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%   Fondamentaux des Maths 2 -2018 - Feuille de TD10
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\noindent 
Universit\'e Claude Bernard Lyon 1  
\hfill UE Fondamentaux des Math\'ematiques II\\
Semestre de printemps 2017-2018
\bigskip 


\begin{center}
{\Large\bf Feuille 10 : Fractions rationnelles} 
\end{center}
\bigskip

\def\moun{{-1}}

\noindent 
{\bf Exercice 1.} Donner la forme de la d\'ecomposition en \'el\'ements simples, sur $\R$ puis sur $\C$, des fractions rationnelles suivantes. 
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $\frac{1}{(X+1)(X-2)},$ $\quad\frac{X}{(X+1)(X-2)},$ $\quad\frac{X}{X^2-1}.$
\item $\frac{X+1}{X^2+1},$ $\quad\frac{X^2}{X^3-1}.$
\item $\frac{X-1}{X^2(X^2+1)},$ $\quad\frac{3}{(X^2+X+1)(X-1)^2},$ $\quad\frac{X^3+X^2+X-1}{(X^2+1)^2}.$
\item $\frac{X^4}{X^2-3X+2},$ $\quad\frac{X^4-X+2}{(X-1)(X^2-1)},$ $\quad\frac{2X^5-10X^4+18X^3-31X^2+36X-1}{X^4-5X^3+7X^2-5X+6}.$
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\par{\bf Solution:} 
a) racines réelles : \par feuille 6, exercice 1, $\frac{-1/3}{X+1}+\frac{1/3}{X-2},\quad$ feuille 6, exercice 1, $\frac{1/3}{X+1}+\frac{2/3}{X-2},$ feuille 6, exercice 5, $\frac{1/2}{X-1}+\frac{-1/2}{X+1}$
\par b) racines complexes : \par feuille 6, exercice 5, $\quad\frac{X+1}{X^2+1}=\frac{1/2-i/2}{X-i}+\frac{1/2+i/2}{X+i},$ \par feuille 6, exercice 5, $\quad\frac{X^2}{X^3-1}=\frac{1/3}{X-1}+\frac{2X/3 +1/3}{X^2+X+1}=\frac{1/3}{X-1}+\frac{1/3}{X-j}+\frac{1/3}{X-j^2},$ où $j=e^\frac{2i\pi}{3}.$
\par c) racines multiples : \par feuille 6, exercice 2 $\frac{1}{X}-\frac{1}{X^2}+\frac{-X+1}{X^2+1}=\frac{1}{X}-\frac{1}{X^2}+\frac{-1/2-i/2}{X-i}+\frac{-1/2+i/2}{X+i}$ \par feuille 6, exercice 4, $\frac{X+1}{X^2+X+1}-\frac{1}{X-1}+\frac{1}{(X-1)^2}=\frac{1/2-\sqrt{3}i/6}{X-j}+\frac{1/2+\sqrt{3}i/6}{X-j^2}-\frac{1}{X-1}+\frac{1}{(X-1)^2}$, où $j=e^\frac{2i\pi}{3}.$
\par $\frac{X+1}{X^2+1}+\frac{-2}{(X^2+1)^2}=\frac{1/2}{X-i}+\frac{1/2}{X+i}+\frac{1/2}{(X-i)^2}+\frac{1/2}{(X+i)^2}$
\par d) division euclidienne : \par feuille 6, exercice 1, $X^2-3X-11+\frac{-27X+22}{X^2-3X+2}=X^2-3X-11+\frac{5}{X-1}+\frac{-32}{X-2}$\par feuille 6, exercice 3, $X+1+\frac{2X^2-X+1}{(X-1)(X^2-1)}=X+1+\frac{1}{(X-1)^2}+\frac{1}{X-1}+\frac{1}{X+1},$ \par $2X+\frac{1}{X-2}-\frac{1}{X-3}+\frac{4X}{X^2+1}=2X+\frac{1}{X-2}-\frac{1}{X-3}+\frac{2}{X-i}+\frac{2}{X+i}$
\vspace{0.5cm}


\noindent 
{\bf Exercice 2.} Décomposer en éléments simples sur $\R$ la fraction 
$$F(X)=\frac{1}{(X^2+1)^2-X^2}.$$
Indication : Noter que $F$ est paire, {\it i.e.} $F(X)=F(-X).$
\vspace{0.5cm}

\par{\bf Solution:}  Voir feuille 6, exercice 6.
\vspace{0.5cm}

\noindent 
{\bf Exercice 3.} Rappelez les primitives des éléments simples suivantes pour $x>0.$
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $\int x^n\, dx,$ $\quad n\in \N,$
\item $\int \frac{1}{x}\,dx,$
\item $\int \frac{1}{x^n}\,dx,$ $\quad n\in \N,$ $ n\geq 2,$
\item $\int \frac{1}{x^2+a^2}\,dx,$ $\quad a>0.$
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}
\par{\bf Solution: }  a) $\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad$ b) $\ln|x|+C,\quad$ c) $-\frac{n}{x^{n+1}}+C,\quad$ d) $\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)+C$
\vspace{0.5cm}


\noindent
{\bf Exercice 4.} Calculer les primitives des fractions rationnelles suivantes en mentionnant les intervalles où le calcul est valable.
$$I_1(x)=\int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx,\quad I_2(x)=\int\frac{x}{x^2-3x+2}\,dx,\quad I_3(x)=\int\frac{dx}{x(x-1)(x-2)},$$
$$I_4(x)=\int\frac{x^4}{x^3-3x+2}\,dx,\quad  I_5(x)=\int\frac{dx}{x^3-1}.$$
\vspace{0.5cm}

\par{\bf Solution:}  Voir feuille 9, exercice 1.
\vspace{0.5cm}


\end{document}

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