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-8} Soit $\mathcal{C}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\R^3.$
Soit $g$ l'endomorphisme de $\R^3$ dont la matrice dans la base canonique est $A={\left(\begin{array}{ccc}
           1 & 4&4\\
           -1 & -3&-3\\
           0&2&3
         \end{array} \right)}.$\\
         Soient $u=e_1-e_2+e_3$, $v=2e_1-e_2+e_3$, $w=2e_1-2e_2+e_3$ trois vecteurs de $\R^3.$
   \begin{enumerate}
   \item Montrer que $\mathcal{B}=(u,v,w)$ est une base de $\R^3$.  
   \item D\'eterminer la matrice de passage $P$ de $\mathcal{C}$ \`a $\mathcal{B}.$ Calculer $P^{-1}.$
   \item   D\'eterminer la matrice $R$ de $g$ dans la base $\mathcal{B}.$
   \item  (a) Calculer $P^{-1}AP$ en fonction de $R$.\\ (b) Calculer $R^4$  et en d\'eduire les valeurs de $A^{4n}.$
   \end{enumerate}
\vspace{0.5cm}


\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-9} Soit $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\R^3$ et $g$ l'endomorphisme de $\R^3$ d\'efinie par  $g(e_1)=-3e_1+2e_2-4e_3$, $g(e_2)=e_1-e_2+2e_3$, $g(e_3)=4e_1-2e_2+5e_3$
   \begin{enumerate}
   \item D\'eterminer la matrice de $g$ dans la base canonique.
   \item  Montrer que $E=\{v\in \R^3: g(v)=v\}$  est un sous-espace vectoriel de $\R^3$. Montrer que la dimension de $E$ est 1 et donner un vecteur non nul a de $E$.
   \item Montrer que  $F=\{v=(v_1,v_2,v_3)\in \R^3: -2v_1+2v_2+3v_3=0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\R^3$. Donner une base $\mathcal{B}=(b,c)$ de $F$.
   \item Montrer que $(a,b, g(b))$ est une base de $\R^3.$
   \end{enumerate}
\vspace{0.5cm}



\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-10}  Soit  $E\subset C^\infty(\R)$ l'espace vectoriel des fonctions qui satisfont $y''+y=0$.
\begin{enumerate}
   \item Montrer que $\alpha=\cos x \in E$ et $\beta=\sin x \in E$.
   \item Montrer que $\mathcal{B}=(\alpha,\beta)$ est une base pour $E$, sachant que $\dim E=2$.
   \item  On consid\`ere  $g:\R^2\to E$ d\'efinie par $\forall v=(a,b)\in \R^2,\,\, g(v)=a\cos x +b\sin x$.
Trouver la matrice de $g$ dans la base canonique de $\R^2$ et la base $\mathcal{B}=(\alpha,\beta)$ de $E$.
   \item Montrer que $g$ est une bijection.
      \end{enumerate}
\vspace{0.5cm}



\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-11}  Soit  $u:\R_3[X]\to\R^2$ d\'efinie par $u(P)=(P(-1),P(1))$.
   \begin{enumerate}
   \item Montrer que $u$ est une application lin\'eaire.
   \item Trouver la matrice de $u$ dans les bases canoniques $(1, X, X^2, X^3)$ et $(e_1,e_2)$ de $\R_3[X]$ et $\R^2$ respectivement. 
   \item D\'eterminer le noyau et l'image de $u$.
   \end{enumerate}
   \vspace{0.5cm}


\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-12}  Soit  $h:\R_2[X]\to \R_3[X]$ d\'efinie par $h(P)=\int_1^x 2P(t)dt$.
   \begin{enumerate}
   \item Montrer que $h$ est une application lin\'eaire.
   \item Montrer que $\mathcal{B}=(1,2+X,4X+X^2)$ est une base pour $\R_2[X]$.
   \item Trouver la matrice de $h$ la base $\mathcal{B}$ pour l'espace de d\'epart  et la base canonique $\mathcal{C}=(1,X,X^2, X^3)$ pour l'espace d'arriv\'ee.    
   \end{enumerate}
   \vspace{0.5cm}


\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-13}  Soit $f:\R_2[X]\to \R_2[X]$ d\'efinie par $f(P)=P-(X-2)P'.$
\begin{enumerate}
   \item Montrer que $f$ est une application lin\'eaire.
   \item  Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\R_2[X]$.
   \item D\'eterminer le noyau  et l'image de $f$.
   \item D\'eterminer la matrice de $f$ dans la base canonique $\mathcal{C}=(1,X,X^2)$ de $\R_2[X].$
   \item Montrer que $\mathcal{B}=(1,X-2,(X-2)^2)$ est une base de $\R_2[X].$
   \item D\'eterminer la matrice de passage de $P$ de $\mathcal{C}$ \`a $\mathcal{B}$. Calculer $P^{-1}.$
   \item Quelle est la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}$.
 \end{enumerate}
\vspace{0.5cm}


   
\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\noindent 
\underline{\bf Exercice 1-10}  Soit  $h:\R_2[X]\to \R_2[X]$ d\'efinie par $h(P)=2P'+P$.
   \begin{enumerate}
   \item Montrer que $h$ est une application lin\'eaire.
   \item Montrer que $\mathcal{B}=(1,2+X,4X+X^2)$ est une base pour $\R_2[X]$.
   \item Trouver la matrice de $h$ dans la base canonique $\mathcal{C}=(1,X,X^2)$ pour l'espace de d\'epart  et la base $\mathcal{B}$ pour l'espace de d'arriv\'ee.    
   \end{enumerate}
   \vspace{0.5cm}
   






